STRUKTURY ALGEBRAICZNE

Definicja2.5

Niech x
X. Mówimy, że y jest elementem odwrotnym do X jeśli:

h(x,y)=h(y,x)=e

x
y=y
x=e

Element odwrotny do X oznaczamy x^-1

Definicja 2.6

Parę (x,
) gdzie
jest działaniem wewnętrznym w X nazywamy grupą jeśli:

1. Działanie
   jest łączne

2. Istnieje element neutralny działania

3. 
   x
   X istnieje element odwrotny

Jeśli dodatkowo
jest przemienne to grupę(x,
) nazywamy abelową lub przemienną.

Definicja 2.10

(X,
,
) zbiór z dwoma działaniami wewnętrznymi nazywamy pierścieniem, jeśli:

1)(X,
)- grupa abelowa

2)
jest łączne

3)
jest rozdzielne względem

jeśli ponadto
jest przemienne to pierścień nazywamy przemiennym

Jeśli w X istnieje element neutralny dla
to mówimy, że pierścień jest z jedynką

Definicja 2.12

Ciałem nazywamy(X,
,
) gdzie
,
są działaniami wewnętrznymi t.że:

1)(A,
) grupa abelowa

2) (A\{e_a},
) grupa gdzie e_a jest elementem neutralnym

3)
jest rozdzielne względem

Jeśli ponadto
jest przemienne to ciało nazywamy przemiennym.

Definicja 2.14

1. (G,
   )(H,
   ) - grupy

f:G →H nazywamy homomorfizmem grup jeśli
a,b
A:f(a
b)=f(a)
f(b)

2. (A,
   ₁,
   ₁),(B,
   ₂,
   ₂)- pierścień

f:A →B jest homomorfizmem jeśli
a,b
A:f(a
₁b)=f(a)
₂f(b)

f(a
₁b)=f(a)
₂f(b)

Monomorfizmem nazywamy homomorfizm, który jest injekcją

Epimorfizmem nazywamy homomorfizm, który jest surjekcją

Izomorfizmem nazywamy homomorfizm, który jest bijekcją

Definicja2.15

f:G→H- homomorfizm

im f={h
H:
g
G:h=f(g)} ={f(g):g
G}

kerf={ g
G:f(g) =e_H}=f^-1(e_H)

Twierdzenie 2.17

Z:f:(G,
) →(H
) homomorfizm

T: 1)f(a^-1)=f(a)^-1

2)f(e_G)=e_H

MACIERZE

Definicja 3.1

Macierzą wymiaru n×m nazywamy prostokątną tablicę liczb o n wierszach i m kolumnach

M_n×m- zbiór macierzy wymiaru n×m

M_n×m (R),M_n×m(F)-ciało

Definicja

A
M_{n ×m}

Wyznacznikiem macierzy A nazywamy liczbę określoną rekurencyjnie

1. jeśli n=1 tzn.a=[0] detA=a

2. jeśli n>1 i A=
   to det A=
   Twierdzenia Laplace'a

a_jidetA_ji

Definicja:

A
M_{n ×m}(R)

Macierz odwrotną do macierzy A oznaczamy A^-1 taką, że A^-1 ∙A=

A ∙A^-1=I_n

UKŁADY RÓWNAŃ

Definicja

Układ równań liniowych o n równaniach i n niewiadomych

x₁,x₂,….,x_n (n,m
N) nazywamy układ postaci

a_ij
R 1<=i<=n

1<=j<=m

b_j
R

Definicja

1)układ równań postaci Ax=Θ gdzie A
M_{n ×m} Θ
Rⁿ nazywamy układem jednorodnym

2) układ równań postaci Ax=b gdzie b
Θ (tzn.
i:b_i
0) nazywamy układem niejednorodnym.

Definicja

Układem Cramera nazywamy układ równań postaci Ax=b gdzie A jest macierzą kwadratową nieosobliwą A
R^n×m nieosobliwa(det A
0 )(

A^-1)

Twierdzenie: Wzór Cramera

Rozwiązanie układu Ax=b gdzie A
M_n×m nieosobliwa jest postaci x=
gdzie A_i jest macierzą powstałą z macierzy A przez zastąpienie tej kolumny wektorem wyrazów wolnych

Definicja

A
M_{n ×m}

Rzędem macierzy nazywamy wymiar największego kwadratowego minora niezerowego wyznacznika rzA(rank A)

Twierdzenie (Kronekera-Capellego)

1. Ax=b ma rozwiązanie
   rzA=rz[A\b]

2. Jeśli A
   M_n×m i rzA=rz[A\b]=m
   to układ ma dokładnie jedno rozwiązanie i nazywamy go układem oznaczonym

3. jeśli A
   M_n×m i rzA=rz[A\b] =r<m to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań (nazywamy go nieoznaczonym)

PRZESTRZENIE WEKTOROWE

Definicja:

v

(K,+,∙) ciało

: V×V→V działanie wewnętrzne

:K×V→V działanie zewnętrzne

(V,K,
,
) przestrzeń wektorowa nad ciałem K jeśli:

1)(V,
) jest grupą abelową

2)
α
K x,y
V α
(x
y)=( α
x)
( α
y)

3)
α, β
K x
X (α+β)
x=( α
x)
(β
x)

4)
α, β
K x
X ( α
β)
x =α
(β
x)

5)
x
V 1
x=x (gdzie 1
K jest elementem neutralnym)

Definicja

(V,K ,+, ∙) przestrzeń wektorowa

v₁ nazywamy podprzestrzenią wektorową V jeśli (v₁,k,+, ∙) przestrzeń wektorowa

Definicja

V-przestrzeń wektorowa

V₁…V_k
V jest kombinacją liniową wektorów V₁…V_k jeśli
α₁….. α_k
K takie że

v= α₁v₁+ α₂v₂+… α_kv_k=

A
V

Definicja

v- przestrzeń wektorowa A
V

Podprzestrzenią generowaną przez A nazywamy najmniejszą w sensie inkluzji podprzestrzeń V zawierającą A i oznaczamy lin(A) lub <A

Twierdzenie

Definicja jest poprawna tzn. istnieje dokładnie jedna podprzestrzeń generowana przez dowolny zbiór A
V

Definicja

v- przestrzeń wektorowa

V₁,V₂,…,V_k-podprzestrzeń wektorowa w V

Mówimy, że jest sumą prostą podprzestrzeni V₁,V₂,…,V_k(piszemy V=V₁
V₂
…,V_k) jeśli:

1) v=V₁,V₂,…,V_k

2)

_i=1,2,…,k

Definicja

v- przestrzeń wektorowa

1) wektory v₁…v_k
V nazywamy liniowymi zależnymi, jeśli
α₁….α_k
K nie wszystkie równe 0(tzn.
_i0
{1,…,k}α_i0
0)

α₁v₁+α₂v₂+…+α_kv_k=Θ

2)układ wektorów

(v_t)_t
T
V jest liniowo zależny, jeśli można z niego wybrać skończoną ilość wektorów liniowo zależnych

3)wektory v₁…v_k
V (lub układ (v_t)_t
T) są /jest liniowa niezależny jeśli nie jest liniowo zależny

Twierdzenie

v - prz. wektorowa , v₁…v_k
V\{Θ}

1) lin(v₁…v_k)=lin(v₁)+…+lin(v_k)

2) v₁…v_k są liniowo niezależne
lin(v₁…v_k)=lin(v₁)
…
lin(v_k)

BAZA, WYMIAR

Definicja

Ж=2^x=P(x)

Rodziny Ж nazywamy łańcuchem, jeśli jest liniowo uporządkowana, ze względu na relację ikluzji ”
” tzn:

x₁,x₂
X, x₁
x₂ lub x₂
x₁

Definicja

v- przestrzeń wektorowa nad K

układ A=(a_t)_t
T
V nazywamy bazą przestrzeni v_i jeśli:

1) układ A jest liniowo niezależny

2) A jest maksymalnym (w sensie) inkluzji zbiorem wektorów liniowo niezależnych

Definicja

v- przestrzeń wektorowa nad K

A=(a_t)_t
T- baza ,v
V

(z tw.

!a_t1….a_tk
A

α_t1…. α_tk: v=
α_kia_ki)

Układ α_ik… α_tk nazywamy współczynnikami wektora v w bazie A

Definicja

Wymiarem przestrzeni wektorowej V nazywamy ilość elementów bazy i oznaczamy dim V

ODWZOROWANIA LINIOWE

Definicja:

v,w- przestrzeń wektorowa nad ciałem K

Odwzorowanie

f: v→w nazywamy liniowym jeśli
v₁v₂
V α₁ α₂
K:f(α₁v₁+ α₂v₂)= α₁f(v₁)+ α₂f(v₂)

Definicja

φ=v→w liniowe

ker φ= φ^-1(Θw)={v
V: φ(v)= Θw}

ker φ- jądro φ

In φ= φ(v)={v
w:
v
V: φ(v)=w}={φ(v):v
V}

Twierdzenie

φ:v→w liniowe

1) φ: epimorfizm
in φ=w

2) φ- monomorfizm
ker φ={Θ_v}

Twierdzenie

δ
0 to homotetia φ_δ(v)= δ_v jest automorfizmem

Definicja (macierz przekształcenia liniowego)

niech U:u₁…u_m- baza R^m

v:v₁….v_n- baza Rⁿ

φ:R^m→Rⁿ liniowe

macierz przekształcenia liniowego φ w bazach u i v nazywamy macierz, której kolumny są współrzędnymi wektorów:

φ(u₁), φ(u²),… φ(u_m) zapisanymi w bazie V

Twierdzenie (o postaci odwzorowania liniowego)

Z: φ:R^m→Rⁿ liniowe

U:u₁…u_m- baza R^m

V:v₁….v_n- baza Rⁿ

A φ- macierz φ w bazie u iv

niech u ma w bazie u współżędne [α₁…. α_m] (tzn. w=
α_iu_i) oraz niech φ(u) ma w bazie V współrzędne [β₁…β_m](tzn. φ(u)=
β_jv_j)

T: Aφ

Definicja

w Rⁿ mamy następujące bazy:

U:u₁…u_n

V:v₁….v_m

v_j=
a_iju_j ;
j=1,…,n

P=(a_ij)=

macierz przejścia ob. Bazy U do bazy V

Macierz przejścia od bazy U do bazy V nazywamy macierz, w której kolumnach stoją współrzędne przedstawienia wektorów bazy V w bazie U

Twierdzenie

U:u₁…u_n baza Rⁿ

V:v₁….v_m baza Rⁿ

P macierz przejścia z U do V

w
Rⁿ w= α₁u₁+ α₂u₂+…+ α_nu_n

w=β₁v₁+β₂v₂+…+β_nv_n (tzn. w ma współrzędne α₁… α_n w bazie U oraz współrzędne β₁… β_n w bazie V)

T:

Twierdzenie (o zmianie macierzy odwzorowania liniowego przy zmianie baz)

Z: φ: R^m→Rⁿ

U:u₁…u_m baza w R^m

V:v₁….v_m baza w Rⁿ

A- macierz φ w bazie U i V

U`:u<sub>1</sub>`…u_m` baza w R^m

V`:v<sub>1</sub>`….v_m` baza w Rⁿ

A`- macierz φ w bazie U` i V`

T: A`=Q^-1AP

gdzie:

P- macierz przejścia z U do U`

Q- macierz przejścia z V do V`

(bazy U,V- stare bazy; U`,V`- nowe bazy)

Wniosek

Z: φ: R^m→Rⁿ

A- macierz φ w bazie U

A`- macierz φ w bazie U`

T: A`=P^-1AP

gdzie: P- macierz przejścia z U do U`

Definicja

A
R^n×m

λ
R nazywamy wartością własną macierzy A jeśli
x
Rⁿ\{Θ}:Ax= λx

taki wektor λ nazywamy wektorem

Definicja

1) Krotność wartości własnej λ jako pierwiastka wielomianu charakterystycznego nazywamy krotnością algebraiczną

2) krotnością geometryczną wartości własnej λ nazywamy wymiar podprzestrzeni własnej tzn. dim L(λ)

Krotność geometryczna ≤ krotność algebraiczna

Definicja

φ:Rⁿ→Rⁿ endomorfizm

λ nazywamy wartością własną endomorfizmu φ jeśli jest wartością własną macierzy φ w dowolnej bazie.

Twierdzenie (Cayley-Hamilton)

Dowolna macierz kwadratowa jest pierwiastkiem swojego wielomianu charakterystycznego.

---