X,Y - przestrzenie wektorowe nad K
(e

1

, … , e

n

) – baza przestrzeni X

T: X->Y odwz. Liniowe

Cztery możliwości:

T - bijekcja
T - iniekcja
T - suriekcja
T - nie jest iniekcją, nie jest suriekcją

Tw. 1.

T – iniekcja 

liniowo niezależne

Dw. nie wprost

(=>)

liniowo zależne =>



(<=)

dla co najmniej

jednego

nie są liniowo niezależne.

Tw. 2.

T – suriekcja 

generują Y.

( => )

T suriekcja

( <= )

Tw. 3.

T bijekcja 

są liniowo niezależne i generują Y 

tworzą bazę w Y.

Wniosek:

Jeżeli dimX = dimY = n , to T bijekcja 

są liniowo niezależne.

Tw. 4.

Niech dimX= dimY = n, T:X->Y liniowe
A- Reprezentacja macierzowa T.

Wtedy kolumny A są liniowo niezależne  detA 0  wiersze A są liniowo niezależne.

Dw.

Kolumny A -

w bazie przestrzeni Y.

Macierz A jest macierzą wymiaru nxn.

( => )

Kolumny A są liniowo niezależne =>

są liniowo niezależne => T bijekcja =>

T

-1

oraz A

-1

=> det I = det (A*A

-1

) = detA*detA

-1

=1 => detA 0

( <= )

Jeżeli kolumna numeru n jest liniowo zależna od pozostałych, to x

1

,…,x

n-1

:

, tzn. n-ta kolumna jest lin. komb. pozostałych => jeżeli tą kombinację

liniową odejmiemy od ostatniej kolumny, to ostatnia kolumna bęcie kolumną zerową detA=0.

Ponieważ detA = detA

T

, to samo tyczy się wierszy.

Niech X,Y – przestrzenie wektorowe nad K, dimX=n, dimY=m, T:X->Y liniowe

Df.

Rząd macierzy A = rząd odwzorowania T (rządA = r(A))

Wniosek:

Rząd A = ilośd liniowo niezależnych kolumna.

Dw.

Kolumny A =

=> ilośd liniowo niezależnych kolumn V = dim T(X), bo

generują T(X).

Tw. 5.

Ilośd liniowo niezależnych kolumn A = ilośd liniowo niezależnych wierszy A.

lemat

Ilośd liniowo niezależnych wierszy A ilośd liniowo niezależnych kolumn A.

(a

11

, … , a

1k

, … , a

1n

)

(…

)

A=

(a

k1

, … , a

kk

, … , a

kn

)

(…

)

(a

m1

, … , a

mk

, … , a

mn

)

( Kol.lin.niez. )

(a

11

, … , a

1n

)

A

K

=

(…

)

(a

k1

, … , a

kn

)

Kolumny A

K

są liniowo niezależne => detA

K

0 => wiersze A

K

są liniowo niezależne.

Dw. tw.

Stosujemy lemat macierzy A i A

T

.

Wniosek 2

r(A) min(m,n).

Tw.6.

Rząd macierzy A = wymiar największy nieosobliwej podmacierzy kwadratowej.

Tw.

Niech X,Y,Z – przestrzenie wektorowe nad K, T:X->Y, S:Y->Z liniowe. Wtedy

rząd(S◦T) min(rządT, rządS.

Dw.

(S◦T)(X)=S(T(X)) S(Y) => dim(S◦T(X)) dimS(Y) => rząd(S◦T) rządS
(S◦T)(X)=S(T(X)) => dimS(T(X)) dimT(X) => rząd(S◦T)(X) rządT

Wniosek

(Tw. Sylwestera)

r(A*B) min{r(A),r(B)}.

Dany jest układ równao liniowych (1)

Macierz układu równao

Macierz uzupełniona

(macierz A do której dostawiono kolumnę)

Tw. Kroneckera – Capelliego

Układ równao (1) posiada (co najmniej jedno) rozwiązanie  r(A)=a(A

u

).

Dw.

( <= )

r(A)=a(A

u

) => kolumna

(między y

1

i y

n

„ …” tak samo niżej)

jest kombinacją liniową pozostałych

o współrzędnych x

1

, … , x

n

.

czyli istnieje

rozwiązanie układu (1).

( => )

Jeżeli

liniowo niezależne od pozostałych to nie istnieją x

1

, … , x

n

j.w. i układ (1) nie ma

rozwiązania.

Wnioski z twierdzenia Kroneckera-Capelliego:

Wniosek 1:

Warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, by układ (1) posiadał rozwiązanie dla każdej

kolumny wyrazów wolnych jest aby r(A)=m oraz n(ilośd równao) m(ilośd niewiadomych).
Wniosek 2:

Jeżeli m=n i A jest macierzą nieosobliwą to

.

Df.

Jeżeli to układ (1) nazywamy układem jednorodnym.

Wniosek 3:

Jeżeli r(a)=k to jednorodny układ ma n-k rozwiązao liniowo niezależnych.

Wniosek 4:

Jeżeli n=m oraz detA 0 to układ jednorodny ma tylko rozwiązanie zerowe.

Wniosek 5:

Układ jednorodny ma tylko rozwiązanie zerowe  dla każdej prawej strony istnieje co

najwyżej jedno rozwiązanie.