1. Cel opracowania

Celem danego ćwiczenia projektowego jest sprawdzenie stateczności skarpy gruntowej, dla zadanych warunków gruntowych, o zadanych parametrach:

• nachylenie skarpy 1: n = 1: 1,5,

• obciążenie q = 150[kPa] na długości 3,0 m znajdujące się na koronie zbocza skarpy

w odległości 2,0 m od krawędzi górnej skarpy.

Przeznaczeniem analizowanej skarpy jest pełnienie funkcji zbiornika wodnego,

dlatego też w zależności od warunków wodnych, stateczność zostanie sprawdzona dla dwóch

skrajnych przypadków:

• skarpa zbiornika wodnego przed wypełnieniem wodą,

• skarpa zbiornika wodnego po jego wypełnieniu wodą.

1. Charakterystyka warunków gruntowo-wodnych

Rozpatrywany obszar skarpy złożony jest z trzech warstw gruntu. Wyróżnia się:

1 warstwa – Pg - piasek gliniasty o miąższości warstwy 0,5 m. Jest to grunt spoisty należący do grupy konsolidacyjnej C. Stopień plastyczności gruntu wynosi I_c = 0,88 więc grunt jest w stanie twardoplastycznym.

2 warsta – Ps - piasek średni o miąższości warstwy 3,5 m. Jest to grunt nie spoisty o stanie zagęszczenia I_D = 0,4 więc jest to grunt średnio zagęszczony. Stan wilgotności gruntu S_r = 0,45 więc jest to grunt wilgotny.

3 warsta – Gz – glina zwięzła o miąższości warstwy nieokreślonej. Jest to grunt spoisty należący do grupy konsolidacyjnej B. Stopień plastyczności gruntu wynosi I_c = 0,95 więc grunt jest w stanie twardoplastycznym.

Ponadto w warstwie drugiej znajduje się zwierciadło wody gruntowej (ZWG) na głębokości 1m poniżej poziomu terenu.

1. Określenie stopnia złożoności warunków geotechnicznych i określenie kategorii

geotechnicznej

Warstwy gruntu są ułożone w względem siebie jak i powierzchni terenu równolegle. Żadna z warstw gruntu nie jest gruntem słabonośnym, ponieważ grunty spoiste nie są w stanie miękko plastycznym, a grunty niespoiste nie są w stanie luźnym. Ponadto przyjęto, że poziom zwierciadła wody gruntowej będzie znajdować się na takiej samej wysokości, na której będzie znajdować się woda (H=1m), jeśli dany zbiornik zostanie nią wypełniony. Nie zaobserwowano również występowania niekorzystnych zjawisk geologicznych w obrębie analizowanych warstw gruntu. Dlatego też można uznać, że występują na danym terenie proste warunki gruntowe,

a charakter przedsięwzięcia budowlanego na badanym gruncie, jak również wszystkie parametry geotechniczne gruntu, wskazują na stan typowy dla trzeciej kategorii geotechnicznej.

1. charakterystyczne i obliczeniowe parametrów geotechnicznych

Na podstawie normy PN-81/B-03020 „Grunty budowlane. Posadowienie bezpośrednie

budowli. Obliczenia statyczne i projektowanie” wyznaczono, i zestawiono w tabeli 1,

wartości trzech podstawowych cech fizycznych i czterech parametrów wytrzymałościowych

dla każdej z warstw gruntu, tj.:

• wilgotność naturalna w_n podawana w [%],

• gęstość objętościowa ρ podawana w [$\frac{t}{m^{3}}$]

• gęstość właściwa szkieletu gruntowego ρ_s podawana w [$\frac{t}{m^{3}}$]

• kąt tarcia wewnętrznego gruntu ϕ_u podawany w stopniach,

• spojność gruntu C podawana w [kPa].

Parametry geotechniczne warstw gruntu	Warstwa gruntu
	Pg
Grupa konsolidacyjna	C
Miąższość warstwy [m]	0,5
Wskaźnik konsystencji Ic	0,88
Stopień plastyczności IL	0,12
Stopień zagęszczenia ID	-
Stan wilgotności Sr	-
Wilgotność naturalna Wn [%]	13
Gęstość objętościowa ρ [$\frac{t}{m^{3}}$]	2,15
Gęstość własciwa szk. grunt. ρ [$\frac{t}{m^{3}}$]	2,65
Wskaźnik skonsolidowania gruntu β	0,6
Edometryczny moduł ściśliwości pierwotnej M0^(n) [kPa]	35 000
ϕu	16
cu	24
Φ’	22
C’	25

Następnie dla każdej z warstw gruntu, posługując się schematem obliczeniowym podłoża i parametrów geotechnicznych według metody B, określono parametry geotechniczne.

W poniższym toku obliczeniowym wykorzystano poniższe wzory i zależności:

Parametry fizyczne:

• gęstość objętościowa szkieletu gruntowego:

$\mathbf{\rho}_{\mathbf{\text{d\ }}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{\rho}}{\mathbf{1 +}\mathbf{w}_{\mathbf{n}}}$

• porowatość:

$\mathbf{n = \ }\frac{\mathbf{\rho}_{\mathbf{\text{s\ }}}\mathbf{-}\mathbf{\rho}_{\mathbf{d}}}{\mathbf{\rho}_{\mathbf{s}}}$

• wskaźnik porowatości:

e = $\frac{\mathbf{\rho}_{\mathbf{\text{s\ }}}\mathbf{-}\mathbf{\rho}_{\mathbf{d}}}{\mathbf{\rho}_{\mathbf{d}}}$

• gęstość objętościowa gruntu z uwzględnieniem wyporu:

ρ ‘ = (1 – n) * (ρ_s − ρ_w)

• gęstość objętościowa gruntu przy całkowitym wypełnieniu porów wodą:

ρ_sat=(1 − n)* ρ_s+ n *  ρ_w

Do sprawdzenia zależność:

ρ ‘ = ρ_sat - ρ_w

• ciężar objętościowy gruntu:

γ = p*g

• ciężar objętościowy gruntu znajdującego się pod wodą z uwzględnieniem wyporu:

γ’ = ρ’*g

• ciężar objętościowy gruntu przy całkowitym wypełnieniu porów wodą:

γ_sat = ρ’*g

gdzie:

ρ_d - gęstość objętościowa szkieletu gruntowego, [$\frac{t}{m^{3}}$]

ρ  - gęstość objętościowa, [$\frac{t}{m^{3}}$]

w_n- wilgotność naturalna, [%],

n - porowatość,

ρ_s - gęstość właściwa szkieletu gruntowego, [$\frac{t}{m^{3}}$]

e - wskaźnik porowatości,

ρ ‘- gęstość objętościowa gruntu z uwzględnieniem wyporu, [$\frac{t}{m^{3}}$]

ρ_w - gęstość wody, ρ_w = 1, 00 [$\frac{t}{m^{3}}$]

ρ_sat - gęstość objętościowa gruntu przy całkowitym wypełnieniu porów wodą, [$\frac{t}{m^{3}}$]

γ - ciężar objętościowy gruntu, $\lbrack\frac{\text{kN}}{m^{3}}\rbrack$

g - przyspieszenie ziemskie, g = 9,81 [m/s²]

γ’ - ciężar objętościowy gruntu znajdującego się pod wodą z uwzględnieniem wyporu, $\lbrack\frac{\text{kN}}{m^{3}}\rbrack$

γ_sat - ciężar objętościowy gruntu przy całkowitym wypełnieniu porów wodą, $\lbrack\frac{\text{kN}}{m^{3}}\rbrack$

Obliczenie wartości charakterystycznych parametrów geotechnicznych 1 warstwy gruntu:

$\rho_{\text{d\ }} = \ \frac{\rho}{1 + w_{n}}$ = $\frac{2,15}{1 + 0,13} = 1,90$ [$\frac{t}{m^{3}}$]

$n = \ \frac{\rho_{\text{s\ }} - \rho_{d}}{\rho_{s}}$ = $\frac{2,65 - 1,90}{2,65} = 0,28$

e = $\frac{\rho_{\text{s\ }}\rho_{d}}{\rho_{d}}$ = $\frac{2,65 - 1,90}{1,90} = 0,39$

ρ ‘ = (1 – n) * (ρ_s  −  ρ_w) = $\left( 1 - 0,28 \right)*\left( 2,65 - 1,00 \right) = \ 1,18\ \lbrack\frac{t}{m^{3}}\rbrack$

ρ_sat = (1−n) *  ρ_s +  n *  ρ_w = (1−0,28) * 2, 65 + 0, 28 * 1, 00 = 2, 18 $\lbrack\frac{t}{m^{3}}\rbrack$

Wyznaczone wartości są wartościami charakterystycznymi parametrów geotechnicznych. W celu uzyskania wartości obliczeniowych parametrów geotechnicznych należy przemnożyć wyniki przez współczynnik materiałowy gruntu. Dla uproszczenia obliczeń przyjęto współczynnik materiałowy gruntu na poziomie γ_m = 1,0. Tym samym wartości charakterystyczne parametrów geotechnicznych są wartościami obliczeniowymi parametrów geotechnicznych.

Do sprawdzenia zależność:

ρ ‘ = ρ_sat - ρ_w = 2,18 – 1,00 = 1,18 $\lbrack\frac{t}{m^{3}}\rbrack$

γ = ρ * g = 2,15 * 9,81 = 21,09 $\lbrack\frac{\text{kN}}{m^{3}}\rbrack$

γ’ = ρ′*g = 1,18 * 9,81 = 11,57 $\lbrack\frac{\text{kN}}{m^{3}}\rbrack$

γ_sat = ρ_sat * g = 2,18 * 9,81 = 21,38$\lbrack\frac{\text{kN}}{m^{3}}\rbrack$
$M = \ \frac{1}{\beta}*M_{0}^{(n)}$ = 1,67 * 35000 = 58333,3

Obliczenie wartości charakterystycznych parametrów geotechnicznych 2 warstwy gruntu:

$\rho_{\text{d\ }} = \ \frac{\rho}{1 + w_{n}}$ = $\frac{1,85}{1 + 0,14} = 1,62$ [$\frac{t}{m^{3}}$]

$n = \ \frac{\rho_{\text{s\ }} - \rho_{d}}{\rho_{s}}$ = $\frac{2,65 - 1,62}{2,65} = 0,38$

e = $\frac{\rho_{\text{s\ }}\rho_{d}}{\rho_{d}}$ = $\frac{2,65 - 1,62}{1,62} = 0,63$

ρ ‘ = (1 – n) * (ρ_s  −  ρ_w) = $\left( 1 - 0,38 \right)*\left( 2,65 - 1,00 \right) = \ 1,02\ \lbrack\frac{t}{m^{3}}\rbrack$

ρ_sat = (1−n) *  ρ_s +  n *  ρ_w = (1−0,38) * 2, 65 + 0, 38 * 1, 00 = 2, 02 $\lbrack\frac{t}{m^{3}}\rbrack$

ρ ‘ = ρ_sat - ρ_w = 2,02 – 1,00 = 1,02 $\lbrack\frac{t}{m^{3}}\rbrack$

γ = ρ * g = 1,85 * 9,81 = 18,14 $\lbrack\frac{\text{kN}}{m^{3}}\rbrack$

γ’ = ρ′*g = 1,02 * 9,81 = 10 $\lbrack\frac{\text{kN}}{m^{3}}\rbrack$

γ_sat = ρ_sat * g = 2,02 * 9,81 = 19,81$\lbrack\frac{\text{kN}}{m^{3}}\rbrack$
$M = \ \frac{1}{\beta}*M_{0}^{(n)}$ = 1,11 * 82000 = 91111,1

Obliczenie wartości charakterystycznych parametrów geotechnicznych 3 warstwy gruntu:

$\rho_{\text{d\ }} = \ \frac{\rho}{1 + w_{n}}$ = $\frac{2,1}{1 + 0,18} = 1,78$ [$\frac{t}{m^{3}}$]

$n = \ \frac{\rho_{\text{s\ }} - \rho_{d}}{\rho_{s}}$ = $\frac{2,69 - 1,78}{2,69} = 0,33$

e = $\frac{\rho_{\text{s\ }}\rho_{d}}{\rho_{d}}$ = $\frac{2,69 - 1,78}{1,78} = 0,51$

ρ ‘ = (1 – n) * (ρ_s  −  ρ_w) = $\left( 1 - 0,33 \right)*\left( 2,69 - 1,00 \right) = \ 1,13\ \lbrack\frac{t}{m^{3}}\rbrack$

ρ_sat = (1−n) *  ρ_s +  n *  ρ_w = (1−0,33) * 2, 69 + 0, 33 * 1, 00 = 2, 13 $\lbrack\frac{t}{m^{3}}\rbrack$

ρ ‘ = ρ_sat - ρ_w = 2,13 – 1,00 = 1,13 $\lbrack\frac{t}{m^{3}}\rbrack$

γ = ρ * g = 2,1 * 9,81 = 20,6 $\lbrack\frac{\text{kN}}{m^{3}}\rbrack$

γ’ = ρ′*g = 1,13 * 9,81 = 11,08 $\lbrack\frac{\text{kN}}{m^{3}}\rbrack$

γ_sat = ρ_sat * g = 2,13 * 9,81 = 20,89$\lbrack\frac{\text{kN}}{m^{3}}\rbrack$
$M = \ \frac{1}{\beta}*M_{0}^{(n)}$ = 1,33 * 82000 = 109333,3

Zestawienie wartości obliczeniowych parametrów geotechnicznych dla warstw gruntu.

Wskaźniki obliczeniowe parametrów geotechnicznych	Warstwa gruntu
	Pg
IL	0,12
ID	-
Sr	-
Wn	13
ρ	2,15
ρ s	2,65
ρ d	1,90
n	0,28
e	0,39
ρ ‘	1,18
ρ sat	2,18
γ	21,09
γ’	11,57
γ sat	21,38
ϕu	16
cu	24
Φ’	22
C’	25

1. Założenia projektowe

Według metody równowagi granicznej, w celu przeprowadzenia analizy obliczeniowej

stopnia stateczności skarpy, należy założyć, że:

• osiągnięto stan graniczny, według hipotezy Coulomba, na całej powierzchni poślizgu,

• występuje płaski stan odkształceń (skarpa o jednostkowej długości),

• istnieje kołowo-cylindryczna powierzchnia poślizgu (R=const), która łączy część

obciążenia rozłożonego, znajdującego się na koronie skarpy z dolną krawędzią skarpy,

• następuje jednoczesny poślizg punktów klina odłamu po powierzchni poślizgu

(klin sztywny),

• w całym klinie odłamu występuje niezmienność parametrów na powierzchni poślizgu,

• wprowadza się podział na paski, które są sztywne,

• wykorzystana metoda nie uwzględnia oddziaływań sąsiednich bloków,

• będzie wykorzystany tylko jeden warunek równowagi dla całego klina odłamu

(warunek momentów).

Wszystkie te założenia składają się na metodę szwedzką, tzw. Felleniusa.

1. Analiza stateczności skarpy wykopu odwodnionego

Pierwsza analiza dotyczy wyznaczenia wskaźnika stateczności (F) dla określonego

przypadku warunków wodnych, tzn. skarpa zbiornika wodnego przed wypełnieniem wodą.

W tym celu wyznaczono:

• położenie środka obrotu klina odłamu skarpy,

• podział na bloki klina odłamu ograniczonego powierzchnią poślizgu,

• przeprowadzono obliczenia wskaźnika stateczności (F) wykopu odwodnionego.

6.1 Wyznaczenie położenia środka obrotu klina odłamu

Aby móc określić jak wielki jest klin odłamu, należy wyznaczyć środek obrotu tej bryły. W tym celu, w punkcie środkowym skłonu skarpy, określono dwa promienie zakreślające wycinek koła. W tym wycinku wybrano sobie dowolny punkt, który przyjęto za środek obrotu klina odłamu. Wyznaczono promień powierzchni kołowo-cylindrycznej w taki sposób, aby łuk zakreślający tą powierzchnię łączył w sobie krawędź dolna skarpy z częścią

korony skarpy, na której znajduje się obciążenie ciągłe.

W celu zobrazowania całej sytuacji wykonano rysunek, na którym zamieszczono sposób określenia środka obrotu klina odłamu. Zaznaczony poziom zwierciadła wody gruntowej, przy określaniu stopnia stateczności skarpy wykopu odwodnionego, nie jest brany

pod uwagę w obliczeniach. Uwzględnia się go dopiero przy analizowaniu stopnia stateczności

skarpy przy zalaniu wykopu wodą. Tym samym powstaje wówczas zbiornik wodny

o ustabilizowanym poziomie wody równym poziomowi zwierciadła wody gruntowej.

Podział na bloki klina odłamu ograniczonego powierzchnią poślizgu

Metoda Felleniusa zakłada, że cały klin odłamu podzielony jest na paski (bloki)

w myśl pewnych zasad:

• powierzchnia poślizgu w danym pasku należy do jednego rodzaju gruntu,

• obciążenia zewnętrzne znajdują się na całej szerokości paska,

• szerokość paska musi spełniać zależność b_i ≤ 0,20 * H = 0,8 [m].

W tym celu sporządzono kolejny rysunek 3, na którym pokazano podział na bloki klina

odłamu ograniczonego powierzchnią poślizgu. Ponadto dla każdego z tych pasków,

odczytano w programie AUTOCAD:

• powierzchnię paska A_i ,

• kąt α_i zawarty między poziomem a cięciwą łuku powierzchni poślizgowej, który ogranicza od dołu każdy pasek, przy czym znak kąta ustala się na podstawie zgodności z nachyleniem skarpy - jeśli kąt zgodny, to znak „+” a jeśli nie to „-„

• długość l_i, czyli długość cięciwy.

Obliczenie wskaźnika stateczności (F) wykopu odwodnionego

W każdym z pasków, o szerokości b_i, występuje układ sił, który zobrazowano na schematycznym rysunku obok. W wyniku przesuwu bloku gruntu po powierzchni poślizgowej występują siły:

• ciężar warstw gruntu działający na dany punkt w postaci siły w_i,

• ciężar w_i rozkłada się na prostopadłą do powierzchni nachylenia skarpy siłę N_i,

• składowa styczna ciężaru w_i, oznaczana jako B_i, odpowiada za zsuwanie się elementu gruntu po zboczu,

• sile B_i przeciwstawia się siła T_i, która wynika z oporów elementu gruntu na ścinanie,

• obciążenie rozłożone q da się zastąpić obciążeniem skupionym wg zależności Q_i = q * b_i * 1, 0 [m].

Z prostych zależności matematycznych można przedstawić następujące wzory:

• obciążenie rozłożone q można zastąpić obciążeniem skupionym

Q_i = q * b_i * 1, 0 [m]

• siłę B_i można zapisać w postaci

B_i = w_i * sin α_i

• siłę N_i można zapisać w postaci

N_i = w_i * cos α_i

• ciężar bloku w danej warstwie gruntu G_i bez uwzględnienia obciążenia zewnętrznego

$$\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ G}_{i} = \ \sum_{}^{}{(A_{i}*\mathbf{\gamma}_{i}*1,0\left\lbrack m \right\rbrack)}$$

• sumaryczny ciężar w_i da się przedstawić w postaci

w_i = G_i + Q_i

• z hipotezy Coulomba wynika, że

T_i = N_i * tan ϕ + c_i * l_i

Wskaźnik stateczności (F) rozpatrywanego zbocza wykopu odwodnionego można zapisać

w następującej postaci:

$$F = \ \frac{\sum_{}^{}M_{\text{ui}}}{\sum_{}^{}M_{\text{oi}}} = \ \frac{\sum_{}^{}{T_{\text{i\ }}*R_{i}}}{\sum_{}^{}{B_{i}*\ R_{\text{klin}}}} = \ \frac{\sum_{}^{}T_{\text{i\ }}}{\sum_{}^{}B_{i}} = \ \frac{\sum_{}^{}{(\text{\ w}i\ *\ cos\ \alpha i*\text{tan\ ϕ} + \ c\text{i\ }*\ li*1,0\left\lbrack m \right\rbrack)}\ }{\sum_{}^{}{(wi\ *\ sin\ \alpha i)}}$$

gdzie:

$\sum_{}^{}M_{\text{ui}}$ - suma momentów utrzymujących klin odłamu, aby nie uległ przesunięciu,

$\sum_{}^{}M_{\text{oi}}$ - suma momentów obracających klin odłamu, w celu jego przesunięcia.

W tabeli 3 zamieszczono wszelkie obliczenia dotyczące wyznaczenia wskaźnika

stateczności (F) wykopu odwodnionego.

"i"	γ1 = 21,09	γ2 = 18,14	γ3 = 20,6	Gi	Qi	Wi	αi	sin αi	cos αi	Cu	ϕu	tan ϕ	Li	Ti	Bi
	A1 [m^2]	A2 [m^2]	A3 [m^2]	[kN]	[kN]	[kN]	[^o]	-	-	[kPa]	[^o]	-	[m]	[kN]	[kN]
1	0,04			0,8436	28,5	29,3436	70	0,9397	0,3420	24	16	0,2867	0,53	15,5978	27,57396
2	0,27	0,28		10,7735	81	91,7735	62	0,8829	0,4695	0	32	0,6249	1,16	26,9225	81,03119
3	0,32	0,94		23,8004	96	119,8004	53	0,7986	0,6018	0	32	0,6249	1,06	45,0516	95,67685
4	0,35	1,55		35,4985		35,4985	44	0,6947	0,7193	0	32	0,6249	0,97	15,9563	24,65933
5	0,35	1,97		43,1173		43,1173	36	0,5878	0,8090	0	32	0,6249	0,86	21,7971	25,34371
6	0,37	2,49		52,9719		52,9719	29	0,4848	0,8746	0	32	0,6249	0,86	28,9504	25,68129
7	0,11	2,07	0,07	41,3117		41,3117	23	0,3907	0,9205	50	10	0,1763	0,64	38,7053	16,14177
8		2,43	0,27	49,6422		49,6422	17	0,2924	0,9563	50	10	0,1763	0,78	47,3708	14,51397
9		2,08	0,41	46,1772		46,1772	10	0,1736	0,9848	50	10	0,1763	0,76	46,0186	8,018587
10		1,66	0,46	39,5884		39,5884	4	0,0698	0,9976	50	10	0,1763	0,75	44,4635	2,761547
11		1,31	0,48	33,6514		33,6514	-2	-0,0349	0,9994	50	10	0,1763	0,75	43,4300	-1,17442
12		0,93	0,42	25,5222		25,5222	-9	-0,1564	0,9877	50	10	0,1763	0,76	42,4448	-3,99255
13		0,56	0,30	16,3384		16,3384	-15	-0,2588	0,9659	50	10	0,1763	0,78	41,7827	-4,22869
14		0,18	0,11	5,5312		5,5312	-22	-0,3746	0,9272	50	10	0,1763	0,80	40,9043	-2,07202
													SUMA	499,3958	309,9345

Na podstawie tabeli 3 wyznaczona została suma sił wynikająca z oporów elementu gruntu na ścinanie T_i oraz suma sił odpowiadających za zsuwanie się elementu gruntu po zboczu B_i.

Wartości tych sum sił są następujące:

• suma sił ΣB_i = 309,9345 [kN],

• suma sił ΣT_i = 499,3958 [kN].

Wskaźnik stateczności (F) wynosi zatem:

$$F\frac{\sum_{}^{}T_{\text{i\ }}}{\sum_{}^{}B_{i}} = \frac{499,3958}{309,9345} = 1,6113 > 1,00$$

Wskaźnik stateczności (F) jest większy niż 1,00. Zatem projektowana skarpa wykopu

odwodnionego jest w stanie statecznym. Co więcej, wartość ta przekroczyła wartość zaleceń zawartych w instrukcji ITB nr 304 dla obiektów budowlanych, która definiuje wskaźnik stateczności skarpy powiększony jeszcze o zapas bezpieczeństwa, czyli 1,30.

Tym samym istnieje bardzo małe prawdopodobieństwo wystąpienia osuwiska. Nie ma potrzeby stosowania zabiegów dodatkowo zwiększających stateczność skarpy.

1. Analiza stateczności skarpy zbiornika wodnego

Druga analiza dotyczy wyznaczenia wskaźnika stateczności (F) dla określonego przypadku warunków wodnych, tzn. skarpa zbiornika wodnego. W tym celu przyjęto:

• położenie środka obrotu klina odłamu skarpy oraz kształtu klina odłamu identyczne jak w analizie pierwszej,

• zasadę podziału na bloki klina odłamu ograniczonego powierzchnią poślizgu identyczny jak w analizie pierwszej, przy czym zwiększono ich liczbę do 22,

• przeprowadzono obliczenia wskaźnika stateczności (F) zbiornika wodnego.

  1. Obliczenie wskaźnika stateczności (_) skarpy zbiornika wodnego

W każdym z pasków, o szerokości b_i, występuje układ sił, który zobrazowano na schematycznym rysunku obok. W wyniku przesuwu bloku gruntu po powierzchni poślizgowej występują siły:

• ciężar warstw gruntu działający na dany punkt w postaci siły w_i,

• ciężar w_i rozkłada się na prostopadłą do powierzchni nachylenia skarpy siłę N_i,

• składowa styczna ciężaru w_i, oznaczana jako B_i, odpowiada za zsuwanie się elementu gruntu po zboczu,

• sile B_i przeciwstawia się siła T_i, która wynika z oporów elementu gruntu na ścinanie,

• poniżej zwierciadła wody występują ciśnienia spływowe, które w równym stopniu działają na pasek gruntu, tj. P_Hl = P_Hp,

• wpływ ciśnień spływowych odniesiony do układu sił jest ciśnieniem wody w porach gruntu u_i = h_wi * γ_w

• siła wynikająca z ciśnienia wody w porach gruntu jest równa

U_i = u_i * l_i = h_wi * γ_w * l_i * 1,0 [m]

• siła obciążająca szkielet gruntowy to siła N_i pomniejszona o wpływ wody wyrażony

poprzez ciśnienie wody w porach gruntu U_i ,

tj. N_i^′ = N_i −  U_i = N_i −  h_wi* γ_w * l_i * 1,0 [m] .

Z prostych zależności matematycznych można przedstawić następujące wzory:

• obciążenie rozłożone q można zastąpić obciążeniem skupionym

Q_i = q * b_i * 1, 0 [m]

• obciążenie rozłożone pochodzące od wody można zastąpić obciążeniem skupionym

Q_wi = γ_w * H_wi * b_i * 1,0 [m]

• siłę B_i można zapisać w postaci

B_i = w_i * sin α_i

• siłę N_i można zapisać w postaci

N_i = w_i * cos α_i

• ciężar bloku w danej warstwie gruntu G_i bez uwzględnienia obciążenia zewnętrznego

$$\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ G}_{i} = \ \sum_{}^{}{(A_{i}*\mathbf{\gamma}_{i}*1,0\left\lbrack m \right\rbrack)}$$

• sumaryczny ciężar w_i da się przedstawić w postaci

w_i = G_i + Q_i

• z hipotezy Coulomba wynika, że

T_i = N_i * tan ϕ + c_i * l_i

Wskaźnik stateczności (F) rozpatrywanego zbocza wykopu odwodnionego można zapisać w następującej postaci:

$$F = \frac{\sum_{}^{}M_{\text{ui}}}{\sum_{}^{}M_{\text{oi}}} = \frac{\sum_{}^{}{{T'}_{\text{i\ }}*R_{i}}}{\sum_{}^{}{B_{i}*\ R_{\text{klin}}}} = \frac{\sum_{}^{}{T'}_{\text{i\ }}}{\sum_{}^{}B_{i}} = \frac{\sum_{}^{}{((\text{\ w}i\ *\ cos\ \alpha i - \ h_{\text{wi}}*\ \gamma_{w}*l_{i}*1,0\left\lbrack m \right\rbrack)\ *tan\ \phi' + \ c_{i}^{'}\ *\ l_{i}*1,0\left\lbrack m \right\rbrack)}\ }{\sum_{}^{}{(w_{i}\ *\ sin\ \alpha_{i})}}$$

gdzie:

$\sum_{}^{}M_{\text{ui}}$ - suma momentów utrzymujących klin odłamu, aby nie uległ przesunięciu,

$\sum_{}^{}M_{\text{oi}}$ - suma momentów obracających klin odłamu, w celu jego przesunięcia.

W tabeli 5 zamieszczono wszelkie obliczenia dotyczące wyznaczenia wskaźnika

stateczności (F) skarpy zbiornika wodnego. Ponadto wykonano rysunek 4, na którym umieszczono nowy podział klina odłamu na bloki wraz zaznaczeniem wszystkich niezbędnych danych potrzebnych do wykonania tabeli 5

"i"	γ1 = 21,09	γ2 = 18,14	γ2sat=19,81	γ3sat=20,89	Gi	Qi	Qwi	Wi	hwi	ui	αi	sin αi	cos αi	C'	ϕ'	tan ϕ'	Li	Ti	Bi
				γ3 = 20,6
	A1 [m^2]	A2 [m^2]	A2 [m^2]	A3 [m^2]	[kN]	[kN]	[kN]	[kN]	[m]	[kPa]	[^o]	-	-	[kPa]	[^o]	-	[m]	[kN]	[kN]
1	0,04				0,8436	28,5		29,3436		0	70	0,9397	0,3420	25	22	0,2867	0,53	17,3048	27,5740
2	0,11	0,05			3,2269	35,25		38,4769		0	65	0,9063	0,4226	0	32	0,6249	0,55	10,1610	34,8719
3	0,15	0,15	0,08		7,4693	46,05		53,5193	0,27	2,6487	60	0,8660	0,5000	0	32	0,6249	0,61	15,7117	46,3491
4	0,32	0,32	0,61		24,6377	96		120,6377	0,99	9,7119	53	0,7986	0,6018	0	32	0,6249	1,06	38,9337	96,3456
5	0,35	0,35	1,20		37,5025			37,5025	1,74	17,0694	44	0,6947	0,7193	0	32	0,6249	0,97	6,5110	26,0514
6	0,35	0,35	1,62		45,8227			45,8227	2,33	22,8573	36	0,5878	0,8090	0	32	0,6249	0,86	10,8815	26,9339
7	0,37	0,37	2,11		56,3142			56,3142	2,8	27,468	29	0,4848	0,8746	0	32	0,6249	0,86	16,0160	27,3017
8	0,11	0,29	1,77	0,07	44,1065			44,1065	3,14	30,8034	23	0,3907	0,9205	46	18	0,3839	0,64	36,2263	17,2338
9		0,18	2,24	0,27	53,2799			53,2799	3,37	33,0597	17	0,2924	0,9563	46	18	0,3839	0,78	44,0567	15,5775
10			2,06	0,40	49,1646		1,7658	50,9304	3,3	32,373	10	0,1736	0,9848	46	18	0,3839	0,76	43,2627	8,8440
11			1,68	0,47	43,0991		5,4936	48,5927	2,89	28,3509	4	0,0698	0,9976	46	18	0,3839	0,75	43,3414	3,3897
12			1,31	0,48	35,9783		9,1233	45,1016	2,4	23,544	-2	-0,0349	0,9994	46	18	0,3839	0,75	43,4080	-1,5740
13			0,93	0,42	27,1971		12,8511	40,0482	1,82	17,8542	-9	-0,1564	0,9877	46	18	0,3839	0,76	43,4033	-6,2649
14			0,56	0,30	17,3606		16,4808	33,8414	1,16	11,3796	-15	-0,2588	0,9659	46	18	0,3839	0,78	43,6171	-8,7588
15			0,18	0,11	5,8637		20,2086	26,0723	0,41	4,0221	-22	-0,3746	0,9272	46	18	0,3839	0,8	43,6091	-9,7669

Tabela 5 Wyznaczenie wskaźnika stateczności (F) zbiornika wodnego.

Na podstawie tabeli 5 wyznaczona została suma sił wynikająca z oporów elementu gruntu na ścinanie T_i^′; oraz suma sił odpowiadających za zsuwanie się elementu gruntu po zboczu B_i, przy uwzględnieniu wpływu wody zawartej w gruncie oraz tej występującej w zbiorniku.

Wartości tych sum sił są następujące:

• suma sił ΣT_i^′ = 456, 4444 [kN],

• suma sił ΣB_i = 304, 10 [kN].

Wskaźnik stateczności (F) wynosi zatem:

$$F\frac{\sum_{}^{}{T_{\text{i\ }}'}}{\sum_{}^{}B_{i}} = \frac{456,44}{304,10} = 1,50 > 1,00$$

Wskaźnik stateczności (F) jest większy niż 1,00. Zatem projektowana skarpa zbiornika

wodnego jest w stanie statecznym. Co więcej, wartość ta przekroczyła wartość zaleceń zawartych w instrukcji ITB nr 304 dla obiektów budowlanych, która definiuje wskaźnik stateczności skarpy powiększony jeszcze o zapas bezpieczeństwa, czyli 1,30.

Tym samym prawdopodobieństwo wystąpienia osuwiska jest praktycznie znikome. Wynik jest w pełni satysfakcjonujący.

Wrocław, 29.12.2011

Ćwiczenie projektowe nr 2 z Mechaniki Gruntów

„Sprawdzanie stateczności skarpy gruntowej metodą Felleniusa”

Tomasz Frelich

Nr. 168505

Wydział Budownictwa
Lądowego i Wodnego