Xi	-2	-1	0	1
Pi	0.3	0.1	0.4	0.2

Xi	2	3	6
Pi	0.4	0.3	0.3

1. Zmienna losowa X ma rozkład przedstawiony w tablicy. Zmienna losowa Y=X²+2 ma rozkłar:

2. Jeśli zmienna losowa jest modelem czasu bezawaryjnej pracy badanego elementu, to ma rozkład:

Wykładniczy.

1. W dwóch szkołach wylosowano po 25 uczennic klas VI i zebrano wyniki testów kompetencji (w punktach). Aby porównać średni poziom wiedzy uczennic VI klasy w obu szkołach, należy przeprowadzić test:

2. Jeśli współczynnik asymetri wynosi 0.78, a kurtoza 2,13, to rozkład jest:

Prawostronnie asymetryczny i bardziej spłaszczony niż normalny.

1. Jeśli ze wzrostem liczebności próbki wzrasta dokładność szacowania nieznanego parametru 0 rozkładu cechy w populacji, to estymator jest:

Estymatorem najefektywniejszym.

1. Badając zbiorowość studentów w Polsce ze względu na wysokość otrzymywanego stypendium naukowego mamy do czynienia z cechą:

Typu skokowego.

1. W teście zgodność X³ porównujemy ze sobą:

Empiryczne i hipotetyczne wariancje.

1. Na rysunku zostały przedstawione wykresy funkcji.

I to one są funkcjami rozkładu zmiennej losowej

1. Współczynnik korelacji liniowej z próbki cech X i Y ma wartość bliską zera. Oznacza to, że:

2. Wartość oczekiwana i wariancja niezależnych zmiennych losowych Xi Y są skończone. Dla zmiennej losowej Z=5 X – 3Y +4 parametry te wynoszą:

EZ= 5EX-3EY+4 i D³Z=25D¹Y+9D¹Y

1. Jeśli zwiększymy poziom istotności, to obszar krytyczny się:

Zwiększy.

1. Dane są zdarzenia A – co najmniej jeden z 3 sprawnych wyrobów jest wybrakowany, B – wszystkie 3 wyroby są dobrej jakości. Prawdziwe jest zdarzenie:

Zdarzenie A’ B’ jest zdarzeniem pewnym.

1. Testem istotności weryfikujemy hipotezy H₀:m=H₁ H₁:m<H na poziomie istotności 0,05. Dla próbki 150 elementowej otrzymaliśmy wartość statystyki testowej 1,9. Wniosek jest następujący:

Średnia wartość cechy w populacji nie różni suę od H w sposób statystycznie istotny.

1. Każdy podzbór zbioru zdarzeń elementarnych Ω jest zdarzeniem losowym, gdy:

Przestrzeń Ω zdarzeń elementarnych jest zbiorem co najwyżej przeliczalnym.

1. Prawdopodobieństwo tego, że losowo wybrany punkt kwadratu ((x,y)ЄR³: 0≤x≤15, 0≤y≤15) spełnia warunek |x-y|≤15 wynosi:

2. Gdy przeztrzeń Ω zdarzeń jest dowolnym zbiorem, funkcja X:R->Ω jest zmienną losową:

Jeśli zbiór (xЄR:X(x)<ω) jest zdarzeniem losowym dla ωЄΩ. (?)

1. Wektor losowy (X,Y) jest typu ciągłego o gęstości danej wzorem:

f(x,y)=

zmienne X i Y są:

Zależne.

1. Wzrost (w cm) chłopców w wieku 5 lat jest zmienną losową o rozkładzie normalnym A’(110,4). Prawdopodobieństwo, że zmienna ta przyjmuje wartości różniące się od średniej o mniej niż 2 cm wynosi:

0,383

1. Obsługa działa artyleryjskiego ma 3 pociski. Prawdopodobieństwo trafienia do celu jednym pociskiem (przy 1 wystrzale) wynosi 0,7. Strzelanie kończy się z chwilą trafienia do celu albo wyczerpania pocisków. Prawdopodobieństwo oddania 3 starzałów jest równe:

0,3² (odp. c)

1. Dla dowolnej zmiennej losowej X z dystrybuantą F prawdopodobieństwo P(a≤X≤b), gdzie a,bЄR jest równe:

F(b)-F(a)+P(X=b)

1. Należy zweryfikować hipotezę, że dokładność pomiarów pewnej wielkości w dwóch populacjach jest większa dla próbki z populacji pierwszej. Hipotezy zerowa i alternatywna są sformułowane:

H₀ : σ₁ = σ₂, H₁ : σ₁ < σ₂

1. Wytrzymałość stalowych lin (w kg/cm²) pochodzących z produkcji masowej jest zmienną losową o rozkładzie N(1000,50). Jaki procent lin charakteryzuje się wytrzymałością różniącą się od średniej o nie więcej niż 25 kg/cm²?

38,3%

1. Statystyka T_n jest estymatorem najefektywniejszym parametru Ѳ, jeśli:

Ma najmniejszą wariancję ze wszystkich nieobciążonych estymatorów parametru Ѳ.

1. Niech (Ω,Z,P) będzie dowolną przestrzenią probabilistyczną. Funkcja X:Ω->R jest zmienną losową, gdy:

Zbiór {ω Є Ω : X(ω) < x} jest zdarzeniem losowym dla xЄR.

1. Jeśli zmniejszymy poziom istotności, to obszar krytyczny się:

Zmniejszy || nie można określić (?).

1. Obszar krytyczny jest podzbiorem prostej, który zawiera wartości statystyki testowej, gdy:

Prawie na pewno prawdziwa jest hipoteza alternatywna.

1. Dane są funkcje określone wzorami: c(x)=$\frac{1}{\pi}arctg( - x)$

$s\left( x \right) = \left\{ \begin{matrix} 0\ \ \ dla\ x < 0 \\ 0,5\ dla\ \ \& x = 0 \\ 1\ \ dla\ \ \ \ x > 0 \\ \end{matrix} \right.\ $ , $l\left( x \right) = \left\{ \begin{matrix} 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ dla\ \ \ \ x < 0,5 \\ \operatorname{}x\ \ \ \ \ \ dla\ \ \ \ 0,5 \leq x \leq 2 \\ 1\ \ \ \ \ \ \ dla\ \ \ \ x > 2 \\ \end{matrix} \right.\ $

Dystrybuantą zmiennej losowej:

Jest funkcja c.

1. Jeśli interpretacją wartości zmiennej losowej jest ilość wybrakowanych towarów w kontroli jakości dużej partii produkcyji renomowanej firmy, to zmienna ma rozkład:

Poissona.

1. Pobrano niezależnie dwie próby losowe noworodków obojga urodzonych w pewnym mieście w ciągu miesiąca (n₁=20 dziewczynek i n₂ 30 chłopców), obserwując wagę urodzeniową w g. stwierdzono m.in., że średnie arytmetyczne kształtują się na poziomach 3200g (dziewczynki) i 3700g (Rawicz), przy identycznych odchyleniach standardowych (780 g). Na jakim poziomie istotności można uznać różnice poziomów średnich arytmetycznych za statystycznie nieistotne:

0.05 lub mniejszy (?).

1. Wektor losowy (X,Y) jest typu ciągłego o gęstości danej wzorem: $f\left( x,y \right) = \left\{ \begin{matrix} 2x\ \ \ \ \ \ dla\ xIe < 0,1 > i\ yIe < 1,2 > \\ 0\ \ \ \ dla\ x\ \sim Ie < 0,1 > lub\ y\sim < 1,2 > \\ \end{matrix} \right.\ $ Zmienne X i Y są:

Niezależne.

1. Doświadczenie polega na rzucie kostką i krązkiem, na którego jednej stronie są dwa, a drugiej cztery oczka. Dane są zdarzenia A- suma wyrzuconych oczek, jest równa co najmniej 6, B- iloczyn wyrzuconych oczek jest liczbą podzielną przez cztery. Prawdziwe jest zdanie:

Zdarzenia (A ∩ B)′ ∪ A jest zdarzeniem pewnym.

1. Jeśli współczynnik korelacji liniowej cech Xi Y z próbki r≠0, to można przypuszczać, że:

Cechy są zależne.

1. Wzór P(A)=P(A|B₁)P(B₁)+P(A|B₂)P(B₂) zachodzi:

Gdy rozłączne zdarzenia B₁ i B₂ dają w sumie zdarzenie pewne.

1. Przy weryfikacji hipotez statystycznych można popełnić błąd I-go rodzaju. Polega on na tym, że:

Odrzucamy hipotezę H₀, gdy jest ona prawdziwa.

1. Wartość oczekiwana i wariancja niezależnych zmiennych losowych X i Y wynoszą: EX=2, D²X=3 oraz EY=-1, D²Y=2. Dla zmiennej losowej Z=2X-3Y+1 parametry te wynoszą:

EZ=8 i D²Z=30

1. Dokonujemy serii pomiarów przyrządem mierzącym beż błędu systematycznego, z podaną przez producenta dokładnością pomiarów. Średnią wielkość pomiaru możemy szacować przedziłąem ufności przy założeniach:

Rozkład wielkości pomiaru jest normalny, lecz parametry rozkładu nie są znane, musimy ustalić wielkość próby.

1. Jeśli dla pewnego aЄR i zmiennej losowej X zachodzi P(X=a)>0, to:

Zmienna losowa X musi być typu skokowego.

1. Pewne urządzenie musi być zasilane jednocześnie z baterii i z sieci. Oba źródła zasilania pracują niezależnie. Prawdopodobieństwo awarii baterii jest równe 0,03, a awarii sieci 0,07. Jakie jest prawdopodobieństwo przestoju urządzenia z powodu braku zasilanie?

0,03*0,07+0,97*0,07+0,03*0,97

1. Jeśli zmniejszymy poziom ufności, to przedział ufności się:

Zmniejszy.

1. W pewnym doświadczeniu fizycznym bada się zależność między kątem obrotu wektora namagnesowania pewnej próbki (cecha X), a wielkością ziaren (cecha Y). Na podstawie próbki oszacowanego współczynnik korelacji r=-0,93 oraz odchylenia standardowego s_x= 14,14 s_y=1,07. Wynika stąd że:

Zwiększenie kąta obrotu o jednostke, powoduje zmniejszenie wielkości ziaren o 0,07 jednostki.

1. W celu oszacowania wartości oczekiwanej dla szeregu rozdzielczego przedziałowego o nieograniczonych klasach skrajnych, najlepiej obliczyć:

Medianę.

1. Geometryczna definicja prawdopodobieństwa jest poprawna, gdy:

Przestrzeń Ω zdarzeń elementarnych jest zbiorem nieprzeliczalnym, ograniczonym i borelowskim.

	Y
X	1
0	0,3
1	0,2

1. Dany jest rozkład wektora losowego typu skokowego. Współczynnik korelacji zmiennych X i Y wynosi:

P=0,05

1. Na rysunku zostały przestawione wykresy funkcji:

I to one są funkcjami gęstości rozkładu zmiennej losowej.

1. Fundusz socjalny Politechniki Szczecińskiej wypłaca pracownikom dofinansowanie za wczasy ustalając cztery progi, w zależności od średniego dochodu netto na osobę w rodzinie. Wielkość wypłacanego zasiłku jest cechą:

Skokową.

1. Rysunek składa się z czterech koncentrycznych kół o promieniach r₁<r₂<r₃<r₄. Niech A_i ozncza zdarzenie polegające na losowym wyborze punktu z koła o promieniu r_i , i Є {1,2,3,4}. Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia (A₄-A₂)/A₃, wynosi:

$$\frac{\mathbf{r}_{\mathbf{3}}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{r}_{\mathbf{2}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{r}_{\mathbf{3}}^{\mathbf{2}}}$$

1. Opis statystyczny jest badaniem wystarczającym, gdy:

Populacja próbna stanowiła dobrą reprezentację poprulacji generalnej.

1. Zdarzenie losowe jest:

Elementem σ-ciała zdarzeń.

1. Statystyka S²=$\frac{1}{n - 1}\sum_{i - 1}^{n}{(X_{i} - \overline{X)}}$² jest:

Zgodnym i nieobciążonym estymatorem wariancji.