/materiały na prawach rękopisu/

ĆWICZENIE 6

Obliczenia zwarciowe w systemie elektroenergetycznym

Wiadomości wstępne.

Przyczyny i rodzaje zwarć

Zwarcie jest to zakłócenie pracy obwodu elektrycznego, powstałe na skutek uszkodzenia jego izolacji, a polegające na połączeniu dwóch lub większej ilości punktów obwodu ze sobą lub z ziemią poprzez małą rezystancję.

Zwarcia można podzielić na symetryczne i niesymetryczne. Zwarciami symetrycznymi są zwarcia bezpośrednie trójfazowe i trójfazowe z ziemią.

Inne przypadki zwarć są zwarciami niesymetrycznymi. Zwarcia mogą być spowodowane przyczynami elektrycznymi lub nieelektrycznymi. Wśród przyczyn elektrycznych można wymienić: przepięcia atmosferyczne i łączeniowe oraz uszkodzenia izolacji skutkiem przeciążeń. Jako przyczyny nieelektryczne można wyróżnić: uszkodzenia mechaniczne, wady fabryczne, zanieczyszczenia lub zawilgocenia itp.

Ogólne wytyczne obliczeń zwarciowych i przegląd metod

Obliczenia zwarciowe wykonywane są najczęściej w celu doboru przyrządów
i urządzeń rozdzielczych oraz w celu doboru zabezpieczeń nadprądowych.

Istnieje wiele metod obliczeń prądów zwarciowych różniących się między sobą założeniami upraszczającymi, a w związku z tym dokładnością.

W Polsce główne zastosowanie ma metoda przedstawiona w normie
PN-74/E-05002-„Dobór aparatów wysokonapięciowych w zależności od warunków zwarciowych”. Niezależnie od metod obliczania prądów zwarciowych istnieją dwa odmienne sposoby liczbowego ich ujmowania: w jednostkach mianowanych lub względnych.

Przekształcenia liniowe prądów i napięć stosuje się w obliczeniach sieci elektroenergetycznych w celu zmniejszenia nakładów wiążących się z obliczeniami, z uwagi na uproszczenia schematu zastępczego sieci bądź ułatwienia związane z posługiwaniem się dużą liczbą danych itp. Uzyskane korzyści muszą być istotne, by zastosowanie przekształcenia było opłacalne. Zastosowanie przekształcenia jest bowiem dodatkową pracą obliczeniową, którą trzeba wykonać dwukrotnie: raz przy wprowadzeniu przekształcenia, a przed wykonaniem właściwych obliczeń, drugi raz po wykonaniu obliczeń, by wrócić do wielkości nieprzekształconych (przekształcenie odwrotne).

Istnieje kilka przekształceń liniowych wykorzystywanych w celu ułatwienia obliczeń zwarciowych:

• „Sprowadzenie” (jednostki względne zmiana skali),

• Przekształcenie 0,1, 2 (składowe symetryczne),

• Przekształcenie 0, α, β (składowe prostokątne),

• Przekształcenie 0, d, q (składowe prostokątne wirujące),

• Przekształcenie Laplace'a (Laplace'a Carlsona ),

Przedmiotem niniejszego opracowania jest przekształcenie 0, 1, 2 (składowe symetryczne)

I. Teoria składowych symetrycznych

Przekształcenie 0, 1, 2 wprowadzone zostało do obliczeń sieci elektroenergetycznych już w 1918 roku. Główna idea przekształcenia polega na zastąpieniu układu trzech wektorów znajdujących się na płaszczyźnie liczbowej ( wektory te odpowiadają wielkością charakteryzującym sieć trójfazową - prądom, napięciom, strumieniom magnetycznym itd.) trzema kombinacjami liniowymi trzech innych wektorów - zerowego, zgodnego i przeciwnego. Wektory te noszą nazwę składowych symetrycznych - stąd nazwa metody. Niezależnie od stopnia asymetrii wektorów wyjściowych współczynniki kombinacji liniowych są niezmienne, zmieniają się tylko moduły wektorów składowych. Warunek ten wyrażamy analitycznie za pomocą układu równań.

W_A = W₀ + W₁ + W₂

W_B = W₀ + a ²W₁ + aW₂

W_C = W₀ + aW₁ + a²W₂

(gdzie a, a² są to tzw. Operatory obrotu: a = e^j2π/3; a² = e^-j2π/3

Istota przekształcenia 0, 1, 2 polega przede wszystkim na diagonalizacji macierzy opisującej trójfazowy element sieci elektroenergetycznej. Matematyczny efekt diagonalizacji ma prostą interpretację fizyczną - oznacza on wyeliminowanie sprzężeń pomiędzy obwodami poszczególnych faz z opisu trójfazowego elementu sieci. Taką pogłębioną interpretację przekształcenia 0, 1, 2 przedstawiam poniżej.

Własności przekształcenia 0, 1, 2

Przekształcenie to należy do klasy przekształceń diagonalizujących macierze 3×3, zwane z powodu charakterystycznej budowy macierzami cyklicznymi:

gdzie M, m₁, m₂ są liczbami zespolonymi

Wprowadzając przekształcenie 0, 1, 2 rozważamy równanie

W = MV

przy czym W,V są to wektory zmiennych, które w tym przypadku są trójelementowe

W^t = [W_A W_B W_C]; V^t = [V_A V_B V_C]

Zakładając, że macierze B,C przekształcenia liniowego są jednakowe otrzymujemy:

(BW) = (BMB^-1)(BV)

lub

W_p = M_pV_p

gdzie:

M_p = BMB^-1

Zgodnie z prowadzonymi założeniami M_p ma mieć strukturę diagonalną, tzn.

Można udowodnić, że efekt diagonalizacji będzie możliwy dla macierzy przekształcenia o postaci

przy czym a₀, a_1, a₂ są dowolnymi liczbami zespolonymi spełniającymi warunek a₀, a_1, a₂ ≠ 0, natomiast a i a² to opisane już wyżej operatory obrotu.

Jeśli z nieskończenie licznego zbioru macierzy diagonalizujących zdefiniowanych za pomocą powyższego wzoru wybierzemy macierz spełniającą warunek a₀ = a₁ = a₂ = 1/3, to wybrane przekształcenie jest nazywane przekształceniem 0, 1, 2. Zwyczajowo, jego macierze oznacza się za pomocą litery S, czyli:

;

Z zależności M_p = BMB^-1 otrzymujemy W_s = M_s*V_s

Przekształcone elementy wektorów zmiennych W,V, tzn.

;

noszą nazwę składowych symetrycznych(napięcia prądu.

Podstawą do obliczeń zwarciowych jest plan sieci obejmujący źródła prądu oraz urządzenia przesyłające i rozdzielające energię elektryczną.

Plan sieci, dla którego wykonuje się obliczenia prądu zwarciowego powinien zawierać dane techniczne poszczególnych elementów sieci. W oparciu o te dane oblicza się impedancje zastępcze poszczególnych elementów sieci i buduje się schemat zastępczy obwodu zwarciowego. Impedancje poszczególnych elementów należy sprowadzić do jednego poziomu napięcia.

W celu obliczenia prądów zwarciowych w danym punkcie układu elektroenergetycznego należy:

a) sporządzić schematy zastępcze obwodu zwarciowego, zależnie od rodzaju zwarcia:

- dla zwarcia trójfazowego - schemat obwodu zwarciowego dla składowej zgodnej,

- dla zwarcia dwufazowego - schemat obwodu zwarciowego dla składowej zgodnej i dla składowej przeciwnej,

- dla zwarcia jedno i dwufazowego z ziemią - schematy obwodu zwarciowego dla składowych:

zgodnej, przeciwnej i zerowej;

b) obliczyć impedancje zastępcze elementów układu, wchodzących w skład obwodu zwarciowego dla poszczególnych składowych symetrycznych;

c) wykonać odpowiednie przekształcenie i uproszczenie schematu zastępczego do postaci pozwalającej na wyznaczenie impedancji zastępczej dla poszczególnych składowych symetrycznych Z₁, Z₂, Z₀;

d) obliczyć wielkości charakterystyczne prądu zwarciowego;

W schemacie zastępczym obwodu zwarciowego nie uwzględnia się rezystancji, jeżeli
R ≤ 0,1 X, co ma zazwyczaj miejsce w sieciach wysokiego napięcia.

W obliczeniach przybliżonych można pomijać rezystancje, gdy R ≤ 0,3 X

Obliczanie zwarć metodą PN/E

Metoda obliczenia prądów zwarciowych opiera się na określeniu wartości składowej symetrycznej zgodnej I₁ prądu początkowego w miejscu zwarcia.

Wartość prądu I₁ wyznacza się ze wzoru ogólnego:

kA

gdzie:

U_n - napięcie znamionowe (międzyprzewodowe) sieci w miejscu zwarcia w kV,

Z₁ - impedancja

obwodu zwarciowego dla składowej symetrycznej zgodnej.

ΔZ - impedancja (reaktancja) dodatkowa zależna od rodzaju zwarcia.

Wartość reaktancji dodatkowej należy przyjmować według tabeli:

Rodzaj zwarcia	Reaktancja dodatkowa	Współczynnik m
Trójfazowe	ΔX = 0	1
Dwufazowe	ΔX = X2 ≈X1
Dwufazowe z ziemią
Jednofazowe	ΔX = X2 + X0	3

Prąd początkowy I_p jest wartością skuteczną składowej okresowej prądu zwarciowego w chwili t = 0.

I_p = mI₁

m - współczynnik zależny od rodzaju zwarcia podany w powyższej tabeli.

Impedancja zastępcza elementów układu elektroenergetycznego dla składowych symetrycznych

W celu obliczenia prądu zwarciowego w określonym punkcie układu elektroenergetycznego należy wyznaczyć wartości impedancji zastępczych wszystkich elementów wchodzących w skład obwodu zwarciowego. W przypadku zwarć niesymetrycznych oblicz się impedancję dla poszczególnych składowych symetrycznych prądu.

Impedancje elementów dla składowej zgodnej Z₁ oblicz się ze wzorów zawierających dane znamionowe tych urządzeń

Impedancje elementów dla składowej przeciwnej Z₂, oprócz maszyn wirujących, są równe impedancjom tych elementów dla składowej zgodnej Z₁.

Impedancje elementów dla składowej zerowej prądu z reguły dla większości ma inną wartość niż impedancja składowej zgodnej. Występowanie określonej impedancji dla składowej zerowej Z₀ zależy od możliwości przepływu prądu kolejności zerowej w danym urządzeniu. Wartości impedancji elementów układu oblicza się w jednostkach mianowanych (omach) lub w jednostkach względnych. Przy obliczaniu impedancji zwarciowych należy ich wartości sprowadzić do jednego poziomu napięcia, którym zwykle jest napięcie znamionowe w miejscu zwarcia.

1. Prądnice synchroniczne:

Impedancja zwarciowa	Składowe	Jednostki mianowane	Jednostki względne
	zgodna	Ω	%
Reaktancja	przeciwna	Ω	%
	zerowa	Ω	%
Rezystancja	zgodna	Ω	%

2. Transformatory dwuuzwojeniowe.

Dane znamionowe:

przekładnia	UnI / UnII	kV / kV
moc	Sn	MVA
napięcie zwarcia	ΔUz%	%
straty mocy	ΔPcu%	%
układ połączeń
budowa

Dla transformatorów o mocy powyżej 2,5 MVA reaktancja zastępcza dla składowej zgodnej
i przeciwnej wynosi:

Impedancja zwarciowa	Składowe	Jednostki mianowane	Jednostki względne
Reaktancja	zgodna	Ω	%
	przeciwna
Rezystancja	zgodna	Ω	%
	przeciwna

Impedancja kolejności zerowej transformatora zależy od konstrukcji i układu połączeń uzwojeń transformatora.

Transformator wchodzi do schematu składowej zerowej jeśli:

1. Po stronie zwarcia uzwojenie połączone jest w gwiazdę z uziemionym punktem gwiazdowym,

2. Po stronie wtórnej uzwojenie połączone jest:

a) w trójkąt,

b) w gwiazdę z uziemionym punktem gwiazdowym, przy istnieniu w sieci jeszcze co najmniej jednego uziemienia,

c) w gwiazdę z izolowanym punktem gwiazdowym - tylko dla transformatora trójkolumnowego.

W załączniku 1 podane jest zestawienie schematów zastępczych i impedancji dla składowej zerowej prądu transformatorów dwuuzwojeniowych w zależności od układu połączeń i budowy transformatora.

3.Transformatory trójuzwojeniowe.

Dane znamionowe:

przekładnia	UnI / UnII / UnIII	kV
moc	SnI / SnII / SnIII	MVA
napięcie zwarcia	ΔUZI-II, ΔUZI-III, ΔUZII-III	%
układ połączeń
budowa

W transformatorach trójuzwojeniowych pomija się w obliczeniach zwarciowych straty mocy czynnej, a zatem rezystancje uzwojeń. Reaktancje poszczególnych uzwojeń transformatora dla składowych symetrycznych zgodnej i przeciwnej oblicz się ze wzorów:

X_I = 0,5*(X_I-II + X_I-III - X_II-III) Ω

X_II = 0,5*(X_I-II + X_II-III - X_I-III) Ω

X_III = 0,5*(X_I-III + X_II-III - X_I-II) Ω

W załączniku drugim podane jest zestawienie schematów zastępczych i reaktancji dla składowej zerowej transformatorów trójuzwojeniowych w zależności od układu połączeń uzwojeń i budowy transformatora.

4. Dławiki przeciwzwarciowe:

Dane znamionowe:

napięcie Un kV,

pr¹d In kA,

napięcie zwarcia ΔU% % W dławikach przeciwzwarciowych występuje bardzo mała indukcyjność wzajemna między fazami, stąd reaktancje dla składowej zgodnej, przeciwnej i zerowej są sobie równe: X1 = X2 = X0 Reaktancje dławika przeciwzwarciowego oblicza się z wzoru: Ω lub %

5. Linie napowietrzne.

Dane znamionowe:

napięcie	Un	kV
przekrój przewodów	S	mm^2
długość linii	l	km
układ przewodów

Impedancja zwarciowa	Składowe	Jednostki mianowane	Jednostki względne
	zgodna	X1 = X0*l	%
Reaktancja	przeciwna	X1 = X2	X1 = X2
	zerowa	X0 = 0,4 dla linii jednotorowej X0 = 0,2 dla linii dwutorowej
Rezystancja	zgodna	Ω	%

6. Linie kablowe

Dane znamionowe:

napięcie	Un	kV
przekrój żył	S	mm^2
długość linii	l	km
typ kabla

Impedancja zwarciowa	Składowe	Jednostki mianowane	Jednostki względne
	zgodna	X1 = X0*l	%
Reaktancja	przeciwna	X1 = X2	X1 = X2
	zerowa	X0 = 0,08 izolacja rdzeniowa X0 = 0,12 izolacja ekranowa
Rezystancja	zgodna	Ω	%

7. Układ elektroenergetyczny

Dane znamionowe:

• napięcie U_n kV

• moc zwarciowa S_z MVA

Impedancja zwarciowa	Składowe	Jednostki mianowane	Jednostki względne
	zgodna	X1 = 1,1 Ω	%
Reaktancja	przeciwna	X1 = X2	X1 = X2
	zerowa	X0 ≤ 3*X1 jeśli wiadomo, że układ ma skutecznie uziemione punkty zerowe.

Przykład.

Temat: Obliczyć wartość prądu początkowego na szynach 110 kV w elektrowni C przy zwarciu:

1. jednofazowym,

2. dwufazowym,

3. dwufazowym z ziemią,

4. trójfazowym.

Schemat układu:

Obliczenia przeprowadzono metodą uproszczoną przy pominięciu rezystancji elementów układu. Przyjęto, że dla wszystkich elementów reaktancja dla składowej przeciwnej jest równa reaktancji dla składowej zgodnej. Reaktancję zastępczą wyznaczono w omach. Czas trwania zwarcia t_z = 0,2 s.

Dane układu:

G1, G2	-prądnica o mocy 30 MVA każda, X”d% = 12%, 6 kV,
G3, G4	-prądnica o mocy 50 MVA każda, X”d% = 15%, 10 kV,
T1	-transformator o mocy 31,5 MVA, ΔUz% = 10,5%, trójkolumnowy, 6/110kV, układ połączeń trójkąt-gwiazda z uziemionym punktem gwiazdowym,
T2	-transformator o mocy 31,5 MVA, ΔUz% = 10,5%, trójkolumnowy, 6/110kV, układ połączeń trójkąt-gwiazda,
T3	-transformator o mocy 60 MVA, ΔUz% = 10,5%, trójkolumnowy, 10/110kV, układ połączeń trójkąt-gwiazda,
T4	-transformator o mocy 60 MVA, ΔUz% = 10,5%, trójkolumnowy, 10/110kV, układ połączeń trójkąt-gwiazda, z uziemionym punktem gwiazdowym,
L1	-linia napowietrzna dwutorowa, 110 kV, długość l = 100 km, z dwoma przewodami odgromowymi,
L2, L3	-linie napowietrzne jednotorowe, 110 kV, długości po 30 km każda z jednym przewodem odgromowym,
L4	-linia napowietrzna jednotorowa, 110 kV, długość 50 km, z jednym przewodem odgromowym.

Rozwiązanie:

Schemat zastępczy dla składowej zgodnej i przeciwnej:

Schemat zastępczy dla składowej zerowej:

1. Zwarcie jednofazowe:

Składowa symetryczna zgodna prądu początkowego w miejscu zwarcia:

kA

Prąd początkowy:

I_p = m*I₁ = 3*1,3 = 3,71 kA

2. Zwarcie dwufazowe:

Składowa symetryczna zgodna prądu początkowego w miejscu zwarcia:

kA

Prąd początkowy:

I_p = m*I₁ = kA

3. Zwarcie dwufazowe z ziemią:

Składowa symetryczna zgodna prądu początkowego w miejscu zwarcia:

kA

Prąd początkowy:

I_p = m*I₁ = kA

4. Zwarcie trójfazowe:

Składowa symetryczna zgodna prądu początkowego w miejscu zwarcia:

kA

Prąd początkowy:

I_p = m*I₁ = 1*3,46 = 3,46 A

Wnioski:

Można stwierdzić, że zastosowanie przekształcenia 0, 1, 2 pozwala na skuteczne modelowanie i analizę najczęściej spotykanych zakłóceń sieciowych - wiążących się, najogólniej biorąc, z powstaniem poważnej asymetrii fazowej w jednym z elementów tworzących daną sieć trójfazową. Ma ono jednak wady, z którymi musimy się liczyć przystępując do rozwiązania bardziej skomplikowanego problemu z zakresu obliczeń zwarciowych. Wady te wynikają z następujących przyczyn:

• asymetria fazowa rzeczywistych elementów sieci,

• asymetria fazowa dużych odbiorów przyłączonych do sieci,

• trudności z modelowaniem zakłóceń złożonych,

• trudności związane z modelowaniem transformatorów.

II. Zastosowanie macierzy w obliczeniach zwarciowych.

Uogólnianie analizy zwarć w sieciach wielowęzłowych oczkowych

W obliczeniach wykorzystuje się twierdzenie THEVENINA

Wyjaśnienie zasady Thevenina w przypadku sieci wielowęzłowej[wg 1].

a - schemat przed zwarciem, b - schemat po zwarciu w węźle k, c -włączenie się dwóch kompensujących się idealnych źródeł napięcia, d - obwód z pominięciem E_II ,e - obwód z wyzerowanymi siłami elektromotorycznymi z wyjątkiem sem E_II.

ZAŁOŻENIE:

Do węzłów odbiorczych są przyłączone impedancje modelujące odbiory z_oi natomiast do węzłów generatorowych - SEM podprzejściowe E_j = E”_j przez reaktancję podprzejściowe
z_gj = jX”_dj

E_j = U_j + z_gj I _gjj

I _gjj -- prąd zespolony odawany przez generator do sieci , U_j -- napięcie zespolone w węźle

Węzły generatorowe to węzły z silnikami synchronicznymi, kompensatorami i silnikami asynchronicznymi.

Zastępujemy źródła napięcia źródłami prądowymi:

y_gj E_j =y_gj U_j + I_gj

I_zrj= y_gjU_j +I_gj

Po wystąpieniu zwarcia w węźle k tylko prądy węzłowe generatorowe i prąd w węźle k będą miały wartości niezerowe. Prądy w węzłach odbiorczych będą miały prądy zerowe.

Zastosujemy metodę potencjałów węzłowych do wyznaczania stanu sieci.

I=Y*U

I=I_p +I_z (suma prądów przed zwarciem i po zwarciu )

Równanie macierzowe po wystąpieniu zwarcia w punkcie k

U_z=Y^-1*I

Y do obliczeń rozpływów mocy różni się do Y do analizy zwarć punktem odniesienia

Rozpływy mocy - węzeł bilansujący systemu.

Obliczenia zwarciowe - szyna zerowa

macierz impedancyjna zwarciowa

(elementy macierzy Y Z są oznaczone dużymi literami by odróżnić je elementów gałęziowych oznaczonych małymi literami).

Po przekształceniach otrzymujemy:

U_p = Z*I_p—wektor napięć węzłowych przed wystąpieniem zwarcia w k , U_z = Z*I_z -- wektor napięć węzłowych wymuszonych przez prąd zwarcia w węźle k

Powyższych zależności wynika że napięcia węzłowe U_z po wystąpieniu zwarcia w węźle k mogą być obliczone na zasadzie superpozycji napięć U_z , i U_p czyli dla węzła k

U_zk U_pk ­ Z*I_zk. = z_zk *I_zk .

2.8.2. Modelowanie sieci dla potrzeb obliczeń zwarciowych.

Na rysunku 2.8b wydzielono węzeł k-ty, w którym założono zwarcie. Według rozważań w rozdz. 2.3.3 w punkcie tym przykłada się napięcie Uk0. Prąd zwarciowy w k-tym węźle wynosi zatem:

(2.1)

gdzie Zkk jest impedancją zastępczą widzianą z węzła zwarcia.

Z dwóch podstawowych metod rozwiązywania obwodów liniowych, tj. metody prądów oczkowych i metody napięć węzłowych - ta ostatnia jest ściśle związana z siecią systemową i ona będzie przedmiotem dalszych rozważań. Według niej schemat sieci dla zwarcia w punkcie k można przedstawić w postaci macierzowej w następujący sposób:

(2.2)

lub ogólnie:

I=YU0

gdzie: Ykn - admitancja wzajemna równa admitancji zastępczej gałęzi łączącej k-ty i n-ty węzeł, pomnożona przez (-1),

 Ykk - admitancja własna k-tego węzła, która jest sumą admitancji wszystkich admitancji dochodzących do tego węzła,

 I   - wektor prądów węzłowych,

 Y   - macierz admitancyjna węzłowa,

 U0  - wektor napięć węzłowych.

Mając obliczone impedancje poszczególnych elementów sieci można zatem w prosty sposób utworzyć macierz admitancyjną węzłową.

Zależność macierzowa (2.2) przedstawia układ n równań liniowych, która po pomnożeniu stronami przez Z i skorzystaniu z zależności:
(Y=Z-1) przedstawia się następująco:

(2.3)

lub ogólnie:

U0=ZI

gdzie: Zkn - impedancja wzajemna k-tego i n-tego węzła,

 Zkk - impedancja własna k-tego węzła,

 Z  - macierz impedancji węzłowych, równa odwróconej macierzy admitancji Z=Y-1.

Na podstawie równania (2.3) można napisać:

Uk0 = Zkk Ikk

a stąd wynika:

(2.4)

Zależność (2.4) jest taka sama jak wzór (2.1) co oznacza, że impedancja własna k-tego węzła (wszystkie impedancje własne węzłów znajdują się na przekątnej macierzy) jest równa impedancji zastępczej między k-tym węzłem, a szyną odniesienia.

Gdy znana jest wartość prądu zwarciowego
, można obliczyć napięcia w dowolnym i-tym węźle sieci, dla zwarcia w k-tym węźle:

Ui0=Zik

Prąd w gałęzi i-j, dla zwarcia w k-tym węźle, można obliczyć ze wzoru:

(2.5)

przy czym Zij jest impedancją gałęzi (między węzłami i-tym i j-tym), w której obliczamy prąd zwarciowy.

Zatem utworzenie macierzy admitancyjnej Y, a następnie odwrócenie jej w celu otrzymania macierzy impedancyjnej Z pozwala obliczyć prądy i napięcia w dowolnych węzłach, oraz prądy w dowolnych gałęziach rozpatrywanej sieci elektroenergetycznej. Ważną własnością macierzy admitancyjnej jest fakt, że jest ona macierzą symetryczną.

Należy stwierdzić, że najtrudniejszym i najbardziej czasochłonnym etapem obliczeń jest wyznaczanie parametrów elementów tworzących sieć oraz odwracanie macierzy admitancyjnej węzłowej Y. Trudności te zwiększają się gwałtownie wraz ze wzrostem liczby elementów tworzących analizowaną sieć. Wraz z rozwojem komputerów obliczenia zwarciowe przestały być problemem. Wciąż jednak doskonalone są metody obliczeniowe, związane głównie z wyznaczaniem macierzy Z, a szczególnie jej pojedynczych elementów - bez konieczności odwracania całej macierzy Y.

Metody wyznaczania macierzy impedancyjnej zwarciowej sieci.

Metoda dołączania gałęzi (El-Abiada).

Najprostsza droga do wyznaczenia niezbędnych w obliczeniach impedancji własnych i wzajemnych węzłów to inwersja (odwrócenie) macierzy admitancyjnej Y. Jest to jednak dość złożony problem obliczeniowy. Stąd też popularność (szczególnie w latach ubiegłych) zaprezentowanej poniżej metody. Inną jej zaletą jest fakt, że przy zmianie konfiguracji analizowanej sieci nie występuje potrzeba ponownego odwracania macierzy.

Na początku buduje się listę gałęzi tworzących rozpatrywaną sieć - obowiązują tutaj dwa wymagania:

- pierwsza gałąź musi być przyłączona do węzła odniesienia,

- każda z kolejno przyłączanych gałęzi musi mieć co najmniej jeden węzeł w zbiorze węzłów już uwzględnionych lub musi być przyłączona do węzła odniesienia.

Główną ideą tej metody jest stopniowe tworzenie macierzy impedancyjnej, korzystając kolejno z elementów listy gałęzi. Termin "stara" macierz lub węzeł dotyczy macierzy lub węzła już wyznaczonych, natomiast "nowy" węzeł - to węzeł, którego w macierzy jeszcze nie uwzględniono. Wyróżnia się cztery przypadki usytuowania gałęzi w stosunku do sieci:

1. Gałąź o impedancji zk0 łączy nowy węzeł k z węzłem odniesienia 0. Do macierzy dopisuje się nowy wiersz i kolumnę, nie zmieniając wyrazów starej macierzy :

Zm+l,m+1=zk0,

Zi,m+1=Zm+l,i=0, i=1...m,

gdzie m - rząd macierzy, dużymi literami opisano elementy tworzonej macierzy.

2. Gałąź o impedancji zkl łączy nowy węzeł k ze starym węzłem l. Do macierzy dopisuje się nowy wiersz i kolumnę, nie zmieniając wyrazów starej macierzy:

Zm+l,m+1=Zll+zkl,

Zm+l,i=Zl,i, i=1...m,

Zi,m+1=Zi,l=0, i=1...m,

3. Gałąź o impedancji zkl włączona jest między dwa stare węzły k oraz l. Wówczas następuje zmiana wszystkich elementów starej macierzy. Nowe wartości oznaczono indeksem prim:

i=1...m,

gdzie: ZLL=Zkk+Zll-2Zkl+zkl,

ZLi=Zik-Zil,

ZLj=Zjk-Zjl.

4. Gałąź o impedancji zk0 łączy stary węzeł k z węzłem odniesienia 0. Jest to szczególny przypadek włączenia gałęzi między dwa istniejące węzły. Zmianie ulegają wartości elementów macierzy:

i, j=1...m.

Metoda faktoryzacji macierzy admitancyjnej.

W punkcie 2.9.1 powiedziano, że najprostszą drogą do wyznaczenia impedancji własnych i wzajemnych węzłów sieci elektroenergetycznej jest inwersja macierzy admitancyjnej Y. Prowadząc obliczenia klasycznie ("ręcznie") stanowi to jednak duży problem dla liczącego. Zastosowanie do obliczeń komputerów pozwala bez kłopotu wyznaczać macierze odwrotne. Jedynym problemem jaki może się pojawić przy bardzo dużych układach sieciowych jest brak pamięci operacyjnej maszyny cyfrowej.

O ile metoda El-Abiada ma jasną interpretację fizyczną, o tyle metoda faktoryzacji stanowi bezpośrednie zastosowanie do obliczeń sieciowych matematycznej metody rozwiązywania układów równań liniowych.

Główną ideą faktoryzacji (czyli rozkładu macierzy na czynniki) jest redukcja wyjściowej macierzy admitancyjnej Y stopnia n metodą "krok po kroku" do postaci macierzy jednostkowej, dokonywane poprzez lewo- i prawostronne mnożenie jej przez macierze elementarne (faktory), oznaczane odpowiednio przez L (left) i R (right). Macierze te są dobrane tak, że w każdym kroku procesu redukcji j=1,2,...,n elementy pozadiagonalne wybranego wiersza oraz kolumny j stają się zerami, element diagonalny zaś staje się jedynką.

Rys. 2.9. Graficzna interpretacja procesu faktoryzacji: a) krok pierwszy,  b) krok j-ty.

Graficzną Interpretację pierwszego kroku faktoryzacji pokazano na rysunku 2.9a. Taka sama operacja jest powtarzana (n-1) razy, w wyniku czego macierz początkowa Y(0) zostaje przekształcona do macierzy jednostkowej. Wyrażenie ogólne dla j-tego kroku redukcji (rysunek 2.9b) ma postać:

Elementy zredukowanej macierzy Y(0) oraz faktorów L(j), R(j) wyznaczamy z następujących wzorów (i,k =j+1,...,n):

Pełny algorytm redukcji może być przedstawiony jako mnożenie macierzowe faktorów elementarnych:

Mnożąc kolejno przez odwrotności macierzy L(n) ... L(1), a następnie prawostronnie przez te same macierze i przez Y-1, otrzymujemy zależność:

Tak więc poszukiwana macierz Z może być wyznaczona w wyniku mnożenia faktorów.

Dotychczas nie bardzo widoczne zalety tego algorytmu pojawiają się przy wyznaczaniu tylko niektórych elementów macierzy Z. Często zamiast wyznaczać całą macierz wyznaczamy kilka interesujących nas kolumn. Wykorzystujemy w tym celu metodę faktoryzacji, rozwiązując następujące równanie:

gdzie Zk jest jedną, interesującą nas, k-tą kolumną macierzy Z, natomiast 1k to macierz kolumnowa zer z jedynką na pozycji k.

Rozwiązanie tego równania ma postać:

(2.6)

Zaletą metody faktoryzacji jest możliwość szybkiego i efektywnego wykonania mnożenia we wzorze (2.6).

Zastosowanie metody eliminacji Gaussa do wyznaczania impedancji własnych i wzajemnych [5].

W obliczeniach zwarciowych bardzo często wystarcza wyznaczenie, zamiast całej impedancyjnej macierzy zwarciowej, tylko kilku jej elementów. Mając skuteczną metodę obliczania wyznaczników macierzy kwadratowej (a taką macierzą jest Y), element Zij macierzy impedancyjnej można wyznaczyć ze wzoru:

gdzie yji jest dopełnieniem algebraicznym elementu Yij w macierzy kwadratowej stopnia n, a detY wyznacznikiem zwarciowej macierzy admitancyjnej. Pojęcie dopełnienia algebraicznego zdefiniowano poniżej.

Przy odwracaniu macierzy admitancyjnej Y dla niezbyt dużych sieci (do około 50 węzłów) wygodnie jest zastosować metodę eliminacji Gaussa do obliczania wyznacznika macierzy kwadratowej. Jej idea polega na sprowadzeniu macierzy Y:

do postaci macierzy trójkątnej, która przedstawia się następująco:

Wyznacznik macierzy trójkątnej oblicza się mnożąc ze sobą wszystkie elementy leżące na przekątnej:

(2.7)

Poniżej przedstawiono kolejne etapy tworzenia macierzy trójkątnej (indeks prim oznacza elementy, które pozostaną w końcowej macierzy trójkątnej po wszystkich etapach obliczeń).

Etap 1. Pierwszy wiersz przepisujemy, natomiast wszystkie pozostałe elementy macierzy od drugiego wiersza przeliczamy wg wzoru:

Po wykonaniu tego przekształcenia elementy występujące w pierwszej kolumnie macierzy Y, z wyjątkiem elementu
są równe 0. A zatem:

Etap 2. W następnym kroku przeprowadza się obliczanie elementów od trzeciego wiersza do n-tego wg wzoru:

, i=2,3,...,n j=1,2,...,n

w wyniku którego otrzymujemy zerowe wartości elementów znajdujących się w kolumnie drugiej poniżej elementu
.

Etap r. Wyznacza się macierz Y(r):

gdzie

Postępowanie kończymy po n-1 etapach. Otrzymana po zakończeniu tego etapu macierz

jest macierzą trójkątną. Obliczenie wyznacznika macierzy Y polega na podstawieniu do wzoru (2.7) odpowiednich elementów tej macierzy.

Po przedstawieniu sposobu na obliczanie wyznacznika metodą eliminacji Gaussa poniżej podano wzory stosowane do wyznaczania macierzy odwrotnej.

Macierz odwrotna do danej nieosobliwej (wyznacznik różny od zera) macierzy Y=[Yij] stopnia n ma postać:

gdzie yij oznacza dopełnienie algebraiczne elementu Yij macierzy Y.

Dopełnieniem algebraicznym yij elementu Yij w macierzy kwadratowej stopnia n nazywamy liczbę:

przy czym Mij jest podmacierzą macierzy Y stopnia n-1, która powstaje w wyniku skreślenia wiersza i-tego oraz kolumny j-tej. Wyznacznik
tej podmacierzy nazywamy minorem.

W zależności od rodzaju wykonywanych obliczeń, sieć elektroenergetyczna będzie miała dwa różne schematy zastępcze; inny w przypadku obliczania rozpływów prądów roboczych, inny dla wyznaczania prądów zwarciowych. Schemat zastępczy sieci zwarciowej różni się następująco od schematu zastępczego sieci podczas pracy normalnej:

- pomija się prądy obciążeń węzłowych,

- pomija się parametry poprzeczne sieci,

- za węzeł odniesienia przyjmuje się szynę zerową,

- zastępuje się prądy generatorów reaktancjami podprzejściowymi
, włączając je między węzeł i węzeł odniesienia,

- w miejscu zwarcia włącza się siłę elektromotoryczną E'' między węzeł i węzeł odniesienia.

Rys. 2.8. Schemat zastępczy sieci do obliczania: a) prądów roboczych, b) prądów zwarciowych.

Literatura:

1. „Zwarcia w sieciach elektroenergetycznych” Piotr Kacejko, Jan Machowski.

2. „Zbiór zadań z sieci elektrycznych” część II Jan Strojny, Jan Strzałka.

1

G1

Elektrownia A

∼

10 kV

Elektrownia B

∼

∼

∼

G4

G2

T3

T3

T1

T2

110 kV

110 kV

110 kV

10 kV

6 kV

110 kV

Elektrownia C

L1

L4

L2

L3

G3

X1

X3

X2

X4

X9

X8

X7

X10

X5

X6

X12

X11

X1(0)

X2(0)

X3(0)

X6(0)

X4(0)

X5(0)

---