Systemy

System liniowy:
- główna zaleta proporcjonalność

Jeżeli x

1



n  y

1



n  i

x

2



n y

2



n

to:

a x

1



nb x

2



n a y

1



nb y

2



n

Przykłady systemów liniowych:

y n=

−

1

2

x  n

y n=3 x n2 x n−5

Przykłady systemów nieliniowych

y n=2 x n  x  n−1
y n=3 x

2



n

System liniowy:

N=500; Fs=1000; n=(0:N-1)/Fs;x=sin(2*pi*20*n);y=-.5*x;plot(n,x,n,y);

N=500; Fs=1000; n=(0:N-1)/Fs;
x1=sin(2*pi*20*n);y1=.5*x1;

x2=sin(2*pi*10*n);y2=.5*x2;
x =2*x1-3*x2; y = .5*x;

plot(n,2*x1-3*x2,n,y,n,2*y1-3*y2);

System nieliniowy:

N=500; Fs=1000; n=(0:N-1)/Fs;

x1=sin(2*pi*20*n);y1=.5*x1.*x1;
x2=sin(2*pi*10*n);y2=.5*x2.*x2;

x =2*x1-3*x2; y = .5*x.*x;
plot(n,2*x1-3*x2,n,y,n,2*y1-3*y2);

System inercyjny(bezwładnościowy) / nieinercyjny
Przykłady:

–

bezinercyjny y n=1.1x  n

N=20;n=(0:N-1);x=[zeros(1,N/2),ones(1,N/2)];yB=1.1*x;plot(n,x,'b*',n,y,'rx')

x(n)

y(n)

h(n)

–

inercyjny y n=0.5x n0.3x n−10.1x n−20.1x n−2

N=50;Fs=200;n=(0:N-1)./Fs;f=5;x=square(2*pi*f*n,.5);
yb=1.1*x;

yi=.5*x+.3*[0,x(1:end-1)]+.1*[0,0,x(1:end-2)]+.1*[0,0,0,x(1:end-3)];

plot(n,x,'r+',n,yb,'b*',n,yi,'go');

System niezmienny w czasie / zmienny w czasie / adaptacyjny

Szereg Volterry (Volterra series) – modelowanie systemów nieliniowych

Najczęściej używany model systemu -

dyskretny liniowy inercyjny niezmienny w czasie

LTI – ang. Linear Time Invariant

Odpowiedź impulsowa

B=[1 .9 -1.2 3 2 .1 -1 -1.5 -.9]; A=1; % nieznany system
N=20;n=(1:N);x=zeros(1,N);x(1)=1; % pobudzenie

y = filter(B,A,x);plot(n,x,'b*',n,y,'r');

Czy na podstawie obserwacji odpowiedzi systemu (kolor czerwony) jesteśmy w stanie wyznaczyć
nasz system - czyli h(n) ?

Transformata Z

Z {x  kT }=Z {x  n}= X  z  ,

x n∈ℝ

N

,

X  z∈ℂ

N

gdzie

X  z =

∑

n=0

N −1

x n z

−

n

Transformata Z istnieje tylko dla funkcji które nie rosną szybciej niż funkcja wykładnicza

e

n

czyli np. dla x  n=n ! lub x n=e

n

2

transformata Z nie istnieje !!!

Region zbieżności ROC

ROC =

{

z :

∣

∑

n=−∞

∞

x n z

−

n

∣

∞

}

(zbiór punktów zespolonej płaszczyzny Z spełniający ten

warunek)

x(n)

y(n)

h(n)

Związek między transformatą Z a transformatą Fouriera

(omówić z=r e

j 

i przypadek kiedy

r =1 ∣z∣=1

)

Własności transformaty Z

●

Liniowość

Z [a x

1



nb x

2



n ]=a X

1



z b X

2



z 

●

przesunięcie w czasie

Z {x  n−k }=z

−

k

X  z

Z {x  nk }=z

k

{

X  z−

∑

n=0

k−1

x  n z

−

k

}

●

odwrócenie czasu

Z {x −n}= X  z

−

1



●

Transformata sumy

Z

{

∑

n=0

M −1

x n 

}

=

z

z−1

X  z 

●

Transformata różnicy

Z [ x n1− x  n]= z − 1 X  z − x 0

●

Transformata iloczynu

Z {x  n y  n}= X  z ∗Y  z 

●

Transformata splotu

Z {x  n∗y  n}= X  z Y  z 

Tabela potrzebnych transformat

x(n)

Transfomata Z

Obszar zbieżności ROC



n

1

z∈ℂ



n−k 

z

−

k

z ≠0

u n

1

1−z

−

1

∣

z∣1

Splot

y t=

∫

−∞

∞

h  x t− d 

i konsekwentnie jeżeli mamy h n∈ℝ

M

oraz x  n∈ℝ

N

y n=

∑

k =1

M N −1

h k  x n−k =h n∗x n

przykład 1

h n=[0,0 ,1],

x n=[1,2 ,3]

przykład 2

h n=

1
2

[

1,1],

x n=[1,0 .1 ,−1,−0.1]

N=1000;Fs=1000;n=(0:N-1)./Fs;x=sin(2*pi*5*n)+.5*randn(1,N);
M=3;h=ones(1,M)./M;y = conv(x,h);y=y(1:N);

plot(n,x,'b',n,y,'r');

Transmitancja

Y  z =X  z H  z 

y n= x n∗h n

N=32;n=(0:N-1);x=zeros(1,N);x(6:15)=ones(1,10);
h=zeros(1,N);h(10:20)=bartlett(11)';plot(n,x,'b*',n,h,'r*');

plot(n,x,'b*',n,h,'r*',n,x.*h,'go');
plot(conv(x,h));

plot(n,x,'b*',n,h,'r*',n,x.*h,'go', conv(x,h)(6:37),'m');

Jak znaleźć transmitancję systemu znając wejście i wyjście? (delta)

Bieguny i zera funkcji transmitancji

H  z =

B z
A z 

gdzie B  z  i A z to wielomiany stopnia Q i P odpowiednio

B  z =b

Q

z

−

Q



b

Q −1

z

−

Q 1



b

2

z

−

2



b

1

z

−

1



b

0

=

∑

q=0

Q

b

q

z

−

q

=

1−q

0

z

−

1



1−q

1

z

−

1



1−q

Q

z

−

1



A z=a

P

z

−

P



a

P −1

z

−

P 1



a

2

z

−

2



a

1

z

−

1



a

0

=

∑

q=0

P

a

q

z

−

q

=

1− p

0

z

−

1



1− p

1

z

−

1



1− p

P

z

−

1



X(z)

Y(z)

H(z)