1.Całki nieoznaczone. Całkowanie przez części i przez podstawienie. Podać przykłady.

Dana jest funkcja f: X→R, gdzie X zawiera się w R.

Funkcię F: X→R różniczkowalną na X nazywamy funkcją pierwotną funkcji f na x, jeżeli F’(X) = f(x) dla każdego x  ∈  X.

Tw. Jeżeli funkcja f ma funkcje pierwotną F, to funkcja F(X) + C jest również funkcją pierwotną funkcji f(x).

Zbiór wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f oznaczamy sybolem ∫(x)dx i jest to całka nieoznaczona.

Tw. o całkowaniu przez części.

Jeżeli funkcje u i v mają ciągłe pochodne na zbiorze X, to: ∫u(x)*v’(x)dx = u(x)*v(x) - ∫ u’(x) * v(x)dx

Tw. o całkowaniu przez podstawienie.

Jeżeli funkcja φ ma ciągłą pochodną na przedziale X i funkcja f jest ciągła na φ(x), to:

∫f(φ(x))* φ’(x)dx=∫f(t)dt, t= φ(x)

2.Omówić całkowanie funkcji wymiernych postaci: ∫1/(ax²+bx+c) dx, gdzieΔ<0

Obliczyć całkę: ∫1/(ax²+bx+c) dx

Wyróżnik trójmianu znajdującego się w mianowniku równy jest Δ<0 tak więc mianownik sprowadzamy do postaci kanonicznej trójmianu:
ax²+bx+c=a(x-p)²+q gdzie p =-b/2a q=Δ/4a

Tak więc:
∫(1/ ax²+bx+c )dx = 1/a ∫ dx/[(x-p)²+q]

Wykonujemy podstawienie:
x-p=√q stąd dx=√q dt

Zatem obliczamy całkę dalej tj. w całkowaniu przez podstawianie.

3 Omówić całkowanie funkcji wymiernych

∫ x/(ax²+bx+c) dx

Obliczamy Δ, x_1, x₂

Δ=b²-4ac >0

X₁=-b-√Δ/21

X₂=-b+√Δ

∫x/(ax²+bx+c) dx = ∫ x / (x-x₁)(x-x₂) dx

Wykonujemy rozkład na ułamki proste
x / (x-x₁)(x-x₂) = A/(x-x₁) + B/(x-x₂) /* (x-x₁)(x-x₂)

X = A(x-x₂)+B(x-x₁)

X=x(A+B) – Ax₂-Bx₁

Otrzymujemy układ równań

A+B=1
-Ax₂-Bx₁=0

Rozwiązujemy układ równań, wyliczając A i B, a następnie rozwiązujemy całkę:

∫x/ ax²+bx+c dx =∫[ A/(x-x₁) + B/(x-x₂) ]dx

4.Omówić całkowanie funkcji trygonometrycznych postaci: ∫R(x,√(a²-x²) dx ∫R(x,√(a²+x²) dx ∫R(x,√(x^2-a²) dx

∫R(x,√(a²-x²) dx gdzie R(u,v) jest funkcją wymierną dwóch zmiennych można zawsze sprowadzić do całki funkcji wymiernej, przyjmując:
t=tg (x/2)
cosx=(1-t² )/ (1+t²)
sinx = 2t/(1+t²)

Dx=2/(1+t²)dt

Zatem po podstawieniu;
∫R(sinx,cosx)dx = ∫ R(2t/(1+t²) , (1-t² )/ (1+t²) ) * 2/(1+t²)dt

Funkcją wymierną dwóch zmiennych nazywamy iloraz wielomianów dwóch zmiennych np.
R(u,v) = (u+2v+1)/(u²+v²)

6 Sformułować definicję minimum i maksimum funkcji dwóch zmiennych. Podać przykłady, wykonać rysunki.

-funkcja z=f(x,y) osiąga w punkcie P₀=(x₀,y₀) maksimum lokalne wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego P należącego do otoczenia punktu P₀ f(P)<f(P₀)
-funkcja z=f(x,y) osiąga w punkcie P₀=(x₀,y₀) minimum lokalne wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego P należącego do otoczenia punktu P₀ f(P)>f(P₀)

7. Warunek konieczny ekstremum funkcji dwóch zmiennych.

Jeżeli funkcja f ma w punkcie (x_0, y₀) ekstremum i jest w tym punkcie różniczkowalna, to obie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji f w tym punkcie są równe zeru:

fx’ (x_0, y₀) = fy’ (x_0, y₀) = 0

f(x,y)=x⁴y³+ye^-x
f’(x)=4x³y³-ye^-x
f’(y)=3y²x⁴+e^-x

0=4x³y³-ye^-x
0=3y²x⁴+e^-x
-e^-x=3y²x⁴
4x³y³+3y³x⁴=0
x³y³(4+3x)=0
x³y³ = 0 v 4+3x=0
P₀=(0,0) v P₁=(-4/3,0)
f”xx=12x²y³+ye^-x
f”yy=6yx⁴
f’xy=12x³y³-e^-x
f”yx=12x³y³-e^-x
W(P₀)= 0 -1 = 0 – (-1)² = -1<0
-1 0

W(P₁)= 0 e^4/3 =0- (e^4/3)²=-(e^4/3)²<0
e^4/3 0

8.Warunek wystarczający ekstremum funkcji dwóch zmiennych

Jeżeli funkcja f jest klasy C² w otoczeniu punktu P₀ (x_0, y₀) i ma obie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w tym punkcie równe zeru

fx’ P₀ = fy’ P₀ = 0

a wyznacznik pochodnych cząstkowych drugiego rzędu funkcji f jest w tym punkcie dodatni
W(P₀)= fxx”(P₀) fxy” (P₀) >0
fxy” (P₀) fyy” (P₀)

to funkcja f ma w punkcie P₀ ekstremum.

Jeżeli ponadto fxx’’ (P₀) <0 to funkcja f ma maksimum lokalne w punkcie P₀,
a jeżeli fxx’’ (P₀) > 0 o fukcja f ma minimum lokalne w punkcie P₀.

9. Własności całki podwójnej

Jeżeli funkcje f i g dwóch zmiennych są całkowane w obszarze domkniętym D to:

1) ∫∫ Af(x,y) dxdy = A ∫∫ f(x,y) dxdy
D D

2) ∫∫ [f(x,y) ± g(x,y)]dxdy = ∫∫ f(x,y)dxdy ± dxdy ∫∫ g(x,y) dxdy
D D D

3) Jeżeli D=D1 u D2 i obszary D1 i D2 nie mają wspólnych punktów wewnętrznych to

∫∫ f(x,y)dxdy = ∫∫ f(x,y) dxdy + ∫∫ f(x,y)dxdy

D D D

INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA

Jeżeli funkcja f(x,y) jest ciągła na obszarze regularnym D oraz f(x,y) ≥ 0 dla (x,y) e D, to objętość bryły r o podstawie D ograniczonej wykresem funkcji z= f(x,y) oraz powierzchnię walcową utworzoną z prostych równoległych do osi Oz i przechodzących przez brzeg obszaru D wyraża się wzorem:

V= ∫∫ f(x,y) dxdy
D

w szczególnym przypadku gdy f(x,y) = 1 dla (x,y) e D to P ∫∫ dxdy

D

gdzie P oznacza pole obszaru D.

CAŁKA PODWÓJNA PO PROSTOKĄCIE:

Całkę podwójną z funkcji F po prostokącie D oznaczamy symbolem ∫∫f(x,y) dxdy i definiujemy następująco ∫∫ f(x,y) dxdy = lim ∑ f (x_k, y_k) (Δx)(Δ y)

D

O ile istnieje granica występująca po prawej stronie równości i nie zależy od sposobu podziału prostokąta D ani też oid wyboru punktów pośrednich

Całka podwójna z funkcji f po prostokącie D jest równa objętości bryły ograniczonej płaszczyzną Oxy, oraz wykresem funkcji z= f(x,y) ≥ leżącym nad prostokątem D.

Niech dana będzie funkcja g ograniczona na prostokącie D ={(x,y) : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ y ≤ d}

Ω = {(x,y,x): 0 ≤ z ≤ f(x,y)(x,y) e D}

Podziałem prostokąta D nazywamy zbiór złożony z prostokątów które go całkowicie wypełniają i mają parami rozłączone wnętrza.

Delta x_k, delta y_k – wymiar k – tego prostokąta 1 ≤ k ≤ n

n- liczba małych prostokątów wypełniających prostokąta

d_k- przekątna k tego prostokąta

Sⁿ – max {d_k : 1 ≤ k ≤ n} – średnia n tego podziału prostokąta D

(x_k, y_k) – punkt pośredni k tego prostokąta

∑ ∫(x_k, y_k)( Δ x_k)( Δ y_k)- suma całkowania funkcji f po prostokącie D

(x_k, y_k) – punkt pośredni k tego prostokąta

10. SFORMUŁOAĆ TWIERDZENIE O ZMIANIE ZMIENNYCH W CAŁCE PODWÓJNEJ

OBLICZYĆ JAKOBIAN PRZEKSZTAŁCENIA DLA WSPÓŁRZĘDNYCH BIEGUNOWYCH

Jeżeli spełnione są warunki:

odwzorowanie x=x(u,r) , y=y(u,r) przekształca wzajemnie jednoznacznie wnetrze obszaru regularnego A na wnętrze obszaru regularnego D.

funkcje x(u,r) i y(u,r) mają ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu na obszare zawierającym obszar A,

funkcja f(x,y) jest ciągła na obszarze D,

jakobian czyli wyznacznik funkcyjny

J(u,v)= dx/du dx/dV ≠0
du/dv dy/dv

to zachodzi wzór:

∫∫ f(x,y) dxdy = ∫∫f(x(u,r), y(u,r)) | ∫(u,r)dudr

D A

Jeżeli obszar D punktw płaszczyzny Oxy jest obszarem A danego na płaszczyźnie Ory przy przekształceniu biegunowym

x=rcosφ

y=rsinφ

to zachodzi wzór:

∫∫f(x,y)dxdy = ∫∫f(rcosφ, rsinφ) rdφdφ

A A

Jeżeli x=rcosφ , y=rsinφ to

J(r, φ)= dx/dr dx/dφ = cosφ rsinφ = rcos²φ+rsin²φ=r(cos²φ+sin²φ=r

Dv/dr dv/dφ sinφ rcosφ

12.Całka potrójna w obszarze normalnym względem płaszczyzny Oxy. Obliczyć moment statyczny sześcianu o krawędzi a i stałej gęstości ρ względem płaszczyzny zawierającej jedną z jego ścian.

Obszar trójwymiarowy V nazywamy normalnym względem płaszczyzny Oxy, jeśli istnieją dwie funkcje ciągłe
z=φ(x,y), z= ψ (x,y), (x,y) ∈D

takie, ze obszar V jest określony następująco:

V={(x,y,z): (x,y) ∈D, φ(x,y)≤z≤ψ(x,y)}

Całkę potrójną funkcji f(x,y,z) ciągłej w obszarze

V={(x,y,z):(x,y) ∈D, φ(x,y)≤z≤ψ(x,y)}

normalnym względem płaszczyzny Oxy, obliczamy stosując wzór:

ψ(x,y)

∫∫∫ f(x,y,z)dxdydz=∫∫dxdy∫ f(x,y,z)dz

V D φ(x,y)

Jeżeli ρ(x,y,z) jest gęstością objętosciową masy obszaru regularnego Ω, to momenty statyczne względem płaszczyzn układu współrzędnych określone są wzorami:

Mxy=∫∫∫zρ(x,y,z)dxdydz Mxy=∫∫∫xρ(x,y,z)dxdydz Mxy=∫∫∫yρ(x,y,z)dxdydz

Ω Ω Ω

13. Współrzędne sferyczne. Zmiana zmiennych w całce potrójnej. Podać przykład.

Związki między współrzędnymi kartezjańskimi i współrzędnymi sferycznymi:

x=rcosφcosθ y=rsinφcosθ z=rsinθ (1)

0≤r<+∞

0≤φ<2π

-π/2≤θ≤π/2

Odwzorowanie (1) przekształca wzajemnie jednoznacznie wnętrze obszaru regularnego U na wnętrze obszaru regularnego Ω.

Jakobian tego przekształcenia jest określony wzorem:

∂x/∂r ∂x/∂φ ∂x/∂θ cosφcosθ -rsinφcosθ -rcosφsinθ

J= ∂y/∂r ∂y/∂φ ∂y/∂θ = sinφcosθ rcosφcosθ -rsinφsinθ

∂z/∂r ∂z/∂φ ∂z/∂θ sinθ 0

rcosθ

Stąd:

J(r,φ,θ)=r2cosθ

Z równań (1) wynika że:

x2+y2+z2=(rcosφcosθ)2+(rsinφcosθ)2+(rsinθ)2=r2(cos2φcos2θ+sin2φcos2θ+sin2θ)=r2[(cos2φ+sin2φ)cos2θ+sin2θ]=r2[cos2φ+sin2θ]

x2+y2+z2=r2

Twierdzenie

Jeżeli funkcja f(x,y,z) jest ciagła na obszarze Ω, który jest obrazem obszaru U w przekształceniu (1), to zachodzi wzór:

∫∫∫f(x,y,z)dxdydz=∫∫∫f(rcosφcosθ, rsinφcosθ, rsinθ)r2cosθdrdφdθ

Ω U

Przykład

Obliczyć masę m obszaru Ω ograniczonego płaszczyznami układu współrzędnych i powierzchnią: x2+y2+z2=a2, położonego w oktancie nieujemnych współrzędnych.

Przyjąć: ρ(x,y,z)=1 dla (x,y,z) ∈Ω

m=∫∫∫ρ(x,y,z)dxdydz=∫∫∫dxdydz

Ω Ω

Wprowadzamy współrzędne sferyczne

x=rcosφcosθ

y= rsinφcosθ

z=r2cosθ

a π/2 π/2 θ=π/2 θ=π/2

m=∫∫∫r²cosθdrdφdθ=∫dr∫dφ∫r²cosθdθ=∫dr∫r²sinθ dφ=∫dr∫r²dφ=∫r²dφ=∫r²φ dr=

U 0 0 0 θ=0 θ=0

a a

π/2∫r²dr=π/2∙1/3r³

0 0

m=π/6∙a³

14. Całka krzywoliniowa nieskierowana, jej własności i zastosowania. Podać przykład.

Definicja:

Całkę krzywoliniową niekierowaną z funkcji f(x,y) po krzywej L oznaczamy: ∫f(x,y)dl=lim∑f(xi,yi)∆li

L n→∞ i=1

(o ile ta granica istnieje właściwa, nie zależy od wyboru punktów Ai(xi, yi) ∈Li i nie zależy od sposobu podziału krzywej L na łuki L1, L2,…,Ln).

Własności całki krzywoliniowej niekierowanej

Jeżeli istnieją całki krzywoliniowe niekierowane z funkcji f i g na krzywej L, to:

1) ∫c∙f(x,y)dl=c∙∫f(x,y)dl, gdzie c∈R;

L

2) ∫[f(x,y) ±g(x,y)]dl=∫f(x,y)dl±∫g(x,y)dl

L L L

3) ∫f(x,y)dl=∫f(x,y)dl+∫f(x,y)dl

L L1 L2

gdzie L1∪L2=L, L1∩L2={P}

przy czym P jest punktem krzywej L, który dzieli tę krzywą na dwie krzywe L1 i L2.

Zastosowania

Interpretacja geometryczna całki krzywoliniowej niekierowanej

Jeżeli f(x,y)=1 dla każdego punktu (x,y) ∈L, to całka ∫dl jest równa długości łuku krzywej L. L

Jeżeli funkcja f(x,y) ≥0 dla każdego punktu (x,y) ∈L, to całka ∫f(x,y)dl jest równa polu części L

powierzchni walcowej, której kierownica jest krzywa L, a tworzące przechodzą przez punkty krzywej L i są równoległe do osi 0z.

Interpretacja fizyczna całki krzywoliniowej niekierowanej

Jeżeli L jest krzywą materialną, której gęstość w punkcie P(x,y) jest równa ρ(x,y), to masa m krzywej L oraz współrzędne środka ciężkości (x0, y0) wyrażają się wzorami:

m=∫ρ(x,y)dl

L

x0=1/m∫xρ(x,y)dl y0=1/m∫yρ(x,y)dl

L L

Twierdzenie

Jeżeli funkcja f jest ciagła na łuku regularnym L o równaniach

x=x(t), y=y(t), t∈[α,β]

to: β

∫f(x,y)dl=∫f(x(t), y(t))√([x’(t)]²+[y’(t)]²)dt

L α

Twierdzenie

Jeżeli funkcja f jest ciągła na łuku regularnym L o równaniu:

y=y(x), a≤x≤b

to: b

∫f(x,y)dl=∫f(x,y,z)√(1+[y’(x)²])dx

L a

Przykład:

Obliczyć całkę krzywoliniową ∫(x+y)dl gdzie L jest łukiem okręgu: x=acost, y=asint

L

0≤t≤π/2.

Rozwiązanie:

x(t)=-asint, y’(t)=acost

[x’(t)]²+[y’(t)]²=(-asint)²+(acost)²=a²(sin²t+cos²t)=a²

π/2 π/2 π/2

∫(x+y)dl=∫(acost+asint)∙√a²dt=a²∫(cost=sint)dt=a²(sint-cost) =a²(sinπ/2-cosπ/2-sin0-

L 0 0 0

cos0)=a²(1+1)=2a²

17. PODAĆ DEFINICJE ROWNANIA RÓŹNICZKOWEGO ZWYCZAJNEGO, ROZWIĄZANIE SZCZEGÓLNE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWEGO, ROZWIĄZANIA OGÓLNEGO I KRZYWEJ CAŁKOWEJ.

Równaniem różniczkowym zwyczajnym nazywamy równanie postaci:

F(x, y, y’, y”, …, y⁽ⁿ⁾) = 0 (1.)

W którym F jest funkcją n+2 zmiennych: zmiennej niezależnej x, niezależnej funkcji y=f(x) i jej pochodnych: y, y”, …, y⁽ⁿ⁾

Rząd najwyższej pochodnej, wchodzącej do równania różniczkowego nazywamy rzędem tego równania.

Rozwiązaniem szczególnym równania różniczkowego (1) nazywamy każdą funkcje y=f(x) która zmienia to równanie w tożsamość.

Wykres funkcji y=f(x) która jest rozwiązaniem szczególnym równania różniczkowego nazywamy krzywą całkową tego równania.

Zagadnieniem Cauchiego dla rr (1) rzędu n nazywamy zagadnienie polegające na wyznaczeniu rozwiązania szczególnego tego równania spełniającego warunki początkowe:

y(x_o ) = y_o y’(x_o) = y_1, …, y_(n-1)(x_o) = y_n-1 (2)

gdzie liczby x_o, y_o, y_{1, …,} y_n-1 nazywamy wartościami początkowymi.

Rozwiązaniem ogólnym rr (1) rzędu n na zbiorze D nazywamy rodzinę funkcji, zależnych od n stałych dowolnych C₁, C₂, …,C_n których wartości można tak dobrać, aby otrzymać rozwiązanie szczególne spełniające warunki początkowe (2) dla każdego układu wartości początkowych : (x_o, y_o) D, y₁, y₂, …, y_n-1

Niektóre rr oprócz rozwiązania ogólnego mają tzw. równanie ogólne. Są rozwiązania rr, których nie można otrzymać z rozwiązania ogólnego przez równania stałymi dowolnymi otwartych wartości.

18. Równianie różniczkowe jednorodne. Podac przyklady.

Równaniem różniczkowym jednorodnym nazywamy równanie postaci:

y’=f(y/x) (1)

Gdzie f jest funkcją ciągłą na pewnym przedziale (a,b).

Rozwiązanie rr (1) wyznaczamy wprowadzając nową funkcję:

u=y/x (tzn. u(x)=y(x)/x)

Wówczas y=x*u i y’=u+x*u’

Zatem rr (1) przyjmuje postac u+x*u’=f(u)

Czyli x*(du/dx)=f(u)-u →rr o zmiennych rozdzielonych

PRZYKŁAD

Rozwiązac rownianie y’=(x²+y²)/4xy

Rozwiązanie:

y’=[(x²+y²)/x²]/[4xy/x²]

y’=(1+y²/x²)/4*y/x →rr jednorodne

Stosujemy podstawienie y/x=u

Czyli y=x*u 1-3u²=C₁*x^-3/2

Y’=u+x*u’ -3u²=C₁*x^-3/2-1 , u=y/x

U+x*u’=(1+u²)/4u y²/x²=-1/3(C₁*x^-3/2-1)

X*u’=(1+u²)/4u –u y²=-1/3x²(c*x^-3/2-1)

X*u’=(1+u²-4u²)/4u

X*du/dx=(1-3u²)/4u

4u/(1-3u²)du=dx/x

∫4u/(1-3u²)du=∫ dx/x

-4/6∫-6u/(1-3u²)du=ln|x|

ln|1-3u²|^-2/3=ln|x|+ln|C|

(1-3u²)^-2/3=C*x

19. Równania różniczkowe liniowych pierwszego rzędu. Wprowadzić wzór na całkę ogólną.
RR I rzędu nazywamy równanie postaci y’ + P(x)y=q(x) (6) gdzie p(x) i q(x) są funkcjami ciągłymi w przedziale (a,b). RR liniowym jednorodnym nazywamy równanie postaci y’ + P(x)y= 0 (7).
Rozwiązanie rr liniowego niejednorodnego (6) wyznaczamy stosując jedną z metod :
-metodę czynnika całkującego
-metodę uzmienniania stałej
Metoda czynnika całkującego
stosując tą metodę do rr (6) mnożymy obustronnie to równanie przez funkcję (czynnik całkujący)
u(x)=e^∫p(x)dx
wówczas otrzymujemy y’ e^∫p(x)dx+p(x) e^∫p(x)dxy=q(x) e^∫p(x)dx
ponieważ u’(x) = p(x) e^∫p(x)dx
więc rr można zapisać w postaci y’u(x)+u’(x)y =q(x) e^∫p(x)dx
czyli (u(x)y)’= q(x) e^∫p(x)dx postać ogólna y’+p(x)y=q(x)
Metoda uzmienniania stałej
etap 1
wyznaczamy rozwiązanie ogólne równania jednorodnego (7)
Dy/dx = -p(x)y -rr o zmiennych rozdzielonych
czyli Dy/y=-p(x)dx
∫dy/y=-∫p(x)dx => ln|y|= -∫p(x)dx
zatem y = e^-F(x)+C1
y=Ce^-F(x) -rozwiązanie ogólne rr jednorodnego (7)
etap 2
Stałą C w rozwiązaniu ogólnym r jednorodnego (7) zastępujemy funkcją (uzmienniamy stałą) któ®ą następnie dobierzemy tak aby funkcja y=Ce^-F(x) spełniła rr niejednorodne (6) ponieważ:
F(x) = ∫p(x)dx -> więc F’(x)=p(x)
y’=c’(x)e^-F(x) * c(x)p(x)e^-F(x)
dlatego wstawiając y i y’ do równania niejednorodnego (6) otrzymujemy
c’(x) e^-F(x) –c(x)p(x) e^-F(x) +c(x)p(x) e^-F(x) =q(x)
c’(x) e^-F(x) =q(x)
czyli
c’(x)=q(x)*e^F(x)
c(x)= ∫q(x) *e^F(x)dx+C₁
Funkcję c(x)wstawiamy do wzoru y=c(x) *e^-F(x)
otrzymujemy y= e^-F(x) *∫q(x) *e^F(x)dx+C₁* e^F(x) rozwiązanie ogólne rr niejednorodnego

20. omówić metodę rozwiązywania równań różniczkowych zupełnych.

Dana jest funkcja z = f (x,y) klasy C² w obszarze D , różniczką zupełna nazywamy wyrażenie
df = df/dx dx + df/dy Dy

Twierdzenie :
P(x,y)dx + Q(x,y)dy
Gdzie P i Q są funkcjami klasy C’ w obszarze D jest różniczką zupełną pewnej funkcji f wtedy i tylko wtedy gdy spełniony jest warunek : dP/dy = dQ/dx dla (x,y) należącego do D
Rr zupełne nazywamy r postaci P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 gdzie P i Q są funkcjami klasy l’ w obszarze D spełniającymi warunek dP/dy = dQ/dx
Rr zupełne może być zapisane w postaci P(x.y) + Q(x,y) * dy/y’ = 0
(Czyli lewa strona rr jest różniczką zupełna pewnej funkcji)
Jeżeli lewa strona rr jest różniczka zupełną funkcji z = f(x,y) to rr można zapisać w postaci
df = 0
równanie ogólne tego równania ma postac f(x,y) = C – gdzie C jest stałą dowolną

Przykład :
(y² – 1)dx + (2xy + 1)dy = 0
P(x,y) = y² – 1 , Q(x.y) = 2xy + 1
dP/dy = 2y , dQ/dx = 2y
dP/dy = dQ/dx

wniosek : Dane rr jest równaniem zupełnym istnieje funkcja z = f(x,y) której różniczka zupełna df = df/dx dx + df/dy dy jest równe lewej stronie rr tzn.

df/dx = y² – 1 => f(x,y) = ∫(y² – 1)dx = (y² -1)x + y(y)
df/dy = 2xy + 1
Następnie obliczamy pochodną df/dy
Df/dy = 2xy + y’(y)
Ponieważ : df/dy = 2xy + 1 , więc :
2xy + y’(y) = 2xy + 1
y’(y) = 1
y’(y) = y + C

21. Równania różniczkowe II rzędu sprowadzalne do równań rzędu pierwszego podać przykłady.

Ogólna postać równania II rzędu

F(x,y,y’’y”)=0

a) RR II rzędu nie zawierające nieznanej funkcji F(x,y’’y”)=0 (2)
RR (2) sprowadzamy do równania I rzędu stosując podstawienie y’=u gdzie u = u(x) wówczas y”=u’
wprowadzając funkcję u do równania (2) otrzymujemy:
b) rr drugiego nie zawierające zmiennej niezależnej F=(y,y’,y”) =0 (3). RR (3) sprowadzamy do równania I rzędu stosując podstawienie :
y’=u gdzie u = u(y)
wówczas y”=u”*u , ponieważ y”=d/dx (y’) = d/dx * u(y) = du/Dy * Dy/dx = u’*u
wprowadzając funkcję u do równania (3) otrzymujemy F(y,u,u’,u”)=0 czyli rr I rzędu.

Przykład:
Rozwiązać równanie y”-2x(y’)² =0
Dane rr jest postaci F(x,y’,y”)=0 więc sprowadzamy je do rr I rzędu stosując podstawienie y’=u y”=u’ gdzie u = u(x)
otrzymujemy u’ -2xu² = 0
rr o zmiennych rozdzielonych
du/dx = 2x * u² / (dx/u²⁾
∫du/u² = 2∫xdx
-1/u=x²+C₁
u=-1/ x²+C₁
y’=-1/ x²+C₁ => Dy/dx = -1/ x²+C₁
y=- ∫(-1/ x²+C₁)dx
y=-1/C₁ *arctg (x/C₁) +C₂ –rozwiązanie ogólne
Przykład: Wyznaczyć rozwiązanie zagadnienia początkowego
yy”-y’² = 0 , y(0)=1 , y’(0) = -2
Dane rr jest postaci
F(y,y’,y”)=0 więc sprowadzamy je do rr I rzędu stosując podstawienie
y’=u y”=u’*u gdzie u = u(y)
otrzymujemy y*u*u’ – u²=0 rr I rzędu
y*u * du/Dy =u² / (Dy/u²*y)
∫du/u=∫dy/y _
ln|u|=ln|y| + c₁
ln|u|=ln|y| + ln c₁
ln|u|=ln(C₁*|y|)
u = C₁*y
y’= C₁*y
Dy/dx = C₁*y /(dx/Dy)
∫dy/y=C₁∫dx _
ln|y|=C₁*x+C₂
y=C₂*e^C1x – rozwiązanie ogólne rr
y(o)=1 => 1=C₂ *e⁰
y=e^C1x
y=C₁e^C1x
y’(0)=-2=> -2=C₁*e⁰
C₁=-2
odp. y=e-2x

22.Równania różniczkowe liniowe jednorodne rzędu drugiego o stałych współczynnikach. Zapisać całki ogólne takich równań w zależności od współczynników.

Y”+py’+qy’=0

Gdzie p,q – liczby rzeczywiste

Rozwiązanie ogólne równania różniczkowego jest postaci:

Y(x)=C₁y₁(x) +C₂Y₂(x)

Gdzie C1 C2 C3 są stałymi dowolnymi a y₁(x) y₂(x) – rozwiązania szczególne linowo niezależne rr jednorodnego

Rozwiązanie szczególne równania jednorodnego poszukujemy w postaci

Y=e^^λx

gdzie λ jest liczbą rzeczywistą lub zespoloną liczbę λdobierzemy tak, aby funkcja y(x) określona równaniem spełniała rr jednorodne ponieważ

y’=λe^λx y”=λ²eλx

więc wstawiając y, y’ , y” do rr otrzymujemy

λ² e^λx + p λ e^λx +q e^λx = 0

czyli λ² + pλ +q = 0 – równanie charakterystyczne

Rozpatrujemy trzy przypadki

Δ = p²-4q>0
dwa pierwiastki rzeczywiste równania charakterystycznego
λ₁=-p-√ Δ / 2 λ₂=-p+√ Δ / 2
rozwiązanie szczególne rr jednorodne
y₁=e ^λ1x y₂=e ^λ2x
rozwiązanie ogólne rr jednorodnego
y=C₁e ^λ1x + C₂e ^λ2x

Δ = 0
podwójny pierwiastek równania charakterystycznego
λ₁₌ -p / 2
rozwiązanie szczególne rr jednorodnego
y₁=e ^λ1x y₁=xe ^λ1x
rozwiązanie ogólne rr jednorodnego
y=C₁e ^λ1x + C_2xe ^λ1x

Δ < 0 √ Δ = i √ Δ
pierwiastki zespolone sprzężone równania
λ₁=-p+i√- Δ / 2 λ₁=-p-i√ -Δ / 2
λ_1,2=α ± iΒ α=-p/2 Β=√- Δ/2
rozwiązanie szczególne równania jednorodnego
y₁=e ^αx(C₁cosΒx+ C2sinΒx)

23. Rozwiązywanie równań różniczkowych liniowych niejednorodnych o stałych współczynnikach rzędu drugiego. Metoda uzmienniania stałych

y”+ py’ + qy=f(x) (8)

Etap 1.
wyznaczamy rozwiązanie ogólne jednorodne
y”+py’+qy=0
rozwiązanie ogólne tego równania ma postać

y(x)=C₁y₁(x) + C₂y₂(x)
gdzie y₁(x) i y₂(x) rozwiązania szczególne równania

Etap 2 uzmiennianie stałych
Stałe C₁ C₂ w równianiu zastępujemy funkcjami zmiennej x różniczkowalnymi w przedziale (a,b) tzn
Przyjmujemy żę

y(x)= C₁(x)y₁(x) + C₂(x)y₂(x) (9)
Funckje C₁(x) C₂(x) dobierzemy tak aby funkcja y(x) spełniała rr niejednorodne
w tym celu funkcje y(x) daną równaniem (9) wstawiamy do równania (8). W wyniku czego otrzymujemy układ równań

C’₁y₁+C’₂y₂=0

C’₁y'₁+C’₂y’₂=f(x)

C’₁=(y₂(x)f(x))/W C’₂=(y₁(x)f(x))/W

W= y₁ y₂ ≠ 0

y’₁ y’₂

Zatem C₁(x) = - ∫[(y₂f(x))/W dx] C₂(x) = - ∫[(y₁f(x))/W dx]

Funkcje C₁(x) i C₂(x) wstawiamy do równania

Y= (- ∫(y₂f(x))/W dx)y ₁+ (- ∫(y₁f(x))/W dx)y₂ rozwiązanie ogólne rr niejednorodnego