koszałka,teoria sygnałów, Widmo sygnału

background image

Widmo sygnału

Przypadek ciągły – z rozwinięcia w szereg Fouriera

X =

− ∞

x te

j t

dt gdzie = 2 f a w efekcie X f =

−∞

x t e

j 2  f t

dt

transformata odwrotna

x t =

1

2 

−∞

X f e

j 2  f t

df

Funkcje e

j 2  f t

są do siebie ortogonalne więc stanowią bazę przestrzeni !!!

Przypadek dyskretny – równanie DFT:

X k =

n =0

N −1

x ne

j 2 k n / N

gdzie 0≤k N −1 (dyskretne częstotliwości)

formuła wyznaczania częstotliwości dyskretnych: f

k

=

k F

s

N

(dlaczego akurat takie? !!!)

tr. odwrotna:

x n=

1

N

k=0

N−1

X k e

j 2 k n / N

gdzie

0≤nN −1

Jeżeli wynik DFT zapiszemy jako liczbę zespoloną

X k =Ak e

j k

=

X

r

k  j X

i

k

to:

moduł widma

X k

=

Ak =

X

r

2

k  X

i

2

k 

faza widma

arg X k =k =arctan

X

i

k

X

r

k

widmowa gęstość mocy

P k =∣X k ∣

2

=

X k conjX k =[ X

r

k  j X

i

k ] [ X

r

k − j X

i

k ]= X

r

2

k  X

i

2

k

Transformata DFT dla sygnałów 2D
Jeżeli mamy obraz np.

o x , y

x , y ∈ℤ

Ok , l=

x=0

N

x

1

e

j 2 k x / N

x

y=0

N

y

1

ox , y e

j 2l y/ N

y

=

x=0

N

x

1

y=0

N

y

1

ox , ye

j 2 l y / N

y

e

j 2 k x/ N

x

background image

Własności

Symetria
Dla sygnałów rzeczywistych ciągłych !!! i dyskretnych zachodzi:

X k ∣=∣X −k ∣ i k =−−k

lub inaczej X k =conj X −k  ,

X

r

k  j X

i

k = X

r

−

k − j X

i

−

k  (można pokazać

przez wstawienie -k do równania DFT)

Liniowość
Zachodzi dla sygnałów ciągłych i dyskretnych:

dla x n=a y nb z n mamy

X k =a Y k b Z k

Okresowość
Dla dyskretnych

X k =X mN k , m∈ℤ (pokazać)

Przesunięcie w czasie

dla

x n= y nn

0

mamy

X k =

k =0

N −1

y ne

j

2 nn

0

N

k

=

e

j

2 n

0

N

k

Y k =e

j

0

k

Y k

(przesunięcie fazy widma o stały czynnik)

Przesunięcie w częstotliwości

dla X k =Y k k

0

=

1

N

k=0

N −1

Y k k

0

e

j

2kk

0

N

n

mamy

x n=e

j

2 k

0

N

n

y n=e

j

0

n

y n

(przemnożenie przez stałą częstotliwość)

Istnienie FT/DFT dla sygnałów okresowych i nieokresowych
DFT istnieje tylko dla sygnałów okresowych !!!
(proszę sobie przypomnieć przykład z aproksymacją linii prostej – Notatki4 BS)
Jeżeli sygnał transformowany nie jest okresowy to konsekwencją jest przeciek widma.

N=512; Fs=512; n=(0:N-1)/Fs; x=sin(2*pi*50*n); y=sin(2*pi*50.17*n);

plot(n,x,n,y);
X = fft(x); Y = fft(y); f = ((0:N-1)/N)*Fs;

plot(f,abs(X),'b*',f,abs(Y),'r*');

background image

Najpowszechniejsze lekarstwo – okienkowanie sygnału

x

w

n=w nx n

N=256; Fs=N; n=(0:N-1)./Fs;

x=sin(2*pi*20*n); y=sin(2*pi*20.17*n);
plot(n,x,';x(n);',n,y,';y(n);');

w = bartlett(N)';plot(n,w,n,y.*w); %% okienko trójkątne
w = hamming(N)';plot(n,w,n,y.*w);

w = hanning(N)';plot(n,w,n,y.*w);
w = gausswin(N,3)';plot(n,w,n,y.*w);

xw= x.*w; yw = y.*w;
X=fft(x);XW=fft(xw);Y=fft(y);YW = fft(yw);f = ((0:N-1)/N)*Fs;

plot(f,abs(Y),'ro',f,abs(YW),'b*'); %% zmniejszony przeciek, ale nic za darmo
plot(f,abs(X),'ro',f,abs(XW),'b*');

Dlaczego tak się dzieje (rozmycie głównego prążka)?

x

w

n=w nx n  

X

w

k =X k ∗W k

wb = bartlett(N);

whm = hamming (N);
whn = hanning (N);

wg3 = gausswin (N,3); wg10 = gausswin(N,10);
plot(n,wb,n,whm,n,whn,n,wg3,n,wg10);

Wb = fft(wb);
Whn = fft(whn);

Whm = fft(whm);
Wg3=fft(wg3); Wg10=fft(wg10);

f = (0:N-1)/N;
plot(f,log10(abs(Wb)),f,log10(abs(Whn)),f,log10(abs(Whm)));

plot(f,log10(abs(Wg3)),f,log10(abs(Wg10)));

Zwiększanie rozdzielczości częstotliwościowej
Zwiększenie N powoduje więcej prążków częstotliwości – skąd wziąć dodatkowe próbki ?

N=32;n=(0:N-1);Fs=1;x=sin(2*pi*.27*n);plot(n,x);

X=fft(x);f=(-N/2:N/2-1)/N;plot(f,fftshift(abs(X)));

N=32;n=(0:N-1);Fs=1;x=sin(2*pi*.27*n);

y=[x,zeros(1,N)];M=size(y,2);m=(0:M-1);plot(m,y);
X=fft(x);fx=(-N/2:N/2-1)/N; Y=fft(y);fy=(-M/2:M/2-1)/M;

plot(fx,fftshift(abs(X)),fy,fftshift(abs(Y)));

background image

FFT

Koszt obliczeniowy

DFT = N

2

FFT =

N /2 log

2

N

FFT o podstawie 2

X k =

n=1

N

x ne

j 2 k n/ N

podstawmy

W

N

=

e

j2/ N

X k =

n=1

N

x nW

N

k n

i podzielmy próbki na parzyste i nieparzyste:

X k =

n=1

N / 2

x  2nW

N

2nk

n=1

N / 2

x 2n1W

N

2n 1 k

=

n=1

N /2

x 2n W

N

2nk

W

N

k

n=1

N / 2

x  2n1W

N

2nk

ponieważ

W

N

2

=

e

j 2 2 / N

=

e

j 2  /N /2 

=

W

N / 2

to

X k =

n=1

N / 2

x  2nW

N /2

nk

W

N

k

n=1

N / 2

x 2n 1 W

N / 2

nk

Podzielmy teraz częstotliwości na dwie połowy l dla 1≤k N /2 i

lN /2 dla N /21≤k N

X lN /2=

n=1

N /2

x 2n W

N / 2

n lN / 2

W

N

lN / 2

n=1

N / 2

x  2n1W

N / 2

n l N / 2

zobaczmy, że

W

N / 2

n l N / 2

=

W

N / 2

nl

W

N / 2

nN /2

=

W

N /2

nl

e

−

j 2 n N /2 / N / 2

=

W

N / 2

nl

e

j 2 n

=

W

N / 2

nl

oraz

W

N

l N /2 

=

W

N

l

W

N

N / 2

=

W

N

l

e

−

j 2 n N / 2/ N

=

W

N

l

e

j n

=

W

N

l

−

1=−W

N

l

tak więc:

X lN /2=

n=1

N /2

x 2n W

N / 2

nl

W

N

l

n=1

N /2

x 2n1W

N /2

nl

i dla dolnych częstotliwości (poniżej N/2)

X l=

n =1

N /2

x 2n W

N / 2

nl

W

N

l

n =1

N / 2

x 2n1W

N / 2

nl

czyli:

X l = AlW

N

l

B l

X lN /2 = Al−W

N

l

B l


Document Outline


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
koszałka,teoria sygnałów, Podobieństwo sygnałów – korelacja
koszałka,teoria sygnałów, Filtry cyfrowe
koszałka,teoria sygnałów, Systemy
koszałka,teoria sygnałów, Konwersja AC CA
Pytania sesja1, ZiIP, 2 sem, Teoria sygnalow, Różne
Pytania sesja5, ZiIP, 2 sem, Teoria sygnalow, Różne
kolots2002, ZiIP, 2 sem, Teoria sygnalow, Różne
sygnały spr okna, pwr, air, semestr 3, Teoria sygnałów
Pytania sesja6, ZiIP, 2 sem, Teoria sygnalow, Różne
Pytania sesja7, ZiIP, 2 sem, Teoria sygnalow, Różne
teoria sygnalow kolokwium 2
nowe pytania, 2 ROK, 3ci SEMESTR, Teoria Sygnałów
Pytania sesja4, ZiIP, 2 sem, Teoria sygnalow, Różne

więcej podobnych podstron