Temat: Wyznaczanie gęstości ciał stałych

1. Cel ćwiczenia:

Celem ćwiczenia laboratoryjnego jest wyznaczenie gęstości ciał stałych oraz zapoznanie się z podstawowymi narzędziami inżynierskimi (sposobem pomiaru oraz niedokładnościami przyrządów).

2. Zasada pomiaru:

Naszym zadaniem było zmierzenie objętości oraz gęstości poniższych obiektów:

• walca

• graniastosłupa sześciokątnego

• kulki srebrnej dużej

• kulki czarnej szklanej

Podczas wykonywania ćwiczenia skorzystaliśmy z następujących narzędzi:

• wagi elektronicznej

• menzurki z wodą

• suwmiarki

• linijki

Aby obliczyć objętość danego przedmiotu trzeba wykonać należyte pomiary w kilku miejscach oraz zastosować odpowiedni wzór. Następnie należało obliczyć objętość tego samego obiektu przy pomocy objętości cieczy wypartej przez przedmiot. Na końcu wyznaczyć gęstości ciał stałych oraz ich błędy względne.

3. Wyniki pomiarów i obliczenia:

Pomiar średnicy badanych przedmiotów

	Wymiary średnicy d (cm)	dśr (cm)	pśr (cm)
Lp.	1	2	3
Walec	8,2	8,3	8,6
Kulka srebrna duża	2	2,1	2,05
Kulka czarna szklana	1,6	1,5	1,7

Pomiar szerokości graniastosłupa sześciokątnego

	Pomiary szerokości graniastosłupa sześciokątnego [cm]	Średnia szerokość (cm)
Lp.	1	2
	3,1	3,2

Pomiar wysokości badanych obiektów

	Pomiar wysokości h [cm]	hśr (cm)
Lp.	1	2
Walec	2,4	2,35
Graniastosłup sześciokątny	6,3	6,2

Pomiar masy badanych przedmiotów

	Pomiar masy [g]	gśr	∆m [g]
Lp.	1	2	3
Walec	347	345	343
Graniastosłup sześciokątny	415	417	420
Kulka srebrna duża	32	33	34
Kulka czarna szklana	14	15	14

Obliczanie objętości badanych przedmiotów

Przedmiot	Objętość V1 [cm^3]
Walec	134,68
Graniastosłup sześciokątny	62,9
Kulka srebrna duża	4,71
Kulka czarna szklana	2,06

• Graniastosłup sześciokątny

a – krawędź podstawy

$a = \frac{srednia\ szerokosc}{2}$

h – średnia wysokość

V = Pp * h

$$Pp = 6*\ \frac{a^{2}\sqrt{3}}{4} = \frac{3a^{2}\sqrt{3}}{2}$$

$$Pp = \frac{3*\left( 1,56 \right)^{2}*\sqrt{3}}{2}$$

$$Pp = 5,7\sqrt{3} = 9,861$$

V = 9, 861 * 6, 38 = 62, 9cm³

• Walec

r – średni promień podstawy walca

h – średnia wysokość walca

V = πr²h

V = π * (4,21)² * 2, 42

V = π * 42, 89 = 134, 68cm³

• Kulka srebrna duża

R – średni promień kuli

$$V = \frac{4}{3}\pi R^{3}$$

$$V = \frac{4}{3}*\pi{*\left( 1,04 \right)}^{3}$$

V = 4, 71cm³

• Kulka czarna szklana

R – średni promień kuli

$$V = \frac{4}{3}\pi R^{3}$$

$$V = \frac{4}{3}*\pi{*\left( 0,79 \right)}^{3}$$

V = 2, 06cm³

Obliczanie objętości badanych przedmiotów za pomocą menzurki z wodą

Przedmiot	Objętość V2 [ml]
Walec	138
Graniastosłup sześciokątny	66
Kulka srebrna duża	5
Kulka czarna szklana	2,5

Obliczenia:

• Walec

a – ilość wody w menzurce z badanym przedmiotem – 638 [ml]

b - ilość wody w menzurce - 500 [ml]

V =  a − b

V =  638 − 500 = 138[ml]

• Graniastosłup sześciokątny

a – ilość wody w menzurce z badanym przedmiotem – 566 [ml]

b - ilość wody w menzurce - 500 [ml]

V =  a − b

V =  566 − 500 = 66[ml]

• Kulka srebrna duża

a – ilość wody w menzurce z badanym przedmiotem – 505 [ml]

b - ilość wody w menzurce - 500 [ml]

V =  a − b

V =  505 − 500 = 5[ml]

• Kulka czarna szklana

a – ilość wody w menzurce z badanym przedmiotem – 502,4 [ml]

b - ilość wody w menzurce - 500 [ml]

V =  a − b

V =  502, 4 − 500 = 2, 4[ml]

Obliczanie średniej objętości badanych przedmiotów

Ogólny wzór na średnią objętość:

$$V_{sr} = \frac{V_{1} + V_{2}}{2}$$

• Walec

$$V_{sr} = \frac{134,68 + 138}{2} = 136,34\lbrack j^{3}\rbrack$$

• Graniastosłup sześciokątny

$$V_{sr} = \frac{62,9 + 66}{2} = 64,45\lbrack j^{3}\rbrack$$

• Kulka srebrna duża

$$V_{sr} = \frac{4,71 + 5}{2} = 4,855\lbrack j^{3}\rbrack$$

• Kulka czarna szklana

$$V_{sr} = \frac{2,06 + 2,4}{2} = 2,23\lbrack j^{3}\rbrack$$

Obliczanie gęstości badanych przedmiotów

• Walec

m – średnia masa przedmiotu

$$\rho = \frac{m}{V}$$

$$\rho = \frac{344,2}{134,68} \approx 2,56\left\lbrack \frac{\text{kg}}{m^{3}} \right\rbrack$$

• Graniastosłup sześciokątny

m – średnia masa przedmiotu

$$\rho = \frac{m}{V}$$

$$\rho = \frac{419,4}{62,9} \approx 6,67\left\lbrack \frac{\text{kg}}{m^{3}} \right\rbrack$$

• Kulka srebrna duża

m – średnia masa przedmiotu

$$\rho = \frac{m}{V}$$

$$\rho = \frac{32}{4,71} \approx 6,79\left\lbrack \frac{\text{kg}}{m^{3}} \right\rbrack$$

• Kulka czarna szklana

m – średnia masa przedmiotu

$$\rho = \frac{m}{V}$$

$$\rho = \frac{14,8}{2,06} \approx 7,18\left\lbrack \frac{\text{kg}}{m^{3}} \right\rbrack$$

Obliczanie błędu względnego gęstości badanych przedmiotów

• Walec

$$\frac{\rho}{\rho} = \left( \frac{V}{V_{sr}} + \frac{m}{m} \right)100\%$$

$$\text{ΔV} = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}\left( V_{sr} - V_{i} \right)^{2}}{n - 1}} = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{2}{\left( 136,34 - 134,68 \right)^{2} + \left( 136,34 - 138 \right)^{2}}}{2 - 1}} = = \sqrt{5,51} \approx 2,38$$

$$\frac{\rho}{\rho} = \left( \frac{2,38}{136,34} + \frac{0,01}{134,2} \right)100\%$$

$$\frac{\rho}{\rho} = 1,75\%$$

• Graniastosłup sześciokątny

$$\frac{\rho}{\rho} = \left( \frac{V}{V_{sr}} + \frac{m}{m} \right)100\%$$

$$\text{ΔV} = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}\left( V_{sr} - V_{i} \right)^{2}}{n - 1}} = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{2}{\left( 64,45 - 62,9 \right)^{2} + \left( 64,45 - 66 \right)^{2}}}{2 - 1}} = \sqrt{4,81} \approx 2,19$$

$$\frac{\rho}{\rho} = \left( \frac{2,19}{64,45} + \frac{0,01}{419,4} \right)100\%$$

$$\frac{\rho}{\rho} = 3,4\%$$

• Kulka srebrna duża

$$\frac{\rho}{\rho} = \left( \frac{V}{V_{sr}} + \frac{m}{m} \right)100\%$$

$$\text{ΔV} = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}\left( V_{sr} - V_{i} \right)^{2}}{n - 1}} = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{2}{\left( 4,855 - 4,71 \right)^{2} + \left( 4,855 - 5 \right)^{2}}}{2 - 1}} = \sqrt{0,042} \approx 0,2$$

$$\frac{\rho}{\rho} = \left( \frac{0,2}{4,855} + \frac{0,01}{32} \right)100\%$$

$$\frac{\rho}{\rho} = 4,1\%$$

• Kulka czarna szklana

$$\frac{\rho}{\rho} = \left( \frac{V}{V_{sr}} + \frac{m}{m} \right)100\%$$

$$\text{ΔV} = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}\left( V_{sr} - V_{i} \right)^{2}}{n - 1}} = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{2}{\left( 2,23 - 2,06 \right)^{2} + \left( 2,23 - 2,4 \right)^{2}}}{2 - 1}} = \sqrt{0,058} \approx 0,2$$

$$\frac{\rho}{\rho} = \left( \frac{0,2}{2,23} + \frac{0,01}{14,8} \right)100\%$$

$$\frac{\rho}{\rho} = 9\%$$

Tabela pomiarowa

Przedmiot	V [m^3]	Vśr [m^3]	m [kg]	V [ml]	Vśr [ml]	$$\text{ρ\ }\left\lbrack \frac{\text{kg}}{m^{3}} \right\rbrack$$
Walec	0,00013	0,00013	0,3442	138	138	2,56
Graniastosłup sześciokątny	0,00004	0,00004	0,4194	66	66	6,67
Kulka srebrna duża	0,0000047	0,0000047	0,032	5	5	6,79
Kulka czarna szklana	0,0000021	0,0000021	0,0148	2,5	2,5	7,18

4. Wnioski:

Na gęstość obiektu ma wpływ zarówno jego masa oraz objętość. Objętość z kolei zależy od rozmiarów badanego obiektu tj. od jego szerokości, czy wysokości. Na dokładność pomiarów mają wpływ urządzenia, którymi się posługujemy przy pomiarach, przykładem jest waga elektroniczna, której pomiary masy niewielkich przedmiotów różnią się od siebie w zależności od pozycji na wadze. Można zatem dojść do wniosku, że dokładność wszystkich pomiarów przedmiotów większych była by wyższa. Przy powyższych obliczeniach gęstość ciał stałych jest bliska rzeczywistości.