Rozdzia l 10

Formy dwuliniowe i
kwadratowe

10.1

Formy dwuliniowe

10.1.1

Definicja i przyk lady

Niech

X

|K

b

,

edzie przestrzeni

,

a liniow

,

a nad cia lem K, dim(

X

|K

) = n.

Definicja 10.1 Przekszta lcenie ϕ :

X × X → K nazywamy form

,

a dwuli-

niow

,

a na przestrzeni

X

|K

je´sli

(i)

∀x, y

1

, y

2

∈ X , ∀α

1

, α

2

∈ K

ϕ(x, y

1

∗ α

1

+ y

2

∗ α

2

) = ϕ(x, y

1

)

∗ α

1

+ ϕ(x, y

2

)

∗ α

2

(liniowo´s´c ze wzgl

,

edu na drug

,

a zmienn

,

a),

(ii)

∀x, y ∈ X ϕ(x, y) = ϕ(y, x) (forma zwyk la)
albo
∀x, y ∈ X ϕ(x, y) = ϕ(y, x)

(forma hermitowska).

Oczywi´scie, o formach hermitowskich mo˙zemy m´owi´c tylko wtedy gdy

K

⊆ C. Dalej, dla uproszczenia, b

,

edziemy rozpatrywa´c jedynie formy her-

mitowskie.

91

92

ROZDZIA L 10. FORMY DWULINIOWE I KWADRATOWE

Zauwa˙zmy, ˙ze

∀x

1

, x

2

, y

∈ X , ∀β

1

, β

2

∈ K,

ϕ(x

1

∗ β

1

+ x

2

∗ β

2

, y) = ϕ(y, x

1

∗ β

1

+ x

2

∗ β

2

)

= ϕ(y, x

1

)

∗ β

1

+ ϕ(y, x

2

)

∗ β

2

= ϕ(x

1

, y)

∗ β

1

+ ϕ(x

2

, y)

∗ β

2

.

Do´s´c oczywistym jest fakt, ˙ze zbi´or wszystkich form dwuliniowych na

X

|K

jest przestrzeni

,

a liniow

,

a nad R (ale nie nad C!) z naturalnymi dzia laniami:

(α

∗ ϕ)(x, y) := α ∗ ϕ(x, y),

(ϕ

1

+ ϕ

2

)(x, y) := ϕ

1

(x, y) + ϕ(x, y).

Przyk ladami form dwuliniowych na

X

|K

= K

n

|K

(K

⊆ C) s

,

a:

ϕ(~x, ~y) =

n

X

i=1

x

i

∗ y

i

∗ ρ

i

,

gdzie ρ

i

∈ R, 1 ≤ i ≤ n,

ϕ(~x, ~y) = ~x

H

∗ A ∗ ~y, gdzie A ∈ K

n,n

, A = A

H

,

a na

P

n

|R

:

ϕ(p, q) =

n−1

X

i=0

p

(i)

(t

i

)

· q

(i)

(t

i

)

· ρ

i

,

ρ

i

∈ R, 1 ≤ i ≤ n,

ϕ(p, q) =

Z

1

0

p(t)

· q(t) · ρ(t) dt,

ρ : R

→ R.

10.1.2

Macierz formy dwuliniowej

Dalej wygodnie nam b

,

edzie rozszerzy´c dzia lanie danej formy dwuliniowej

ϕ :

X × X → K na ϕ : X

1,s

× X

1,t

→ K

s,t

w nast

,

epuj

,

acy spos´ob. Niech

A

= [x

1

, . . . , x

s

] i B = [y

1

, . . . , y

t

]. Wtedy

ϕ(A, B) := (ϕ(x

i

, y

j

))

i,j

∈ K

s,t

.

W szczeg´olno´sci, macierz ϕ(A, A) = (ϕ(x

i

, x

j

))

i,j

jest kwadratowa i hermi-

towska, ϕ(A, A)

∈ Herm

n,n

. Mamy te˙z

∀ϕ ∀α ∈ R

(α

∗ ϕ)(A, B) = α ∗ ϕ(A, B),

∀ϕ, ψ

(ϕ + ψ)(A, B) = ϕ(A, B) + ψ(A, B).

10.1. FORMY DWULINIOWE

93

Po˙zyteczne b

,

ed

,

a te˙z nast

,

epuj

,

ace wzory rachunkowe:

∀~b ∈ K

t

ϕ(A, B

∗~b) = ϕ(A, B) ∗~b,

∀~a ∈ K

s

ϕ(A

∗ ~a, B) = ~a

H

∗ ϕ(A, B).

Rzeczywi´scie,

ϕ(A, B

∗~b) = ϕ



A

,

t

X

j=1

y

j

∗ β

j



=

t

X

j=1

ϕ(A, y

j

)

∗ β

j

= ϕ(A, B)

∗~b,

gdzie ~b = [β

1

, . . . , β

t

]

T

, oraz

ϕ(A

∗ ~a, B) = (ϕ(B, A ∗ ~a))

H

= ~a

H

∗ (ϕ(B, A))

H

= ~a

H

∗ ϕ(A, B).

Uog´olniaj

,

ac te wzory mamy

∀B ∈ K

t,r

ϕ(A, B

∗ B) = ϕ(A, B) ∗ B,

∀A ∈ K

s,r

ϕ(A

∗ A, B) = A

H

∗ ϕ(A, B).

Mamy bowiem

ϕ(A, B

∗ B) = ϕ(A, [B ∗ ~b

1

, . . . , B

∗~b

r

])

= [ϕ(A, B

∗~b

1

), . . . , ϕ(A, B

∗~b

r

)]

= [ϕ(A, B)

∗~b

1

, . . . , ϕ(A, B)

∗~b

r

]

= ϕ(A, B)

∗ B,

B = [~b

1

, . . . ,~b

r

], oraz

ϕ(A

∗ A, B) = (ϕ(B, A ∗ A))

H

= (ϕ(B, A)

∗ A)

H

= A

H

∗ (ϕ(B, A))

H

= A

H

∗ ϕ(A, B).

Definicja 10.2 Niech A = [x

1

, . . . , x

n

] b

,

edzie baz

,

a

X , a ϕ : X × X → K

form

,

a dwuliniow

,

a na

X . Macierz hermitowsk

,

a

Φ

A

:= ϕ(A, A) = (ϕ(x

i

, x

j

))

n
i,j=1

nazywamy macierz

,

a formy ϕ w bazie A.

94

ROZDZIA L 10. FORMY DWULINIOWE I KWADRATOWE

Znaczenie macierzy formy wynika z nast

,

epuj

,

acej r´owno´sci. Niech x =

A

∗ ~a i y = A ∗~b. Wtedy

ϕ(x, y) = ϕ(A

∗ ~a, A ∗ ~b) = ~a

H

∗ ϕ(A, A) ∗~b

= ~a

H

∗ Φ

A

∗~b = (A

−1

· x)

H

∗ Φ

A

(A

−1

· y).

Przy ustalonej bazie A, ka˙zdej formie hemitowskiej ϕ :

X × X → K

mo˙zna przyporz

,

adkowa´c jej macierz Φ

A

= ϕ(A, A), kt´ora jest hermitowska.

Ale te˙z odwrotnie, ka˙zda macierz hermitowska Φ definiuje form

,

e hermitowsk

,

a

zgodnie ze wzorem ϕ(x, y) = (A

−1

· x)

H

∗ Φ ∗ (A

−1

· y). Mamy przy tym, ˙ze

je´sli γ = ϕ + ψ to Γ

A

= Φ

A

+ Ψ

A

oraz je´sli γ = α

∗ ϕ, α ∈ R, to Γ

A

= α

∗ Φ

A

.

St

,

ad przestrze´

n wszystkich form hermitowskich nad R jest izomorficzna z

przestrzeni

,

a macierzy hetrmitowskich nad R, a jej wymiar wynosi n

2

.

10.2

Twierdzenie Sylwester’a

Definicja 10.3 Powiemy, ˙ze macierz A

∈ K

n,n

przystaje do macierzy B

∈

K

n,n

gdy istnieje macierz nieosobliwa C

∈ K

n,n

taka, ˙ze

B = C

H

∗ A ∗ C.

Niech A i B b

,

ed

,

a dwiema bazami

X

|K

. Niech C = A

−1

· B ∈ K

n,n

tak, ˙ze

B

= A

∗ C.

Je´sli Φ

A

jest macierz

,

a danej formy ϕ :

X × X → K w bazie A to macierz ϕ

w bazie B mo˙zna wyrazi´c wzorem

Φ

B

= ϕ(B, B) = ϕ(A

∗ C, A ∗ C)

= C

H

∗ ϕ(A, A) ∗ C = C

H

∗ Φ

A

∗ C.

St

,

ad, w klasie macierzy hermitowskich Herm

n,n

macierz A przystaje do B

gdy obie s

,

a macierzami tej samej formy (ale by´c mo˙ze w r´o˙znych bazach).

Relacja przystawania macierzy jest zwrotna (bo A = I

H

∗ A ∗ I), syme-

tryczna (bo je´sli B = C

H

∗A∗C to A = (C

−1

)

H

∗B∗C

−1

) oraz przechodnia (bo

je´sli A

2

= C

H

1

∗A

1

∗C

1

i A

3

= C

H

2

∗A

2

∗C

2

to A

3

= (C

1

∗C

2

)

H

∗A

1

∗(C

1

∗C

2

)).

Jest to wi

,

ec relacja r´ownowa˙zno´sci. A je´sli tak, to zbi´or wszystkich macierzy

hermitowskich mo˙zna przedstawi´c jako roz l

,

aczn

,

a sum

,

e macierzy do siebie

10.3. FORMY KWADRATOWE

95

wzajemnie przystaj

,

acych (klas abstrakcji relacji przystawania, albo jeszcze

inaczej, macierzy tej samej formy, ale w r´o˙znych bazach).

Ile jest klas abstrakcji relacji przystawania w klasie macierzy hermitow-

skich? Odpowied´z daje nat

,

epuj

,

ace twierdzenie, kt´ore podajemy bez dowodu.

Twierdzenie 10.1 (Sylwester’a)
Dla dowolnej macierzy hermitowskiej A = A

H

∈ K

n,n

istnieje macierz nie-

osobliwa C

∈ K

n,n

taka, ˙ze

C

H

∗ A ∗ C = diag(I

π

,

−I

ν

, 0

ξ

),

gdzie wymiary π, ν, ξ (π + ν + ξ = n) s

,

a wyznaczone jednoznacznie.

St

,

ad klas abstrakcji relacji przystawania jest tyle ile macierzy diagonal-

nych z elementami na diagonali kolejno 1,

−1, 0, czyli

n

X

k=0

(k + 1) =

(n + 1)(n + 2)

2

.

Z twierdzenia Sylwester’a wynika r´ownie˙z nast

,

epuj

,

acy wa˙zny wniosek.

Wniosek 10.1 Dla dowolnej formy dwuliniowej ϕ :

X × X → K istnieje

baza A w

X , w kt´orej forma ma posta´c

ϕ(x, y) =

π

X

k=1

a

k

∗ b

k

−

π+ν

X

k=π+1

a

k

∗ b

k

,

gdzie x = A

∗ ~a, y = A ∗ ~b.

10.3

Formy kwadratowe

10.3.1

Okre´

slono´

s´

c formy kwadratowej

Ka˙zdej formie dwuliniowej ϕ :

X × X → K odpowiada forma kwadratowa

h :

X → R zdefiniowana wzorem

h(x) = ϕ(x, x)

x

∈ X .

Je´sli dla wszystkich x

6= 0 mamy h(x) = ϕ(x, x) > 0 to form

,

e kwadratow

,

a h

(i odpowiednio form

,

e dwuliniow

,

a ϕ) nazywamy dodatnio okre´slon

,

a i piszemy

h > 0 (odpowiednio ϕ > 0). Podobnie, forma h jest okre´slona

96

ROZDZIA L 10. FORMY DWULINIOWE I KWADRATOWE

• ujemnie, gdy h(x) < 0 ∀x 6= 0

(h < 0),

• niedodatnio, gdy h(x) ≤ 0 ∀x

(h

≤ 0),

• nieujemnie, gdy h(x) ≥ 0 ∀x

(h

≥ 0).

We wszystkich pozosta lych przypadkach forma jest nieokre´slona.

Z r´owno´sci

h(x) = ~a

H

∗ Φ

A

∗ ~a

(x = A

∗ ~a)

wynika, ˙ze okre´slono´s´c formy jest taka sama jak okre´slono´s´c jej macierzy (w
dowolnej bazie!). W szczeg´olno´sci, stosuj

,

ac notacj

,

e z twierdzenia Sylwester’a

mamy:

h > 0

⇐⇒ π = n,

h

≥ 0 ⇐⇒ ν = 0,

h < 0

⇐⇒ ν = n,

h

≤ 0 ⇐⇒ π = 0.

10.3.2

Kryterium Sylwester’a

Twierdzenie 10.2 Niech A = A

H

= (a

i,j

)

n

i,j=1

∈ Herm

n,n

oraz A

(k)

=

(a

i,j

)

k

i,j=1

, 1

≤ k ≤ n, b

,

ed

,

a odpowiednimi macierzami k

,

atowymi. Wtedy

(i) A jest dodatnio okre´slona

⇐⇒ det(A

(k)

) > 0 dla 1

≤ k ≤ n,

(ii) A jest ujemnie okre´slona

⇐⇒ (−1)

k

· det(A

(k)

) > 0 dla 1

≤ k ≤ n.

Dow´

od. Przypomnijmy (twierdzenie 7.5), ˙ze dla macierzy o nieosobliwych

macierzach k

,

atowych (a takimi s

,

a macierze dodatnio/ujemnie okre´slone)

mo˙zna przeprowadzi´c eliminacj

,

e Gaussa bez przestawie´

n wierszy/kolumn.

Dlatego A mo˙zna przedstawi´c jako

A = L

∗ R = L ∗ D ∗ L

H

,

gdzie L

∈ TRIL

n,n

, l

i,i

= 1

∀i, D = diag(r

1,1

, . . . , r

n,n

). Podstawiaj

,

ac ~y :=

L

H

∗ ~x, mamy

~x

H

∗ A ∗ ~x = ~x

H

∗ L ∗ D ∗ L

H

∗ ~x = (L

H

∗ ~x)

H

∗ D ∗ (L

H

∗ ~x)

= ~y

H

∗ D ∗ ~y =

n

X

i=1

|y

i

|

2

· r

i,i

.

10.3. FORMY KWADRATOWE

97

St

,

ad A > 0 wtedy i tylko wtedy gdy r

i,i

> 0

∀i, oraz A < 0 wtedy i tylko

wtedy gdy r

i,i

< 0

∀i.

Dow´od uzupe lnia spostrze˙zenie, ˙ze

A

(k)

= L

(k)

∗ R

(k)

= L

(k)

∗ D

(k)

∗ (L

(k)

)

H

oraz

det(A

(k)

) =

|det(L

(k)

)

|

2

· det(D

(k)

) =

k

Y

i=1

r

i,i

.

98

ROZDZIA L 10. FORMY DWULINIOWE I KWADRATOWE