Wydział FiIS	1. Anna Jurczyk 2. Marika Kuczyńska	ROK II	GRUPA I	Zespół 2
Pracownia fizyczna	Temat: Mostek Wheatstone’a	Nr ćwiczenia: 11
Data wykonania: 22.11.2010	Data oddania: 24.10.2010	Zwrot do popr:	Data oddania:	Data zaliczenia:

Ćwiczenie nr 32: Mostek Wheatstone’a

Cel ćwiczenia:

Praktyczne zastosowanie praw Kirchhoffa i sprawdzenie zależności określających opór zastępczy dla połączeń szeregowych, równoległych i mieszanych.

Wstęp teoretyczny:

Prawo Ohma:

Stosunek napięcia między końcami przewodnika do natężeń prądu jest wielkością stałą, nazywaną, opornością:

$R = \frac{U}{I}\text{\ \ \ \ }$(1)

I prawo Kirchoffa:

Algebraiczna suma natężeń prądów wpływających do węzła sieci musi być równa zeru.

I₁+I₂ + ... + I_i = 0 (2)

II prawo Kirchoffa:

Suma różnic potencjałów obliczonych kolejno wzdłuż zamkniętej pętli sieci równa się zeru:

U₁+U₂ + ... + U_i = 0 (3)

Z zastosowania powyższych zależności możemy ustalić wartość oporu zastępczego dla układu oporów połączonych:

-szeregowo:

R_z = R₁+R₂+...+R_i (4)

-równolegle:

$$\frac{1}{R_{z}} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + ... + \frac{1}{R_{i}}\ \ \ \ \ (5)\ $$

Mostek Wheatstone’a jest układem do pomiaru (porównywania) oporów. Tworzy go

połączenie czterech oporów: Rx, R2, R3, R4 oraz galwanometru o oporze R5. Mostek jest

zasilany z ogniwa galwanicznego lub zasilacza o sile elektromotorycznej E i oporze

wewnętrznym RE

Mostek Wheatstone’a używany w ćwiczeniu przedstawiono na rysunku 1. Prąd płynący

z ogniwa galwanicznego E rozgałęzia się w punkcie A. Jedna jego część płynie przez

szeregowo połączone opory Rx i R, druga przez przewód AB. Przez zmiany położenia suwaka zmienia się stosunek oporów Ra do Rb.

Metoda Wheatstone’a porównywania oporów polega na tzw. równoważeniu mostka, to

znaczy na takim dopasowaniu oporów, by potencjały w punktach D i punkcie gdzie znajduje się suwak (x) były równe

(Vx = VD), czyli żeby prąd płynący przez galwanometr G był równy zeru.

Rys.1

Po zrównoważeniu mostka dochodzimy do zależności:

$R_{x} = R \frac{x}{l - x}$ (6)

Gdzie:

R_x- szukana wartość oporu,

R- ustalona wartość oporu,

x- położenie suwaka,

l- długość listwy z drutem oporowym,

Aby pomiar był najdokładniejszy, należy tak dobrać R aby stan równowagi mostka można było uzyskać w przybliżeniu w połowie długości drutu oporowego.

Układu pomiarowy:

1. Listwa z drutem oporowym, zaopatrzona w podziałkę milimetrową i kontakt ślizgowy, umożliwiający zmiany długości odcinków x i y.

2. Opornica dekadowa R

3. Symbolem R_x oznaczono zestaw oporników wmontowanych na odpowiedniej płytce z pleksiglasu.

4. Mikroamperomierz G jako wskaźnik zerowania mostka. Jego czułość można regulować.

5. Zasilacz stabilizowany 3A/30V.

Wykonanie ćwiczenia

Z dostępnych elementów łączymy obwód elektryczny według schematu na rys.1, podłączając kolejno za R_x 4 nieznane opory: R₁,  R₂, R₃ oraz R₄.

Następnie dla każdego nieznanego oporu równoważymy mostek dopasowując opór R zaczynając od ustawienia suwaka na położeniu x=$\frac{l}{2}$, po czym przesuwając suwak co 10 cm. Zaczynając od położenia x=10 cm i kończąc na x=90 cm.

Następnie dokonujemy analogicznych pomiarów dla R_x składającego się z połączonych szeregowo, równolegle oraz w sposób mieszany(rys.2) oporów R₁,  R₂, R₃ i R₄.

R_x liczymy w tym przypadku również ze wzorów 4 i 5 posługując się wyliczonymi wcześniej wartościami R₁,  R₂, R₃ i R₄. Wartość tę oznaczymy jako R_obl.

Rys. 2 Układ mieszany oporów.

Wyniki pomiarów.

Długość drutu oporowego: l= 1m

Tabela 1.

Opór wzorcowy[Ω]	13	2	5	8	12	20	29	60	100	630
x [cm]	50	90	80,7	70	59,7	50	40	30	20	10
R1	12,50	18,00	20,91	18,67	17,78	20,00	19,33	25,71	25,00	70,00
${\overset{\overline{}}{\mathbf{R}}}_{\mathbf{1}}\mathbf{= \ }$19,77	u(R1)= 3,96

Pomiar ostatni dla x=10 cm odrzucamy ze względu na zbyt duże odchylenie od pozostałych wartości. Obarczamy ten pomiar błędem grubym.

Tabela 2.

Opór wzorcowy[Ω]	37	5	10	16	24	37	54	84	150	400
x [cm]	50	90	80,5	69,5	60	50	40	30	20	10
R2	37,00	45,00	41,28	36,46	36,00	37,00	36,00	36,00	37,50	44,44
${\overset{\overline{}}{\mathbf{R}}}_{\mathbf{2}}\mathbf{=}$38,67	u(R2)=3,55

Tabela 3.

Opór wzorcowy[Ω]	77	8	18	31	50	77	110	180	270	600
x [cm]	50	90	80	70	60	50	40	30	20	10
R3	77,00	72,00	72,00	72,33	75,00	77,00	73,33	77,14	67,50	66,67
${\overset{\overline{}}{\mathbf{R}}}_{\mathbf{3}}\mathbf{=}$73,00	u(R3)=3,19

Tabela 4.

Opór wzorcowy[Ω]	86	8	19	30	47	73	100	159	260	600
x [cm]	50	90	80	70	60	50	40	30	20	10
R4	72,00	76,00	70,00	70,50	73,00	66,67	68,14	65,00	66,67	72,00
${\overset{\overline{}}{\mathbf{R}}}_{\mathbf{4}}\mathbf{=}$71,40	u(R4)=6,11

Tabela 5. Połączenie szeregowe.

Opór wzorcowy[Ω]	86	8	19	30	47	73	100	159	260	600
x [cm]	50	90	80	70	60	50	40	30	20	10
R	190,00	180,00	180,00	175,00	180,00	183,00	180,00	180,00	180,00	177,78
${\overset{\overline{}}{\mathbf{R}}}_{\mathbf{\ }}\mathbf{=}$180,58	u(R )=3,88	Robl=202,83	u(Robl)=21,48

Tabela 6. Połączenie równoległe.

Opór wzorcowy[Ω]	12	2	3	5	8	12	18	28	48	100
x [cm]	50	90	79,5	70	60	51,5	40	30	20	10
R	12,00	18,00	11,63	11,67	12,00	12,24	12,00	12,00	12,00	11,11
$${\overset{\overline{}}{\mathbf{R}}}_{\mathbf{\ }}\mathbf{=}\mathbf{12,47}$$	u(R )=1,97	Robl=9,60	u(Robl)=0,97

Tabela 7. Połączenie mieszane.

Opór wzorcowy[Ω]	45	4	10	18	30	45	67	103	180	390
x [cm]	50	91	79	70	59,5	50	40	30	20	10
R	45,00	40,44	42,63	42,00	44,07	45,00	44,67	44,14	45,00	43,33
${\overset{\overline{}}{\mathbf{R}}}_{\mathbf{\ }}\mathbf{=}$43,63	u(R )=1,53	Robl=49,17	u(Robl)=2,36

Opracowanie wyników pomiaru:

Wyznaczamy niewiadome R₁ pojedynczych oporów korzystając ze wzoru (6) dla różnych długości x. Następnie przyjmujemy, że szukany opór jest wartością średnią otrzymanych wartości.

Niepewność u(R₁) obliczamy z odchylenia standardowego otrzymanych wartości R dla różnych długości x.

Analogicznie postępujemy przy wyliczeniu wartości R₂,  R₃,  R₄ i niepewności u(R₂), u(R₃), u(R₄).

Otrzymujemy:

R₁= 19,77 Ω u(R₁) = 3,96 Ω u(R₁) = 20%

R₂= 38,67 Ω u(R₂) = 3,55 Ω u(R₂) = 9,18%

R₃= 73 Ω u(R₃) = 3,19 Ω u(R₃) = 4,37%

R₄= 71,4 Ω u(R₄) = 6,11Ω u(R₄) = 8,56%

Dla połączenia szeregowego, równoległego i mieszanego niewiadome R _xwyliczmy dwoma sposobami:

1). Robimy to analogicznie jak dla pojedynczych oporów.

2). Aby wyliczyć niewiadomy opór korzystamy ze wzorów na opór zastępczy natomiast, aby wyliczyć niepewność obliczamy na podstawie prawa przenoszenia niepewności pomiarowych.

Połączenie szeregowe:

Ad 1). R_z = 180,58 Ω u(R_z) = 3,88 Ω u(R_z) = 2,15%

Ad 2). Przy wyliczeniu oporu zastępczego korzystamy ze wzoru (4)

R_z = 202,83 Ω

Korzystamy z prawa przenoszenia niepewności pomiarowych, a ponieważ zależność od R₁,  R₂,  R₃,  R₄ jest liniowa więc równanie ma postać sumy geometrycznej:

u(R_z) = $\sqrt{\left( u(R_{1}) \right)^{2} + \left( u(R_{2}) \right)^{2} + \left( u(R_{3}) \right)^{2} + \left( u(R_{4}) \right)^{2}}$

u(R_z) = $\sqrt{\left( 3,96 \right)^{2} + \left( 3,55 \right)^{2} + \left( 3,19 \right)^{2} + \left( 6,11 \right)^{2}}$Ω

u(R_z) = 21,48 Ω u(R_z) = 10,59%

Połączenie równoległe:

Ad 1). R_z = 12,47 Ω u(R_z) = 1,97 Ω u(R_z) = 15,8%

Ad 2). Przy wyliczeniu oporu zastępczego korzystamy ze wzoru (5)

R_z = 9,6 Ω

Z prawa przenoszenia niepewności pomiarowych:

u(R_z) = $\sqrt{\left( \left( \frac{\partial R_{z}}{\partial R_{1}} \right) \bullet u(R_{1}) \right)^{2} + \left( \left( \frac{\partial R_{z}}{\partial R_{2}} \right) \bullet u(R_{2}) \right)^{2} + \left( \left( \frac{\partial R_{z}}{\partial R_{3}} \right) \bullet u(R_{3}) \right)^{2} + \left( \left( \frac{\partial R_{z}}{\partial R_{4}} \right) \bullet u(R_{4}) \right)^{2}}$ (7)

Gdzie:

$\frac{\partial R_{z}}{\partial R_{1}}$ = $\frac{R_{2}R_{3}R_{4}}{R_{1}R_{2}\left( R_{3} + R_{4} \right) + R_{3}R_{4}\left( R_{2} + R_{1} \right)} - \frac{{R_{3}R}_{2}R_{3}R_{4}(R_{2}\left( R_{3} + R_{4} \right) + R_{3}R_{4})}{\left( R_{1}R_{2}\left( R_{3} + R_{4} \right) + R_{3}R_{4}\left( R_{2} + R_{1} \right) \right)^{2}}$ = 0,24

$\frac{\partial R_{z}}{\partial R_{2}}$ = $\frac{R_{1}R_{3}R_{4}}{R_{1}R_{2}\left( R_{3} + R_{4} \right) + R_{3}R_{4}\left( R_{2} + R_{1} \right)} - \frac{{R_{3}R}_{2}R_{3}R_{4}(R_{1}\left( R_{3} + R_{4} \right) + R_{3}R_{4})}{\left( R_{1}R_{2}\left( R_{3} + R_{4} \right) + R_{3}R_{4}\left( R_{2} + R_{1} \right) \right)^{2}}$ = 0,06

$\frac{\partial R_{z}}{\partial R_{3}}$ = $\frac{R_{1}R_{2}R_{4}}{R_{1}R_{2}\left( R_{3} + R_{4} \right) + R_{3}R_{4}\left( R_{2} + R_{1} \right)} - \frac{{R_{3}R}_{2}R_{3}R_{4}(R_{4}\left( R_{3} + R_{4} \right) + R_{3}R_{4})}{\left( R_{1}R_{2}\left( R_{3} + R_{4} \right) + R_{3}R_{4}\left( R_{2} + R_{1} \right) \right)^{2}}$ = 0,07

$\frac{\partial R_{z}}{\partial R_{4}}$ = $\frac{R_{1}R_{2}R_{3}}{R_{1}R_{2}\left( R_{3} + R_{4} \right) + R_{3}R_{4}\left( R_{2} + R_{1} \right)} - \frac{{R_{3}R}_{2}R_{3}R_{4}(R_{3}\left( R_{3} + R_{4} \right) + R_{3}R_{4})}{\left( R_{1}R_{2}\left( R_{3} + R_{4} \right) + R_{3}R_{4}\left( R_{2} + R_{1} \right) \right)^{2}}$ = 0,02

u(R_z) = $\sqrt{\left( 0,93 \right)^{2} + \left( 0,22 \right)^{2} + \left( 0,06 \right)^{2} + \left( 0,11 \right)^{2}}$Ω

u(R_z) = 0,97 Ω u(R_z) = 10,07%

Połączenie mieszane:

Ad 1). R_z = 43,63 Ω u(R_z) = 1,53 Ω u(R_z) = 3,51%

Ad 2). Przy wyliczeniu oporu zastępczego korzystamy ze wzoru:

$\mathbf{R}_{\text{obl}} = \frac{R_{2}{R}_{1}}{R_{2} + R_{1}} + \frac{R_{4} R_{3}}{R_{4} + R_{3}}$ (8)

który wynika z zastosowania wzorów (4) i (5) do tej konfiguracji połączenia oporników R₁,  R₂, R₃ i R₄

R_obl= 9,6 Ω

Z prawa przenoszenia niepewności pomiarowych:

$\frac{\partial\mathbf{R}_{\mathbf{\text{obl}}}}{\partial R_{1}}$ = $\frac{R_{2}}{\left( R_{2} + R_{1} \right)} - \frac{{R_{1}R}_{2}}{\left( \left. \ R_{2} + R_{1} \right.\ \right)^{2}}$ = 0,44

$\frac{\partial\mathbf{R}_{\mathbf{\text{obl}}}}{\partial R_{2}}$ = $\frac{R_{1}}{\left( R_{2} + R_{1} \right)} - \frac{{R_{1}R}_{2}}{\left( \left. \ R_{2} + R_{1} \right.\ \right)^{2}}$ = 0,11

$\frac{\partial\mathbf{R}_{\mathbf{\text{obl}}}}{\partial R_{3}}$ = $\frac{R_{4}}{\left( R_{3} + R_{4} \right)} - \frac{{R_{3}R}_{4}}{\left( \left. \ R_{3} + R_{4} \right.\ \right)^{2}}$ = 0,43

$\frac{\partial\mathbf{R}_{\mathbf{\text{obl}}}}{\partial R_{4}}$ = $\frac{R_{3}}{\left( R_{3} + R_{4} \right)} - \frac{{R_{3}R}_{4}}{\left( \left. \ R_{3} + R_{4} \right.\ \right)^{2}}$ = 0,12

u(R_obl) = $\sqrt{\left( 1,73 \right)^{2} + \left( 0,4 \right)^{2} + \left( 1,38 \right)^{2} + \left( 0,7 \right)^{2}}$Ω

u(R_obl) = 2,36 Ω u(R_obl) = 4,81%

Analiza niepewności:

Niepewność dla poszczególnych wyliczanych R_x wyznaczamy z odchylenia standardowego. Jest ono znacznie większe niż niepewność otrzymana z prawa przenoszenia niepewności:

Tab. 8 Niepewności obliczone z odchylenia standardowego i prawa przenoszenie niepewności.

	R1	R2	R3	R4
Odchylenie standardowe [Ω]	3,96	3,55	3,19	6,11
Prawo przenoszenia niepewności [Ω]	0,70	0,46	0,70	0,69

Również dla połączenia oporów równolegle, szeregowo jak i w sposób mieszany za niepewność u(R_z) dla wartości R_z wyliczonych doświadczalnie przyjmujemy odchylenie standardowe.

Tab.9

	szeregowo	równolegle	mieszane
Odchylenie standardowe [Ω]	3,88	1,97	1,53
Prawo przenoszenia niepewności [Ω]	1,85	0,12	0,45

Tak duże odchylenie standardowe wynika tutaj z metody, która nie jest precyzyjna i nie daje dokładnego wyniku.

Porównujemy opory zmierzone w połączeniach równoległym, szeregowym i mieszanym, z analogicznymi oporami zastępczymi wyznaczonymi na podstawie odpowiednich wzorów i sprawdzamy, czy są one równe w granicach niepewności pomiarowych. Jeżeli zachodzi poniższa nierówność wyniki uważamy za zgodne w granicach błędu.

u(A − B)>|A − B|

Gdzie:

A- R_z wyliczone doświadczalnie

B- R_obl wyliczone ze wzorów

$$u\left( A - B \right) = k\sqrt{{u(a)}^{2} + {u(b)}^{2}}$$

Gdzie:

k – współczynnik rozszerzenia równy 2

u(a) – niepewność A

u(b) – niepewność B

Połączenie szeregowe:

43,65>22,25 - wynik zgodny

Połączenie równoległe:

4,39>2,86 - wynik zgodny

Połączenie mieszane:

5,63>5,54 - wynik zgodny

Wnioski:

W tabeli 10 znajduje się zestawienie wszystkich otrzymanych wartości i niepewności.

Tabela10 . Zestawienie wartości

					Połączenie szeregowe	Połączenie równoległe	Połączenie mieszane
	R1	R2	R3	R4	Rz	Robl	Rz
R [Ω]	19,77	38,67	73	71,4	180,58	202,83	12,47
u(R) [Ω]	3,96	3,55	3,19	6,11	3,88	21,48	1,97
u(R) w %	20	9,18	4,37	8,56	2,15	10,59	15,8

Niepewności dla poszczególnych wyników wyliczonych doświadczalnie obliczamy z odchylenia standardowego gdyż prawa przenoszenia niepewności jest mniej dokładne przy takich wartościach jak otrzymaliśmy.

W każdym przypadku odchylenie standardowe jest dużą wartością świadczy to o tym, iż użyta metoda nie jest odpowiednia jeśli chcemy wyznaczyć dokładną wartość zadanego oporu. Zakreśla ona jedynie rząd rzeczywistej wartości oporu.

Prawo przenoszenia niepewności okazało się jednak bardziej dokładne dla obliczenia niepewności oporów zastępczych wyliczanych z gotowych wzorów.

Dla wszystkich połączeń oporników R₁,  R₂, R₃ i R₄ wyniki otrzymane doświadczalnie i z podanych wzorów uznajemy za zgodne.