Wydział Inżynierii i Kształtowania Środowiska SGGW

Katedra Budownictwa i Geodezji

Zakład Mechaniki i Konstrukcji budowlanych

Konstrukcje drewniane

Temat: Belka o przekroju skrzynkowym wykonana z drewna sosnowego klasy C-35 oraz sklejki liściastej bukowej, elementy belki połączone na klej fenolowo formaldehydowy AG.

Wykonali:

Kinga Chromiec

Rafał Stańczyk

Przyjęte wymiary belki oraz schemat założonych w belce usztywnień:

Dane przyjęte do obliczeń:

- rozpiętość w świetle ściany: 5,0 m

- rozstaw belek stropowych: 0,6 m

- obciążenie użytkowe: 1,5 kN/m2

- współczynnik obciążenia zmiennego użytkowego gfz=1,4

- współczynnik przyjęty z uwagi na usztywnienie belki przed utratą stateczności giętej kC=1,0

- klasa drewna C-35

Schemat statyczny:

Zestawienie obciążeń – strop budynku mieszkalnego:

Zestawienie obciążeń na belkę stropową w budynku mieszkalnym
Rodzaj materiału
Posadzka drewniana (dąb) gr. 2,5 cm
0,025x7,0x0,6
Ślepa podłoga z desek (sosna) gr. 2,5 cm
0,025x5,5x0,6
Styropian gr. 3,0 cm
0,03x0,45x0,6
Płyta wiórowao - cementowa gr. 2,5 cm
0,025x4,5x0,6
Razem obciążenia stałe
Belka stropowa 10x30
0,1x0,3x7,3
Obciążenie użytkowe zmienne
Obciążenie użytkowe w mieszkaniach
1,5x0,6
Razem obciążenia stałe i zmienne (wraz z ciężarem własnym)

Schemat statyczny:

l₀ = 1, 05 • l = 1, 05 • 5, 0 = 5, 25 m

1. Stan graniczny nośności.

Moment:

$$M_{\max} = \frac{q_{d} \bullet {l_{0}}^{2}}{8} = 0,125 \bullet q_{d} \bullet l_{0}^{2} = 0,125 \bullet 1,85 \bullet {5,25}^{2} = 6,37 \bullet 10^{6}N \bullet mm$$

Siła poprzeczna:

$$V_{\max} = \frac{q_{d} \bullet l_{0}}{2} = 0,5 \bullet q_{d} \bullet l_{0} = 0,5 \bullet 1,85 \bullet 5,25 = 4,86 \bullet 10^{3}N$$

1. Charakterystyki obliczeniowe przekroju.

Zastępczy moment zginający

I_ef = I + I′•E^′_0mean/E_0mean

I – moment bezwładności przekroju z materiału podstawowego

I’ – moment bezwładności przekroju z materiału zastępowanego

E_0mean – współczynnik sprężystości materiału podstawowego

E’_0mean – współczynnik sprężystości materiału zastępowanego

Obliczenie wielkości statycznych sprowadzonych do obu rodzajów materiałów.

Jeżeli materiałem podstawowym jest drewno to :

I_efD = I_D + I_s • E_0meanS/E_0meanD

$$I_{D} = 60 \bullet \frac{300^{3} - 180^{3}}{12} = 105,84 \bullet 10^{6}\text{\ mm}^{4}$$

$$I_{s} = 2 \bullet 20 \bullet \frac{300^{3}}{12} = 90 \bullet 10^{6}\ \text{mm}^{4}$$

$$E_{0meanD} = 13\frac{\text{kN}}{\text{mm}^{2}} = 13GPa$$

$$E_{0meanS} = 5,9\frac{\text{kN}}{\text{mm}^{2}} = 5,9GPa$$

$$\frac{E_{0meanS}}{E_{0meanD}} = \frac{5900}{13000} = 0,454$$

I_efD = (105, 84 + 0, 454 • 90)•10⁶ = 146, 70 • 10⁶mm⁴

$$W_{\text{efD}} = \frac{I_{\text{efD}}}{0,5 \bullet h} = \frac{146,70 \bullet 10^{6}}{0,5 \bullet 300} = {0,98 \bullet 10^{6}\text{\ mm}}^{3}$$

Jeżeli materiałem podstawowym jest sklejka, to:

I_efS = I_S + I_D • E_0meanD/E_0meanS

$$\frac{E_{0meanD}}{E_{0meanS}} = \frac{130000}{5900} = 2,203$$

I_efS = (90+2,203•105,84) • 10⁶ = 323, 16•10⁶ mm⁴

$$W_{\text{efS}} = \frac{I_{\text{efS}}}{0,5 \bullet h} = \frac{323,16 \bullet 10^{6}}{0,5 \bullet 300} = {2,15 \bullet 10^{6}\text{mm}}^{3}$$

1. Naprężenia normalne krawędziowe

W drewnie:

Kmod=0,8 – współczynnik przyjęty dla klasy obciążeń średniotrwałych i klasy użytkowania 1.

γ_M=1,3

$$f_{\text{md}} = f_{\text{mk}} \bullet \frac{k_{\text{mod}}}{\gamma_{M}} = 35 \bullet \frac{0,8}{1,3} = 21,54\ MPa$$

$$\sigma_{\text{fc\ max}} = \sigma_{\text{ft}} = \frac{M}{W_{\text{efD}}} = \frac{6,37 \bullet 10^{6}}{0,98 \bullet 10^{6}} = \ \ 6,50MPa < 21,54MPa$$

W sklejce:

$$f_{md} = f_{\text{mk}} \bullet \frac{k_{\text{mod}}}{\gamma_{M}} = 27 \bullet \frac{0,8}{1,3} = 16,62\ MPa$$

$$\sigma_{\text{fc\ max}} = \sigma_{\text{ft}} = \frac{M}{W_{\text{efS}}} = \frac{6,37 \bullet 10^{6}}{2,15 \bullet 10^{6}} = \ 6,96\ MPa < 16,62MPa$$

1. Naprężenia normalne w osiach pasów.

Pas górny:

$$f_{c0d} = f_{c0k} \bullet \frac{k_{\text{mod}}}{\gamma_{M}} = 25 \bullet \frac{0,8}{1,3} = 15,38\ \ MPa$$

$$\sigma_{\text{fcd}} = M \bullet \frac{0,5\left( h_{w} + h_{\text{fc}} \right)}{I_{\text{efD}}} = 6,37 \bullet 10^{6} \bullet 0,5 \bullet \frac{180 + 60}{146,70} \bullet 10^{6} = 5,21\ MPa$$

σ_fcd =  5, 21MPa < k_c • f_c0d = 1, 0 • 15, 38 = 15, 38MPa

Pas dolny:

σ_ftd = σ_fcd = 5, 21MPa

$$f_{t0d} = f_{t0k} \bullet \frac{k_{\text{mod}}}{\gamma_{M}} = 21 \bullet \frac{0,8}{1,3} = 12,92\ MPa > \sigma_{\text{ftd}} = 5,21\ MPa$$

1. Naprężenia ścinające w osi obojętnej przekroju.

Naprężenia ścinające w osi obojętnej przekroju oblicza się ze wzoru:

$$\tau_{s} = \frac{V \bullet S_{\text{zs}}}{I_{\text{efs}} \bullet b_{s}} \leq f_{v90d}$$

Gdzie:

S_ZS = S_S + S_D • E_0meanD/E_0meanS

S_s = 2 • 20 • 0, 5 • 300 • 0, 25 • 300  = 450, 00 • 10³mm³

S_D = 60 • 60 • 0, 5 • (180 + 60)=432, 00 • 10³mm³

S_ZS = (450, 00 + 2, 203 • 432, 00)•10³ = 1401, 69 • 10³ mm³

b_s = b_ws =  2 • 10 = 20mm

$$f_{v90d} = f_{v90k} \bullet \frac{k_{\text{mod}}}{\gamma_{M}} = 9,0 \bullet \frac{0,8}{1,3} = \ \ 5,54MPa$$

$$\tau_{s} = \frac{4,86 \bullet 10^{3} \bullet 1401,69 \bullet 10^{3}}{323,16 \bullet 40} = 0,86MPa \leq f_{v90d} = 5,54MPa$$

1. Naprężenia ścinające w spoinie klejowej.

τ₁ = V • S_1s/(I_efS • b₁)≤f_vds oraz τ₁ ≤ f_v90dD

$$f_{\text{vds}} = 2,5 \bullet \frac{0,8}{1,3} = 1,54MPa$$

$$f_{v90dD} = f_{\text{vdD}} = 3,4 \bullet \frac{0,8}{1,3} = 2,09\ MPa > 1,54\ MPa$$

$$S_{1s} = S_{D} \bullet \frac{E_{0meanD}}{E_{0meanS}} = 432,00 \bullet 10^{3} \bullet 2,203 = 951,70 \bullet 10^{3}\text{mm}^{3}$$

b₁ = 2 • 60 = 120 mm

$$\frac{h_{f}}{b_{\text{wS}}} = \frac{60}{40} = 1,5 < 4,0$$

$$\tau_{1} = V \bullet \frac{S_{1s}}{I_{\text{efS}} \bullet b_{1}} = 4,86 \bullet 10^{3}\frac{951,70 \bullet 10^{3}}{323,16 \bullet 10^{6} \bullet 120} = 0,12MPa \leq f_{\text{vds}} = 1,54MPa$$

1. Stateczność środnika.

h_w = 180mm

70 • b_w = 70 • 20 = 1400mm

h_w = 180mm < 70 • b_w = 1400mm

$$\frac{180}{20} = 9,0 \rightarrow h_{w} < 35 \bullet b_{w} = 35 \bullet 20 = 700mm$$

V_d ≤ b_w • h_w[1+0,5(h_ft+h_fc)/h_w]f_v0d

$$f_{v0d} = f_{v90ds} = 9\frac{0,8}{1,3} = 5,54MPa$$

V_d = 4, 86 • 10³N

b_w • h_w[1+0,5(h_ft+h_fc)/h_w] • f_v0d = 20 • 180[1+0,5(60+60)/180] • 5, 54 = 26, 60 • 10³N

b_w • h_w[1+0,5(h_ft+h_fc)/h_w] • f_v0d = 26, 60 • 10³N > V_d = 4, 86 • 10³N

Wniosek:

Oba warunki zostały spełnione, w związku z tym można pominąć sprawdzenie stateczności miejscowej ścianek i pozostawić belkę bez żeber usztywniających. Ze względów konstrukcyjnych ścianki zostały jednak wzmocnione za pomocą żeber w założonym rozstawie co ok.

Przyjęty ostatecznie rozstaw i ilość żeber usztywniających:

1. Oparcie belki na murze.

Wytrzymałość na docisk drewna:

$$f_{c90dD} = 6,0\frac{0,8}{1,3} = 3,69MPa$$

$$A = \frac{V_{d}}{f_{c90dD}} = \frac{4,86 \bullet 10^{3}}{3,69} = 1317,07\ \text{mm}^{2}$$

$$l_{0\ min} = \frac{A}{b_{f}} = \frac{1317,07}{60} = 21,95mm$$

1. Stan graniczny użytkowalności.

Obliczenie ugięć belki:

$$\frac{l_{0}}{h} = \frac{5250}{300} = 17,5 < 20$$

W związku z tym ugięcia obliczamy ze wzoru:

$$u_{\text{fin}} = u_{\text{ins}}\left( 1 + k_{\text{def}} \right) < \frac{l_{0}}{300}$$

$$u_{\text{ins}} = u_{M} \bullet \left\lbrack 1 + \eta_{1} \bullet \left( \frac{h}{l_{0}} \right)^{2} \right\rbrack$$

$$u_{M} = 5 \bullet \frac{q \bullet l_{0}^{4}}{384 \bullet E_{0mean} \bullet I_{\text{ef}}} = 5 \bullet \frac{q \bullet l_{0}^{4}}{384 \bullet \left( E_{} \bullet I_{} \right)_{\text{ef}}}$$

$$u_{M1} = 5 \bullet \frac{q_{k1} \bullet l_{0}^{4}}{384 \bullet \left( E_{} \bullet I_{} \right)_{\text{ef}}} = \frac{5 \bullet (0,26 + 0,22) \bullet 5250^{4}}{384 \bullet 13 \bullet 10^{3} \bullet 146,70 \bullet 10^{6}} = 2,49\ mm$$

$$u_{M2} = 5 \bullet \frac{q_{k2} \bullet l_{0}^{4}}{384 \bullet \left( E_{} \bullet I_{} \right)_{\text{ef}}} = \frac{5 \bullet 0,90 \bullet 5250^{4}}{384 \bullet 13 \bullet 10^{3} \bullet 146,70 \bullet 10^{6}} = 4,67\ mm$$

$$\frac{h}{l_{o}} = \frac{200}{5250} = 0,038$$

$$\frac{b_{\text{ws}}}{b_{f}} = \frac{40}{60} = 0,67$$

Z tablicy 5.3 PN-B-03150, odczytano:

η_I = 26, 40

$$u_{ins1} = u_{M1} \bullet \left\lbrack 1 + \eta_{1} \bullet \left( \frac{h}{l_{0}} \right)^{2} \right\rbrack = 2,49 \bullet \left( 1 + 26,40 \bullet {0,038}^{2} \right) = 2,58\ mm$$

$$u_{ins2} = u_{M2} \bullet \left\lbrack 1 + \eta_{1} \bullet \left( \frac{h}{l_{0}} \right)^{2} \right\rbrack = 4,67 \bullet \left( 1 + 26,40 \bullet {0,038}^{2} \right) = 4,85\ mm$$

K_def = 0,60 – obciążenie stałe dla 1 klasy użytkowania

u_fin1 = u_ins1(1+k_def) = 2, 58(1+0,60) = 4, 13 mm

K_def = 0,25 – obciążenie użytkowe o klasie trwania = średniotrwałe

u_fin2 = u_ins2(1+k_def) = 4, 85(1+0,25) = 6, 06 mm

u_fin = u_ins1 + u_fin2 = 4, 13 + 6, 06 = 10, 19 mm

$$u_{\text{dop}} = \frac{l_{0}}{300} = \frac{5250}{300} = 17,5\ mm > u_{\text{fin}} = 10,19\ mm$$