CALKA NIEWLASCIWA·
a,bf(x)dx=f(b)-f(a)·
metoda Newtona-Leibnitza·
f(x) zbiur funkcji pierwotnych·
Pola figur plaskich·
Dana jest funkcja y=f(x) w przedziale x nalerzy (a,b) przyczym f(x)>=0 oraz jest ·
funkcja w tym przedziale calkowalna·
S=m(omega)=a,bf(x)dx·
Dlogosc luku krzywej·
Zaladamy ze dana jest funkcja y=f(x) klasy C^1 w przedziale <a,b> oraz f(x)>=0·
w tym przedziale L=a,b›(1+(f'(a))^2)^1/2dx·
Objetosc bryly obrotowej·
Dana jest funkcja y=f(x) zakladamy ze jest ona calkowalna w przedziale <a,b> ·
i w tym przedziale przyjmuje wartosci nieujemne f(x)>=0.Ponadto zakladamy ze·
obraca sie ona dookola osi ox interesuje nas objetosc powstalej bryly w wyniku·
tego obrotu. V=pi a,bf^2(x)dx.·
Pole powierzchni obrotowej·
dana jest krzywa y=f(x) klasy C^1 w przedziale <a,b>zakladamy ze funkcja f(x)>=0·
oraz f(x) obraca sie dookola osi ox P=2š a,bf(x)(1+(f(x))^2)^1/2dx·
CALKI NIEWLASCIWE·
1.Calki niewlasciwe pierwszego rodzaju·
Niech f(x) bedzie funkcja okreslona w przdziale od <a,+niesko) i calkowalna w·
sensie·
Riemanna w przedziale<a,T> gdzie T>0·
DEFINICJA1 jezeli istnieje granica wlasciwa lim(t-niesko)a,Tf(x)dx to·
nazywamy ja calka niewlasciwa 1-go rodzaju funkcji f(x) w przwdziale <a,+niesko)·
i oznaczamy symbolem a,nieskof(x)dx=lim(T-+niesko)a,Tf(x)dx·
Niech funkcja f(x) bedzie okreslona w przedziale od (-niesko,b> i calkowalna w·
sensie Riemannaw przedziale od <T,b>,gdzie T,b·
DEFINICJA2 Jezeli istnieje granica wlasciwa lim(T--niesko) T,bf(x)dx to·
nazywamy ja calka niewlasciwa funkcji f(x) w przedziale (-niesk,b>.I oznaczamy·
symbolami -niesk,bf(x)dx=lim(T--niesko)T,bf(x)dx.·
DEFINICJA3 Dana jest funkcja f(x) okreslona w przedziale (-nies,+niesko) i·
calkowalna w kazdym przedziale domknietym na osi ox to zachodzi·
-nies,+nieskof(x)dx=lim(T1--niesko)T1,0f(x)dx+lim(T2-+niesko)0,T2f(x)dx.·
CALKA NIEWLASCIWA 2-GO RODZAJU·
Niech f(x) bedzie funkcja okreslona przedziale lewostronnie domknietym <a,b)·
nieograniczona w lewostronnym sasiectwie punktu b oraz calkowalna w przedziale·
<a,b-E> dla kazdego E spelniajacego warunek 0<E<b-a·
DEFINICJA·
Jezeli istnieje granica wlasciwa lim(E-0+)a,b-Ef(x)dx to nazywamy ja calka niewlasciwa·
2-go rodzaju funkcji f(x) w przedziale <a,b> a,bf(x)dx=lim(E-0+)a,b-Ef(x)dx·
Niech funkcja f(x) bedzie okreslona w przedziale prawostronnie domknietym od ·
(a,b>,nieograniczona prawostronnym sasiedztwie punktu a i calkowalna w przedziale·
od (a+E,b> dla kazdego E takiego ze 0<E<b-a·
DEFINICJA Jezeli istnieje granica wlasciwa lim(E-0+)a+E,bf(x)dx to nazywamy ja ·
calka niewlasciwa 2-go rodzaju funkcji f(x) w przedziale <a.b>·
a,bf(x)dx=lim(E-0+)a+E,bf(x)dx·
CALKA NIEWLASCIWA 3-GO RODZAJU·
Ona jest jednoczesnie 1-2-go rodzaju
RACHUNEK PRAWDOPODOBIENSTWA·
1.ALGEBRA ZBIOROW·
DEFINICJA 1 Zbior A nazywamy poszbiorem zbioru B (AcB) jezeli kazdy element zbioru·
A jest elementem zbioru B AcB<=>[xcA=>xcB] symbol c jest symbolem relacji zawierania·
DEFINICJA 2 Rownosc zbiorow·
Zbior A=B nazywamy zbioremi identycznymi tzn.takie,ktore zawieraja te same elementy.·
A=B<=>[(xcA=>xcB)i(xcB=>xcA)] (A=B)<=>[(AcB)i(BcA)]·
DEFINICJA 3 Zbior nie zawierajacy rzadnego elementu nazywamy zbiorem pustym.·
DLA KAZDEGO ZBIORU PRAWDZIWE SA RELACJE·
1. AcA ;zbior pusty cA Podzbior A zbiorem B nazywamy zbiorem wlasciwym jezeli AcB ·
i A nierowna sie B.Zbior zlozony ze skonczonej liczby elementow nazywamy zbiorem·
skonczonym. ·
Zbiory AiB nazywamy rownolicznymi jezeli istnieje wzajemne jednoznaczne odwzorowanie·
zbioru A na zbior B.Zbior rownoliczny ze zbioru wszystkich liczb naturalnych nazywamy·
zbiorem przeliczalnym.Elementy zbioru przeliczalnego mozemy ustawic w ciag nieskonczony·
o roznych wyrazach.·
DZIALANIA NA ZBIORACH.·
1 DEf.Suma zbiorow·
Sume zbiorow AiB nazywamy zbior tych wszystkich elementow,ktore naleza do zbiorow A·
lub do zbioru B AuB={x:xcA u xcB}·
2 DEf.Iloczyn zbiorow (czensc wspolna) Iloczynem zbiorow AiB nazywamy zbior tych wszystkich·
elementow,ktore jednoczesnie naleza do zbiorow AiB. AiloczynB={x:xcA i xcB}·
3 DEf.Roznica zbiorow.Roznice zbiorow AiB nazywamy zbior wszystkich elementow ktore naleza·
do zbiorow A nie naleza do zbioru B. A-B={x:xcA i xcB}.·
4 DEf.Uzupelnienie(dopelnienie) zbioru A wzglendem przestrzeni X(maksymalny zbior),nazywamy·
zbior A' okreslony wzorem: A'=x-A. A'={x:xcX i x nienalezy A}.·
5 DEf.Sume zbiorow Ai,gdzie (icI) nazywamy zbior wszystkich elementow,ktore naleza przynajmniej·
do jednego ze zbiorow Ai={x:U xcAi}.·
6 DEf.Iloczynem zbiorow Ai (icI) nazywamy zbior wszystkich elementow, ktore naleza do kazdego·
ze zbiorow Ai={xcAi}.·
7 DEF.Zbior,ktorego elementy sa zbiorami nazywamy rodzina(klasa) zbiorow i oznaczamy R.·
8 DEf.Zbiory AiB nazywamy zbiorami rozlocznymi jezeli A iloczyn B=zbior pusty.·
9 DEf.Rodzine R nazywamy multiplikatywna jezeli iloczyn zbiorow AiB nalezacych do ·
rodziny tzn. (AcR i BcR)=>(AiBcR)·
10 DEF.Rodzine R zbioru nazywamt oddytywna jezeli suma zbiorow AiB nalezacych do ·
rodziny jest zbiorem nalezacym do rodziny tzn.(AcR i BcR)=>(AuBcR).·
11 Def.Addytywna rodzine zbiorow nazywamy cialem zbiorow jezeli ACR=>A'cR.·
12 Def. Rodzine R zbiorow Ai (icI) nazywamy przeliczanie addytywna jezeli:·
(AicR;icI)=>(AicR) I={i,i+1,..}.·
Rodzine R zbiorow Ai(icI) nazywamy przeliczanie multiplikatywne jezeli AicR(icI)=>·
(AicR) I={i,i+1,..}.·
13 DEF.Rodzine R zbiorow nazywamy przeliczalnie addytywnym cialem jezeli jest ona ·
jednoczesnie przeliczalnie addytywna i multiplikatywnia.·
ELEMENTY KOMBINATORYKI·
DEFINICJA SILNI (n+1)!=n!(n+1)! ·
WZOR STIRLINGA(przyblizona wartosc n!) n!=(2*pi*n)1/2*n^n*2^-n.·
PERMUTACJA BEZ POWTORZEN·
Niech A bedzie zbiorem skladajacym sie z n roznych elementow A={a1,a2,a3,..,an}·
Permutacje zbioru A nazywamy dowolny ciag n-elementowy utworzony z wszystkich elementow·
zbioru A.Permutacje n elementowe oznaczamy Pn.Liczba permutacji n-elementowych wyraza·
sie wzorem Pn=n!·
Uwaga 1.W permutacji bez powtorzen istotna jest kolejnosc wystepowania elementow.·
2.Elementy sie nie powtarzaja.·
PERMUTACJA Z POWTORZENIAMI·
Niech A bedzie zbiorem skladajacym sie z n roznych elementow podzielonych n s-grup,·
gdzie liczby elementow w poszczegulnych grupach wynosza odpowiednio k1,k2,..ks ·
przy czym k1+k2+k3+..+ks=n. Dwie permutacje zbioru A nazywamy rownowarznymi jezeli·
roznia sie tylko porzadkiem elementow nalezacych do tej samej grupy.O dwoch permutacjach·
rownowarznch mowimy,ze tworza te sama permutacje z powtorzeniami.TW.Liczba nierownwaznych·
miedzy soba permutacji zbioru n elementowego wynosi Pn^k1,k2,..kn=n!/(k1!*k2!*..kn!)·
Uwagi 1.W permutacji z powtorzeniami istotna jest kolejnosc wystepowanych elementow.·
2.Elementy sie powtarzaja.·
WARIANCJA BEZ POWTORZEN·
Dane jest A={a1,a2,..,an} skladajacy sie z n roznych elementow,waroiacja k-elementowa·
(k<=n).Zbioru A nazywamy dowolny k-elementowy ciag utworzony z elementow zbioru A.·
TW.Liczba k-wyrazowych wariacji bez powtorzen zbioru skladajacego sie z n-roznych·
elementow wyraza sie wzorem Vn,k=n!/(n-k)!=n(n-1)...(n-k+1).·
Uwaga 1.W wariancji bez powtorzen istotna jest kolejnosc wystiiipowanych elementow.·
2.Elementy nie powtarzaja sie.·
3.Jezeli k=n to wariancja bez powtorzen staje sie permutacja bez powtorzen.·
WARIANCJA Z POWTORZENIAMI·
Dany jest zbior A sklada sie z n-elementow.Wariancja k-elementowa z powtorzeniami·
zbioru A skladajacego sie z n-elementowego nazywamy dowolny k-elementowy ciag ·
utworzony z elementow zbioru A.Liczbe k-elementowych wariacji z powtorzeniami zbioru·
n elementowego.TWIERDZENIE.Liczba k wyrazowych wariancji z powtorzeniami zbioru n-elementowego·
wyraza sie wzorem Wn,k=n^k·
Uwagi 1.W wariancji z powtorzeniami istotna jest kolejnosc wystepujacych elementow.·
2.Elementy sie powtarzaja.·
KOMBINACJA BEZ POWTORZEN·
Dany jest zbior A skladajacy sie z n roznych elementow. Kombinacja k-elementow bez ·
powtorzen (k<=n)nazywamy z elementow zbioru A.TWIERDZENIE.Liczba k-elementowtch ·
kombinacji bez powtorzen zbioru A wyraza sie wzorem Cn,k=(Newton)=n!/(k!(n-k))·
Uwaga 1.W komzinacji bez powtorzen nie jest istotna kolejnosc wystepowanych elementow.·
2.Elementy sie nie powtarzaja.·
KOMBINACJA Z POWTORZENIAMI·
Dany jest zbior A={a1,a2,..,an} skladajacy sie z n-elementow.Kombinacja k-elementowa·
z powtorzeniami nazywamy dowolny podzbior k-elementowy utworzony z elementow zbioru A.·
TW.Liczba k-elementowa kombinatoryki powtorzeniami zbioru n-elementowego wyraza sie ·
wzorem Cn,k=(n+k-1 // k).Uwaga 1.W kombinacji z powtorzeniami nie jest istotna kolejnosc·
wystepowania elementow. 2.Elementy sie powtarzaja.·
ZDARZENIA LOSOWE·
Jezeli E jest przestrzenia zdarzen elementarnych dla danego doswiadczenia losowego,to·
mozemy utworzyc rodzine M podzbioru przestrzeni E. Jezeli E jest zbiorem przeliczalnym·
to okreslamy prawdo. dla wszystkich podzbiorow przestrzeni E.Jezeli E jest zbiorem·
nieprzeliczalnym to jako rodzine M przyjmujemy sigma cialo w przestrzeni E.·
DEFINICJA 1.·
Rodzine M nazywamy sigma-cialem jezeli posiada wlasciwosci 1. EcM 2.Jezeli AcM=>A'cM·
3.Jezeli A1,A2,..,cM to=>UAicM oraz (iloczyn)AicM.Przeliczalnie addytywne cialo podzbioru·
przestrzeni E nazywamy rodzina zdarzen losowych.·
DEFINICJA 2 ·
Zdarzeniem losowym nazywamy kazdy podzior rodziny M utworzonej z podzbiorow przestrzeni E.·
TW.·
Z ilu zdarzen sklada sie rodzina M dla przestrzeni E sladajacej sie z n-elementow rownych 2^n·
DOWOD·
(n//0)=1 - zbior pusty (zdarzenie niemozliwe)·
(n//1)=n - podzbiory zdarzenia jednoelementowego·
(n//2)= - podzbiory zdarzenia dwuelementowego·
(n//3) - podzbiory zdarzenia tojwymiarowego·
(n//4) - podzbiory zdarzenia czteroelementowego·
(n//n)=1 - zbior E (zdarzenie pewne)·
DWUMIAN NEWTONA·
(a+b)^n=”(n//k)a^k*b^(n-k)·
ALGEBRA ZDARZEN·
Jezeli zdarzenie elementarne a nalezy do A to mowimy ze zdarzenie a sprzyja zdarzeniu A·
- zbior pusty·
- cala przestrzen·
E- przestrzen wszystkich zdarzen losowych, zdarzenie pewne·
DEF1.·
Zdarzeniem pewnym nazywamy cala przestrzen zdarzen elementarnych E.·
Zdarzenie E zachodzi zawsze·
Kazde zdarzenie elementarne e sprzyja zdarzeniu bedacemu cala przestrzenia E·
DEF2·
Zdarzeniem niemozliwym nazywamy podzbior pusty w przestrzeni zdarzen elementarnych .·
Zdarzeniu pustemu nie sprzyja zadne adarzenie elementarne ·
a wiec zdarzenie to nie zachodzi nigdy.·
DEF3·
Zdarzenie A zachodzi w zdarzeniu B jezeli kazde zdarzenie elmentarne ·
sprzyjajace zdarzeniu A sprzyja zdarzeiu B.·
DEF4·
Alternatywa lub suma zdarzen A i B nazywamy zdarzenie C ktore zachodzi ·
wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi zdarzenie A lub B.·
DEF5·
Koniunkcja lub iloczynem zdarzen A i B nazywamy zdarzenie C ktore zachodzi ·
wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi zdazrenie A i B.·
Zdarzenie elementarne sprzyja zdarzeniu Cî gdy sprzyja zdarzeniu A i B.·
DEF6·
Zdarzenie A i B wylaczaja sie jezeli ich koniunkcja jest zdarzeniem niemozliwym.·
DEF7·
Roznica zdarzen A i B nazywamy zdarzenie C ktore zachodzi î gdy ·
zachodzi zdarzenie A i niezachodzi zdarzenie B.·
DEF8·
Zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia A nazywamy zdarzenie A' polegajace na tym ·
ze nie zachodzi zdarzenie A.·
Zdarzenie elementarne e nalezy do E sprzyja zdarzeniu A'î gdy nie sprzyja zdarzenie A·
A'=E-A·
DEF9·
Alternatywa(suma) ciagu zdarzen Ai gdzie i nalezy do ·
J-(zbior wskaznikow przeliczanych badz skonczonych) nazywamy zdarzenie·
ktore zachodzi î gdy zachodzi jedno z ezdarzen Ai( i nalezy do J)·
DEF10·
Koniunkcja (iloczynem ) ciagu zdarzen Ai icJ nazywamy zdazreniem ktore zachodzi î ·
gdy zachodza wszystkie zdarzenia Ai (icJ)·
DEF11·
Ciag zdarzen Ai icJ nazywamy ciagiem zstepujacym jezeli dla kazdego ncJ zachodzi ·
A(n+1)cAn·
Jezeli dla kazdego ncJ zachodzi AncA(n+1) to ciag zdazren Ai nazywamy wstepujacym.·
DEFINICJE PRAWDOPODOBIENSTWA·
1. Definicja statystyczna prawdopodobienstwa·
Zalozmy ze w wyniku przeprowadzenia N doswiadczen N(A) razy zaszlo zdarzenie A·
DEF1·
Czestoscia wzgledna zdarzenia A nazywamy liczbe postaci·
C(A)=n(A)/N·
DEF2·
Prawdopodobienstwem zdarzenia A nazywamy granice czestosci tego zdarzenia gdy ·
liczba doswiadczen N dazy do nieskonczonosci tzn:·
P(A)=lim n(A)/N -----MISEA 1931r.·
UWAGA·
1. Definicja ta pomimo pewnych zalet posiada liczne wady:·
a) liczba doswiadczen w praktyce jest zawsze skonczona zatem nie mozemy ·
okreslic prawdopodobienstwa jako granicy czestosci przy nieograniczonym ·
wzroscie doswiadczen.·
b) nielogiczne zastosowanie pojec teoretycznych i empirycznych czestosci jest ·
zmienna empiryczna i to czy dazy do granicy zalezy od wyniku kazdego z serii ·
doswiadczen poniewaz wynik doswiadczenia jest zdarzeniem wiec dazy n(A)/N·
do granicy jest rowniez zdarzeniem losowym majacym prawdopodobienstwo.·
WLASNOSCI PRAWDOPODOBIENSTWA·
Niech (E, M, P) bedzie przestrzenia probalistyczna A1, A2,...BcM·
TW·
1. P()=0·
2. P(A')=1-P(A)·
3. Jezeli AcB îP(A)®P(B)·
4. P(AuB)=P(A)+P(B)-P(anB)·
PRAWDOPODOBIENSTWO WARUNKOWE·
DEF·
Zalozmy ze P(A)>0 prawdopodobienstwem warunkowym·
zajscia zdarzenia B pod warunkiem zajscia zdarzenia A jest ·
liczba postaci·
P(B/A)=P(AnB)/P(A)·
Jezeli E jest przestrzenia zdarzen elementarnych, a M rodzina·
zdarzen losowych to wzor powyzszy przyporzadkowuje ·
dowolnemu zdarzeniu BcM liczbe P(B/A) zatem okreslimy funkcje na rodzinie M·
ktora nazywamy prawdopodobienstwem warunkowym:·
f:B‡P(B/A)·
0®P(B/A)®1·
UWAGA·
Jezeli zalozymy ze P(B)>0 to ·
P(A/B)=P(AnB)/P(B)·
TW·
Funkcja P(B/A) jest prawdopodobienstwem okreslonym na rodzinie zdarzen losowych M·
DEFINICJA 1·
Zdarzenia A i B nazywamy niezaleznymi jezeli zachodzi·
P(AnB)=P(A)*P(B)·
Niezaleznosc n zdarzen ,gdzie (nŻ2)·
DEFINICJA 2·
Zdarzenia A1,A2...An nazywamy niezaleznymi jezeli dla kazdej liczby naturalnej ·
k®n i dowolnego skonczonego ciagu liczb naturalnych i1,i2,...,ik spelniajacych·
nierownosci i1®i2®...®ik®n zachodziwzor nastepujacy·
P(Ai1 n Ai2 n ...n Aik)=P(Ai1)*P(Ai2)*...P(aik)·
to znaczy ,ze prawdopodobienstwo iloczynu dowolnych k sposrod tych zdarzen (n ·
zdarzen) rowna sie iloczynowi prawdopodobienstw tych zdarzen·
SCHEMAT BERNOULIEGO·
Niech S bedzie pewnym doswiadczeniem losowym, doswiadczenie S skonczona liczbe ·
razy. Przyczym zakladamy, ze wynik dowolnego doswiadczenia jest niezalezny od ·
kazdego iloczynu wyniku innych doswiadczen(dosw. niezalezne)·
Zalozmy, ze w wyniku doswiadczenia S moze zaistniec interesujace zdarzenie A ·
ktore nazywamy sukcesem albo adarzenie A', ktore nazywamy porazka. Zakladamy ·
ponadto, ze prawdopodobienstwo zajscia zdarzenia A dla kazdego doswiadczenia S ·
jest stale i rowna sie p (p=P(A)) tzn. prawdopodobienstwo to nie zmienia sie ·
w czasie powtarzania doswiadczenia·
Prawdopodobienstwo porazki A' oznaczamy q (q=P(a')) P(A')=1-P(A) ·
q=1-p tak okreslony ciag powtorzen doswiadczenia S nazywamy schematem ·
Bernouliego . Poszczegolne doswiadczenia S nazywamy probami Bernouliego·
TWIERDZENIE·
Prawdpbodobienstwo P otrzymania k gdzie (nŻkŻ0) sukcesow w ciagu n prob ·
Bernouliego okreslone jest wzorem·
P k po n =P(S po k = k)=(k po n )*p po k * q ^n-k·
gdzie 0®p®1 p-prawdopodobienstwo sukcesow w pojedynczej probie Bernoulliego·
q=1-p q- prawdopodobienstwo porazki w jednej probie Bernoulliego·
DOWOD·
S=(A,A,..,A',A',...,A')·
P({S})=P(AnAn...AnA'nA'...A')=P(A)*P(A)...P(A)*P(A')*P(A')...P(A')=·
=[P(A)^k*[P(A')]^n-k ale P(A)=p P(A')=q=1-p·
P({S})=p^k*q^n-k·
Tyle jest sposobow pojawiania sie k sukcesow oraz n-k porazek w ciagu n ·
doswiadczen ile jest kombinacji (n po k)·
zatem P(Sn=k)=(k po n)*p^k*q^n-k·
UWAGI·
1. Wzor (1) nazywamy takze wzorem dwuwymiarowym poniewaz wyrazenie (k po n)*·
*p^k*q^n-k jest wyrazem ogolnym rozwiniecia Newtona (p+q)^n·
(p+q)^n=(0 po n)*p^n+(1 po n)*p^n-1*q+(2 po n)*p^n-2*q^2...(k po n)*p^k*q^n-k+·
+...+(k po n)*q^n·
2. P(SnŻk)=? ; P(Sn®k)=? ; P(Sn>k)=? ; P(Sn<k)=?·
P(Sn=Żk)=P(Sn=k)+P(Sn=k+1)+...+P(Sn=N);P(Sn®k)=P(Sn+0)+P(Sn=1)+...+P(Sn=k)·
P(Sn<k)=P(Sn=0)+...+P(Sn=k+1) ; P(Sn>k)= 1-P(Sn®k)·
PRAWDOPODOBIENSTWO CALKOWITE (ZUPELNE)·
TWIERDZENIE 1·
Niech zdarzenia: zalozenia 1). A1,A2..An wylaczaja sie parami ; AinAj=zbior·
pusty i,j=1,2,...,n ;2).P(Ai)>0 i=1,2,...n i nie rowne j ;3).suma Ai=E·
A1uAu...An=E -wowczas dla dowolnego zdarzenia B zachodzi wzor:(BCE)·
Teza P(B)=P(Ai)*P(B/Ai); Dowod Zdarzenie B mozemy zapisac w postaci ·
BnE=BnsumaAi=suma(BnAi) A1 n A2=zbior pusty A1 u A2=E·
B=BnE=Bn(A1uA2)=(BnA1)u(BnA)=suma(BnAi) poniewaz zdarzenia Ai wylaczaja sie·
parami, majac zdarzenia BnAi tez wylaczaja sie parami.·
Zatem na mocy eksjomaty III definicji prawdopodobienstwamamy:P(B)=·
P[suma(BnAi)]=P(BnAi) Na podstawie definicji praw warunkowego mamy·
P(BnAi)=P(BnAi)/P(Ai) P(BnAi)=P(A)*P(B/Ai) P(B)=P(Ai)*P(B/Ai)·
TWIERDZENIE 2·
Niech zdarzenia 1). A1,A2,...,An wylaczaja sie parami AinAj=zbior pusty·
2).P(Ai)>0 dla i=1,2..n 3). A1,uA2,u..An u...=E rownanie dla ·
dowolnego zdarzenia zachodzi: P(B)=P(Ai)*P(B/Ai)·
WZOR BOYSE'A·
TWIERDZENIE 3·
ZAl Niech zdarzenie 1).A1,A2...An spelnia zalozenia twierdzenia1 2).P(B)>0·
Teza: wowczas dla dowolnego zdarzenia B zachodzi P(AI/B)=P(Ai)*P(B?Ai)/·
P(Ai)*P(B/Ai) dowod : ze wzoru na praw warunkowe mamy:·
P(Bi/Ai)=P(AinB)/P(Ai) stad wynika P(Ai/B)=P(Ai)*P(B/Ai) otrzymamy·
P(Ai/B)=P(Ai)*P(B/Ai)/P(Ai)*P(B/Ai)·
uwagi 1.Wzor 3 Boyse'a pozwala omowic prawdopodobienstwo zdarzenia Ai gdzie ·
i=1,2..n, gdy nastapilo zdarzenie B ·
2. W zastosowaniach rachunku prawdopodobienstwa istnieja wydarzenia ·
w ktorych dany jest wynik doswiadczenia a interesuje nas pradopodobienstwo ·
zdarzenia ktorego nastepstwem jest dany wynik doswiadczenia.·
3. Wystepujace we wzorze 3 prawdopodobienstwo P(Ai) nazywamy prawdopodobienstwem ·
apriori natomiast prawdopodobienstwo P(B) nazywamy prawdopodobienstwem ·
a'posterioni.