Ć

wiczenie nr 32: Mostek Wheatstone’a

Cel ćwiczenia:

Praktyczne zastosowanie praw Kirchhoffa i sprawdzenie zależności określających

opór zastępczy dla połączeń szeregowych, równoległych i mieszanych.

Wstęp teoretyczny:

Prawo Ohma:
Stosunek napięcia między końcami przewodnika do natężeń prądu jest wielkością stałą,
nazywaną, opornością:

=





(1)

I prawo Kirchoffa:
Algebraiczna suma natężeń prądów wpływających do węzła sieci musi być równa zeru.





+

+. . . +



= 0

(2)

II prawo Kirchoffa:
Suma różnic potencjałów obliczonych kolejno wzdłuż zamkniętej pętli sieci równa się zeru:



+

+. . . +



= 0

(3)

Z zastosowania powyższych zależności możemy ustalić wartość oporu zastępczego dla
układu oporów połączonych:
-szeregowo:



=



+

+. . . +



(4)

-równolegle:

1



=

1



+

1

+. . . +

1



(5)

Mostek Wheatstone’a jest układem do pomiaru (porównywania) oporów. Tworzy go
połączenie czterech oporów: Rx, R

2

, R

3

, R

4

oraz galwanometru o oporze R

5

. Mostek jest

Wydział

FiIS

1. Anna Jurczyk

2. Marika Kuczyńska

ROK II

GRUPA I

Zespół

2

Pracownia

fizyczna

Temat:

Mostek Wheatstone’a

Nr ćwiczenia:

11

Data

wykonania:

22.11.2010

Data oddania:

25.11.2010

Zwrot do

popr:

25.11.2010

Data oddania:

8.12.2010

Data zaliczenia:

OCENA:

zasilany z ogniwa galwanicznego lub zasilacza o sile elektromotorycznej E i oporze
wewnętrznym R

E

Mostek Wheatstone’a używany w ćwiczeniu przedstawiono na rysunku 1. Prąd płynący
z ogniwa galwanicznego E rozgałęzia się w punkcie A. Jedna jego część płynie przez
szeregowo połączone opory Rx i R, druga przez przewód AB. Przez zmiany położenia suwaka
zmienia się stosunek oporów Ra do Rb.

Metoda Wheatstone’a porównywania oporów polega na tzw. równoważeniu mostka, to
znaczy na takim dopasowaniu oporów, by potencjały w punktach D i punkcie gdzie znajduje
się suwak (x) były równe
(Vx = VD), czyli żeby prąd płynący przez galwanometr G był równy zeru.

Rys.1

Po zrównoważeniu mostka dochodzimy do zależności:



=






(6)

Gdzie:



- szukana wartość oporu,

R- ustalona wartość oporu,
x- położenie suwaka,
l- długość listwy z drutem oporowym,

Aby pomiar był najdokładniejszy, należy tak dobrać R aby stan równowagi mostka można
było uzyskać w przybliżeniu w połowie długości drutu oporowego.

Układu pomiarowy:

1. Listwa z drutem oporowym, zaopatrzona w podziałkę milimetrową i kontakt ślizgowy,

umożliwiający zmiany długości odcinków x i y.

2. Opornica dekadowa R
3. Symbolem



oznaczono zestaw oporników wmontowanych na odpowiedniej płytce z

pleksiglasu.

4. Mikroamperomierz G jako wskaźnik zerowania mostka. Jego czułość można regulować.
5. Zasilacz stabilizowany 3A/30V.

Wykonanie ćwiczenia

Z dostępnych elementów łączymy obwód elektryczny według schematu na rys.1, podłączając
kolejno za



4 nieznane opory:



,

,



oraz



.

Następnie dla każdego nieznanego oporu równoważymy mostek dopasowując opór R

zaczynając od ustawienia suwaka na położeniu x=



, po czym przesuwając suwak co 10 cm.

Zaczynając od położenia x=10 cm i kończąc na x=90 cm.

Następnie dokonujemy analogicznych pomiarów dla



składającego się z połączonych

szeregowo, równolegle oraz w sposób mieszany(rys.2) oporów



,

,



i



.



liczymy w tym przypadku również ze wzorów 4 i 5 posługując się wyliczonymi wcześniej

wartościami



,

,



i



. Wartość tę oznaczymy jako



!"

.

Rys. 2 Układ mieszany oporów.

Wyniki pomiarów.

Długość drutu oporowego: l= 1m

Tabela 1. Podłączony tylko 1 nieznany opornik.

Opór

wzorcowy[Ω]

13

2

5

8

12

20

29

60

100

630

x [cm]

50

90

80,7

70

59,7

50

40

30

20

10



#

12,50 18,00 20,91 18,67 17,78 20,00 19,33 25,71 25,00 70,00

Pomiar ostatni dla x=10 cm odrzucamy ze względu na zbyt duże odchylenie od pozostałych
wartości. Obarczamy ten pomiar błędem grubym.

Tabela 1a. Zestawienie wartości końcowych dla 2 opornika.



$

#



$



%



$



&



#

19,77

18,94

22,41

u(



#

)

3,96

0,95

3,62

u(



#

) w %

20,0

4,8

18,3

Gdzie:


$

'

- średnia wszystkich wyników,



$



%

- średnia wyników w środkowym zakresie ( 5 środkowych wartości, kolor zielony),



$



&

- średnia wyników w zewnętrznym zakresie (2 pierwsze i 2 ostatnie wartości, kolor niebieski)

Opór

wzorcowy[Ω]

x [cm]

50



#

(Oznaczenia te odnoszą się również do tabelek dla pozostałych wariantów.)

Tabela 2. Podłączony tylko 2 nieznany opornik.

Opór

wzorcowy[Ω]

37

5

10

16

24

37

54

84

150

400

x [cm]

50

90

80,5

69,5

60

50

40

30

20

10



(

37,00 45,00 41,28 36,46 36,00 37,00 36,00 36,00 37,50 44,44

Tabela 2a. Zestawienie wartości końcowych dla 2 opornika.



$

(



$

%



$

&



(

38,67

36,29

42,06

u(



(

)

3,55

0,44

3,45

u(



(

) w %

9,2

1,2

8,9

Tabela 3. Podłączony tylko 3 nieznany opornik.

Opór

wzorcowy[Ω]

77

8

18

31

50

77

110

180

270

600

x [cm]

50

90

80

70

60

50

40

30

20

10



)

77,00 72,00 72,00 72,33 75,00 77,00 73,33 77,14 67,50 66,67

Tabela 3a. Zestawienie wartości końcowych dla 3 opornika.



$

)



$



%



$



&



)

73,00

74,96

69,54

u(



)

)

3,19

2,15

2,86

u(



)

) w %

4,4

2,9

3,9

Tabela 4. Podłączony tylko 4 nieznany opornik.

Opór

wzorcowy[Ω]

86

8

19

30

47

73

100

159

260

600

x [cm]

50

90

80

70

60

50

40

30

20

10



*

86,00 72,00 76,00

70,00

70,50

73,00

66,67

68,14

65,00

66,67



$

*

=

71,40

u

(

*

)=6,11

Tabela 4a. Zestawienie wartości końcowych dla 4 opornika.



$

*



$



%



$



&



*

71,40

69,66

69,92

u(



*

)

6,11

2,41

5,04

u(



*

) w %

8,6

3,4

7,1

Tabela 5. Połączenie szeregowe.

Opór

wzorcowy[Ω]

86

8

19

30

47

73

100

159

260

600

x [cm]

50

90

80

70

60

50

40

30

20

10



190,00

180,00 180,00

175,00

180,00

183,00

180,00

180,00

180,00

177,78



$

=

180,58

u

(

)=3,88



!"

=202,83

u(



!"

)=21,48

Tabela 5a. Zestawienie wartości końcowych dla połączenia szeregowego.



$

+



$

,

%



$

,

&



+

180,58

179,60

179,44

u(



+

)

3,88

2,88

1,11

u(



+

) w %

2,2

1,6

0,6

Tabela 6. Połączenie równoległe.

Opór

wzorcowy[Ω]

12

2

3

5

8

12

18

28

48

100

x [cm]

50

90

79,5

70

60

51,5

40

30

20

10



12,00 18,00 11,63 11,67 12,00 12,24 12,00 12,00 12,00 11,11



$

=

#(

, *-

u

(

)=1,97



!"

=9,60

u(



!"

)=0,97

Tabela 6a. Zestawienie wartości końcowych dla połączenia równoległego.

$

.

$

/

%

$

/

&



.

12,47

11,98

13,19

u(



.

)

1,97

0,21

3,23

u(



.

) w %

15,8

1,6

25,9

Tabela 7. Połączenie mieszane.

Opór

wzorcowy[Ω]

45

4

10

18

30

45

67

103

180

390

x [cm]

50

91

79

70

59,5

50

40

30

20

10



45,00 40,44 42,63 42,00 44,07 45,00 44,67 44,14 45,00 43,33

$

=

43,63

u

(

)=1,53



!"

=49,17

u(



!"

)=2,36

Tabela 7a. Zestawienie wartości końcowych dla połączenia mieszanego.

$

-

$

0

%

$

0

&



-

43,63

43,98

42,85

u(



-

)

1,53

1,17

1,89

u(



-

) w %

3,5

2,7

4,3

Opracowanie wyników pomiaru:

Wyznaczamy niewiadome



pojedynczych oporów korzystając ze wzoru (6)

dla

różnych długości x. Następnie przyjmujemy, że szukany opór jest wartością średnią
otrzymanych wartości.
Niepewność u(



) obliczamy z odchylenia standardowego otrzymanych wartości R dla

różnych długości x.

Analogicznie postępujemy przy wyliczeniu wartości

,



,



i niepewności u(

), u(



),

u(



).

Otrzymujemy:



= 19,77 Ω

u(



) = 3,96 Ω

u(



) = 20%

= 38,67 Ω

u(

) = 3,55 Ω

u(

) = 9,18%



= 73 Ω

u(



) = 3,19 Ω

u(



) = 4,37%



= 71,4 Ω

u(



) = 6,11Ω

u(



) = 8,56%

Następnie porównujemy średnie wartości oporów dla środkowego zakresu wyników

oraz wyników otrzymanych przy dużych zakresach (przy krańcach listwy) oraz obliczamy ich
niepewności z odchylenia standardowego.
Wyniki te wraz z niepewnościami zostały umieszczone i porównane w tabelach 1a, 2a, 3a, 4a,
5a, 6a i 7a.

Dla połączenia szeregowego, równoległego i mieszanego niewiadome



wyliczmy

dwoma sposobami:

1). Robimy to analogicznie jak dla pojedynczych oporów.
2). Aby wyliczyć niewiadomy opór korzystamy ze wzorów na opór zastępczy natomiast, aby

wyliczyć niepewność obliczamy na podstawie prawa przenoszenia niepewności
pomiarowych.

Połączenie szeregowe:

Ad 1).



= 180,58 Ω

u(



) = 3,88 Ω

u(



) = 2,15%

Ad 2). Przy wyliczeniu oporu zastępczego korzystamy ze wzoru (4)



= 202,83 Ω

Korzystamy z prawa przenoszenia niepewności pomiarowych, a ponieważ zależność od



,

,



,



jest liniowa więc równanie ma postać sumy geometrycznej:

u(



) =

1(2(



))

+ (2(

))

+ (2(



))

+ (2(



))

u(



) =

1(3,96)

+ (3,55)

+ (3,19)

+ (6,11)

Ω

u(



) = 21,48 Ω

u(



) = 10,59%

Połączenie równoległe:

Ad 1).



= 12,47 Ω u(



) = 1,97 Ω

u(



) = 15,8%

Ad 2). Przy wyliczeniu oporu zastępczego korzystamy ze wzoru (5)



= 9,6 Ω

Z prawa przenoszenia niepewności pomiarowych:

u(



) =

678

9:

;

9:

<

= ∙ 2(



)?

+ 78

9:

;

9:

@

= ∙ 2(

)?

+ 78

9:

;

9:

A

= ∙ 2(



)?

+ 78

9:

;

9:

B

= ∙ 2(



)?

Gdzie:

9:

;

9:

<

=

:

@

:

A

:

B

:

<

:

@

(:

A

C:

B

)C:

A

:

B

(:

@

C:

<

)

−

:

A

:

@

:

A

:

B

(:

@

(:

A

C:

B

)C:

A

:

B

)

E:

<

:

@

(:

A

C:

B

)C:

A

:

B

(:

@

C:

<

)F

@

= 0,24

9:

;

9:

@

=

:

<

:

A

:

B

:

<

:

@

(:

A

C:

B

)C:

A

:

B

(:

@

C:

<

)

−

:

A

:

@

:

A

:

B

(:

<

(:

A

C:

B

)C:

A

:

B

)

E:

<

:

@

(:

A

C:

B

)C:

A

:

B

(:

@

C:

<

)F

@

= 0,06

9:

;

9:

A

=

:

<

:

@

:

B

:

<

:

@

(:

A

C:

B

)C:

A

:

B

(:

@

C:

<

)

−

:

A

:

@

:

A

:

B

(:

B

(:

A

C:

B

)C:

A

:

B

)

E:

<

:

@

(:

A

C:

B

)C:

A

:

B

(:

@

C:

<

)F

@

= 0,07

9:

;

9:

B

=

:

<

:

@

:

A

:

<

:

@

(:

A

C:

B

)C:

A

:

B

(:

@

C:

<

)

−

:

A

:

@

:

A

:

B

(:

A

(:

A

C:

B

)C:

A

:

B

)

E:

<

:

@

(:

A

C:

B

)C:

A

:

B

(:

@

C:

<

)F

@

= 0,02

u(



) =

1(0,93)

+ (0,22)

+ (0,06)

+ (0,11)

Ω

u(



) = 0,97 Ω

u(



) = 10,07%

Połączenie mieszane:

Ad 1).



= 43,63 Ω u(



) = 1,53 Ω

u(



) = 3,51%

Ad 2). Przy wyliczeniu oporu zastępczego korzystamy ze wzoru:



HIJ

=

2

·

1

2

+

1

+

4

·

3

4

+

3

który wynika z zastosowania wzorów (4) i (5) do tej konfiguracji połączenia oporników



,

,



i





!"

= 9,6 Ω

Z prawa przenoszenia niepewności pomiarowych:

9

!"

9:

<

=

:

@

(:

@

C:

<

)

−

:

<

:

@

(:

@

C:

<

)

@

= 0,44

9

!"

9:

@

=

:

<

(:

@

C:

<

)

−

:

<

:

@

(:

@

C:

<

)

@

= 0,11

9

!"

9:

A

=

:

B

(:

A

C:

B

)

−

:

A

:

B

(:

A

C:

B

)

@

= 0,43

9

!"

9:

B

=

:

A

(:

A

C:

B

)

−

:

A

:

B

(:

A

C:

B

)

@

= 0,12

u(

R

HIJ

) =

1(1,73)

+ (0,4)

+ (1,38)

+ (0,7)

Ω

u(

R

HIJ

) = 2,36 Ω

u(

R

HIJ

) = 4,81%

Analiza niepewności:

Niepewność dla poszczególnych wyliczanych



wyznaczamy z odchylenia

standardowego. Jest ono znacznie większe niż niepewność otrzymana z prawa przenoszenia
niepewności:

Tab. 8 Niepewności obliczone z odchylenia standardowego i prawa przenoszenie niepewności.

O

#

O

(

O

)

O

*

Odchylenie standardowe

[Ω]

3,96

3,55

3,19

6,11

Prawo przenoszenia

niepewności [Ω]

0,70

0,46

0,70

0,69

Również dla połączenia oporów równolegle, szeregowo jak i w sposób mieszany za

niepewność



przyjmujemy odchylenie standardowe.

Tab.9

szeregowo

równolegle

mieszane

Odchylenie

standardowe [Ω]

3,88

1,97

1,53

Prawo przenoszenia

niepewności [Ω]

1,85

0,12

0,45

Tak duże odchylenie standardowe wynika tutaj z metody, która nie jest precyzyjna i

nie daje dokładnego wyniku.

Porównujemy niepewności oporów zmierzonych dla wszystkich otrzymanych

wartości (

$

'

) dla wartości ze środkowego zakresu listwy(

$



%

) i wartości otrzymane przy

krańcach listwy(

$



&

) dla poszczególnych wariantów.

Tab.10

u(

$

'

)w %

u(

$

'

P

) w %

u(

$

'

Q

) R %



#

20,0

4,8

18,3



(

9,2

1,2

8,9



)

4,4

2,9

3,9



*

8,6

3,4

7,1



+

2,2

1,6

0,6



.

15,8

1,6

25,9



-

3,5

2,7

4,3

Jak widać, w decydującej większości (oprócz wariantu z oporem

R

,

) niepewność dla

$

'

Q

jest znacznie większa od niepewności

$

'

P

i ma decydujący wpływ na całkowitą

niepewność u(

$

'

).

Ś

wiadczy to o tym, iż ta metoda pomiaru nieznanego oporu jest tym dokładniejsza im

mniejszy zakres położenia x na listwie wykorzystamy.
Im ten zakres jest większy tym mniej dokładny wynik otrzymamy.

Fakt, iż dla wariantu z oporem

R

,

niepewność

$

'

Q

jest mniejsza od niepewności

$

'

P

może wynikać z przypadkowego pokrycia się otrzymanych wartości R na skutek nałożenia się
błędów i ponieważ jest to przypadek odosobniony, nie bierzemy go pod uwagę formułując
powyższy wniosek.

Porównujemy opory zmierzone w połączeniach równoległym, szeregowym i

mieszanym, z analogicznymi oporami zastępczymi wyznaczonymi na podstawie
odpowiednich wzorów i sprawdzamy, czy są one równe w granicach niepewności
pomiarowych. Jeżeli zachodzi poniższa nierówność wyniki uważamy za zgodne w granicach
błędu.

T(U − V) > |U − V|

Gdzie:
A- R wyliczone doświadczalnie ( Ad 1)
B- R wyliczone ze wzorów ( Ad 2)

2(Y − Z) = [12(\)

+ 2(])

Gdzie:
k – współczynnik rozszerzenia równy 2
u(a) – niepewność A
u(b) – niepewność B


Połączenie szeregowe:

43,65>22,25

- wynik zgodny

Połączenie równoległe:

4,39>2,86

- wynik zgodny

Połączenie mieszane:

5,63>5,54

- wynik zgodny

Wnioski:

W tabeli 10 znajduje się zestawienie wszystkich otrzymanych wartości i niepewności.

Tabela10 . Zestawienie wartości

Połączenie

szeregowe

Połączenie

równoległe

Połączenie mieszane



#



(



)



*

O

^

O

_`a

O

^

O

_`a

O

^

O

_`a

R [Ω]

19,77

38,67

73

71,4

180,58 202,83 12,47

9,6

43,63

49,17

u(R) [Ω]

3,96

3,55

3,19

6,11

3,88

21,48

1,97

0,97

1,53

2,36

u(R) w %

20

9,18

4,37

8,56

2,15

10,59

15,8

10

3,5

4,81

Niepewności dla poszczególnych wyników obliczamy z odchylenia standardowego.
W każdym przypadku odchylenie standardowe jest stosunkowo dużą wartością świadczy to o
tym, iż użyta metoda nie jest odpowiednia jeśli chcemy wyznaczyć dokładną wartość
zadanego oporu. Zakreśla ona jedynie rząd rzeczywistej wartości oporu. Wynika to głównie z
faktu, iż zakres położeń x na listwie oporowej na jakim pracowaliśmy był stosunkowo duży, a
jak wcześniej stwierdziliśmy, im większy zakres x tym mniej dokładny wynik.
Zatem aby otrzymać dokładny wynik korzystając z tej metody należałoby przyjąć jak
najmniejszy zakres x w otoczeniu środka listwy.

Dla wszystkich połączeń oporników



,

,



i



wyniki otrzymane doświadczalnie i z

podanych wzorów uznajemy za zgodne.