Kolokwium poprawkowe z kinematyki

6 lutego 2009

1. Wiedząc, że
i
oblicz wartości wyrażeń:

.

2. Wiedząc, że
i
oblicz wartość wyrażenia
:

Na podstawie tożsamości
obliczamy
,
oraz

.

3. Sformułuj i objaśnij twierdzenie o rozkładzie przyspieszenia punktu na przyśpieszenie normalne i styczne.

Odp.:
gdzie
jest przyspieszeniem stycznym,
jest przyśpieszeniem normalnym,
jest jednostkowym wektorem stycznym,
jest krzywizną toru,
jest promieniem krzywizny toru,
jest jednostkowym wektorem normalnym.

4. Stożek prawidłowy o wysokości h i rozwartości 2 toczy się bez poślizgu po poziomej płaszczyźnie. Wiadomo, że wartość bezwzględna wektora prędkości kątowej stożka jest stała i wynosi
. Znajdź wektor przyśpieszenia kątowego stożka.

Odp.:
. A JEDNAK NIE ZERO.

Obliczenia: Z warunków zadania wynika, że stożek porusza się ruchem kulistym wokół swego wierzchoła a linia kontaktu z płaszczyzną jest osią centralną chwilowego obrotu stożka. Z kinematyki ruchu kulistego wynika, że środek podstawy stożka A ma prędkość
, oraz
. Z drugiej strony środek postawy porusza się po okręgu ze stałą kątową prędkością (precesji)
. Stąd wynika
,
oraz
. Z taką samą prędkością kątową porusza się koniec wektora
. Zatem traktując wektor
jako wektor położenia swego końca mamy
oraz
.

5. Sformułuj i objaśnij twierdzenie o prędkościach i przyśpieszeniach punktów bryły w ruchu kulistym.

Odp.: W ruchu kulistym prędkość i przyśpieszenie punktu bryły o położeniu
względem środka ruchu wynoszą odpowiednio

,

gdzie
jest wektorem prędkości kątowej bryły, a
jest wektorem przyśpieszenia kątowego bryły?

6. Wiadomo, że punkty A, B i C o współrzędnych [0,0,0], [1,0,0] i [0,1,0] mają w danej chwili prędkości o składowych odpowiednio [0,1,1], [1,2,0] i [0,0,0] w tym samym układzie współrzędnych. Wyznaczyć składowe wektora prędkości kątowej bryły w tej chwili.

Odp.: Dane zawierają sprzeczność.

6. Korba o długości r układu korbowego obraca się ze stałą prędkością kątową . Obliczyć wartości przyśpieszeń końca korbowodu w położeniu, w którym korba jest prostopadła do korbowodu. Założyć, że długość korbowodu l>r.

Odp.: . Obliczenia: Z ruchu obrotowego korby wynika i  . Z więzów korbowodu wynika, że O jest środkiem chwilowego obrotu korbowodu. Ze wzoru wynika zatem prędkość obrotowa korbowodu, a następnie przyśpieszenie dośrodkowe punktu C względem B. Rzutując wzór na oś korbowodu otrzymujemy . Stąd bo .

7. Sformułuj i objaśnij twierdzenie o prędkościach w ruchu złożonym punktu.

Odp.: Jeżeli równania ruchu punktu materialnego przedstawić w postaci

gdzie
są współrzędnymi rozpatrywanego punktu względem zaczepionego w punkcie
ruchomego układu współrzednych o wersorach

to prędkość bezwzględna punktu wynosi
gdzie

jest prędkością względną, a

jest prędkością unoszenia, natomiast
jest wektorem prędkości kątowej ruchomego układu współrzędnych.

8. Sformułuj i objaśnij twierdzenie o przyśpieszeniach w ruchu złożonym punktu.

Odp.: Jeżeli równania ruchu punktu materialnego przedstawić w postaci

gdzie
są współrzędnymi rozpatrywanego punktu względem zaczepionego w punkcie
ruchomego układu współrzednych o wersorach

to przyspieszenie bezwzględne punktu wynosi
gdzie

jest przyśpieszeniem względnym,

jest przyśpieszeniem unoszenia, a

jest przyspieszeniem Coriolisa natomiast
i
są wektorami prędkości i przyspieszenia kątowego ruchomego układu współrzędnych.

---