Statyka - cd.

Wojciech Barański

Wzory Serreta - Freneta

Rozpatrzmy krzywą zadaną równaniem parametrycznym

klasy
.

Zakładamy, że w pewnym przedziale parametru krzywej zachodzi
. Wtedy funkcja określona w tym przedziale krzywej wzorem

jest wzajemnie jednoznaczna w tym przedziale i może być użyta do parametryzowania punktów krzywej w tym przedziale. Jej interpretacją geometryczną jest długość mierzona wzdłuż krzywej od wybranego punktu
. Funkcja ta nazywana bywa parametrem naturalnym krzywej.

Pochodna
wektora położenia nazywana jest wektorem stycznym (jednostkowym/głównym wektorem stycznym) do krzywej. Łatwo udowodnić, że
.

Styczną w danym punkcie do krzywej nazywamy prostą przechodzącą przez ten punkt i skierowaną wzdłuż wektora stycznego. Odległości punktów krzywej od stycznej mają minimalne wartości w otoczeniu punktu styczności.

Krzywizną krzywej nazywamy wyrażenie
.

Punktem regularnym krzywej nazywamy taki punkt dla którego
.

W punktach regularnych krzywej definiujemy promień krzywizny krzywej
oraz wektor normalny (główny wektor normalny) krzywej
.

Łatwo udowodnić, że
.

Płaszczyzną ściśle styczną do krzywej w danym punkcie nazywamy płaszczyznę zawierającą ten punkt i równoległą do wektorów normalnego i stycznego. Odległości punktów krzywej od płaszczyzny ściśle stycznej mają minimalne wartości w otoczeniu punktu styczności.

Środkiem krzywizny krzywej w danym punkcie nazywamy punkt przesunięty w stosunku do rozptraywanego punktu krzywej o promień krzywizny wzdłuż wektora normalnego. Środek krzywizny leży na płaszczyźnie ściśle stycznej.

Okręgiem ściśle stycznym do krzywej w danym punkcie nazywamy okrąg leżący w płaszczyźnie ściśle stycznej, o promieniu równym promieniowi krzywizny ze środkiem w środku krzywizny. Odległości punktów krzywej odokręgu ściśle stycznego mają minimalne wartości w otoczeniu punktu styczności.

W punktach regularnych krzywej definiujemy wektor binormalny
oraz skręcenie (torsję) krzywej
.

Łatwo udowodnić, że
.

Wzory Serreta - Freneta. W punktach regularnych krzywej wektory: styczny
, normalny
i binormalny
są jednostkowymi i wzajemnie ortogonalnymi oraz

;
;
.

Dowód: Jednostkowość wektorów została udowodniona podczas ich definiowania. Aby udowodnić prostopadłość wektora stycznego do normalnego zróżniczkujemy tożsamość
otrzymując

Zatem, wobe regularności rozpatrywanego punktu krzywej
co dowodzi ortogonalności rozpatrywanych wektorów.

Z definicji wektora binormalnego wynika jego prostopadłość do wektorów stycznego i normalnego.

Pierwszy wzór Serreta - Freneta wynika bezpośrednio z definicji wektora normalnego.

Aby wyprowadzić drugi wzór zauważymy, że z udowodnionej już jednostkowości i wzajemnej ortogonalności wektorów stycznego, normalnego i binormalnego wynika, że możemy rozłożyć poszukiwaną pochodną na składowe w osiach Serreta - Freneta

.

Z ortogonalności wektorów stycznego i normalnego (
) wynika

oraz

.

Z jedostkowości wektora normalnego (
) wynika

Z definicji skręcenia wynika
. Zatem

Wobec definicji wektora binormalnego (
)

bo


Siły przekrojowe w pręcie zakrzywionym

Oznaczenia:

- Moment przekrojowy względem środka ciężkości przekroju.

- Siła przekrojowa

- Obciążenie ciagłe na jednostkę długości osi pręta.

- Ciagłe obciążenie momentowe na jednostkę długości osi pręta.

Różniczkowe równania równowagi. W każdym punkcie ciągłości obciążeń
 i 
będący punktem regularnym osi pręta zachodzi

;
.

Dowód: Wektor główny układu sił działających na odcinek pręta

.

Różniczkowanie względem
daje
.

Moment główny układu sił działających na odcinek pręta

Różniczkowanie względem
daje

a po wykorzystaniu pierwszego równania równowagi i definicja wektora stycznego



Oznaczenia składowych:

- moment skrecający.

- moment zginający normalny.

- moment zginający binormalny.

- siła normalna.

- siła poprzeczna (tnąca) normalna.

- siła poprzeczna (tnąca) binormalna.

Różniczkowe równania równowagi. W każdym punkcie ciągłości obciążeń
 i 
będący punktem regularnym osi pręta zachodzi

;
;

;

;
;
.

Dowód: Podstawiamy rozkład
do pierwszego równania równowagi
otrzymując

.

Wzory Serreta - Freneta dają

a po zrzutowaniu na osie Serreta - Freneta

;
;

.

Podstawiamy rozkłady
i
dodrugiego równania równowagi
otrzymując

Wzory Serreta - Freneta dają

a po zrzutowaniu na osie Serreta - Freneta otrzymujemy

;
;



Siły przekrojowe w płaskim pręcie zakrzywionym

Różniczkowe równania równowagi. W każdym punkcie ciągłości obciążeń
 i 
będący punktem regularnym osi pręta zachodzi

;
.

Różniczkowe równania równowagi. W każdym punkcie ciągłości obciążeń
 i 
będący punktem regularnym osi pręta zachodzi

;
;
;

;
;
.

Tarcie Coulomba

Dwa ciała oddziałujące na siebie z tarciem wg. hipotezy Coulomba

1. Brak poślizgu jednego ciała względem drugiego

- normalna do ewentualnej płaszczyzny poślizgu składowa oddziaływania

- styczna do ewentualnej płaszczyzny poślizgu składowa oddziaływania

- współczynnik tarcia statycznego zależny od materiałów, temperatury itp, ale niezależny od nacisku jednego ciała na drugie.

2. Poślizg jednego ciała względem drugiego

- współczynnik tarcia kinetycznego zależny od materiałów, temperatury itp, ale niezależny od nacisku jednego ciała na drugie.

- prędkość poślizgu jednego ciała względem drugiego.

---