Wykład 9

Zadanie Zbadać, czy forma:

g(x

1

, x

2

, x

3

) = [x

1

, x

2

, x

3

]






1 2 3
2 5 2
3 2 0











x

1

x

2

x

3






jest dodatnio określona.
Rozwiązanie Wystarczy zbadać, czy dodatnie są minory główne, a więc
wyznaczniki:

G

1

= 1

G

2

=







1 2
2 5







= 1 > 0

G

3

=









1 2 3
2 5 2
3 2 0









= −25 < 0

To oznacza, że ta forma nie jest dodatnio określona. Rzeczywiście g(1, 1, −2) =
−10 < 0.
Sprowadzanie formy kwadratowej do postaci kanonicznej

Niech g będzie formą kwadratową w przestrzeni R

n

, wtedy g może być

zapisane w postaci:

g(x

1

, x

2

, . . . , x

n

) =

n

X

i=1

g

ii

x

2
i

+ 2

n

X

i=1,j=1,i<j

g

ij

x

i

x

j

w przedstawieniu tym mogą występować elementy po x

i

x

j

. Zadanie sprowa-

dzania do postaci kanonicznej polega więc na ”pozbywaniu się” tych elemen-
tów. Dokładniej mówiąc zadanie to polega na szukaniu zmiennych y

1

, y

2

, . . . , y

n

zależnych liniowo od x

1

, x

2

, . . . , x

n

, dla których forma kwadratowa g ma

przedstawienie:

g(y

1

, . . . , y

n

) = a

1

y

2

1

+ a

2

y

2

+ . . . + a

n

y

2

n

Istnieje kilka metod sprowadzania do postaci kanonicznej. Tutaj omówimy
dwie podstawowe: metodę Lagrange’a i metodę Jacobiego.

1

Metoda Lagrange’a
Metoda Lagrange’a wykorzystuje uogólnienie wzoru skróconego mnożenia na
kwadrat sumy elementów, a mianowicie:

(b

1

+ b

2

+ . . . + b

n

)

2

= b

2
1

+ b

2
2

+ . . . + b

2
n

+ 2

X

i=1,j=1,i<j

b

i

b

j

Metodę tą omówimy na przykładzie. Niech

g(x

1

, x

2

, x

3

) = 2x

2
1

− x

2
2

+ 3x

2
3

+ 2x

1

x

2

− 4x

1

x

3

− 3x

2

x

3

wtedy możemy zebrać elementy, które zawierają x

1

i otrzymujemy:

g(x

1

, x

2

, x

3

) = 2(x

2
1

+ x

1

x

2

− 2x

1

x

3

) − x

2
2

+ 3x

2
3

− 3x

2

x

3

następnie ”wyciągamy kwadrat” zgodnie z powyższym wzorem:

g(x

1

, x

2

, x

3

) = 2(x

1

+

1

2

x

2

− x

3

)

2

−

1

2

x

2
2

− 2x

2
3

+ 2x

2

x

3

− x

2
2

+ 3x

2
3

− 3x

2

x

3

stąd

g(x

1

, x

2

, x

3

) = 2(x

1

+

1

2

x

2

− x

3

)

2

−

3

2

x

2
2

+ x

2
3

− x

2

x

3

dalej postępujemy podobnie jak powyżej z ”kawałkiem” zawierającym tylko
zmienne x

2

, x

3

, a więc:

g(x

1

, x

2

, x

3

) = 2(x

1

+

1
2

x

2

− x

3

)

2

−

3
2

(x

2
2

+

2
3

x

2

x

3

) + x

2
3

=

2(x

1

+

1
2

x

2

− x

3

)

2

−

3
2

(x

2

+

1
3

x

3

)

2

+

1
6

x

2
3

+ x

2
3

=

2(x

1

+

1
2

x

2

− x

3

)

2

−

3
2

(x

2

+

1
3

x

3

)

2

+

7
6

x

2
3

Jeśli przyjmiemy teraz y

1

= x

1

+

1
2

x

2

− x

3

, y

2

= x

2

+

1
3

x

3

, y

3

= x

3

to

otrzymamy:

g(y

1

, y

2

, y

3

) = 2y

1

−

3

2

y

2

+

7

6

y

3

otrzymane przedstawienie jest więc postacią kanoniczną naszej formy.

Metoda Jacobiego
Metoda Jacobiego polega na wykorzystaniu algorytmu podobnego do algoryt-
mu ortogonalizacji Grama − Schmidta. Omówimy tą metodę na tym samym
przykładzie co poprzednio:

g(x

1

, x

2

, x

3

) = 2x

2
1

− x

2
2

+ 3x

2
3

+ 2x

1

x

2

− 4x

1

x

3

− 3x

2

x

3

2

wtedy w bazie kanonicznej macierz tej formy jest następująca:

G =






2

1

−2

1

−1 −

3
2

−2 −

3
2

3






Szukamy bazy b

1

, b

2

, b

3

takiej, że f (b

i

, b

j

) = 0 jeśli i 6= j. Bazę tą szukamy w

postaci:

b

1

= e

1

b

2

= e

2

+ k

12

b

1

b

3

= e

3

+ k

13

b

1

+ k

23

b

2

Podobnie jak w przypadku ortogonalizcji Grama − Schmidta otrzymujemy
k

ij

= −

f (b

i

,e

j

)

f (b

i

,b

i

)

, a więc:

k

12

= −

f (b

1

, e

2

)

f (b

1

, b

1

)

= −

1

2

i

b

2

= [−

1

2

, 1, 0]

dalej mamy:

k

13

= −

f (b

1

, e

3

)

f (b

1

, b

1

)

= 1, k

23

= −

f (b

2

, e

3

)

f (b

2

, b

2

)

= −

1

3

stąd:

b

3

= [

7

6

, −

1

3

, 1]

ponadto f (b

3

, b

3

) =

7
6

. Wtedy postać kanoniczna naszej formy dwuliniowej

jest następująca:

f (y

1

, y

2

, y

3

) = f (b

1

, b

1

)y

2

1

+ f (b

2

, b

2

)y

2

2

+ f (b

3

, b

3

)y

2

3

= 2y

2

1

−

3

2

y

2

2

+

7

6

y

2

3

i jeśli przez A oznaczymy macierz przejścia od bazy kanonicznej do bazy
b

1

, b

2

, b

3

to otrzymamy związek między zmiennymi x

1

, x

2

, x

3

, a zmiennymi

y

1

, y

2

, y

3

:






x

1

x

2

x

3






= A






y

1

y

2

y

3






W naszym przypadku:

A =






1 −

1
2

7
6

0

1 −

1
3

0

0

1






3

wtedy

A

−1

=






1

1
2

−1

0

1

1
3

0

0

1






i mamy:






y

1

y

2

y

3






= A

−1






x

1

x

2

x

3






=






1

1
2

−1

0

1

1
3

0

0

1











x

1

x

2

x

3






Można zauważyć, że współczynniki f (b

i

, b

i

) (występujące przy y

2

i

są równe

det G

i−1

det G

i

, gdzie det G

0

= 1, a det G

i

, i = 1, 2, 3 są minorami głównymi macierzy

G.

Metoda Jacobiego ma pewne ograniczenia, jeśli bowiem któryś ze współ-

czynników f (b

i

, b

i

) jest równy zero to nie można wyznaczyć odpowiednich

k

ij

. Z tego co zostało powiedziane powyżej metoda Jacobiego działa wtedy

gdy każdy z minorów głównych macierzy G jest różny od 0.

Na zakończenie naszych rozważań dotyczących przestrzeni euklidesowych

i unitarnych zdefiniujemy pojęcie sprzężenia odwzorowania liniowego. Niech
V będzie przestrzenią euklidesową (unitarną) i niech ϕ : V → V będzie
homomorfizmem przestrzeni V , wtedy istnieje dokładnie jeden homomorfizm
ϕ

∗

, taki że dla każdego u, v ∈ V :

(ϕ(u)|v) = (u|ϕ

∗

(v))

Operator ϕ

∗

nazywamy operatorem sprzężonym z operatorem ϕ.

Jeśli V = C

n

jest przestrzenią unitarną ze standardowym iloczynem skalar-

nym i A jest macierzą operatora ϕ to A

∗

jest macierzą operatora ϕ

∗

.

4