Widmo sygnału. Numeryczne obliczanie widma sygnalu. Dyskretna transformacja Fouriera.

Widmo sygnału (ściślej: widmo częstotliwościowe sygnału) – przedstawienie sygnału w dziedzinie częstotliwości lub pulsacji, otrzymane przy pomocy transformacji Fouriera. Widmem sygnału nazywa się zarówno samą transformatę Fouriera (wynik transformacji Fouriera), jak i wykres przedstawiający tę transformatę.

Reprezentacja sygnału: w dziedzinie czasu i częstotliwości

Rodzaje widm:

• amplitudowe - podniesione do kwadratu widmo amplitudowe nazywa się widmem mocy.

• fazowe

Widma amplitudowe i fazowe sygnału pseudo-losowego

Dyskretna transformata Fouriera

Dyskretna transformata Fouriera ( Discrete Fourier Transform – DFT) ustala wzajemny związek między czasowej i częstotliwościowej reprezentacje sygnału przy jego rozkładzie na szereg składowych harmonicznych.

Ma wielorakie zastosowania przy analizie widmowej i korelacyjnej, przy syntezie filtrów, w technice wykrywania i oceny sygnałów. DFT jest niezwykle efektywną metodą określania widma częstotliwościowego dowolnego sygnału. Jedyną niedoskonałością tej techniki jest znaczny czas niezbędny do obliczenia rezultatu końcowego. Dzieje się tak dlatego, że w celu wytworzenia pełnego zestawu współczynników wyjściowych obydwa wskaźniki, k i n, powinny uwzględnić cały zakres swoich wartości (od 0 do N-1) i w związku z tym powinno być wykonane N² obliczeń.

Dyskretna i odwrotna transformata Fouriera:

Sekwencja {x_n} reprezentuje sobą próbki sygnału, zaś sekwencja {c_k}- współczynniki widmowe.

W dyskretnej transformacie Fouriera wykorzystuje się system funkcji wykładniczych (angl. discrete exponential functions – DEF) zdefiniowanych za pomocą następującego wzoru:

Wielkość w ^k,n zwykle nazywa się współczynnikiem skrętu i reprezentuje sobą wektor w płaszczyźnie zespolonej. Cały system DEFmożna zapisać w postaci macierzy E_N, której wiersze są numerowane za pomocą indeksu k, kolumny – za pomocą indeksu n, a na skrzyżowaniu k-tego wiersza i n-tej kolumny zapisana jest wartość w ^k,n.

W DFT ta sama wartość w_N występuje w obliczeniach wielokrotnie, gdyż jest ona funkcją okresową o limitowanej liczbie odrębnych wartości. Zadaniem więc szybkiego przekształcenia Fouriera (FFT), i jego odwrotności (IFFT), jest wykorzystanie tej nadmiarowości w celu redukcji liczby niezbędnych obliczeń cząstkowych. Z tego powodu istotne znaczenie mają procedury obliczeniowe redukujące liczbę mnożeń i sumowań. Jedną z takich procedur jest algorytm szybkiej transformaty Fouriera (FFT).

FFT to algorytm liczenia dyskretnej transformaty Fouriera oraz transformaty do niej odwrotnej. Czasem używana jest też forma szybka transformata Fouriera w odniesieniu do tej metody. Ściśle jednak transformacja jest przekształceniem, a transformata wynikiem tego przekształcenia.

Niech x0, ...., xN-1 będą liczbami zespolonymi, wtedy dyskretna transformata Fouriera jest określona wzorem:

Najpopularniejszą wersją FFT jest FFT o podstawie 2. Jest to bardzo efektywna operacja, jednak wektor próbek wejściowych (spróbkowany sygnał) musi mieć długość , gdzie to pewna liczba naturalna. Wynik otrzymuje się na drodze schematycznych przekształceń,. Podstawową „cegiełką” algorytmu FFT jest operacja motylkowa:

Złożoność obliczeniowa FFT wynosi , zamiast algorytmu wynikającego wprost ze wzoru określającego dyskretną transformatę Fouriera. Dzięki istnieniu takiego algorytmu praktycznie możliwe stało się cyfrowe przetwarzanie sygnałów (DSP), a także zastosowanie dyskretnych transformat kosinusowych (DCT) (JPEG, MP3 itd.) do kompresji.

Na przykład dla N=4096 bezpośrednie wykorzystanie wzoru dla DFT wymaga 16 milionów mnożeń. Algorytm FFT w tym przypadku wymaga zaledwie 49 tysięcy mnożeń. Ponad 300 razy mniej!!!

Pierwszym krokiem prowadzącym do redukcji algorytmu obliczeniowego jest podział

sygnału wejściowego x(n)na kilka przeplatających się sekwencji. Operacja ta zwykle nazywana jest decymacją czasową.

Numeryczne obliczanie widma sygnału

Po pierwsze, w rzeczywistych warunkach nie jest możliwa realizacja nieskończonego sumowania, gdyż nigdy nie osiągnęlibyśmy wyniku końcowego.

Po drugie, czas przeznaczony na osiągnięcie wartości wyjściowej jest limitowany.

Wynika stąd, że liczba częstotliwości biorących udział w obliczeniach jest ograniczona. W przypadku sygnału cyfrowego przetwarzanie ma charakter pewnych obliczeń numerycznych.