Przykład 1
Jednorodna belka o długości 2l i ciężarze G jest oparta dolnym końcemA o chropowatą poziomą płaszczyznę, a w punkcie C o gładki występ. W położeniu równowagi belka tworzy z płaszczyzną poziomą kąt , a odcinek AC = 1,5l. Znaleźć współczynnik tarcia ślizgowego statycznego w punkcie A.




R o z w i ą z a n i e 
W położeniu równowagi belki jej koniec A ma tendencję do przesuwania się w lewo. Siła tarcia T₁ jest skierowana przeciwnie do możliwego ruchu, a więc w prawo. Po przyjęciu prostokątnego układu współrzędnych otrzymuje się następujące równania równowagi belki

                  

W przypadku poszukiwania współczynnika tarcia ślizgowego statycznego w położeniu granicznym równowagi belki (tarcie całkowicie rozwinięte) otrzymuje się

                  

Po rozwiązaniu powyższego układu równań współczynnik tarcia wynosi

                  

Przykład 2
Jednorodny pręt AB o ciężarze G opiera się końcem A o poziomą podłogę i końcem B o pionową ścianę. Dane są współczynniki tarcia o podłogę i ścianę, równe odpowiednio _i _. Znaleźć reakcje w punktach A i B oraz graniczną wartość kąta nachylenia pręta.




R o z w i ą z a n i e
Po przyjęciu prostokątnego układu współrzędnych Axy otrzymamy następujące równania równowagi

                  

W przypadku poszukiwania granicznej wartości kąta nachylenia pręta, siły tarcia T₁ i T₂ osiągają swe graniczne wartości (są całkowicie rozwinięte), a wiec są równe

                  

Po rozwiązaniu otrzymanego układu równań otrzymany poszukiwane wartości reakcji R_A i R_B oraz kąta 




Przykład 3 
Na dwóch równiach pochyłych, tworzących z poziomem kąty i , ustawiono dwa ciała A i B o ciężarach G i Q połączone nieważkim cięgnem wiotkim przerzuconym przez krążek C. Współczynniki tarcia obu ciał o równie są równe  _i ₂. Określić, w jakich granicach może się zmieniać wartość ciężaru Q ciała B ( przy założeniu, że ciężar G ciałaA jest stały), aby układ ciał A i B pozostawał w równowadze.




R o z w i ą z a n i e
Zacznijmy od przypadku, gdy ciężar Q ciała B ma wartość maksymalną, przy której możliwa jest jeszcze równowaga. Po przekroczeniu tej wartości ciało B zacznie zjeżdżać z równi pochyłej o kącie , a ciało Azacznie się poruszać do góry po równi pochyłej o kącie . W rozważanym granicznym przypadku (rys. b) siły tarcia T₁ i T₂ osiągną maksymalne wartości i skierowane są przeciwnie do możliwego ruchu. Przyjmując prostokątne układy współrzędnych Oxy, związane z obydwoma ciałami, w których oś Oy jest prostopadła do równi, a oś  Oxrównoległa do równi, otrzymujemy następujące równania równowagi dla:

• ciała A

              

• ciała B

                   

Ponadto na podstawie praw tarcia możemy napisać

                   

Po rozwiązaniu otrzymanego układu równań znajdujemy maksymalną wartość ciężaru ciała B

                  


Postępując podobnie jak poprzednio, przy założeniu, że wartość ciężaruQ będzie minimalna, tzn. układ będzie miał tendencję ruchu w przeciwną stronę  ciało A będzie miało tendencję do zjeżdżania z równi kącie , a ciało B zacznie poruszać się do góry po równi pochyłej o kącie . W tym granicznym przypadku (rys. c), siły tarcia T₁i T₂są skierowane przeciwnie do możliwego ruchu. Pisząc odpowiednie równania równowagi i zależności między siłami tarcia a siłami normalnymi (korzystając z praw tarcia), otrzymamy również układ równań. Po rozwiązaniu równań otrzymamy minimalną wartość ciężaru ciała B

                  
 
Na podstawie otrzymanych wyników możemy stwierdzić, że wartość ciężaru ciała B powinna pozostawać w następujących granicach

                  

Przykład 4 
Ciało A o ciężarze G położono na płycie B o ciężarze Q i połączono je nieważkim cięgnem wiotkim przerzuconym przez krążek C. Obliczyć maksymalną wartość poziomej siły P przyłożonej do ciała A, przy której ciało A będzie pozostawać w spoczynku, jeżeli współczynnik tarcia ślizgowego (statycznego) ciała A o płytę B wynosi _, a płyty B o podłoże₂.Tarcie cięgna o krążek C należy pominąć. Ponadto wyznaczyć napięcia cięgna  S₁ i S₂, reakcje normalne N₁ i N₂ oraz siły tarcia T₁ i T₂. 




R o z w i ą z a n i e.
Przedmiotem rozważań jest układ złożony z dwóch ciał A, B i krążka C. Na ciało A działa ciężar własny G, siła P, napięcie sznura S₁ oraz siły T₁ iN₁ oddziaływania płyty B. Na płytę B działa jej ciężar Q, napięcie sznuraS₂, reakcja normalna podłoża N₂ i nacisk N₁ ciała A oraz siły tarcia T₁ iT₂. Na krążek C działają napięcia sznura S₁ i S₂.
W rozpatrywanym układzie występuje zatem siedem niewiadomych: P,S₁, S₂, N₁, N₂, T₁ i T₂musimy więc ułożyć siedem równań.
Równania równowagi ciała A

                  

Równania równowagi płyty B

                  

Równanie równowagi krążka C

                  

Dalsze dwa związki wynikają z faktu, że maksymalna wartość siły P, przy której ciało A będzie jeszcze pozostawać w spoczynku, odpowiada siłom tarcia całkowicie rozwiniętego.

                  

Po rozwiązaniu powyższych równań otrzymujemy

                  

Przykład 5
Ciało A zostało zawieszone na linie CF, która została przerzucona przez nieruchomy, chropowaty krążek. Na drugim końcu liny w punkcie Fprzywiązano ciało B o ciężarze G, leżące na poziomej płaszczyźnie. Współczynnik tarcia ślizgowego (statycznego) ciała B o poziomą płaszczyznę wynosi _i liny o powierzchnię krążka ₂. Wyznaczyć maksymalną wartość ciężaru ciała A w położeniu równowagi układu.




R o z w i ą z a n i e.
W rozpatrywanym przypadku, gdy ciężar ciała A ma wartość maksymalną, przy której możliwa jest jeszcze równowaga, siła S₂ w linieCD jest większa od siły S₁ w linie EF. Między tymi siłami istnieje zależność, zgodnie z którą

                  

Po przyjęciu układu współrzędnych Oxy, otrzymuje się równania równowagi:

• dla ciała A

             

• dla ciała B

              

Korzystając z praw tarcia, można napisać

                  

Po rozwiązaniu otrzymanego układu równań, znajduje się maksymalną wartość ciężaru ciała A.

                  

Przykład 6
Nieważki pręt AB o długości l opiera się w punkcie A na stałej podporze przegubowej. Na końcu pręta w punkcie B przymocowano cięgno, które przerzucono przez chropowaty krążek i na jego końcu E przywiązano ciało F o ciężarze G, leżące na równi pochyłej tworzącej z poziomem kąt= 30º. Współczynnik tarcia ślizgowego ciała F o równię wynosi _, a cięgna o powierzchnię krążka ₂. Wyznaczyć, w jakich granicach musi się mieścić wartość pionowej siły P, przyłożonej w środku pręta AB, aby zachodziła równowaga?




R o z w i ą z a n i e.
Rozpatrzmy przypadek, gdy siła P ma wartość maksymalną, przy której jest jeszcze możliwa równowaga układu. Po przekroczeniu tej wartości ciało F zacznie poruszać się w górę równi pochyłej. W rozpatrywanym granicznym przypadku siła S₂ w linie BC jest większa od siły S₁ w linie DEi istnieje między nimi zależność

                  

Po przyjęciu odpowiednich układów współrzędnych otrzymujemy równania równowagi dla:

• ciała F

               

• pręta AB

              

Na podstawie praw tarcia

                  

Po rozwiązaniu otrzymanego układu równań znajdujemy maksymalną wartość siły P 

                  


Rozpatrzmy drugi przypadek, gdy siła P osiąga wartość minimalną, przy której możliwa jest jeszcze równowaga układu. Ciało F ma wtedy tendencję do zsuwania się po równi pochyłej. Między siłami w cięgnie zachodzi teraz następująca zależność

                  

Po uwzględnieniu przeciwnego zwrotu siły tarcia otrzymujemy równania równowagi dla:

• ciała F 
                
  

• pręta AB

              

Ponadto z praw tarcia mamy

                  

Rozwiązując ten układ równań, znajdujemy minimalną wartość siły P 

                  

Wartość siły P powinna więc zawierać się w następujących granicach

                  


Przykład 7
Walec o promieniu r i ciężarze G spoczywa na równi pochyłej nachylonej do poziomu pod kątem . Znaleźć maksymalną wartość kąta , przy której równowaga walca jest jeszcze możliwa. Współczynnik tarcia tocznego jest równy f.

                            


R o z w i ą z a n i e.
Układamy równania równowagi walca. Równania równowagi rzutów sił na osie x i y są następujące

                  

Stąd
                  

Jeżeli walec ma być w równowadze, to moment siły G względem punktuA musi być mniejszy lub równy momentowi tarcia tocznego

                  
 
Po podstawieniu poprzednio uzyskanej wartości siły normalnej Notrzymujemy

                  

czyli
                  

Kąt , spełniający tę zależność, powinien wynosić

                  

Natomiast maksymalny kąt  

                  

Przykład 8
Walec o ciężarze Q spoczywa na płycie o ciężarze G i opiera się o pionową ścianę. Obliczyć maksymalną wartość siły P, jaką można przyłożyć do cięgna przywiązanego do płyty i przerzuconego przez chropowaty krążek, aby układ pozostawał w równowadze, jeżeli wiadomo, że walec będzie się toczył bez poślizgu po płycie, a ślizgał względem pionowej ściany. Współczynnik tarcia tocznego walca po płycie wynosi f. Współczynnik tarcia ślizgowego cięgna o krążek wynosi_, płyty o podłoże jest równy _, a walca o pionową ścianę _.




R o z w i ą z a n i e.
Związek między napięciami cięgna wyraża się wzorem

                  

Równania równowagi walca

                  

Równania równowagi płyty

                  

Na podstawie praw tarcia otrzymujemy dodatkowe dwa równania

                  

Po rozwiązaniu powyższego układu równań otrzymujemy

                  

---