Politechnika Śląska

Wydział AEiI

Kierunek AiR

Ćwiczenia laboratoryjne z fizyki :

Wyznaczanie przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła matematycznego i wahadła rewersyjnego.

Grupa V, sekcja 7

Jacek Satława

Tomasz Wolszczak

Gliwice 16.04.1999

1.Opis teoretyczny ćwiczenia.

Przyśpieszenie ziemskie możemy wyznaczyć kilkoma sposobami . W naszym labolatorium posługujemy się wahadłem matematycznym (prostym) i fizycznym (rewersyjnym).

a) wahadło proste:

Jest to odwzorowanie wahadła matematycznego. Składa się ono z metalowej kuli zawieszonej na nieważkiej , nierozciągliwej nici.

Wahadło matematyczne wychylone z położenia równowagi o kąt β porusza się pod wpływem składowej Fs własnego ciężaru . Dla małych kątów sinβ ≈β ( w mierze łukowej) ,czyli

Za drugiej zasady dynamiki :

Z porównania tych wielkości otrzym,ujemy równanie ruchu drgającego prostego :

przy czym :

stąd po przekształceniach okres drgań wahadła wynosi:

[s]

b) wahadło fizyczne :

To bryła wykonująca drgania wokół osi poziomej ulokowanej powyżej środka ciężkości. Na bryłę wychyloną z położenia równowagi działa moment siły :

b - odległość osi obrotu od środka ciężkości.

Dla małych kątów sinβ ≈β ( w mierze łukowej).

Z drugiej zasady dynamiki dla bryły :

Z czego otrzymujemy równanie ruchu dla wahadła fizycznego :

przy czym :

Stąd okres drgań wahadła fizycznego wynosi :

[s]

2. Opis przebiegu ćwiczenia.

a) Wyznaczanie przyśpieszenia grawitacyjnego za pomocą wahadła matematycznego:

Do wyznaczenia przyśpieszenia ziemskiego za pomocą tego wahadła , wystarczy zmierzyć jego długość i okres drgań.

Pomiary dokonujemy dla jedenastu różnych długości tego wahadła.

Przyśpieszenie wyznaczamy z charakterystyki zależności okresu od pierwiastka z długości wahadła:
, jest to funkcja liniowa , której tangens kąta nachylenia wynosi:
z tej zależności otrzymujemy przyśpieszenie ziemskie:

b) Wyznaczanie przyśpieszenia grawitacyjnego za pomocą wahadła fizycznego:

Zamiast rzeczywistego wahadła fizycznego , stosujemy asymetryczne wahadło rewersyjne.

Aby wyznaczyć przyśpieszenie za pomocą tego wahadła musimy doprowadzić do zrównania się okresów drgań wahadła dla obu zawieszeń. W tym celu przesuwamy jeden z ciężarków aż do momentu zrównania się okresu drgań w obu zawieszeniach .Otrzymujemy w ten sposób okres drgań tego wahadła , przy czym znając długość zredukowaną ( odległość miedzy osiami obrotu ) możemy wyznaczyć przyśpieszenie ziemskie :

l - długość zredukowana ;

3. Opracowanie wyników pomiarów:

a) wahadło matematyczne:

Z regresji liniowej liczymy równanie funkcji liniowej
które ma postać:

T ²= 25,189*l + 0,2364 [s²]

Długość (l+R)[cm]	Czas t[s]	Okres T	T^2	(l+R)^2	(l+R)*T^2
0	0	0	0	0	0
21,11	18,174	0,9087	0,82574	445,63	367,976
23,11	18,964	0,9482	0,89908	534,07	480,173
25,11	19,8	0,99	0,9801	630,51	617,964
27,11	20,634	1,0317	1,0644	734,95	782,283
29,11	21,415	1,07075	1,14651	847,39	971,543
31,11	22,103	1,10515	1,22136	967,83	1182,071
33,11	22,86	1,143	1,30645	1096,27	1432,224
35,11	23,54	1,177	1,38553	1232,71	1707,959
37,11	24,219	1,21095	1,4664	1377,15	2019,455
39,11	24,89	1,2445	1,54878	1529,59	2369,001
41,11	25,526	1,2763	1,62894	1690,03	2752,96
342,21	216,599	12,10625	13,47329	11086,13	14683,61	Suma

Dla regresji liniowej (gdzie a=tg) dla funkcji
:

a = Δa =

x=l , y=T²

Obliczając a_max i a_min obliczamy odpowiednie g_min i g_max a następnie błąd Δg=g_max - g

g = 9,946 ± 0.052

b) wahadło fizyczne:

Przyśpieszenie ziemskie liczymy ze wzoru:

gdzie: l = 412,2 ± 0,05 [mm]

T= 1,284 ± 0,006[s]

g = 9,875 ± 0,37

Obliczenie błędu z różniczki zupełnej:

gdzie ΔL = 5*10^-3 [m] , Δl = 5*10^-5 [m] , ΔT = 6,6*10^-3 [s]

Δl -błąd odczytu z suwmiarki , ΔL - błąd określenia położenia ciężarka

ΔT - 1/20 z 0.5% wskazania max stopera cyfrowego

Ostateczne wyniki:

Przyspieszenie wyznaczone za pomocą wahadła matematycznego: g = 9.946 ± 0.052

Przyspieszenie wyznaczone za pomocą wahadła rewersyjnego : g = 9.875 ± 0.37

4.Wykres.

Wykres dla wahadła matematycznego - zależność kwadratu okresu wahań od długości wahadła.

5. Wnioski.

Na niedokładność pomiaru przyspieszenia ziemskiego wg metod jak w ćwiczeniu , oprócz niedokładności pomiaru długości (dla wahadła matematycznego zawieszenie kulki ustalało się na podstawie podziałki mili metrowej ale za pośrednictwem wysięgnika z fotokomórką ; dla wahadła rewersyjnego ruchomy ciężarek przykręca się do pręta na którym wycięte są rysy - istotna będzie ich grubość) oraz okresu (pomijając dokładność cyfrowego stopera , dla wahadła matematycznego dla stosunkowo małej liczby pomiarów dochodzimy do wyników poprzez obliczenia matematyczne które wiąż się z błędami ) mają wpływ również inne czynniki.

Wahadło rewersyjne jest wahadłem fizycznym o specjalnej konstrukcji ograniczającej w pewnym stopniu wpływ tłumień drgań przez opór powietrza i zamocowanie w osi wahań , mino to trzeba te czynniki uwzględnić.

Wahadło proste nie jest idealnym wahadłem matematycznym , które tworzyła by masa punktowa (a nie kulka) zawieszona na nieważkiej i nierozciągliwej nici.

Oprócz tych odstępstw od idealnych modeli wahadeł , na podstawie których doprowadzone są wzory na przyspieszenie g , podczas doświadczenia zaobserwować można było drgania wahadeł w osi poziomej , które niewątpliwie wpływały na tłumienie drgań właściwych. Sposób wprawiania w ruch wahadeł oraz kąt odchylenia od położenia równowagi miały tu wpływu istotny.

Pomimo tego otrzymane wyniki zgadzają się w granicach obliczonych błędów z wartościami teoretycznymi ( przyspieszenie grawitacyjne normalne czyli na poziome morza na szerokości geograficznej 450 wynosi 9,80665 m/s2).

---