Błędy pomiarów

Wartość rzeczywista wielkości mierzonej jest punktem na osi liczbowej. Jak wiadomo, położenie punktu można opisać za pomocą nieskończonego ciągu cyfr. Już sam fakt skończonego zapisu wyniku pomiaru jest źródłem niedokładności pomiaru. Innymi źródłami są: niedokładności przyrządów pomiarowych, niedoskonałość zmysłów, niekontrolowana zmienność warunków otoczenia itp. Wynik pomiaru jest więc zawsze przybliżeniem prawdziwej wartości wielkości mierzonej.

2.1. Podstawowe pojęcia i definicje

Miarą niedokładności pomiaru jest bezwzględny błąd pomiaru definiowany jako różnica między wynikiem pomiaru X i rzeczywistą wartością wielkości mierzonej X_r

Błąd pomiaru nazywany jest też niepewnością pomiaru. Termin niepewność pomiaru jest zalecany w ostatnio wydanych dokumentach międzynarodowych organizacji normalizacyjnych [1], [2]. Nie znalazł jednak dotąd odbicia w normach krajowych [3], wobec tego używać będziemy tutaj obu terminów w sposób całkowicie wymienny.

Błąd bezwzględny jest wyrażany w jednostkach wielkości mierzonej. Nie daje on pełnej charakterystyki dokładności pomiaru. Na przykład, pomiar napięcia 200V z błędem 1V można uznać jako dość dokładny, natomiast pomiar napięcia 5V z tym samym błędem jest mało dokładny.

Lepszą charakterystykę dokładności pomiaru daje błąd względny definiowany jako stosunek błędu bezwzględnego do najlepszego przybliżenia wielkości mierzonej X_np

Najlepszym przybliżeniem wielkości mierzonej, jakie w danych warunkach jesteśmy w stanie określić, może być: wynik pojedynczego pomiaru, średnia arytmetyczna wyników serii pomiarów lub też wartość skorygowana przez dodanie do wyniku poprawki, o czym będzie mowa dalej. Ponieważ jednak w praktyce najczęściej dysponujemy pojedynczym lub uśrednionym wynikiem pomiaru, błąd względny określa się jako stosunek błędu bezwzględnego do wyniku pomiaru

Błąd względny jest wielkością niemianowaną . Ponieważ jest on małą liczbą, dużo mniejszą od 1, często mnoży się ją przez 100 i wyraża w procentach. Na przykład błąd względny , wyrażony w procentach , jest równy 0,5%.

W praktyce pomiarowej często jako miarę niedokładności pomiaru przyjmuje się błąd graniczny
. Określa on granicę przedziału, wewnątrz którego na pewno lub z dużym prawdopodobieństwem znajduje się wielkość mierzona. Wynik pomiaru jest zwykle zapisywany w następujący sposób:

(2.3)

Co oznacza, iż z dużym prawdopodobieństwem wartość rzeczywista wielkości mierzonej zawiera się w przedziale . Przedział taki nazywa się przedziałem niepewności, a promień przedziału, czyli jego połowę, niepewnością pomiaru. Prawdopodobieństwo tego, że wartość rzeczywista wielkości mierzonej znajdzie się w przedziale niepewności nazywa się poziomem ufności.

Przedział niepewności określony błędem granicznym zapewnia duży poziom ufności, a jednocześnie zawyża niedokładność pomiaru. Bardzo często można zadowolić się mniejszym poziomem ufności (np. 70% lub 95%) i zawęzić przedział niepewności adekwatnie do założonego poziomu.

Metody obliczania przedziału niepewności odpowiadającego założonemu poziomowi ufności będą omawiane dalej. Wynik pomiaru można zapisać także wykorzystując pojęcie względnego błędu granicznego

Najczęściej jednak błąd względny wyraża się w procentach. Dwa najczęściej stosowane sposoby zapisu wyniku pomiaru ilustrują następujące przykłady:

Należy podkreślić, iż niepewność pomiaru daje się ocenić szacunkowo, zatem należy opisywać ją rozsądną liczbą cyfr znaczących (najczęściej ograniczoną do 2 cyfr). Na przykład, byłoby absurdem podawanie wyniku pomiaru przyśpieszenia ziemskiego w postaci

W pełni zasadne jest zaokrąglenie szacowanego błędu pomiaru do dwóch cyfr po przecinku i przedstawienie wyniku w postaci:

O sposobach zaokrąglania i liczbie cyfr znaczących w zapisie wyniku i błędu pomiaru będzie jeszcze mowa w następnym rozdziale.

2.2. Klasyfikacja błędów pomiaru

Istnieje wiele kryteriów klasyfikacji błędów pomiaru. Z punktu widzenia rachunku błędów najistotniejszy jest podział na: błędy systematyczne, błędy przypadkowe oraz błędy grube.

Błędy systematyczne

Są one spowodowane czynnikami działającymi w jednakowy sposób przy wielokrotnym powtarzaniu pomiaru. W kolejnych pomiarach wykonywanych w jednakowych warunkach błąd systematyczny ma wartość stałą. Przy zmianie warunków zmienia się z określoną prawidłowością.

Typowym przykładem błędów systematycznych są błędy wywołane przesunięciem skali przyrządu, stałym błędem wzorca (np. większą lub mniejszą od nominału masą odważnika), ustalonym wpływem warunków otoczenia (np. temperatury), pomijaniem zjawisk fałszujących wyniki (np. rezystancji przewodów przy pomiarze małych rezystancji lub rezystancji wewnętrznej źródła przy pomiarze SEM).

Błędy systematyczne mogą być wyznaczone analitycznie i wyeliminowane lub przynajmniej znacznie zmniejszone przez wprowadzenie odpowiednich poprawek. Można je także eliminować w trakcie eksperymentu drogą doboru odpowiednich procedur pomiarowych. Np. w niektórych pomiarach stałoprądowych, błędy wywołane siłami termoelektrycznymi można wyeliminować powtarzając pomiar przy zmienionej biegunowości zasilania układu pomiarowego.

Błędy przypadkowe

Są to błędy spowodowane działaniem dużej liczby trudno uchwytnych czynników zakłócających, których łączny wpływ zmienia się z pomiaru na pomiar. Charaktery-styczną cechą błędów przypadkowych jest to, że ich wartości są różne w kolejnych pomiarach przeprowadzonych w jednakowy sposób. Błąd przypadkowy jest zmienną losową, a w kolejnych pomiarach tej samej wielkości otrzymuje się wartości błędów będące realizacjami tej zmiennej losowej. Stąd też szacowanie błędów przypadkowych dokonuje się metodami rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej.

Przyczyną błędów przypadkowych są takie czynniki jak ograniczona czułość zmysłów obserwatora, rozrzuty kąta odczytu kolejnych położeń wskazówki przyrządu, tarcie w łożyskach organu ruchomego mierników, wahania czynników zewnętrznych (np. temperatury, pól magnetycznych, napięć zasilających itp.) Do błędów przypadkowych zalicza się również resztkowe błędy wyznaczania poprawek.

Błędy grube

Są to błędy wywołane pomyłkami popełnianymi w trakcie wykonywania pomiaru lub zapisywania wyniku. Przykładem błędów grubych mogą być błędy powstałe wskutek pomylenia skali w mierniku wielozakresowym, pominięcia mnożnika zakresowego, pomylenia jednostek, przesunięcia przecinka w trakcie zapisywania wyniku, zwarcia lub rozwarcia niektórych elementów obwodu pomiarowego. Źródłem błędów grubych jest niestaranność lub niedostateczna uwaga eksperymentatora. Błędy te są w zasadzie do uniknięcia i w związku z tym nie będą dalej omawiane.

2.3. Podstawy rachunku błędów

W punkcie tym zostaną zwięźle przedstawione metody obliczeń lub szacowania błędów systematycznych i przypadkowych w pomiarach bezpośrednich i pośrednich.

2.3.1. Błędy systematyczne w pomiarach bezpośrednich.

Metody obliczeń błędów systematycznych są zróżnicowane. Brak jest ogólnych zasad obliczeń tych błędów w pomiarach bezpośrednich. Zasady takie istnieją w przypadku pomiarów pośrednich i mają eleganckie postacie tzw. praw propagacji błędów, o których będzie mowa dalej.

W pomiarach bezpośrednich każdy przypadek analizy błędów systematycznych wymaga w zasadzie indywidualnego podejścia, przy czym metody rachunku są często nader elementarne. Pokażemy to na przykładzie obliczeń błędu systematycznego, popełnianego w przypadku pomiaru prądu amperomierzem o niezerowej rezystancji w obwodzie pokazanym na rys. 2.1a, złożonym ze źródła napięcia i obciążenia. Włączenie amperomierza do obwodu wprowadza do niego dodatkową rezystancję R_a (rys. 2.1b), co powoduje, iż prąd w obwodzie pomiarowym jest mniejszy od prądu w obwodzie pierwotnym .

Rys. 2.1. Pomiar prądu w obwodzie elektrycznym złożonym ze źródła napięcia i obciążenia:
a) obwód pierwotny; b) obwód pomiarowy po włączeniu amperomierza

Systematyczny błąd względny łatwo obliczyć ze wzoru:

Biorąc pod uwagę, iż

otrzymamy

Z wzoru (2.6) wynikają dwa wnioski natury ogólnej.

Aby zmniejszyć błąd systematyczny wywołany rezystancją amperomierza, należy dążyć do zachowania warunku
, tzn. rezystancja amperomierza powinna być dużo mniejsza od sumy pozostałych rezystancji w obwodzie.

Drugi wniosek dotyczy możliwości skorygowania wyniku pomiaru przez dodanie do wyniku poprawki obliczonej ze wzoru (2.6), tzn. poprawki otrzymanej przez pomnożenie δ_I przez I'.

Ogólnie biorąc w analizie błędów systematycznych czynniki zakłócające mogą być wyznaczone w sposób jednoznaczny, tak jak w omawianym przykładzie, lub też może być ustalony przedział, w którym zawarty jest błąd, przy czym jego wartość i znak nie są znane. W pierwszym przypadku istnieje możliwość wyznaczenia poprawki i skorygowania wyniku pomiaru. W drugim przypadku można tylko oszacować z góry składową systematyczną błędu, którą należy zsumować w określony sposób (omówiony dalej) ze składową przypadkową.

2.3.2. Błędy przypadkowe w pomiarach bezpośrednich

Wskutek istnienia błędów przypadkowych wyniki pomiarów wykonywanych w tych samych warunkach ulegają rozproszeniu przypadkowemu wokół wartości rzeczywistej X_r. Zatem wyniki kolejnych pomiarów można interpretować jako realizacje zmiennej losowej. Jak wiadomo, zmienna losowa jest w pełni opisywana rozkładem gęstości prawdopodobieństwa. Zróżnicowany stopień opanowania rachunku prawdopodo-bieństwa w szkole średniej skłania do fizycznego wyprowadzenia podstawowych pojęć tego rachunku na przykładzie serii wielokrotnie powtarzanych pomiarów. Zaletą takiego podejścia jest wyrazista interpretacja fizyczna rozkładu gęstości prawdopodobieństwa i jego parametrów, na podstawie których oblicza się estymaty (oszacowania) wartości mierzonej i błędu pomiaru.

Rys. 2.2. Typowy histogram wyników długiej serii pomiarów

Załóżmy, iż w celu wyznaczenia wartości X_r pewnej wielkości została przeprowadzona długa seria n pomiarów, których wyniki oznaczono odpowiednio X₁, X₂, ..., X_n. Zakres rozproszenia wyników, czyli przedział zawarty między najmniejszym i największym wynikiem, podzielimy na szereg równych podprzedziałów o szerokości
. Liczba wyników leżących w i-tym podprzedziale n_i,odniesiona do ogólnej liczby pomiarów
, nazywa się częstością pojawiania się wyników w przedziale
.

Wykres częstości znormalizowanej względem
, czyli
w funkcji X nazywa się histogramem wyników pomiaru (rys. 2.2).

Warto zauważy, iż częstość wyników w i-tym przedziale
jest równa polu prostokąta rozpiętego na tym podprzedziale.

Rys. 2.3. Typowy rozkład wyników pomiaru

Jeżeli liczba pomiarów n rośnie i jednocześnie maleje szerokość podprzedziałów
to histogram staje się coraz bardziej wieloschodkowy, wygładza się i w granicy, przy
i
, przechodzi w krzywą ciągłą (rys. 2.3), nazywaną granicznym rozkładem wyników pomiaru lub poprostu rozkładem wyników.

Pole wąskiego paska pod krzywą rozkładu w przedziale od
do
jest równe częstości pomiarów w tym przedziale lub prawdopodobieństwu tego, że wynik dowolnego pomiaru znajdzie się w przedziale od
. Podobnie całka

jest równa prawdopodobieństwu uzyskania w dowolnym pomiarze wyniku z przedziału (a, b). W terminologii rachunku prawdopodobieństwa zapis (2.7) oznacza prawdopodo-bieństwo przyjęcia przez realizacje zmiennej losowej wartości spełniającej nierówność

Ponieważ całkowite prawdopodobieństwo uzyskania wyniku o jakiejkolwiek wartości w przedziale od −∞ do +∞ jest równe 1, rozkład graniczny musi spełniać warunek normalizacji

Warunek ten jest naturalną konsekwencją faktu, iż pole pod histogramem jest równe jedności, co łatwo wykazać

Rozkład normalny (Gaussa)

Dla większości sytuacji pomiarowych spotykanych w praktyce rozkład wyników pomiarów opisywany jest funkcją Gaussa

Rozkład (2.10) nazywany jest rozkładem normalnym lub rozkładem Gaussa. Jest to rozkład dwuparametrowy, zdeterminowany parametrami
. Parametr
jest nazywany wartością oczekiwaną lub potocznie wartością średnią. W przypadku braku błędów systematycznych wartość oczekiwana jest równa wartości rzeczywistej
i odpowiada środkowi zgrupowania wyników.

Parametr
nazywany odchyleniem standardowym, charakteryzuje stopień rozproszenia wyników i może być wykorzystywany jako miara błędu pomiaru.

Rys. 2.4. Wykres krzywej rozkładu normalnego

Na rys. 2.4. pokazany jest wykres krzywej rozkładu normalnego.

Jest to krzywa o kształcie dzwonowym, symetryczna, wyśrodkowana wokół wartości oczekiwanej
. Odchylenie standardowe
odpowiada odległości punktu przegięcia krzywej od odciętej środka zgrupowania.

Pole pod częścią krzywej rozkładu normalnego rozpiętą na przedziale od
jest równe 0,682, co oznacza, iż poziom ufności, czyli prawdopodobieństwo, że wynik pojedynczego pomiaru leży w promieniu jednego odchylenia standardowego
od wartości prawdziwej
, jest równe 0,682 lub w procentach 68,2%.

Prawdopodobieństwo znalezienia się wyniku pomiaru w przedziale o promieniu 2-krotnie większym od odchylenia standardowego jest równe 95,4%, a w przedziale o promieniu 3-krotnie większym jest równe 99,7%.

W wielu przypadkach poziom ufności 68,2% jest wystarczający i dlatego przedział o promieniu
nazywa się standardowym przedziałem niepewności pomiaru, natomiast
nazywa się niepewnością standardową lub błędem standardowym.

Z drugiej strony poziom ufności 99,7% jest tak duży, iż odpowiadające jemu zdarzenie może być traktowane jako niemal pewne, stąd też przedział o promieniu
traktowany jest jako graniczny przedział niepewności, a
nazywa się niepewnością graniczną lub błędem granicznym.

W ogólnym przypadku można założyć promień przedziału niepewności t-krotnie większy od niepewności standardowej i dla tego przedziału obliczyć odpowiadający mu poziom ufności ze wzoru:

Możliwe jest też postępowanie odwrotne, dla założonego poziomu ufności można z tablic wyznaczyć promień
odpowiadającego mu przedziału niepewności.

Na rysunku 2.5 pokazana jest funkcja obrazująca prawdopodobieństwo, że pomiar wielkości X_r da wynik leżący w promieniu t odchyleń standardowych od wartości prawdziwej X_r.

t	0	0,25	0,5	0,75	1,0	1,25	1,5	1,75	2,0	2,5	3,0	3,5
P [%]	0	20	38	55	68	79	87	92	95,4	98,8	99,7	99,95

Rys. 2.5. Wykres prawdopodobieństwa
w funkcji t

Z przeprowadzonych rozważań wynika, iż wynik pojedynczego pomiaru należy zapisać:

gdzie współczynnik t jest dobrany do założonego poziomu ufności.

W przypadku, gdy wynik pomiaru decyduje o bezpieczeństwie (np. przy lądowaniu samolotu), zakłada się bardzo wysoki poziom ufności. Natomiast w większości sytuacji spotkanych w praktyce, gdzie nadmierny błąd może spowodować najwyżej niewielkie straty finansowe, zadowalają poziomy ufności ok. 70% lub 95%, odpowiadające niepewności standardowej σ_x lub podwójnie rozszerzonej 2σ_x.

Zapis (2.12) można interpretować graficznie w następujący sposób: z założonym poziomem ufności przedział niepewności o promieniu tσ_x, wyśrodkowany wokół wyniku pomiaru X, przykryje wartość rzeczywistą X_r wielkości mierzonej.

W kolejnych pomiarach położenie przedziałów niepewności na osi liczbowej zmienia się, co ilustruje rys. 2.6. Pokazano na nim położenia przedziałów niepewności odpowiadające kilku różnym wynikom pomiaru X₁, X₂, X₃, X₄ tej samej wielkości o wartości X_r.

Pojedynczy pomiar i przedstawiona metoda obliczania niepewności oraz sposób zapisu wyniku wystarczają wówczas, gdy odchylenie standardowe σ_x jest znane a'priori. Tak jest w przypadku pomiarów wielokrotnie wypróbowanym przyrządem, w rozpoznanych i stabilnych warunkach. Jednak w praktyce najczęściej σ_x nie jest znane i należy je wyznaczyć w trakcie eksperymentu.

Rys. 2.6. Położenie przedziałów niepewności dla 4 różnych wyników pomiarów: X₁, X₂, X₃, X₄. Każdy z przedziałów ma inne położenie, jednak przykrywa wartość rzeczywistą X_r

Jedną z nasuwających się metod postępowania jest wykonanie bardzo dużej liczby pomiarów, i sporządzenie empirycznej krzywej rozkładu wyników, z której można wyznaczyć interesujące nas parametry: wartość oczekiwaną
oraz odchylenie standardowe σ_x, którego krotność jest miarą niepewności pomiaru. Jednak takie postępowanie byłoby zbyt czasochłonne i kosztowne. W praktyce liczba pomiarów w serii jest zwykle niewielka (kilka, najwyżej kilkanaście).

Powstaje pytanie: jak na podstawie niewielkiej liczby pomiarów wyznaczyć interesujące nas parametry ?

Zagadnieniami szacowania (estymacji) parametrów rozkładu na podstawie ograniczonego materiału statystycznego zajmuje się statystyka matematyczna. W statystyce matematycznej całość materiału statystycznego, który podlega badaniu na podstawie niewielkiej jego części, nosi nazwę zbiorowości lub populacji generalnej. Część zbiorowości generalnej podlegająca bezpośredniemu badaniu nazywa się zbiorowością próbną, próbą lub próbką. Wyniki serii pomiarów otrzymane przez eksperymentatora mogą być traktowane jako próbka wzięta ze zbiorowości generalnej wszystkich możliwych wyników pomiarów, których liczba równa się nieskończoności.

Metodami statystyki matematycznej można wykazać, iż najlepszym oszacowaniem (nazywanym estymatą) wartości oczekiwanej
(czyli w naszym przypadku również X_r) jest średnia arytmetyczna serii pomiarów

Estymaty parametrów oznaczać będziemy daszkiem nad ich symbolami, np. . Gdy liczba pomiarów zmierza do nieskończoności, średnia arytmetyczna dąży do wartości oczekiwanej

Estymatę odchylenia standardowego σ_x, nazywaną też odchyleniem standardowym z próbki, oblicza się ze wzoru

,

gdy .

W kolejnych seriach pomiarów otrzymuje się różne wartości średnich arytmetycznych; średnia arytmetyczna jest więc również zmienną losową opisywaną określonym rozkładem. Można wykazać, że średnia arytmetyczna podlega rozkładowi normalnemu, jednak krzywa tego rozkładu jest bardziej skupiona wokół wartości rzeczywistej X_r. Odchylenie standardowe σ_x rozkładu średniej arytmetycznej serii pomiarów o liczności n jest powiązane z σ_x następującą zależnością

Na podstawie (2.14) i (2.15) otrzymuje się następujący wzór na estymatę odchylenia standardowego:

Rys. 2.7. Krzywa rozkładu średniej arytmetycznej serii pomiarów (linia ciągła) na tle rozkładu wyników pojedynczych pomiarów (linia przerywana)

Na rysunku 2.7 pokazano rozkład średniej arytmetycznej serii n pomiarów na tle rozkładu pojedynczych wyników pomiarów. Wyraźnie mniejsze rozproszenie tego rozkładu wokół wartości rzeczywistej jest oczywistym zyskiem z przejścia od pojedynczego pomiaru do serii pomiarów. Inną istotną korzyścią jest możliwość szacowana
, a więc i przedziału niepewności. Warto podkreślić, iż średnia arytmetyczna przy niezbyt małych n ma rozkład normalny nawet w przypadku, gdy rozkład pojedynczych wyników pomiarów różni się od rozkładu normalnego (wynika to z Centralnego twierdzenia granicznego).

Zatem, w przypadku wykonywania serii pomiarów wynik należy zapisać tak

gdzie t jest dobrane do założonego poziomu ufności, który oznaczać będziemy symbolem α.

W tym przypadku wynik pomiaru charakteryzowany jest za pomocą 3 liczb:

- średniej arytmetycznej (estymaty wartości oczekiwanej)
,

- niepewności pomiaru tσ_x,

- poziomu ufności (2.18)

Uzasadniona długość serii pomiarów

Jak wynika z (2.15), przejście z pojedynczego pomiaru do serii pomiarów o długości n powoduje zmniejszenie odchylenia standardowego, a tym samym niepewności pomiaru o
.

Rys. 2.8. Wykres przebiegu współczynnika poprawy
w funkcji n

Współczynnik poprawy dokładności wynosi
. Wykres zależności
w funkcji n, pokazany na rys. 2.8, dowodzi, iż wyraźna korzyść ze zwiększenia liczby pomiarów w serii występuje przy niezbyt dużych n, nie większych od 10.

Uzasadniona długość serii pomiarów w warunkach technicznych waha się w granicach 3-5, natomiast w warunkach laboratoryjnych w granicach 5-9 pomiarów.

Zwiększanie serii pomiarów ponad 10 nie jest opłacalne. Każdy kolejny pomiar niewiele wpływa na współczynnik poprawy, a jednocześnie zwiększa czas i koszt eksperymentu. Co więcej, wydłużenie się czasu pomiarów może pogorszyć dokładność, ze względu na wzrost prawdopodobieństwa zmiany warunków zewnętrznych.

Metody obliczania współczynnika t przy założonym poziomie ufności.

Powstaje pytanie, jak należy obliczać dla założonego poziomu ufności
odpowiadający mu współczynnik krotności, który odtąd oznaczać będziemy
.

Zgodnie z definicją poziomu ufności możemy zapisać

Stosując podstawienie

całkę po prawej stronie (2.19) można zastąpić następującą całką o zmienionych granicach całkowania

Całkę (2.21) nazywa się normalną całką błędu i często oznacza się erf (t_α). Jest ona stablicowana, a jej wartość można obliczyć korzystając z kalkulatora.

Warto zaznaczyć, iż zmienna t zdefiniowana wyrażeniem (2.20) jest zmienną losową scentralizowaną (o wartości oczekiwanej równej 0) i znormalizowaną (o odchyleniu standardowym σ_t równym 1).

Jeżeli
jest znane a'priori, wówczas rozkład gęstości prawdopodobieństwa zmiennej t jest rozkładem normalnym skupionym wokół 0 o odchyleniu standardowym
(rys. 2.9).

W przypadku, gdy odchylenie standardowe
w wyrażeniu (2.20) nie jest znane i zastępujemy je estymatą obliczoną z próbki
, tzn.

wówczas t jest zmienną losową będącą ilorazem dwóch zmiennych losowych
oraz
.

Taka zmienna jest opisywana rozkładem Studenta* o
stopniach swobody. Gęstość prawdopodobieństwa tego rozkładu wyraża się wzorem:

Rys. 2.9. Rozkład normalny gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej

(2.23)

gdzie:

- funkcja gamma Eulera,

k - liczba stopni swobody
powiązana z liczbą pomiarów n w serii zależnością
.

Rys. 2.10. Krzywa rozkładu Studenta (2) na tle krzywej rozkładu normalnego (1)

Rozkład Studenta ma kształt krzywej dzwonowej o szerokości zależnej od k. Krzywa ta jest najszersza dla
, a jej szerokość maleje ze wzrostem k. Przy k zmierzającym do krzywa rozkładu Studenta zmierza do krzywej rozkładu normalnego. Można więc powiedzieć, iż rozkład normalny jest rozkładem granicznym rozkładu Studenta.

Na rys. 2.10. pokazano krzywą rozkładu Studenta dla k=1 na tle krzywej rozkładu normalnego.

Całka błędu rozkładu Studenta

(2.24)

jest podobnie jak normalna całka błędu (2.21) stablicowana dla różnych wartości k.

W tablicy zestawiono obliczone z rozkładu Studenta wartości współczynników
dla kilku wybranych wartości poziomu ufności
i kilkunastu wartości n, tzn. długości serii pomiarów.

Tablica 2.1

Obliczone z rozkładu Studenta wartości współczynników
dla różnych poziomów ufności
oraz różnych n

n	0,70	0,90	0,95	0,99
2.	1,96	6,31	12,70	63,65
3.	1,88	2,92	4,30	9,92
4.	1,85	2,35	3,18	5,84
5.	1,19	2,13	2,77	4,60
6.	1,15	2.01	2,57	4,03
7.	1,13	1,94	2,44	3,70
8.	1,11	1,89	2,36	3,49
9.	1,10	1,86	2,30	3,35
10.	1,10	1,83	2,26	3,25
	1,03	1,64	1,96	2,57

Jak widać z tablicy 2.1, dla n = ∞ współczynniki
obliczone z rozkładu Studenta pokrywają się z obliczonymi na podstawie rozkładu normalnego. Różnice między danymi obliczonymi z obu rozkładów są istotne dla
, natomiast stają się stosunkowo mało istotne dla
, zwłaszcza przy niezbyt wysokich poziomach ufności.

Wynika stąd wniosek, iż dla długich serii pomiarów, n ≥ 5, współczynnik
dla założonego poziomu ufności można obliczać z rozkładu normalnego. Natomiast dla krótkich serii pomiarów, n < 5, współczynnik
należy obliczać z tablic rozkładu Studenta. Zalecenie to dotyczy zwłaszcza serii 2 lub 3 pomiarów. Jak wynika z tablicy 2.1, obliczenie przedziału niepewności dla serii 2 pomiarów z rozkładu normalnego przy poziomie ufności 0,95 dałoby ponad 6-krotne zawyżenie dokładności pomiaru, a dla serii 3 pomiarów zawyżenie ponad 2-krotne. Różnice te są jeszcze większe przy większych poziomach ufności, np. przy
zawyżenie dokładności dla 2 pomiarów byłoby 25-krotne, a dla 3 pomiarów bez mała 4-krotne.

Serię 5 pomiarów traktuje się jako przypadek graniczny, w którym przy niezbyt dużych poziomach ufności, do obliczeń przedziału niepewności stosować można oba omawiane rozkłady. Zilustrujemy to przykładem.

Przykład

Dokonano serii 5 pomiarów rezystancji metodą mostkową. Otrzymano następujące wyniki: 53,2; 53,6; 53,1; 54,9; 53,7Ω. Należy obliczyć przedział niepewności dla poziomu ufności
.

Średnia arytmetyczna serii pomiarów

Estymata odchylenia standardowego pojedynczego pomiaru

Estymata odchylenia standardowego średniej arytmetycznej

Współczynnik
obliczony z tablic rozkładu Studenta dla
i
wynosi
. Zatem wynik pomiaru w tym przypadku można zapisać

W przypadku, gdy do obliczeń
zastosujemy rozkład normalny dla
i
, otrzymamy
. W tym przypadku wynik pomiaru będzie miał postać

Jak widać z porównania obu przypadków, rozkład normalny daje węższy przedział niepewności, czyli zawyża dokładność pomiaru. Jednak różnica między obu przedziałami w tym przypadku jest stosunkowo mało istotna.

Przy większym poziomie ufności różnica ta znacznie wzrasta, a więc nawet przy serii 5 pomiarów należy do obliczeń niepewności stosować rozkład Studenta.

2. 3. 3. Błędy przypadkowe w pomiarach o niejednakowej dokładności

W praktyce pomiarowej zdarzają się czasami sytuacje, gdy pomiary danej wielkości są wykonywane niejednakowo dokładnie. Jest tak np. w przypadku pomiarów szybkości obiektu łatającego przez stacje radarowe umiejscowione w różnych odległościach od obiektu, w przypadku gdy zjawisko rzadko powtarzalne jest mierzone jednocześnie przez wielu eksperymentatorów przyrządami o różnych niedokładnościach itp. Powstaje pytanie: jakie jest najlepsze oszacowanie tego rodzaju pomiarów?

Załóżmy, iż dokonano n oddzielnych pomiarów tej samej wielkości, otrzymując wyniki:

z odpowiadającymi im niepewnościami standardowymi Można udowodnić metodami statystyki matematycznej, że najlepszym oszacowaniem wartości rzeczywistej wielkości mierzonej jest średnia ważona

gdzie:
- współczynniki wagowe poszczególnych pomiarów.

Przyjmuje się przy tym, iż współczynniki wagowe są odwrotnościami kwadratów odpowiednich niepewności

(2.26)

Ponieważ współczynnik wagowy (nazywany też krótko wagą) związany z każdym pomiarem zawiera kwadrat odpowiedniej niepewności, więc każdy z pomiarów, który jest o wiele mniej dokładny od pozostałych, wnosi o wiele mniejszy wkład do ostatecznego wyniku niż inne pomiary. Na przykład, jeśli jeden z pomiarów jest cztery razy mniej dokładny niż inne, to jego waga jest 16 razy mniejsza niż wagi innych pomiarów.

Można też udowodnić, iż najlepszym oszacowaniem odchylenia standardowego średniej ważonej jest

W tym przypadku wynik pomiaru należy zapisać

Współczynnik
dla założonego poziomu ufności oblicza się wg zasady podanej poprzednio z rozkładu normalnego dla dużej liczby pomiarów lub z rozkładu Studenta dla liczby pomiarów 2 lub 3.

2.3.4. Błędy w pomiarach pośrednich

Bardzo często wielkość szukaną nie mierzy się bezpośrednio, lecz wyznacza na podstawie pomiaru innych wielkości związanych z nią określoną zależnością.

Na przykład, moc prądu stałego wyznacza się często na podstawie pomiarów prądu i napięcia ze wzoru P=UI. Powstaje pytanie, jak określić błąd wyznaczenia wielkości szukanej, jeżeli znane są błędy pomiarów bezpośrednich. Zakładamy, że wielkość szukana y jest funkcją kilku zmiennych niezależnych .

Błędy bezwzględne pomiarów poszczególnych wielkości oznaczymy odpowie-dnio:.

Błąd wyznaczenia wielkości y jest równy różnicy funkcji f(⋅) w punktach oraz

Rozwijając pierwszy czynnik wyrażenia (2.29) w szereg Taylora oraz pomijając dalsze wyrażenia tego szeregu, w których występują iloczyny lub potęgi błędów
(co jest słuszne, jeżeli wielkości te są dostatecznie małe), wyrażenie te można przekształcić do takiej postaci:

Rys. 2.11. Rysunek ilustrujący różnicę między rzeczywistym przyrostem funkcji

przy zmianie zmiennej niezależnej o
a różniczką dy

Poszczególne składniki prawej strony zależności (2.30) noszą nazwę błędów cząstkowych, całe wyrażenie nazywa się różniczką zupełną. Warto zaznaczyć, iż różniczka zupełna dobrze przybliża różnicę funkcji definiowaną wyrażeniem (2.29), jeżeli przyrosty zmiennych niezależnych funkcji są stosunkowo małe. Najłatwiej zilustrować to przykładem funkcji jednej zmiennej pokazanym na rys. 2.11.

(2.31)

Jak widać z rys. 2.11, dla liniowej funkcji f(x) przyrost funkcji ε_y jest dokładnie równy różniczce zupełnej dy. Natomiast dla nieliniowych funkcji f(x) różnice między tymi wielkościami są tym mniejsze, im mniejszy jest przyrost zmiennej niezależnej ε_x.

Jeżeli błędy
są błędami systematycznymi, a przy tym można określić je co do wartości i znaku, to wypadkowy błąd pomiaru można obliczyć wprost z różniczki zupełnej (2.30). Innymi słowy wzór (2.30) umożliwia obliczenie poprawki na wypadkowy błąd systematyczny na podstawie poprawek błędów cząstkowych.

Najczęściej jednak mamy do czynienia z przypadkiem, gdy błędy
są granicznymi błędami systematycznymi, czyli granicami przedziałów, w których zawarte są nieznane co do wartości i znaku błędy systematyczne. W takim przypadku stosuje się dwa sposoby sumowania systematycznych błędów cząstkowych.

1. Algebraiczne sumowanie wartości bezwzględnych błędów cząstkowych

Drogą takiego sumowania otrzymuje się błąd skrajny pomiaru pośredniego. Dotyczy on przypadku najbardziej niekorzystnego (skrajnie pesymistycznego), kiedy wszystkie błędy cząstkowe przyjmują wartości ekstremalne (graniczne), jednakowego znaku, i jako taki jest bardzo mało prawdopodobny, zwłaszcza przy dużej liczbie błędów cząstkowych. Sumowanie takie zawyża błąd wypadkowy, niemniej jednak jest często stosowane w praktyce (przede wszystkim w pomiarach warsztatowych) ze względu na prostotę rachunków.

2. Sumowanie geometryczne błędów cząstkowych

Sumowanie takie daje wynik bardziej realistyczny (prawdopodobny) i jest bardziej uzasadnione, ponieważ w rzeczywistości ma miejsce kompensacja błędów cząstkowych o różnych znakach, a także rzeczywiste wartości tych błędów mogą być mniejsze od wartości granicznych.

Błędy przypadkowe zawsze sumuje się geometrycznie

Poziom ufności błędu wypadkowego lub niepewności wypadkowej jest taki sam jak poziomy ufności błędów cząstkowych (przy założeniu, że są one jednakowe).

Wzór (2.32), opisujący algebraiczne sumowanie błędów cząstkowych, nosi nazwę prawa liniowej propagacji błędów. Natomiast wzory (2.33) i (2.34), opisujące geometryczną metodę sumowania błędów cząstkowych, reprezentują prawo geometrycznej propagacji błędów.

Sumowanie błędów systematycznych z przypadkowymi

Kończąc rozważania na temat metod sumowania błędów i analizy przenoszenia się (propagacji) błędów w pomiarach pośrednich, należy odpowiedzieć na podstawowe pytanie - jak sumują się błędy systematyczne i przypadkowe?

Ogólnie w wypadkowym błędzie pomiaru ε_y wyróżnić można składową systematyczną błędu, którą oznaczać będziemy
, oraz składową przypadkową
. Czasami jedną z tych składowych można zaniedbać wobec pozostałej. W przypadku gdy składowa systematyczna i przypadkowa błędu są ze sobą współmierne i nie można zaniedbać jednej z nich względem drugiej, należy stosować geometryczne sumowanie obu składowych.

Błąd wypadkowy, nazywany też wypadkową niepewnością pomiaru, oblicza się ze wzoru

Sumowanie błędów względnych

W podobny sposób mogą być sumowane błędy względne, przy czym z różniczki (2.30) można wyprowadzić łatwo wzory opisujące propagację błędów względnych. Można je na ogół przedstawić explicite w postaci prostszej od błędów bezwzględnych. Pokażemy to na kilku charakterystycznych przykładach.

1. Potęgowa postać funkcji f(x)

Z wzoru (2.30) otrzymujemy natychmiast

Oznacza to, że niepewność względna wielkości y mierzonej pośrednio jest k razy większa od niepewności pomiaru bezpośredniego. Przykładem pomiaru tego rodzaju jest pomiar mocy na podstawie pomiaru napięcia stałego na znanej rezystancji R i wyznaczanie mocy ze wzoru

2. Funkcja w postaci ilorazu iloczynów

Dla takiej funkcji z różniczki zupełnej (2.30) otrzymuje się

Jak widać, zmienne niezależne z licznika wnoszą względne błędy cząstkowe ze znakiem plus, natomiast zmienne niezależne z mianownika wnoszą błędy względne ze znakiem minus.

Przykład

W celu zilustrowania sposobów korzystania z omówionych wzorów na sumowanie błędów, rozpatrzymy przykład obliczeń rezystancji wypadkowej, otrzymanej z połączenia dwóch rezystorów o różnych tolerancjach.

Dwa rezystory: R₁ = 100Ω ± 5%, R₂ = 400Ω ± 1%, połączono raz szeregowo i raz równolegle. Obliczyć tolerancje rezystancji wypadkowych otrzymanych w obu wymienionych połączeniach.

Tolerancja rezystancji wypadkowej może być wyrażona względnym błędem skrajnym, do obliczeń którego można wykorzystać wzór (2.32).

1. Połączenie szeregowe: R_sz = R₁ + R₂ = 500Ω

Pochodne cząstkowe: , stąd z (2.32) mamy:

Podstawiając wartości i tolerancje rezystorów R₁ i R₂, otrzymamy:

2. Połączenie równoległe:

Pochodne cząstkowe są w tym przypadku zróżnicowane i wynoszą odpowiednio:

,

.

Po podstawieniu danych otrzymujemy:

* Pseudonim matematyka angielskiego Gosseta

26

25

10

(2.1)

(2.2)

(2.4)

(2.5)

(2.6)

(2.7)

(2.8)

(2.9)

(2.10)

(2.11)

(2.12)

(2.13)

(2.14)

(2.15)

(2.16)

(2.17)

(2.19)

(2.20)

(2.21)

(2.22)

(2.23)

(2.25)

(2.27)

(2.28)

(2.29)

(2.30)

(2.32)

(2.33)

(2.34)

(2.35)

(2.36)

(2.37)

(2.38)

(2.39)

---