Analiza niezawodności

1.Pojęcia podstawowe

a) Wprowadzenie do analizy niezawodności w etapie projektowania

Rozwój techniki w głównych kierunkach automatyzacji produkcji, intensyfikacji procesów roboczych i transportu, koncentracji znacznych mocy itp. ograniczony jest wymogami niezawodności. Współczesne środki techniczne składają się ze znacznej liczby współdziałających ze sobą mechanizmów, aparatów i przyrządów.

Na przykład w zautomatyzowanych liniach walcowniczych można wyróżnić ponad milion składowych elementów, systemy kierowania rakietami składają się z milionów ich, tymczasem pierwsze proste maszyny i odbiorniki radiowe składały się tylko z dziesiątek lub setek.

W złożonych systemach występujących w znacznych i1ościach, uszkodzenie jednego elementu doprowadzić może w następstwie do strat ekonomicznych, technicznych i za­grożeń życia ludzkiego. Dlatego podstawowym zadaniem inżyniera konstruktora i spe­cjalisty

od niezawodności jest dobór najkorzystniejszych parametrów, konstrukcyjnych

i mechanicznych urządzenia z uwzględnieniem takich czynników jak: koszt, niezawodność, ciężar i wie1kość. Dla osiągnięcia tego celu konieczna jest ocena niezawodności w etapie projektowania.

Stosowane dotychczas sposoby projektowania, oparte na subiektywnie przyjmowanych współczynnikach takich jak współczynnik bezpieczeństwa i zapas pewności, nie pozwalają sądzić o prawdopodobieństwie uszkodzenia elementu. Wielu konstruktorów uważa,

że uszkodzenie elementu można wykluczyć, stosując współczynniki bezpieczeństwa przewyższające pewne dopuszczalne wartości. W rzeczywistości przy tym samym współczynniku bezpieczeństwa, prawdopodobieństwo uszkodzenia może wahać się

w szerokich granicach. Stosowanie współczynników bezpieczeństwa uzasadnione jest jedynie w tym przypadku, gdy ich wartości wyznaczono na podstawie szerokich badań elementów analogicznych do projektowanych. Oprócz tego, parametry konstrukcyjne często

są zmiennymi losowymi, co w pełni jest pomijane przy zwykłych metodach projektowania.

Jest zatem oczywiste, że deterministyczne podejście do projektowania nie jest wiary­godne

z punktu widzenia analizy niezawodności. Dlatego celowe jest wprowadzenie metod projektowania, które uwzględniałyby losowy charakter parametrów konstrukcyjnych, dzięki czemu niezawodność można byłoby wyznaczać w etapie konstruowania. W tym przypadku wszystkie parametry konstrukcyjne muszą być określone przez odpo­wiednie rozkłady naprężeń i wytrzymałości . Jeżeli oba rozkłady są określone, to łatwo można wyznaczyć prawdopodobieństwo uszkodzenia elementu.

Pierwszym etapem przy projektowaniu elementu jest określenie warunków zewnętrznych, gdyż są one jednym z ważniejszych czynników mających wpływ na wytrzymałość

i naprężenia. Przy obliczaniu wytrzymałości należy uwzględnić własności materiału

i rozkłady prawdopodobieństwa takich czynników, mających wpływ na wytrzymałość jak np. wielkość elementu, chropowatość powierzchni i sposób obróbki, a także temperatura.

Przy obliczaniu naprężeń należy uwzględnić statystyczne dane o obciążeniach i rozkładach parametrów wpływających na naprężenia, np. koncentracja naprężeń, temperatura, zużycie materiałów par kinematycznych itp.

Dla zapewnienia efektywności stosowania metodyki obliczeń na niezawodność, in­żynier konstruktor powinien posiadać dostateczną informację o rozkładach wytrzymałości różnych tworzyw oraz dane o pogarszaniu się własności oraz obliczeniowe dane o rozkładach obciążeń.

1.Schemat blokowy postępowania przy stosowaniu metod probabilistycznych w obliczeniach konstrukcyjnych

Proces analizy niezawodności może składać się z następujących etapów:

1. Przeprowadzenie wstępnego projektowania.

2. Ocena zewnętrznych czynników oraz środowisko.

3. Analiza wstępnego wariantu układu przy uwzględnianiu działających na elementy

obciążeń z uwzględnieniem ich rozkładu.

4. Dobór materiałów ze wzglądu na ich własności i ce1owość ekonomiczną.

5. Charakterystyka wytrzymałości materiału i niszczących obciążeń ze względu na ich

rozkłady.

6. Ilościowa ocena wytrzymałości i obciążeń niszczących, które zależą od charakte­rystyki

materiału, geometrycznej konfiguracji elementów, spodziewanych roboczych obciążeń.

7. Opis łącznego oddziaływania wytrzymałości i obciążeń niszczących.

Jeżeli rozpatrzyć pełny program zapewnienia niezawodności przy projektowaniu, to powinien on uwzględniać następujące etapy:

1. Postawienie zadania.

2. Opracowanie rozwiązania konstrukcyjnego, wybór zespołów i podzespołów do analizy.

3. Analiza charakteru, następstwa i ważności uszkodzenia — wytypowanie słabych ogniw.

4. Sprawdzenie prawidłowości wyboru najbardziej ważnego parametru konstrukcyj­nego

np. słabego ogniwa.

5. Sformułowanie stosunku między parametrami krytycznymi i kryteriami, określającymi

pojawienie się uszkodzenia.

6. Obliczenie naprężenia powodującego pojawienie się uszkodzenia.

7. Wybór rozkładu naprężenia powodującego uszkodzenie.

8. Obliczenie wytrzymałości określającej powstanie uszkodzenia.

9. Wybór rozkładu wyżej wymienionej wytrzymałości.

10.Obliczenie wskaźników niezawodności związanych z tymi rozkładami, określają­cymi

pojawienie się uszkodzenia dla każdego krytycznego rodzaju uszkodzeń.

11. Powtórny cykl projektowania w celu zapewnienia żądanej niezawodności.

12. Optymalizacja konstrukcji z punktu widzenia charakterystyk roboczych, kosztu,

ciężaru itp.

13. Powtórny cykl optymalizacji dla każdego odpowiedzialnego elementu czyli słabego

ogniwa.

14. Obliczenie wskaźników niezawodności obiektu.

15. Powtórzenie wymienionych etapów w celu optymalizacji niezawodności obiektu.

b) Własności układów mechanicznych oraz elementów

Rozpatrzmy własności projektowanego obiektu w aspekcie niezawodności.

Niezawodność jest to właściwość obiektu utrzymywania zadanej funkcji, w zadanych warunkach eksploatacji w okreś1onym czasie.

Niezawodność, która określa wytrzyma1ość obiektu lub elementu, można zdefiniować następująco:

1. Niezawodność obiektu lub elementu jest to zdolność do przenoszenia obciążeń

w określonych warunkach i w określonym czasie przy zachowaniu wymaganej

wytrzymało­ści.

2. Niezawodność obiektu lub elementu jest to prawdopodobieństwo, że wartości

parametrów okreś1ajqcych naprężenia lub obciążenia występujące w danym obiekcie

lub elemencie nie przekroczą w ciągu okresu <0, t> dopuszczalnej wytrzymałości

czy nośności.

Niezawodność charakteryzuje się bezawaryjnością, naprawialnością to znaczy zdolnością do naprawy, zachowawczością i trwałością. Tak więc niezawodność charakteryzuje się wskaźnikami, które ujawniają się w eksploatacji i pozwalają sądzić o tym, na ile urządzenie potwierdza właściwą działalność wykonawców i użytkowników, ponieważ uszkodzenia mogą być wynikiem działalności konstruktorów, wykonawców i użytkowników.

Bezawaryjność jest to właściwość zachowania zdolności do pracy w okresie wykonywa­nia zadania, względnie zapewnienie wykonania danej liczby sztuk, lub przejechania danej liczby kilometrów bez przymusowych postoi. Właściwość ta szczególnie ważna jest dla maszyn, których uszkodzenie związane jest z niebezpieczeństwem życia ludzkiego lub z przerwą

w pracy większego kompleksu maszyn, z zatrzymaniem zautomatyzowanej produkcji lub

z brakiem bardzo drogiego urządzenia.

Trwałość jest to właściwość urządzenia lub elementu charakteryzująca się długotrwałym zapewnieniem zdolności do pracy aż do pewnego stanu granicznego z uwzględnieniem niezbędnych przerw na obsługę i naprawy. Stan graniczny charakteryzuje się niemożliwością dalszej eksploatacji, obniżeniem efektywności, sprawności lub bezpieczeństwa.

W przypadku elementów nienaprawialnych trwałość jest równa pracy bezawaryjnej mie­rzona

np. w jednostce czasu.

Bezawaryjność i trwa1ość jest jedną z najistotniejszych cech, którą należy zapewnić

w procesie projektowania i konstruowania. Wyżej wymienione wskaźniki są bardziej miarodajne aniżeli klasyczny współczynnik bezpieczeństwa.

Zachowawczość to właściwość urządzenia charakteryzująca się zdolnością do utrzymania niezbędnych cech eksploatacyjnych po odpowiednim okresie przechowywania i transporcie.

Naprawialność cechuje się zdolnością urządzenia do łatwego i szybkiego ujawnienia, umiejscowienia, demontażu i usunięcia uszkodzenia przez obsługę techniczną i naprawę. Wraz ze złożonością obiektu trudniej jest znaleźć przyczynę uszkodzenia i miejsce uszkodzenia. Czas niezbędny na odkrycie przyczyn uszkodzenia może być wyższy od czasu naprawy. Trudności te spowodowały konieczność wprowadzenia tzw. układów modułowym, które są usuwane w całości po ich uszkodzeniu. Uszkodzenie jest poszukiwane i naprawiane poza linią produkcyjną. Naprawialność maszyn ma ogromne znaczenie dla użytkowników, gdyż wpływa na poziom strat w gospodarce narodowej.

Poza bezawaryjnością, trwałością naprawia1ność jest cechą, o której należy pamiętać

w trakcie konstruowania. Należy stawiać pytanie co będzie, gdy dany element ulegnie uszkodzeniu lub rozregulowaniu?

Jednym ze wskaźników określających wpływ napraw na niezawodność jest wskaźnik gotowości obiektu (układu):

gdzie:

E (T_k) to wartość oczekiwana (średnia) czasu utrzymywania się układu w stanie zdatności,

E (T_u) - wartość oczekiwana czasu od chwili pojawienia się uszkodzeń do jego usunięcia.

c) Uszkodzenia, ich klasyfikacja

Uszkodzenie to zjawisko naruszające stan zdatności, czyli zdo1ności do pracy, powo­dujące przejście do stanu niezdatności.

Uszkodzenie z punktu widzenia zjawiska fizycznego, może być związane ze zniszczeniem elementu lub jego powierzchni np. złamanie, wykruszenie, zużycie, korozja, starzenie i nie związane ze zniszczeniem np. zatkanie przewodów dopływu paliwa, oleju, innej cieczy, poluzowanie połączeń, zanieczyszczenie styków itp. W związku z występującymi uszko­dzeniami zachodzi potrzeba albo wymiany elementów albo oczyszczenia lub regulacji.

Ze względu na dalsze wykorzystanie obiektu, uszkodzenia można podzielić na pełne, wykluczające dalszą pracę bez ich usunięcia, oraz częściowe, przy których obiekt może być użytkowany, ale przy niepełnym wykonaniu założonych zadań. W tym wypadku może dana maszyna, np. pojazd samochodowy, pracować ale przy niepełnej mocy, pręd­kości czy wydajności.

W zależności od charakteru występowania uszkodzenia, może być ono nagle katastro­ficzne to znaczy nieparametryczne jak np. złamanie, skrzywienie, zablokowanie, zatarcie lub stop­niowe czyli normalne, parametryczne, zwane także zużyciowym jak np. różnego rodzaju zużycie, pełzanie, zmęczenie, starzenie, korozja itp. Ze względu na zakres zmian, uszkodzenia można wyróżnić jako odwracalne gdy istnieje możliwość przywrócenia stanu przed uszkodzeniem lub nieodwracalne gdy nie ma tej moż1iwości.

Spotyka się także uszkodzenia przemijające, samonaprawialne bezwładnościowe np. chwilowe działanie na dany układ niskich lub podwyższonych temperatur, chwilowe przekroczenie odkształceń sprężystych, w urządzeniach automatycznego podawania elementów na obrabiarkach chwilowe nie podanie, chwilowy poś1izg sprzęgła itp.

Ze względu na udział różnych elementów w procesie roboczym można je podzielić

na aktywne, bazowe i wspomagające. Ele­menty aktywne najczęściej mogą być tzw. słabymi ogniwami układów mechanicznych, gdyż przenoszą bezpośrednio obciążenie robocze.

Ich uszkodzenie powoduje najczęściej uszkodzenie maszyny. Ogólnie przez pojęcie słabego ogniwa rozumie się element układu o najniższej niezawodności i najbardziej kłopotliwy

w naprawie, powodujący duże prze­stoje.

Na rysunku 2 przedstawiono podział uszkodzeń ze względu na czynniki wymuszające.

Przedstawione podziały z różnego punktu widzenia pozwalają wytypować elementy

do obliczeń niezawodnościowych i ustalić kryteria obliczeniowe, a także wskazać na

nie­zbędną analizę skutków uszkodzenia pod względem napraw to znaczy czas i koszty jak też

oddzia­ływania na inne elementy. Podział uszkodzeń można przeprowadzić ze względu

na wytrzymałość, zużycie i sztywność elementów i układów .

2. Podział uszkodzeń ze względu na czynniki wymuszające

d) Uszkodzenia elementów maszyn jako rezultat działania obciążeń roboczych

1. Uszkodzenia zmęczeniowe, spowodowane zmiennymi naprężeniami.

W zależności od stanu odkształcenia i strefy ich oddziaływania występuje uszkodzenie pełne czyli objęto­ściowe albo niepełne to znaczy miejscowe miejscowe. Zmęczenie ogranicza czas pracy elementów maszyn, jeżeli naprężenia są wyższe od pewnego poziomu, który przy obciążeniu stacjonarnym charakteryzowany jest przez granicę wytrzymałości zmęczeniowej.

Granica ta może zanikać, a zniszczenie może zajść po bardzo dużej liczbie obciążeń przy równoczesnym działaniu korozji, wysokich temperatur, a także przy naciskach stykowych elementów hartowanych do wysokich twardości stali. Zmęczenie doprowadza do nagłego uszkodzenia po okresie rozwijającej się szczeliny aż do wielkości, przy której przekroczona zostaje wytrzymałość statyczna. W elementach o niewielkich przekrojach okres rozwoju szczeliny zmęczeniowej jest niewielki, w elementach o dużych przekrojach stanowi

on znaczną część całego okresu pracy po uszkodzeniu.

Liczba cykli obciążeń powodująca zmęczenie jest stosunkowo duża.

Uszkodzeniom zmęczeniowym ulegaj zęby kół zębatych, wały i osie, tłoczyska, sprężyny, resory, łożyska toczne i ślizgowe, śruby i kadłuby pras kuźni­czych, konstrukcje stalowe maszyn dźwigowo-transportowych i inne. Teoria zmęczenia jest oparta na teorii kumulacji uszkodzeń. Uszkodzenia zmęczeniowe należą do uszkodzeń stopniowych, normalnych, spowodowanych bodźcami kumulacyjnymi.

2. Deformacje plastyczne występują przy przeciążeniach w elementach wykonanych

z materiałów plastycznych charakteryzujących się tego typu odkształceniami.

Uszko­dzenie takie występuje w przypadku wałów, osi np. skrzywienie, śrub (wydłużenie przy skręcaniu), sprężyn (siadanie, czyli skracanie się wysokości sprężyny śrubowej, utrata postaci wyjściowej resoru), łożysk tocznych (wgniecenia elementów tocznych w bieżnię), zębów kół zębatych (wgniecenia współpracujących zębów, tj. utrata ewolwenty, wypływy boczne lub wierzchołkowe), wpustów i rowków wpustowych (zgniecenie wpustu lub wgniatanie rowków), roboczych zacisków uchwytów mocujących różne elementy, połączeń wciskowych przy dużych wciskach.

Uszkodzenia w postaci deformacji spowodowanej przeciążeniem zalicza się do uszko­dzeń nagłych, spowodowanych bodźcami skokowymi. Miejscowe deformacje plastyczne nie zawsze przyczyniają się do wyłączenia elementu z eksploatacji, stąd można je zaliczyć

do uszkodzeń niepełnych. Niektóre odkształcenia plastyczne doprowadzają do uszkodzenia dopiero po wielokrotnym ich wystąpieniu. Wtedy zaliczyć by je można do kumulacyjnych. Jeżeli kolejne etapy deformacji doprowadzają do uszkodzenia (deformacje plastyczne wpustu kolejnymi przeciążeniami powodują zmniejszenie przekroju ścinanego) innego rodzaju,

to uszkodzenie takie zalicza się do nakładających się, czyli relaksacyjnych.

c) Kruche pęknięcia spotykane są w przypadkach pracy elementów w niskich temperaturach, przy znacznych naprężeniach własnych, obciążanych udarowo z materiałów o dużej twardości elementów posiadających znaczne koncentracje naprężeń, przy występowaniu kruchości cieplnej, promieniowania radioaktywnego w warunkach ziemskich lub kosmicznych, złożonych odlewów żeliwnych i innych przy awaryjnych obciążeniach. Kruche pęknięcia zalicza się z punktu widzenia niezawodności do uszkodzeń skokowych.

d)Pełzanie jest to proces stopniowej deformacji przy długotrwałym obciążeniu.

Pod­stawowe znaczenie praktyczne dla elementów metalowych, ma pełzanie przy wysokich temperaturach (elementy parowych turbin, kotłów). Pełzanie łopatek i tarcz wirujących może doprowadzić do likwidacji luzów między łopatkami i korpusem i w rezultacie do awarii turbiny. Pełzanie elementów z mas plastycznych zmniejsza ich zastosowanie ze względu

na istotny wpływ temperatury. Pełzanie należy do uszkodzeń stopniowych.

5. Utrata sztywności. Sztywność maszyn i elementów niejednokrotnie jest bardzo istotna

i traktowana powinna być na równi z kryterium wytrzymałościowym. W wielu elementach maszyn naprężenia są znacznie niższe od dopuszczalnych, natomiast wymiary ich wyznaczane są z warunków sztywności. Do elementów, których wymiary ustalane są przez ich sztywność zaliczyć można podstawy maszyn, kadłuby, elementy napędów np. długie wały skrzyń przekładniowych, sprzęgła sprężyste, elementy przyrządów pomia­rowych itp.

Sztywność elementów w sposób zasadniczy rzutuje na ich obciążenie przy udarach

i drganiach. W warunkach drgań wymuszonych wpadanie w rezonans przy danym wymuszeniu zależy od odpowiedniej sztywności i mas.

Samo przekroczenie pewnych wartości odkształceń sprężystych nie powoduje uszko­dzenia pełnego, lecz wpływa na jakoś warunków pracy elementów, przyczyniając się do ich przyspieszonego uszkodzenia np. zbytnie ugięcie wału pogarsza współpracę zębów kół zębatych, lub do wywołania innych niekorzystnych zjawisk jak drgania wymuszone powodujące wzrost amplitud zmęczeniowych. Powyższy rodzaj uszkodzenia zaliczyć można do przemijających.

f) Zużycie to proces uszkodzenia powierzchniowych warstw przy tarciu, doprowadzającym

do zmiany wymiarów, kształtu i stanu powierzchni. Zużycie jest powodem uszko­dzeń większości maszyn i elementów.

Jeżeli powierzchnie współpracujących elementów nie są rozdzielone warstwą to proces zużycia zachodzi nieprzerwanie. W procesie tym występuje parametr czasu, podobnie jak

w procesie zmęczenia. Zużycie zalicza się zatem do uszkodzeń stopniowych spowodowanych bodźcami kumulującymi.

Wartością graniczną wyznaczającą czas eksploatacji lub przebieg drogi jest na ogól dopuszczalna wartość zużycia. Jako przykłady elementów zużywających się można wyliczyć: płytki lub okładziny w sprzęgłach i hamulcach, prowadnice, panewki łożyskowe (wytarcie panewek w łożysku ś1izgowym silnika doprowadza do uderzania wirnika o sto­jan), elementy przekładni ciernych, nakrętki, śruby pociągowe obrabiarek, uszczelnienia (wytarcie przy obrocie lub suwach), pierścienie i cylindry tłokowe itp. Zużycie poszczególnych elementów nie zawsze jest bezpośrednio szkodliwe, lecz może przyczynić się do powstawania wtórnego uszkodzenia. Wytarcie się gwintu lub zęba koła zębatego dopro­wadzi do przekroczenia nośności gwintu to znaczy ścięcie lub zęba np. złamanie u podstawy. Jak wspomniano wyżej, tego rodzaju uszkodzenia zalicza się do relaksacyjnych, nakładających się.

2. Klasyfikacja obciążeń, naprężeń i wytrzymałości

a) Obciążenia w maszynach

Obciążenia, działające na elementy maszyn, można podzielić na użyteczne i nieużyteczne to znaczy szkodliwe. Użyteczne obciążenia wykorzystywane są do prowadzenia procesów robo­czych. Nieużyteczne obciążenia występują w trakcie pracy maszyn i w zasadzie składają się ze szkodliwych obciążeń dynamicznych, stykowych lub krawędziowych, związanych

z koncentracją obciążeń czyli nacisku na powierzchniach styku. Koncentracja obciążenia różni się od koncentracji naprężenia tym, że występuje na powierzchniach stykających się elementów.

Należy zaznaczyć, że nie wszystkie obciążenia dynamiczne są szkodliwymi.

W za1eżności od przebiegu obciążeń w czasie, można je podzielić na stale i zmienne.

Obciążenia stale to przede wszystkim siły ciężkości, obciążenia od napięcia wstępnego,

od stałego ciśnienia cieczy lub gazu. Zalicza się do nich obciążenia stale w przedziale odpowiedniego cyklu roboczego. Nadmierne obciążenia stale mogą wywołać odpowiednie uszkodzenia, nieodwracalne, np. odkształcenie trwale lub pęknięcie, deformacje miejscowe, uszkodzenie warstwy zahartowanej itp.

Obciążenia od sił ciężkości występują w maszynach transportowych i dźwigowych

w maszynach do głębokiego wiercenia. Występują one także w maszynach posiadających ciężkie wirniki z masami wyważonymi. Obciążenia od napięcia wstępnego mogą osiągać znaczne wartości i przyczyniać się do powstawania uszkodzeń. W rezultacie działania takich obciążeń może wystąpić naderwanie śrub, zwłaszcza o małych średnicach przy zakręcaniu, pęknięcie pierścieni przy nasadzaniu z maksymalnym wciskiem, wy­gniatanie wgłębień na bieżniach łożysk tocznych itp.

Na naprężenia stale oblicza się większość połączeń nitowych, śruby ze znacznym napięciem wstępnym, kotły i zbiorniki, elementy z długotrwałym cyklem obciążenia.

Przyczynami zmienności obciążeń w maszynach mogą, być:

• nierównomierność procesu roboczego maszyna-silnik na przykład w maszynach

tłokowych,

• wewnętrzna dynamika, uruchomienie, hamowanie, nawroty, przyspieszenia zespołów

• mechanizmów, nie wyważenie mas i błędy wykonania,

• nierównomierność i zmienność procesu roboczego maszyna-narzędzie.

Maszyny o przerywanym cyklu pracy np. strugarki, dłutownice, przeciągarki, prasy,

koparki. Naj­większa zmienność obciążeń występuje w maszynach udarowego

i wibracyjnego działania,

- zmienność charakteru pracy, siły oporu i dynamiczne w maszynach transportowych,

• porywy wiatru działające na samolot lub konstrukcje stalowe.

Wymienione wymuszające obciążenia wywołują drgania w układzie, możliwe jest także powstanie drgań samo wzbudnych prowadzących do niestateczności dynamicznej.

W większości maszyn naprężenia są zmienne.

Obciążenia stale mogą wywoływać naprężenia zmienne w rezultacie:

1. obracania się elementów np. takich jak wały i osie w stosunku do obciążenia,

w re­zultacie czego włókna rozciągane po półobrocie stają się ściskanymi i na odwrót,

2. kolejne wchodzenie w zazębienie zębów kół, w związku z czym naprężenia

są pulsującymi.

Obciążenia zmienne mogą występować o stałym i zmiennym poziomie lub mogą być stacjonarne albo niestacjonarne. Niestacjonarne obciążenia to obciążenia ze zmieniającymi się parametrami, takimi jak amplitudy i wartości średnie. Przeważająca większość maszyn pracuje przy niestacjonarnych obciążeniach.

Zmienność obciążeń pojazdów samochodowych może być związana: z załadunkiem np. pojazd może jechać z pełnym ładunkiem, częściowo załadowany lub bez ładunku,

z ukształtowaniem terenu np. jazda w górę, po powierzchni płaskiej, jazda z góry, z rodzajem nawierzchni drogi lub gruntu np. asfalt, bruk, droga gruntowa, piasek, z różną prędkością jazdy, ze sposobem ruszania i hamowania, z kwalifikacją kierowcy itd. Każdy z tych czynników może zmieniać wartość obciążenia.

Uniwersalne obrabiarki mogą pracować przy operacjach zgrubnych czy wykończających,

w warunkach produkcji jednostkowej lub seryjnej, wykonując prace na elementach drobnych lub dużych wymiarów, z różnych materiałów, przy wykorzystywaniu różnych narzędzi. Momenty skręcające w śrubach pociągowych, wrzecionach, mogą zmieniać się co do wartości setki razy. Specjalne maszyny technologiczne, wykorzystywane przy produkcji masowej, także poddawane są obciążeniom zmiennym w związku z różnymi operacjami technologicznymi i z okresowym przestrajaniem ich na wykonywanie innych części.

b) Cechy obciążeń i wytrzymałości

Uszkodzenia elementów poddawanych obciążeniom zależą od ich wartości i przebiegu, kształtu i wielkości elementów oraz od ich wytrzymałości.

Wytrzymałość jest to maksymalne naprężenie lub obciążenie, jakie może przenieść element przy określonych warunkach zewnętrznych. Wytrzymałość może być także określona przez trwałość układu przy konkretnym schemacie przyłożenia obciążeń lub przy określonym widmie obciążeń. Oprócz tego wytrzymałość może w .różny sposób zależeć od przebiegu zmian naprężeń w czasie. Powszechnie wytrzymałość jest określona przez takie wskaźniki jak: granica plastyczności lub sprężystości, wytrzymałość doraźną, wytrzymałość na pełzanie lub kruche pękanie i wytrzymałość zmęczeniowa uzależniona od sposobu obciążenia i liczby cykli obciążenia.

Obciążenia charakteryzują się ich wartością, długotrwałością ich przyłożenia

i długotrwałością okresów pomiędzy okresami przyłożenia obciążenia.

Obciążenia wszelkich układów mogą występować według następujących zasad:

1) obciążenie przykładane jest w znanych momentach czasu t₁, t₂, ..., t_n . W tym przypadku zmiany mogą mieć charakter okresowy. Mogą to być zmiany sezonowe, dobowe, cykle między włączeniami lub między poszczególnymi zabiegami technologicznymi o ustalonym programie, okresowe spadki i wzrosty obciążenia itd. Długotrwałości cykli w tych przypadkach są znane wcześniej, a zatem są wielkościami zdeterminowanymi, przy czym obciążenia mogą być stałe lub zmieniać się od cyklu do cyklu. Typowym przebiegami

są obciążenia występujące periodycznie.

2) obciążenia występują w przypadkowych okresach. W tym przypadku długo­trwałość cykli jest zmienną losową. Losowa długotrwałość tych cykli może mieć na przy­kład rozkład Poissona, wykładniczy lub gamma. Tę grupę obciążeń zaliczamy do nie­periodycznych.

W etapie konstruowania istnieje niepewność w stosunku do wartości przyjmowanych naprężeń i wytrzymałości, a także w stosunku do zachowania się naprężeń w danym elemencie i wytrzymałości w czasie. Obciążenia i wytrzymałość mogą być traktowane jako zdeterminowane lub zmienne losowe zależne i niezależne. Wartości cech przyjmuje się jako zdeterminowane, gdy są one ściśle wyznaczone wcześniej. Takie założenie jest możliwe, gdy np. proces produkcji jest całkowicie kontrolowany. W rzeczywistości bywa tak rzadko, jednakże w niektórych przypadkach wielkości zdeterminowane mogą służyć do aproksymacji rzeczywistych przebiegów. Przyjmowanie wartości obciążeń i wytrzymałości jako zdeterminowanych jest dopuszczalne w etapie wstępnych obliczeń konstrukcyj­nych.

Zmienna losowa zależna jest zadana w czasie, tj. zmienia się ona w czasie według z góry znanego przebiegu. Jeżeli z pewnego zbioru, wybiera się jeden element, to wartość jego cech np. wytrzymałość do momentu jego wyboru, jest przypadkowa. Gdy tylko dany element zostanie włączony w układ, to jego cechy w danej chwili są stale i pozostają takie aż do momentu uszkodzenia. Może zaistnieć sytuacja, że zmieniają się one według zadanego prawa, np. z powodu zużywania się, starzenia, zmęczenia itp. Taką zmienną losową nazywa się także ustaloną. Interesuje nas zachowanie się obciążenia i wytrzymałości w czasie w zależności od czasu lub liczby cykli zadziałania obciążenia.

W początkowym okresie wytrzymałość jest zmienną losową, która poprzez reali­zację zadanej funkcji zmienia się następnie w czasie według znanego przebiegu.

Niech f_z(Z₀) oznacza gęstość rozkładu wytrzymałości początkowej Z₀.

Wtedy wytrzymałość Z(t) w dowolnym momencie czasu t określimy jako:

Z (t) = Z_oφ_z(t)

gdzie: Z_o to wytrzymałość początkowa o znanej gęstości g₀(Z₀), _z(t) — funkcja opisująca charakter zmienności np. korozję, starzenie lub zużycie.

Odpowiednio może zmieniać się obciążenie lub naprężenie X (t) wtedy

X (t) = X₀ φ_x(t).

W przypadku, gdy wytrzymałość zależy od krotności przyłożenia obciążenia będzie

Z (N) = Z_oφ_z(N).

W obu przypadkach zachowanie się wie1kości Z jest zadane przez wie1kość Z_o.

Może to być np. funkcja

Z(t) = Z₀(1—bt) dla Z(t) > 0,

Z(N)=Z₀(1—bN)
lub
,

gdzie: Z₀ jest graniczną wartością wytrzymałości zmęczeniowej wyznaczoną przy N₀ cykli,

N - liczba cykli zadziałania danego obciążenia.

Równania te wykazuje, że wytrzymałość zmniejsza się z czasem lub liczbą cykli obciążenia odpowiednio przy α > 0 oraz b > 0.

W przypadku gdy następuje umocnienie materiału lub oddziaływanie czynników zewnętrznych, wartość b może być ujemna, wtedy wytrzymałość wzrasta.

Spadek wytrzymałości lub wzrost obciążenia z czasem nazywa się starzeniem materiału lub układu. Przykładem starzenia materiału może być także korozja. Jeżeli wytrzymałość zależy zarówno od liczby cykli przyłożenia obciążenia jak i od ich wie1kości, to taki efekt nazywany jest kumulowaniem lub sumowaniem się uszkodzeń, doprowadzającym do zmęczenia. Wytrzymałość może zależeć także od ko1ejności przykładanego obciążenia.

W ogólnym przypadku może zaistnieć działanie łączne czasu i cykli obciążeń, wtedy wytrzymałość będzie opisana jako:

Z (t, N) = Z₀ φ_z(t, N)

gdzie: φ_z(t, N) jest funkcją opisującą łączny wpływ czasu i liczby cykli obciążenia.

Jeżeli następujące po sobie zmienne losowe są statystycznie niezależne, tzn. gdy obserwacja dowolnego jednego znaczenia naprężeń lub wytrzymałości nie daje jakiejkolwiek informacji o wartościach, które wystąpią w okresach późniejszych, to takie zmienne losowe nazywa się niezależnymi. Przykładem mogą tu być obciążenia w elementach pojazdów poruszających się po różnych nawierzchniach, po różnym terenie, przy podmu­chach wiatru itp.

Takim prawom podlegają obciążenia i naprężenia stanowiące proces stochastyczny.

Procesy stochastyczne dzielą się na stacjonarne i niestacjonarne.

Proces nazywany jest stacjonarnym, jeżeli jego rozkład prawdopodobieństwa nie zależy od chwili początkowej.

Dla procesów stacjonarnych istnieje tzw. twierdzenie ergodyczne: ,,z dużej liczby badań jednego obiektu w wybranych przedziałach czasu wynikają takie same własności statystyczne, jak z takiej samej liczby badań przepro­wadzonych na zbiorze dowolnie wybranych obiektów danego typu w jed­nym i tym samym przedziale czasu”.

Z powyższego twierdzenia wynika między innymi wniosek, że wartość oczekiwana dla zbiorowości, otrzymana z badań zbioru obiektów, równa jest wartości oczekiwanej w czasie, wyznaczonej na podstawie wielokrotnych badań jednego obiektu. Tak więc dla przeprowadzenia analizy parametrów rozkładu obciążenia lub naprężenia, można

w tym przypadku wykorzystać badania z jednego wybranego dowolnego przedziału czasowego.

W praktyce procesy niestacjonarne zastępuje się stacjonarnymi, występującymi w pewnych przedziałach czasowych.

Wytrzymałość maże zmieniać się losowo i być niezależną, od cyklu do cyklu tylko w tym przypadku, jeżeli wpływają na nią inne czynniki otoczenia zewnętrznego, jak np. temperatura i wibracja, które nie zależą od procesu przyłożenia obciążenia.

c) Przebiegi obciążeń

Obciążenia niestacjonarne zmieniające się okresowo. Zmieniające się okresowo obciążenia

w dostatecznie określonym porządku, jak wspom­niano, występują w maszynach o działaniu periodycznym. Do takich maszyn zaliczyć można: walcarki, prasy i młoty, nożyce, wytłaczarki, elementy silników spalinowych, maszyny do prac ziemnych jak koparki, ładowarki, zgarniacze, suwnice i wsadzarki, wciągarki, wywrotnice kolejowe itp.

d) Obciążenia zmieniające się w czasie losowo

W wielu przypadkach eksploatacji maszyn i urządzeń mamy do czynienia z obciążeniami występującymi losowo zarówno co do wartości, jak czasu trwania i pojawiania. się.

Są to obciążenia niezależne, na ogół niestacjonarne, wynikające bądź to z warunków eksploatacji, konstrukcji maszyny i jej stanu technicznego.

Maszynami i urządzeniami, w których występują zmieniające się od cyklu do cyklu obciążenia są wszelkie pojazdy, a więc samochodowe, kolejowe oraz szynowe i powietrzne maszyny do prac ziemnych czyli w czasie trwania cyklu roboczego, maszyny do urabiania skał kombajny itp.

3. Prawdopodobieństwo poprawnej pracy i współczynnik bezpieczeństwa jako kryterium wytrzymałości i trwałości elementów maszyn

a) Klasyfikacja modeli obciążenie nośność lub naprężenie wytrzymałość

Jako podstawę oceny wytrzymałości elementów maszynowych przyjmuje się prawdopodobieństwo przekroczenia granicznego poziomu wytrzymałości lub nośności. Zakresy wartości granicznych wytrzymałości podano w poprzednim rozdziale.

Z punktu widzenia niezawodności obliczenie na wytrzymałość sprowadza się do wyznaczenia prawdopodo­bieństwa przekroczenia danego poziomu naprężeń granicznych Z, o okreś1onym polu rozrzutu, przez losowe naprężenie robocze σ w danym czasie t.

W obliczeniach na niezawodność należy także w pewnych przypadkach, wziąć pod uwagę pogarszanie się własności wytrzymałości Z, w zależności od czasu pracy lub od poprzednich cykli obciążeń, lub ewentualny wzrost obciążeń ze względu na pogarszanie się stanu technicznego urządzenia. W ostatnim przypadku jest to możliwe, jeżeli dostępne są wyniki pomiarów, umożliwiające wprowadzenie korekty do obliczeń konstrukcyjnych elementów maszyn wbudowywanych po pewnym okresie eksploatacji układu mechanicz­nego. Problem opisu procesów powodujących powstawanie uszkodzeń, a zwłaszcza usta­lenie typów funkcji rozkładu czasu pracy do uszkodzenia jest jednym z fundamentalnych zagadnień niezawodności maszyn. Rodzaj przyjętej funkcji powinien odpowiadać fizycznym procesom zachodzącym w danym układzie mechanicznym i w materiale elementu narażonego na dane obciążenie. Znajomość przebiegu obciążeń w czasie oraz zachodzących procesów fizycznych umożliwia myś1ową rekonstrukcję rzeczywistych procesów przy ograniczonej ilości informacji w postaci danych doświadcza1nych.

Poniżej przedstawiono pewną klasyfikację modeli Z, a wytrzymałość (naprężenie) lub nośność (obciążenie), ażeby na podstawie niej można było opisywać wzajemne układy tych wielkości. Jako czynnik zasadniczy przy budowie modeli przyjęto parametr czasu lub liczbę cykli.

Z σ		Zmienna losowa Wytrzymałość Z1	Proces losowy
						Ciągły Z2	Przerywany Z3
Zmienna losowa naprężenie σ		Z I σ t	Z II σ t	Z III σ t
losowy	Ciągły σ	Z IV σ t, Nc	Z V σ t, Nc	Z VI σ t, Nc
Proces	Przerywany σ	Z VII σ t, Nc	Z VIII σ t, Nc	Z IX σ t, Nc

Modele zmiennych losowych i procesów losowych naprężenia i wytrzymałości

Metody tradycyjne polegają albo na wyznaczeniu współczynnika bezpieczeństwa, albo

na stwierdzeniu poziomu prawdopodobieństwa zajścia lub nie zajścia uszkodzenia

w pierwszym cyklu obciążenia, tj. w chwili t = 0 .

Do metod tych można zaliczyć metodę obliczania ,,gwarancji uszkodzenia” Rżanicyna czy też Strie­leckiego. Metoda ta odpowiada na pytanie, jakie jest prawdopodobieństwo ,,urodzenia martwego dziecka”, a nie rozpatruje się dalszych losów żywego.

Analizę moż1iwości zachorowań, a w układzie mechanicznym uszkodzeń, można przepro­wadzić dopiero wtedy, jeżeli są, znane procesy fizykalne opisane chociaż w przybliżeniu przez funkcje losowe. Naprężenie σ lub obciążenie i wytrzymałość Z czy nośność , mogą być opisane statystycznie jako zmienne losowe lub jako procesy losowe, ciągle lub przerywane to znaczy dyskretne.

Model (1) podstawowy, najogólniej stosowany, przedstawia sytuację, która ma miejsce tylko wtedy, gdy rozpatrywany jest układ o wytrzymałości Z, na który może zadziałać zmienna losowa o poziomie a, przy niezmiennych wartościach w czasie. Model ten może być zastosowany do obliczania prawdopodobieństwa uszkodzenia elementu, obciążonego jednorazowo siłą wywołującą naprężenia odpowiadające zakresowi I lub zakresowi III (prosta1). W tym drugim przypadku obliczenie dotyczy prawdopodo­bieństwa uszkodzenia przez zmęczenie elementu przy liczbie cykli N≥ N₀ . Model ten może także być stosowany, gdy należy odpowiedzieć na pytanie np. jakie jest prawdo­podobieństwo uszkodzenia połączenia wciskowego, kojarzonego losowo, chodzi o pasowanie czop-pierścień, jeżeli obciążenie wystąpić może o różnej wartości, opisanej danym rozkładem.

Model H jest charakterystyczny dla starzenia się materiałów lub całego układu.

Prze­bieg według linii a dotyczy przypadku, gdy element jest obciążony stałym naprężeniem a

w trakcie projektowania będące zmienną losową, natomiast wytrzymałość jego oznaczona, przez Z, na skutek czynników zewnętrznych maleje, czego przyczyną może być korozja, kruchość, pełzanie itp. Ponieważ σ i Z są zmiennymi losowymi, należy zatem postawić pytanie, jakie jest prawdopodobieństwo przetrwania w czasie t.

Przebieg według linii b charakteryzuje sytuacja starzenia się układu lub elementu.

Pewną ilustracją jest np. wzrost naprężeń zginających stopy zęba na skutek zużycia przez wytarcie, podobne zjawisko zachodzić przy zużywaniu się powierzchni roboczych gwintu mechanizmów śrubowych lub połączeń śrubowych często rozkręcanych i zakręcanych.

W praktyce można zaobserwować także przypadki połączone a i b, tj. gdy wzrostowi naprężeń towarzyszy także obniżenie wytrzymałości.

Z punktu widzenia obliczeń matematycznych przypadki a i b są sobie równoważne.

Rozważymy przypadek zużywającego się gwintu i możliwość ścięcia po pewnym czasie. Jeżeli obliczenie prowadzi się według naprężeń, to przy stałym obciążeniu uwzględ­nia się,

że naprężenie tnące wzrasta, wytrzymałość na ścinanie natomiast jest stała, jest to więc przypadek b. Gdy obliczenie prowadzi się według nośności granicznej, to przy stałym obciążeniu zdolność do przenoszenia tego obciążenia w czasie maleje, mamy tu do czynienia z przypadkiem a. Model III jest charakterystyczny dla elementów pracujących w różnych temperaturach. Jak wiadomo, w temperaturach niskich wytrzymałość materiałów rośnie, w wyższych maleje. Model IV przedstawia klasyczny przypadek uszkodzenia katastroficznego. Na skutek nagłego wzrostu obciążenia danego procesu losowego następuje przekroczenie losowej wartości Z. Przy czym Z nie musi charakteryzować tylko wytrzymałości, lecz może to być dopuszczalne odkształcenie sprężyste, lub dopuszczalna. temperatura pracy pary trącej, lub tworzywa, dopuszczalne wydłużenie itp.

Model V to sytuacja, gdy następuje utrata wytrzymałości lub nośności, przy równoczesnym oddziaływaniu obciążeń zmiennych doprowadzających do uszkodzenia katastroficznego,

w momencie gdy ich wartość wzrośnie do wartości Z w czasie t. Model VI jest charakterystyczny dla uszkodzeń zmęczeniowych. Zmienne naprężenia przyczyniają się

do obniżania się wytrzymałości zmęczeniowej wraz z liczbą cykli losowo zmiennych obciążeń. Jest to zatem także proces, w którym zachodzi starzenie się ma­teriału.

Model ten jest stosowany przy obliczaniu elementów maszynowych pracujących w zakresie wytrzymałości zmęczeniowej ograniczonej, oznaczonej jako zakres II lub III czyli prosta 2. Model VII jest charakterystyczny dla układów pracujących przy ruchu przerywanym,

o ciągłych rozruchach i hamowaniu. W każdym cyklu roboczym może wystąpić nagły wzrost obciążenia i uszkodzić jeden element lub cały układ mechaniczny.

W praktyce można spotkać wiele przypadków odpowiadających temu modelowi np. lądowania sa­molotu, rozruch silnika samochodowego, ,,ostry start” lub hamowanie, szarpnięcie liny wyciągowej, wchodzenie narzędzia w materiał obrabiany, podnoszenie ciężarów przez różne urządzenia dźwigowe, wejście materiału między walce walcarki, cięcie materiałów o różnych grubościach i własnościach itp.

Model VIII jest uogólnieniem modelu VII, gdyż uwzględnia starzenie się obiektu lub materiału obciążonych elementów.

Model IX jest w sensie fizycznym odpowiednikiem modelu VI, gdyż w tym przypadku także uszkodzenie spowodowane jest zmęczeniem materiałów z tą różnicą, że obciążenia występują okresowo w postaci impulsów mechanicznych lub cieplnych o równych przer­wach czasowych.

Można by rozszerzyć tą tablicę uwzględniając w różnych modelach podobne przypadki jak

w modelu II. Może powstać sytuacja łącząca VIII i IX, kiedy następuje zarówno starzenie

się układu (wzrost obciążeń dynamicznych i częstości drgań) oraz utrata wy­trzymałości.

4. Kierunek zapewnienia i podwyższenia niezawodności

Poziom niezawodności jakim będzie charakteryzował się układ mechaniczny w eksploatacji zależy od jego konstrukcji i wykonania. Oczywistą rzeczą, że sposób użytkowania będzie wpływał na utrzymanie się zadanego poziomu niezawodności. Ponieważ etap konstruowania jest pierwszym, w którym powstaje pomyślany układ mechaniczny, etap ten ma decydujące znaczenie w zapewnieniu niezawodności. W etapie tym należy wykorzystać wszelkie działania, które idą w kierunku przyjęcia właściwych struktur układu i wysokiej jakości elementów układu. Jak wynika z niniejszego rozdziału, najkorzystniejsze układy to układy

z rezerwowaniem. Nie w każdej sytuacji można budować układy równoległe, lecz w każdym przypadku muszą być przewidziane elementy, podzespoły lub zespoły rezerwowe do wymiany. Dlatego też w etapie projektowania ważnym zadaniem jest wskazanie na elementy, które mogą być „słabymi ogniwami”.

Do czynników jakościowych można zaliczyć:

1) konstrukcyjne:

- uniknięcie ostrych koncentratów naprężeń obniżających wytrzymałość zmęczeniową,

• budowa połączeń z minimalnymi naprężeniami wstępnymi, zwłaszcza rozciągającymi

np. połączenia wciskowe zastępować klejonymi lub klejowo-wciskowymi

• budowa par kinematycznych o minimalnym zużyciu, jak np. łożyska tarcia płynnego, zamiana tarcia ślizgowego na toczne itp.

• samokompensacja zużycia i samosmarowność,

• ograniczenie źródeł powstawania niepożądanych sił dynamicznych i wibracji,

• samonastawialność i samoregulacjia układu ze względu na utrzymanie parametrów projektowych,

• zabezpieczenie przed działaniem czynników agresywnych i zanieczyszczeń,

• przyjmowanie właściwych rozwiązań napędów mający wpływ na okresowy rozruch

i hamowania,

• ustalenie właściwego programu procesu technologicznego w celu uzyskania bardziej wyrównanych bloków obciążeń,

• stosowanie różnego rodzaju zabezpieczeń przed przeciążeniami,

2) technologiczne:

• stosowanie materiałów z ulepszonymi własnościami mechanicznymi,

• nakładanie specjalnych warstw o wysokich własnościach mechanicznych i przeciwzużyciowych,

• zalecanie właściwej obróbki cieplno-chemicznej podwyższające własności warstwy wierzchniej,

• stosowanie obróbki powierzchniowej w celu usunięcia wszelkich zadrapań i zmniejszenia chropowatości do koniecznego minimum,

• zalecanie umocnienia powierzchniowego przez dogniatanie, dzięki czemu uzyskuje się wygładzenie i utrwalenie powierzchni przez podwyższenie wytrzymałości zmęczeniowej,

• przeprowadzenie kontroli własności użytkowych elementów maszyn, w tym kontrola rentgenograficzne i defektoskopowa, oraz kontroli oraz tolerancji wymiarów i kształtów.

Bardzo istotny wpływ na niezawodność ma konstrukcja układu ze względu na możliwość napraw, po ewentualnym uszkodzeniu. Konstruowany układ winien się charakteryzować wykrywalnością uszkodzeń, diagnozowalnością, dostępnością do uszkodzenia, naprawialnością, a w tym technologicznością naprawy, zamiennością elementów itp.

Ażeby konstruowane maszyny były budowane na rzetelnych podstawach obliczeniowych, muszą być prowadzone badania na prototypach maszyn i w ich eksploatacji. Badania powinny dawać informacje co do przebiegów obciążeń jak i wartości naprężeń w elementach narażonych na uszkodzenia. Badania statystyczne prowadzone w czasie eksploatacji maszyn mogą dać wskaźniki służące do ich modernizacji i do konstruowania nowych ulepszonych maszyn.

a) Parametry zmiennych losowych stosowanych w obliczeniach konstrukcyjnych

Niezawodność maszyn i urządzeń zależy zazwyczaj od wielu parametrów konstrukcyjnych, które są na ogół zmiennymi losowymi. Pełny opis charakterystyk roboczych można uzyskać tylko w tym przypadku, jeżeli uzyska się dostateczną liczbę danych oraz informacji o warunkach pracy układu. Przedmiotem rozwiązań w tej części jest następujące ogólne zadanie: dana jest funkcja zmiennej losowej x₁, x₂, ...,x_n,

y = f (x₁, x₂, ...,x_n ),

należy znaleźć niektóre własności zmiennej losowej y, jako funkcję zmiennych losowych

x₁, x₂, ...,x_n . Zmienne te mogą być niezależnymi (rozpatrywane modele będą oparte na tym założeniu). Jeżeli gęstość prawdopodobieństwa rozkładu zmiennych losowych x₁, x₂, ...,x_n są znane, to gęstość prawdopodobieństwa wartości y będzie mogła być wyznaczona.

b) Przekształcenia zmiennych losowych

Rozpatrzymy funkcję dwóch zmiennych losowych. Jeżeli każdej parze możliwych zmiennych losowych z i x odpowiada jedno znaczenie x, to y nazywa się funkcją dwóch zmiennych losowych z i x

Rozpatrzymy przypadek:

y = z + x oraz y = z - x

Takie przypadki często występują w praktyce np. przy sumowaniu naprężeń zginających i rozciągających, przy obliczeniu luzów w łożyskach ślizgowych itp. Różnica dwóch wielkości losowych to klasyczny przykład problemów wytrzymałości elementów konstrukcji, w który to przypadku interesuje nas różnica między naprężeniem dopuszczalnym a naprężenie roboczy w elemencie, przy czy różnica większa od zera wskazuje bezpieczeństwo konstrukcji. Założymy, że z i x są wielkościami nieujemnymi i niezależnymi. Gęstość rozkładu zmiennej losowej y może być znaleziona z zależności

(1.1)

lub z zależności równoważnej

(1.2)

We wzorach znak + (plus) odnosi się do różnicy, znak - (minus) do sumy dwóch zmiennych losowych z i x.

Gęstość prawdopodobieństwa zmiennych losowych z i x stanowią funkcje rozkładu normalnego. Znaleźć gęstość prawdopodobieństwa sumy tych zmiennych.

Z warunku, że:

(1.3)

(1.4)

Po podstawieniu do (1.1) i po wprowadzeniu do f_z (z), z = y + x, będzie

gdzie:

Jak z powyższych przekształceń wynika, suma zmiennych losowych o gęstości rozkładu normalnego daje gęstość rozkładu normalnego tych zmiennych, a odchylenie średnie jest średnią kwadratową składowych odchyleń wielkości z i x.

c) Obliczenie wartości średnich oraz wariancji funkcji zmiennych

losowych

W wielu przypadkach trudno jest znaleźć gęstość prawdopodobieństwa funkcji zmiennych losowych. W tych przypadkach, w celu rozwiązania zadań inżynierskich wystarczy wyznaczyć wartości średnie, czyli oczekiwane E(y) i wariancję D(y) przekształconej zmiennej losowej lub wielu składowych zmiennych losowych. Na wstępie rozpatrzymy przykład, gdy x jest jednowymiarową zmienną losową. Rozłożenie funkcji y = f(x) wokół punktu x = m w szereg Taylora przedstawia się następująco:

(1.5)

wartość oczekiwana przybiera wartość:

(1.6)

W obliczeniach ogranicza się liczbę wyrazów we wzorze (1.6) oraz pomija się resztę szeregu R_n jako wartości bardzo małe, zwłaszcza gdy wartości skupione są blisko wokół m, wtedy:

( x - m) ≈ 0 oraz E ( x - m) ≈ 0

W przypadku rozkładu normalnego E(x-m)=0

Wartości oczekiwane (x-m) podnoszone do potęgi 2k (parzystej) są odpowiednimi wariancjami podnoszonymi do potęgi k, a zatem

E ( x- m)² = D_{x ,}

E ( x- m)⁴ = D_x² itp.

Po uwzględnieniu powyższych założeń:

Zazwyczaj wystarczającą dokładność uzyskuje się po uwzględnieniu dwóch pierwszych wyrazów.

Ażeby znaleźć przybliżoną wartość wariancji funkcji jednej zmiennej losowej, należy znaleźć wartość wariancji poszczególnych członów szeregu Taylora, a mianowicie

Ograniczając wartość do jednego członu, po odrzuceniu wartości bardzo małych

Rozpatrzymy następnie aproksymację funkcji n zmiennych losowych, tj. y=f(x)= f(x₁,x_2,.....x_n).

Oznaczymy przez m_1,m_2,...m₄ wartości oczekiwane oraz S₁,...., S_n ich odchylenie średnie.

Rozkładając daną funkcję w szereg Taylora uzyskamy w zapisie symbolicznym:

Wartość oczekiwana:

Po odrzuceniu członów wyższych rzędów i pozostawieniu dwóch członów zerowych będzie:

Wariancja złożonej funkcji losowej będzie w przybliżeniu równa:

Teraz obliczymy wartość oczekiwaną oraz wariancję kompozycji dwóch i wielu zmiennych losowych: a) y = x₁ ± x₂

E(y) = E(x₁) ± E(x₂) = m₁ ± m₂

b) y = x₁x₂

wykorzystajmy wzór
i

E(y) = E(x₁)E(x₂); y = m₁ m₂

Jeżeli wartość D (x₁ x₂) wyznaczyć ze wzoru przybliżonego

wtedy

jeżeli

to takie przybliżenie jest wystarczające.

Wzór
można zapisać w postaci zależnej od współczynników zmienności, tj.

Współczynnik zmienności iloczynu y = x₁ x₂ będzie

lub po odrzuceniu

c)

gdzie a wartość zdeterminowana.

Wariancja według wzoru
ma postać:

Po odrzuceniu wartości bardzo małych będzie także

Współczynnik zmienności będzie równy

W ogólnym przypadku wartość średnia iloczynu funkcji wielu zmiennych może być zapisana w postaci:

Natomiast współczynnik zmienności będzie równy:

Jeżeli zmienne losowe są zależnie skorelowane, wtedy

gdzie
współczynnik korelacji.

Rozkład zmiennych losowych.

Suma zmiennych losowych.

Dla Z = X + Y wygodnie jest napisać następujący układ równości odpowiadający przekształceniu

x = x, z = x + y

stąd otrzymujemy związki odpowiadające przekształceniu odwrotnemu

x = x, y = x + z

Jakobian tego przekształcenia jest równy jedności, a mianowicie

Gęstość g(x,z) łącznej zmiennej losowej (X,Y) jest funkcją f(x, z-x).

Gęstość zmiennej losowej Z otrzymujemy jako gęstość brzegową w rozkładzie zmiennej (X,Y). Oznaczamy ją przez g(z).

Otrzymamy wówczas wzór

Znając gęstość g(z) otrzymujemy wzór na dystrybuantę G(z) już bezpośrednio z definicji

Powyższy wzór można również otrzymać z
stosując podstawianie y = t - x. Jeżeli zmienne losowe X i Y są niezależne, to korzystając ze wzoru f(x,y)=f₁(x)f₂(y) otrzymujemy wzór

oraz

Przebieg rozumowania w następnych przypadkach będzie analogiczny jak poprzednio, wobec czego ograniczymy się do przedstawienia zwięzłych szablonów.

Iloczyn zmiennych losowych.

Niech Z = X⋅ Y i X ≠ 0. Wówczas x = x, z = xy, tzn. x = x,
.

Wówczas

,

więc

lub w przypadku zmiennych niezależnych

Podobne rozumowanie przeprowadza się przy założeniu Y≠0.

Iloraz zmiennych losowych

Niech
, X ≠ 0. Wówczas x = x,
, tzn. x = x, y = xz.

Wówczas

,
,

więc

lub w przypadku zmiennych losowych niezależnych

Funkcje zmiennej losowej wielowymiarowej

Niech (X₁,X_2,........X_n) będzie n-wymiarową zmienną losową i niech zmienna losowa Z będzie funkcją zmiennych losowych X_1,X₂,......X_n, czyli Z = g(X_1,X₂,......X_n,)

Znając rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej (X_1,X₂,......X_n,), możemy wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej Z.

Niech (X_1,X₂,......X_n,) będzie zmienną losową typu ciągłego o gęstości prawdopodobieństwa f; wówczas

(1.1)

(1.2)

po prawej stronie powyższego wzoru występuje suma n-krotna względem i₁,i₂,...,i_n, przy czym zakres sumowania jest taki, że
.

Na podstawie wzorów (1.1) (1.2) zostaną omówione metody znajdowania rozkładów sum, różnic, iloczynów i ilorazów zmiennych losowych.

Suma

Niech Z = X1 + X2 +......+ X_n,

Wówczas wzory (1.1) (1.2) przyjmą odpowiednio postać

(1.3)

(1.4)

jeżeli n = 2, to ze wzoru (1.3) wynika, że:

(1.5)

Dokonujemy podstawienia x₂ = u - x₁, a następnie zmieńmy kolejność całkowania; wówczas otrzymamy

(1.6)

w punktach ciągłości funkcji f możemy różniczkować prawą stronę, zatem w tychże punktach

(1.7)

czyli f_z jest splotem funkcji

Znajdowanie rozkładu sumy zmiennych losowych na podstawie wzorów (1.3)-(1.7) może wiązać się z kłopotami rachunkowymi. Wśród zagadnień dotyczących badania własności funkcji zmiennych losowych problem sumy jest jednym z ważniejszych. Z praktycznego punktu widzenia sumy występują wszędzie tam, gdzie obserwujemy sumaryczny efekt oddziaływania losowych czynników, innymi słowy tam, gdzie oddziaływania poszczególnych czynników sumują się.

Obliczanie parametrów warunków zewnętrznych

Statystyczne dane o wytrzymałości i rozkłady

Statystyczne dane o parametrach warunków zewnętrznych

Statystyczne dane o materiałach i rozkłady

Obliczanie wytrzymałości

Statystyczne dane o wytrzymałości i rozkłady

Obliczanie niezawodności

Statystyczne dane o naprężeniach oraz rozkłady

Obliczanie naprężeń

Statystyczne dane o obciążeniach, dane z pomiarów obciążeń w czasie i rozkłady

Pęknięcie odkszt. .objętość miejscowe lub

Wytrzymałość (odporność)

obciążenie

Zupełnie zniszczone

pożar

Złamanie

uderzenie

przeciążenie

Ubytki warstwy wierzch.

zużycie

ślizgowe powierzchnie

obrotowe stykowe

toczne

strumieniowe

Utrata własności i ubytek

korozja

naprężeniowa

międzykrystaliczna

równomierna

miejscowa

miejs

Utrata własności

Starzenie

obciążenia cieplne

obciążenia dynamiczne

pełzanie

Pęknięcie

zmęczenie

zmienne rozciąganie

zmienne zginanie

zmienne skręcanie

zmienne naprężenia skokowe

Przypadkowe- skokowe

normalne- zużyciowe

uszkodzenia

X

eksplozja

przyczyny

rodzaj

objawy

---