Systemy
System liniowy:
- główna zaleta proporcjonalność
Jeżeli x
1
n y
1
n i
x
2
n y
2
n
to:
a x
1
nb x
2
n a y
1
nb y
2
n
Przykłady systemów liniowych:
y n=
−
1
2
x n
y n=3 x n2 x n−5
Przykłady systemów nieliniowych
y n=2 x n x n−1
y n=3 x
2
n
System liniowy:
N=500; Fs=1000; n=(0:N-1)/Fs;x=sin(2*pi*20*n);y=-.5*x;plot(n,x,n,y);
N=500; Fs=1000; n=(0:N-1)/Fs;
x1=sin(2*pi*20*n);y1=.5*x1;
x2=sin(2*pi*10*n);y2=.5*x2;
x =2*x1-3*x2; y = .5*x;
plot(n,2*x1-3*x2,n,y,n,2*y1-3*y2);
System nieliniowy:
N=500; Fs=1000; n=(0:N-1)/Fs;
x1=sin(2*pi*20*n);y1=.5*x1.*x1;
x2=sin(2*pi*10*n);y2=.5*x2.*x2;
x =2*x1-3*x2; y = .5*x.*x;
plot(n,2*x1-3*x2,n,y,n,2*y1-3*y2);
System inercyjny(bezwładnościowy) / nieinercyjny
Przykłady:
–
bezinercyjny y n=1.1x n
N=20;n=(0:N-1);x=[zeros(1,N/2),ones(1,N/2)];yB=1.1*x;plot(n,x,'b*',n,y,'rx')
x(n)
y(n)
h(n)
–
inercyjny y n=0.5x n0.3x n−10.1x n−20.1x n−2
N=50;Fs=200;n=(0:N-1)./Fs;f=5;x=square(2*pi*f*n,.5);
yb=1.1*x;
yi=.5*x+.3*[0,x(1:end-1)]+.1*[0,0,x(1:end-2)]+.1*[0,0,0,x(1:end-3)];
plot(n,x,'r+',n,yb,'b*',n,yi,'go');
System niezmienny w czasie / zmienny w czasie / adaptacyjny
Szereg Volterry (Volterra series) – modelowanie systemów nieliniowych
Najczęściej używany model systemu -
dyskretny liniowy inercyjny niezmienny w czasie
LTI – ang. Linear Time Invariant
Odpowiedź impulsowa
B=[1 .9 -1.2 3 2 .1 -1 -1.5 -.9]; A=1; % nieznany system
N=20;n=(1:N);x=zeros(1,N);x(1)=1; % pobudzenie
y = filter(B,A,x);plot(n,x,'b*',n,y,'r');
Czy na podstawie obserwacji odpowiedzi systemu (kolor czerwony) jesteśmy w stanie wyznaczyć
nasz system - czyli h(n) ?
Transformata Z
Z {x kT }=Z {x n}= X z ,
x n∈ℝ
N
,
X z∈ℂ
N
gdzie
X z =
∑
n=0
N −1
x n z
−
n
Transformata Z istnieje tylko dla funkcji które nie rosną szybciej niż funkcja wykładnicza
e
n
czyli np. dla x n=n ! lub x n=e
n
2
transformata Z nie istnieje !!!
Region zbieżności ROC
ROC =
{
z :
∣
∑
n=−∞
∞
x n z
−
n
∣
∞
}
(zbiór punktów zespolonej płaszczyzny Z spełniający ten
warunek)
x(n)
y(n)
h(n)
Związek między transformatą Z a transformatą Fouriera
(omówić z=r e
j
i przypadek kiedy
r =1 ∣z∣=1
)
Własności transformaty Z
●
Liniowość
Z [a x
1
nb x
2
n ]=a X
1
z b X
2
z
●
przesunięcie w czasie
Z {x n−k }=z
−
k
X z
Z {x nk }=z
k
{
X z−
∑
n=0
k−1
x n z
−
k
}
●
odwrócenie czasu
Z {x −n}= X z
−
1
●
Transformata sumy
Z
{
∑
n=0
M −1
x n
}
=
z
z−1
X z
●
Transformata różnicy
Z [ x n1− x n]= z − 1 X z − x 0
●
Transformata iloczynu
Z {x n y n}= X z ∗Y z
●
Transformata splotu
Z {x n∗y n}= X z Y z
Tabela potrzebnych transformat
x(n)
Transfomata Z
Obszar zbieżności ROC
n
1
z∈ℂ
n−k
z
−
k
z ≠0
u n
1
1−z
−
1
∣
z∣1
Splot
y t=
∫
−∞
∞
h x t− d
i konsekwentnie jeżeli mamy h n∈ℝ
M
oraz x n∈ℝ
N
y n=
∑
k =1
M N −1
h k x n−k =h n∗x n
przykład 1
h n=[0,0 ,1],
x n=[1,2 ,3]
przykład 2
h n=
1
2
[
1,1],
x n=[1,0 .1 ,−1,−0.1]
N=1000;Fs=1000;n=(0:N-1)./Fs;x=sin(2*pi*5*n)+.5*randn(1,N);
M=3;h=ones(1,M)./M;y = conv(x,h);y=y(1:N);
plot(n,x,'b',n,y,'r');
Transmitancja
Y z =X z H z
y n= x n∗h n
N=32;n=(0:N-1);x=zeros(1,N);x(6:15)=ones(1,10);
h=zeros(1,N);h(10:20)=bartlett(11)';plot(n,x,'b*',n,h,'r*');
plot(n,x,'b*',n,h,'r*',n,x.*h,'go');
plot(conv(x,h));
plot(n,x,'b*',n,h,'r*',n,x.*h,'go', conv(x,h)(6:37),'m');
Jak znaleźć transmitancję systemu znając wejście i wyjście? (delta)
Bieguny i zera funkcji transmitancji
H z =
B z
A z
gdzie B z i A z to wielomiany stopnia Q i P odpowiednio
B z =b
Q
z
−
Q
b
Q −1
z
−
Q 1
b
2
z
−
2
b
1
z
−
1
b
0
=
∑
q=0
Q
b
q
z
−
q
=
1−q
0
z
−
1
1−q
1
z
−
1
1−q
Q
z
−
1
A z=a
P
z
−
P
a
P −1
z
−
P 1
a
2
z
−
2
a
1
z
−
1
a
0
=
∑
q=0
P
a
q
z
−
q
=
1− p
0
z
−
1
1− p
1
z
−
1
1− p
P
z
−
1
X(z)
Y(z)
H(z)