16. Twierdzenie de l’Hospitala i jego zastosowania.

Twierdzenie de l'Hospitala pozwala efektywnie wyznaczać granice funkcji w przypadku symboli nieoznaczonych takich jak : $\frac{0}{0}$ lub $\frac{\infty}{\infty}$. Inne symbole nieoznaczone (∞ − ∞,  0 • ∞,  0⁰,  1^∞,  ∞⁰) sprowadzamy do jednego z wyżej wymienionych i stosujemy reguÅ‚Ä™ de l'Hospitala.

PrzykÅ‚ad: dla   0⁰, ∞⁰, 1^∞ korzystamy ze wzorów:

(f(x))^g(x) = e^g(x)lnf(x),   (f(x)>0)

e^φ(x) = e^φ(x)

f(x) = g(x) = 0

obie funkcje sÄ… różniczkowalne w sÄ…siedztwie x₀ i istnieje granica :

$$\operatorname{}{\frac{f'(x)}{g'(x)} = c}$$

wtedy istnieje granica

$$\operatorname{}{\frac{f(x)}{g(x)} = c}$$

I ma tą samą wartość co poprzednia.

Regułę de l'Hospitala można zastosować tylko wtedy gdy spełnione są następujące warunki:

- obie funkcje sÄ… różniczkowalne w sÄ…siedztwie punktu x₀,

- istnieje granica ilorazu pochodnych $\frac{f'(x)}{g'(x)}$w punkcie x₀,

- obie funkcje oraz zmierzajÄ… do zera w punkcie x₀.

Przykład zastosowania:

$$\operatorname{}\frac{ln(1 + x)}{x} = \operatorname{}\frac{{(ln(1 + x))}^{'}}{{(x)}^{'}} = \operatorname{}\frac{\frac{1}{x + 1}}{1} = \operatorname{}{\frac{1}{(x + 1)} = 1}$$

Kontrprzykład:

$\operatorname{}\frac{x + \sin x}{x} = \left\{ \frac{\infty}{\infty} \right\}$

$$\operatorname{}\frac{(x + \sin x)'}{x'} = \operatorname{}\frac{1 + \cos x}{1} = \operatorname{}{1 + \cos x} = \operatorname{}{(1 + (\frac{\sin x}{x}})) = 1$$