Dane:

n=3000 min^-1

p₀=10,5 MPa

d_p=0,931 m

$${(\frac{u}{c_{\phi}})}_{} = 0,526$$

N=24 MW

α₁ = 14

ρ_w = 6%

indeks "1" odnosi się do kierownicy

indeks "2" odnosi się do wirnika

Obliczenie prędkości obwodowej

$$u = \frac{\pi d_{p}n}{60} = \frac{\pi \bullet 0,931 \bullet 3000}{60} = 146\ \frac{m}{s}$$

Obliczenie prędkości fikcyjnej

$$c_{\phi} = \frac{u}{0,526} = \frac{146}{0,526} = 278\ \frac{m}{s}$$

Obliczenie spadku entalpii w stopniu turbiny

$$H_{s} = \frac{c_{\phi}^{2}}{2} = \frac{278^{2}}{2} = 38,65\ \frac{\text{kJ}}{\text{kg}}$$

Obliczenie strumienia pary

$$N = \dot{m}H_{s} = > \dot{m} = \frac{N}{H_{s}} = \frac{24 \bullet 10^{6}}{38,65 \bullet 10^{3}} = 632\ \frac{\text{kg}}{s}$$

Obliczenie reakcyjności na średnim promieniu, przyjęto $\frac{l}{d} = \frac{1}{10}$:

$$\rho = 1 - \left( 1 - \rho_{w} \right) \bullet (1 - 1,8\frac{l}{d}) = 1 - \left( 1 - 0,06 \right) \bullet (1 - 1,8\frac{1}{10}) = 0,23$$

$$H_{s}^{k} = \left( 1 - \rho \right) \bullet H_{s} = \left( 1 - 0,23 \right) \bullet 38,65 = 29,8\ \frac{\text{kJ}}{\text{kg}}$$

$$H_{s}^{w} = \rho \bullet H_{s} = 0,23 \bullet 38,65 = 8,86\ \frac{\text{kJ}}{\text{kg}}$$

Obliczenie prędkości teoretycznej wypływu z kierownicy c_1s

$$c_{1s} = \sqrt{2 \bullet H_{s}^{k}} = \sqrt{2 \bullet 29,8 \bullet 10^{3}} = 244\ \frac{m}{s}$$

Obliczenie rzeczywistej prędkości wypływu z kierownicy c₁, przyjęto ϕ=0,96

$${c_{1} = c}_{1s} \bullet \varphi = 244 \bullet 0,96 = 234\frac{\text{\ m}}{s}$$

Z wykresu i-s dla pary wodnej, odczytano wartość ciśnienia P₁ i P₂, oraz wartości objętości właściwej ϑ₁ i ϑ₂:

P1 [MPa]	P2 [MPa]	ϑ1 [m^3/kg]	ϑ2 [m^3/kg]
10	9,5	0,0298	0,0306

$$\dot{m} = \varrho \bullet A_{1} \bullet c_{1}$$

$$A_{1} = \frac{\dot{m \bullet}\vartheta_{1}}{c_{1}} = \frac{632 \bullet 0,0298}{244} = 0,0803\ m^{2}$$

A₁ = d_p • l₁ • τ • π • sinα₁

$$l_{1} = \frac{A_{1}}{d_{p} \bullet \tau \bullet \pi \bullet \sin\alpha_{1}} = \frac{0,0803}{0,931 \bullet 0,9 \bullet \pi \bullet \sin 14} = 0,1137\ m$$

Obliczenie prędkości w₁

$$w_{1} = \sqrt{c_{1}^{2} + u^{2} - {2 c}_{1} \bullet u \bullet \cos\alpha_{1}} = \sqrt{234^{2} + 146^{2} - 2 234 \bullet 146 \bullet \cos 14} = 99\ \frac{m}{s}$$

Obliczenie kąta β₁

$$\beta_{1} = \text{arctg}\left( \frac{\sin\alpha_{1}}{\cos\alpha_{1} - \frac{u}{c_{1}}} \right) = \text{arctg}\left( \frac{\sin 14}{\cos 14 - \frac{146}{234}} \right) = 35$$

Obliczenie prędkości w_2s

$$w_{2s} = \sqrt{2 \bullet H_{s}^{w} + w_{1}^{2}} = \sqrt{2 \bullet 8,8 \bullet 10^{3} + 99^{2}} = 166\ \frac{m}{s}$$

$$\dot{m} = \varrho \bullet A_{2} \bullet w_{2s}$$

$$A_{2} = \frac{\dot{m \bullet}\vartheta_{2}}{w_{2s}} = \frac{632 \bullet 0,0306}{166} = 0,166\ m^{2}$$

A₂ = d_p • l₂ • π • sinβ₂

l₂ = l₁ + 0, 004 = 0, 1177 m

Obliczenie kąta β₂

$$\beta_{2} = \operatorname{}\left( \frac{A_{2}}{d_{p} \bullet l_{2} \bullet \pi} \right) = \operatorname{}\left( \frac{0,166}{0,931 \bullet 0,1177 \bullet \pi} \right) = 20$$

Obliczenie prędkości w₂

z wykresu prędkości względnej odczytano współczynnik prędkości względnej ψ=0,93

$${w_{2} = w}_{2s} \bullet \psi = 166 0,93 = 154\ \frac{m}{s}$$

Obliczenie prędkości c₂

$$c_{2}^{} = \sqrt{{w_{2}}^{2} + u^{2} - 2 \bullet u{\bullet w}_{2} \bullet cos\beta_{2}} = \sqrt{154^{2} + 146^{2} - 2 \bullet 154 \bullet 146 \bullet \cos 20} = 52,3\ \frac{m}{s}$$

Obliczenie kąta α₂

$$\alpha_{2}^{} = \operatorname{}\left( \frac{w_{2} \bullet \sin\beta_{2}}{c_{2}} \right) = \operatorname{}\left( \frac{154 \bullet \sin 20}{52,3} \right) = 89$$

Obliczenia siły obwodowej oraz siły osiowej:

$$F_{u} = \dot{m}\left( w_{1u} + w_{2u} \right) = \dot{m}\left( w_{1} \bullet \cos\beta_{1} + w_{2} \bullet \cos\beta_{2} \right) = 632 \bullet \left( 99 \bullet \cos 35 + 154 \bullet \cos 20 \right) = 142,3\ kN$$

$$F_{a} = \dot{m}\left( w_{1a} - w_{2a} \right) + \pi dl_{2}\left( p_{1} - p_{2} \right) = \dot{m}\left( w_{1} \bullet \sin\beta_{1} - w_{2a}\operatorname{\bullet sin}\beta_{2} \right) + \pi d_{1}l_{2}\left( p_{1} - p_{2} \right) =$$

=632 • (99•sin35−154•sin20) + π • 0, 931 • 0, 1177 • (10•10⁶−9,5•10⁶) = 172 kN

$$l_{u} = u \bullet \left( w_{2u} + w_{1u} \right) = \ u \bullet \left( w_{2} \bullet \cos\beta_{2} + w_{1} \bullet \cos\beta_{1} \right) = 146 \bullet \left( 154 \bullet \cos 20 + 99 \bullet \cos 35 \right) = 33,05\ \frac{\text{kJ}}{\text{kg}}$$

$$\eta = \frac{l_{u}}{H_{s}} = \frac{33,05}{38,65} = 0,855$$

Obliczenia strat:
-strata wylotowa

$${h}_{\text{wyl}}^{} = \frac{c_{2}^{2}}{2} = \frac{{52,3}^{2}}{2} = 1,3\ \frac{\text{kJ}}{\text{kg}}$$

-strata w wirniku:

$$h_{w} = \frac{w_{2s}^{2} - w_{2}^{2}}{2} = \frac{166^{2} - 154^{2}}{2} = 1,8\ \frac{\text{kJ}}{\text{kg}}$$

-strata na kierownicy:

$$h_{k} = \frac{c_{1s}^{2} - c_{1}^{2}}{2} = \frac{244^{2} - 234^{2}}{2} = 2,4\ \frac{\text{kJ}}{\text{kg}}$$

Obliczenia pracy na obwodzie (z bilansu strat) oraz sprawności obwodowej:

$$l_{u} = H_{s}^{} - \left( {\Delta h}_{k} + {\Delta h}_{w} + {\Delta h}_{\text{wyl}} \right) = 38,65 - \left( 2,4 + 1,3 + 1,8 \right) = 33,2\ \frac{\text{kJ}}{\text{kg}}$$

$$\eta = \frac{l_{u}}{H_{s}} = \frac{33,2}{38,65} = 0,859$$

Obliczenia prędkości Macha na kierownicy i wirniku:

$$a_{1s}^{} = \sqrt{xp_{1}v_{1s}} = \sqrt{1,3 \bullet 10 \bullet 10^{6} \bullet 0,0298} = 622\ \frac{m}{s}$$

$$\text{Ma}_{1}^{} = \frac{c_{1s}^{}}{a_{1s}^{}} = \frac{244}{622} = 0,39$$

$$a_{2s}^{} = \sqrt{xp_{2}v_{2s}} = \sqrt{1,3 \bullet 9,5 \bullet 10^{6} \bullet 0,0306} = 615\ \frac{m}{s}$$

$$\text{Ma}_{2}^{} = \frac{w_{2s}^{}}{a_{2s}^{}} = \frac{166}{615} = 0,27$$

Obliczenia wytrzymałościowe łopatek kierownicy i wirnika :

Przyjęto wstępnie cięciwę profilu kierowniczego (profil C9015A):

s₁ = 80 mm

Umowna liczb Reynoldsa (dla v₁=6•10^-6 m²/s) :

$$\text{Re}_{1} = \frac{c_{1s}s_{1}}{v_{1}} = \frac{244 \bullet 0,08}{6 \bullet 10^{- 6}} = 3,12 \bullet 10^{6}$$

Jest to wartość większa od granicznej, która wynosi (Re)_gr=2•10⁵

Przyjmując cięciwę optymalną aerodynamicznie dla s/l=1

$$s_{\text{opt}} = {(\frac{s}{l})}_{\text{opt}} \bullet l_{1} = 1 \bullet 113,6 = 113,6\text{\ mm}$$

Wstępna kontrola wytrzymałościowa:

$$\sigma_{\text{zg}} = \frac{P_{u}l_{1}}{2z_{1}W_{\min}}$$

Obliczenie liczby łopatek:

$$z_{1} = \frac{\pi d_{p}}{t_{1}}$$

$$t_{1} = \overset{\overline{}}{t} \bullet s_{1} = 0,7 \bullet 70 = 49\ mm$$

$$z_{1} = \frac{\pi \bullet 0,931}{49} = 60$$

Wskaźnik minimalny na zginanie przy cięciwie atlasowej s’=51,46 mm wynosi W_min=0,45cm³.

Przy s₁=35 mm będzie:

$$W_{\min} = {W^{'}}_{\min}{(\frac{s_{1}}{s^{'}})}^{3} = 0,45{(\frac{80}{51,46})}^{3} = 1,69\text{cm}^{3} = 1,69 \bullet 10^{- 6}\text{\ m}^{3}$$

Obliczenie naprężenia zginającego:

$$\sigma_{\text{zg}} = \frac{P_{u}l_{1}}{2z_{1}W_{\min}} = \frac{142,3 \bullet 10^{3} \bullet 0,1137}{2 \bullet 60 \bullet 1,69 \bullet 10^{- 6}} = 92\ MPa$$

Przyjmuję σ_dop=162 MPa, wobec czego ze względów wytrzymałościowych wystarczyłaby cięciwa:

$$s_{1}^{'} = s_{1}\sqrt{\frac{\sigma_{\text{zg}}}{\sigma_{\text{dop}}}} = 70\sqrt{\frac{92}{162}} = 60\ mm$$

Jest to wartość mniejsza niż cięciwa optymalna aerodynamicznie, w związku z czym przyjęto: s₁=62mm.

Przyjęto wstępnie cięciwę wirnika (profil R3021A o kącie ustawienia 78° przy podziałce t=0,6)

s₂ = 35 mm

Umowna liczba Reynoldsa

$$\text{Re}_{2} = \frac{w_{2s}s_{2}}{v_{2}} = \frac{166 \bullet 0,035}{6 \bullet 10^{- 6}} = 3,278 \bullet 10^{6} = 0,9 \bullet 10^{6}$$

Wartość ta jest większa niż wartość graniczna (Re =2 · 10⁵).
Przyjmując cięciwę optymalną aerodynamicznie dla s/l=0,3

$$s_{\text{opt}} = {(\frac{s}{l})}_{\text{opt}} \bullet l_{2} = 0,3 \bullet 117,6 = 35,3\ mm$$

Wstępna kontrola wytrzymałościowa:

$$\sigma_{\text{zg}} = \frac{P_{u}l_{2}}{2z_{2}W_{\min}}$$

Obliczenie liczby łopatek:

$$z_{2} = \frac{\pi d_{p}}{t_{2}}$$

$$t_{2} = \overset{\overline{}}{t} \bullet s_{2} = 0,6 \bullet 35 = 21\ mm$$

$$z_{2} = \frac{\pi \bullet 0,931}{21} = 140$$

Wskaźnik minimalny na zginanie przy cięciwie atlasowej s’=25,63 mm wynosi W_min=0,234cm³.

Przy s₂=35 mm będzie:

$$W_{\min} = {W^{'}}_{\min}{(\frac{s_{2}}{s^{'}})}^{3} = 0,234{(\frac{35}{25,63})}^{3} = 0,56\text{cm}^{3} = 0,56 \bullet 10^{- 6}\text{\ m}^{3}$$

Obliczenie naprężenia zginającego:

$$\sigma_{\text{zg}} = \frac{P_{u}l_{2}}{2z_{2}W_{\min}} = \frac{142,3 \bullet 10^{3} \bullet 0,1137}{2 \bullet 140 \bullet 0,56 \bullet 10^{- 6}} = 95\ MPa$$

Przyjmuję σ_dop=162 MPa, wobec czego ze względów wytrzymałościowych wystarczyłaby cięciwa:

$$s_{2}^{'} = s_{2}\sqrt{\frac{\sigma_{\text{zg}}}{\sigma_{\text{dop}}}} = 35\sqrt{\frac{95}{162}} = 27,2\ mm$$

Jest to wartość mniejsza niż cięciwa optymalna aerodynamicznie, w związku z czym zdecydowano się na s₂=30mm.