FORMY KWADRATOWE

Przyporządkowanie, Które wektorowi przyporządkowuje liczbę R nazywamy formą.

Formę nazywamy formą liniową wtedy i tylko wtedy, gdy:

1.

2.

Forma dwuliniowa to odwzorowanie, które parze wektorów (x,y) przyporządkowuje liczbę rzeczywistą i które spełnia następujące dwa warunki:

1. jest forma liniową ze względu na x przy ustalonym y

2. jest formą liniową ze względu na y przy ustalonym x

- macierz formy dwuliniowej,

zapis macierzowy formy dwuliniowej

Formę dwuliniową, w której x=y, nazywamy formą kwadratową.

Macierz A nazywana jest macierzą formy kwadratowej, a jej wyznacznik wyznacznikiem formy.

Z postaci
formy kwadratowej wynika, że
oraz
sa współczynnikami odpowiednio przy iloczynach
oraz
, gdy
.

Ponieważ
=
, zatem współczynnikiem przy iloczynie
dla
jest suma
+
. Jeżeli wyprowadzimy:

dla
oraz
dla

to macierz formy kwadratowej zawierającej współczynniki
jest macierzą symetryczną. Oznacza to, że każda formę kwadratową można zastąpić równoważną formą kwadratową o macierzy symetrycznej.

OKREŚLONOŚĆ FORMY KWADRATOWEJ

Definicja określoności

Formę kwadratową

nazywamy dodatnio (ujemnie) określoną wtedy i tylko wtedy gdy
(
) z wyjątkiem wektora zerowego.

Definicja półokreśloności:

Formę kwadratową

nazywamy dodatnio (ujemnie) półokreśloną wtedy i tylko wtedy gdy
(
) i istnieje wektor różny od wektora zerowego, dla którego ta forma przyjmuje wartość równą 0.

Definicja nieokreśloności:

Formy kwadratowe, które dla pewnych wektorów x przyjmują wartości dodatnie, a dla innych ujemne będziemy nazywać nieokreślonymi.

TWIERDZENIA SYLVESTRA

1. Warunkiem koniecznym i wystarczającym na to aby forma kwadratowa
   , gdzie A jest macierzą symetryczną stopnia n-tego, była dodatnio określona jest spełnienie następujących warunków:

,
, .....,

2. Warunkiem koniecznym i wystarczającym na to aby forma kwadratowa
   , gdzie A jest macierzą symetryczną stopnia n-tego, była ujemnie określona jest spełnienie następujących warunków:

,
, .....,
dla n parzystego, a
dla n nieparzystego

3. Warunkiem koniecznym i wystarczającym na to aby forma kwadratowa
   , gdzie A jest macierzą symetryczną stopnia n-tego, była dodatnio półokreślona jest spełnienie następujących warunków:

,
, .....,

4. Warunkiem koniecznym i wystarczającym na to aby forma kwadratowa
   , gdzie A jest macierzą symetryczną stopnia n-tego, była ujemnie półokreślona jest spełnienie następujących warunków:

,
, .....,

2

---