Iloczynem kartezjańskim niepustych zbiorów A i B naz. zbiór AxB={(a,b):aeA, beB}. Zbiorem liczb zespolonych naz.zbiór C=RxR=R² z działaniami: (a,b)+(c,d) = (a+c, b+d), (a,b)*(c,d) = (ac-bd, ad+bc). Argumentem l. zespolonej Z naz. taką liczbę rzeczywistą φ, sin φ= (Im z)/|z|, cos φ= (Re z)/|z| Argumentem głównym liczby Z naz. argument z przedziału (-π, π) Arg Z, Arg i = π/2, arg i = π/2+ 2k Z. Postacią trygon. liczby z=a+1b naz. liczbę |z|(cos φ+isin φ), gdzie φ (φ=arg z). Tw. Jeżeli z1=|z1|(cos φ1+ isin φ1) oraz z2=|z2|(cos φ2+isin φ2) to: z1*z2= |z1|*|z2|(cos(φ1+ φ2)+isin(φ1+ φ2)) oraz z1/z2 = |z1|/|z2| (cos(φ1- φ2)+isin(φ1- φ2)). Wzór de Moivier'a: Jeżeli z=|z|(cos φ+isin φ), to: z^n=|z|^n (cosn φ+ isinn φ). Pierwiastkiem n-tego stopnia z liczby Z naz. każde rozwiązanie równania W^n= Z. Tw. Wszystkie pierwiastki n-tego stopnia z liczby z=|z|(cos φ+isin φ) dane są wzorami: Wn=
, gdzie k=0,1,…,n-1. Funkcja wykładnicza. Tw. Jeżeli z=x+iy, to e^z=e^x(cosy+isiny). Własności: e^z1*e^z2= e^(z1+z2), e^z1/e^z2= e^(z1-z2), e^(z+2 πi)= e^z, e^z≠0. Uwaga: dla dowolnej l.zespolonej z mamy: z=re^(i φ) gdzie: r=|z|, φ=arg z, re^(i φ)=re^0(cos φ+isin φ) = r(cos φ+isin φ)=z. Logarytmem naturalnym liczby z=re^(i φ) naz. każdą z liczb lnr+i(φ+2kπ), keZ. Jeżeli φ=arg z, to lnr+i φ naz. logarytmem głównym liczby z i oznaczamy Lnz. Wielomianem naz. funkcję P:CC określoną wzorem P(z)= a_nzⁿ+ a_n-1z^n-1+…+ a₁z+ a₀, gdzie a_ieC (aieR) a_n≠0 [ai- współczynniki wielomianu, n- stopień wielomianu st(P)]. Liczbę a naz. pierwiastkiem wielomianu P, jeżeli P(a)=0. Tw. Dla każdych wielomianów P i Q takich, że st(p)≥st(Q), istnieje dokładnie jedna para wielomianu S i R taka, że: P(z)=Q(z)*S(z)+R(z) i st(R)<st(Q). Def. Wielomiany S i R naz. ilorazem i resztą z dzielenia P przez Q. Tw. Reszta z dzielenia wielomianu P przez wielomian Q(z)=z-a wynosi P(a). Tw. Bezout: Liczba a jest pierwiastkiem wielomianu P, wtedy i tylko wtedy, gdy P dzieli się przez z-a. Tw. Jeżeli wielomian P(z)= a_nzⁿ+ a_n-1z^n-1+…+ a₁z+ a₀ o współczynnikach całkowitych, ma pierwiastek wymierny p/q (największy wspólny dzielnik NWD(p,q)=1), to p jest dzielnikiem a₀, a q jest dzielnikiem a_n. Def. Liczbę k naz. krotnością pierwiastka a wielomianu P, jeżeli P dzieli się przez (z-a)^k i nie dzieli się przez (z-a)^(k+1). Tw. Jeżeli liczba a jest pierwiastkiem wielomianu P(z) o współczynnikach rzeczywistych, to a jest również jego pierwiastkiem; a=x+iy,
=x-iy. Zasadnicze tw. algebry: Każdy wielomian n-tego stopnia ma dokładnie n pierwiastków (z uwzględnieniem krotności). Wnioski: Każdy wielomian stopnia n rozkłada się na czynniki a(z-z1)^k1*(z-z2)^k2… (z-1i)^ki, gdzie zi jest pierwiastkiem ki-krotnym k1+…+ki=n. MACIERZE. Macierzą wymiaru n x m naz. funkcję A:{1,…,n} x {1,…,m} C(R). Jeżeli n-m, to macierz naz, kwadratową stopnia n. Macierz kwadratową stopnia n dla której aij=
naz. macierzą jednostkową stopnia n. In=
. Macierz kwadratową naz. diagonalną jeżeli aij=0 dla i≠j
. Wektorem kolumnowym naz. macierz wymiaru nx1. Wektorem wierszowym naz. macierz wymiaru 1xm. Macierz kwadratową stopnia n dla której aij=0 dla i>j naz. górnotrójkątna. (dolnotrójkątna: aij=0, i<j)
. Sumą macierzy A=[aij], B=[bij] wymiaru nxm, gdzie cij=aij+bij. Iloczynem macierzy A= [aij] wymiaru nxm przez liczbę ceC(R) naz. macierz B=[bij] wymiaru nxm, gdzie bij=c*aij. Iloczynem macierzy A=[aij] wymiaru nxm i macierzy B=[bij] wymiaru mxl naz. macierz C=[cij] wymiaru mxl, gdzie Cij=
_ip*b_jp= ai1*b1j+ ai2*b2j+…+ain*bnj. Właściwości działania na macierzach: A+B=B+A, A+(B+C)=(A+B)+C, A(B+C)=AB+AC, (B+C)A=BA+CA, I*A=A, A*I=A, A(B*C)=(A*B)C, mnożenie macierzowe nie jest przemienne. Def.macierz transponowaną do macierzy A=[aij] wymiaru nxm naz. macierz A^T=[bij] wymiaru mxn, gdzie bij=aij. (A+B)^T=A^T+B^T, (A*B)=A^T*B^T, (A^T)^T=A. Jeżeli A=A^T, to macierz A naz. symetryczną. Układem liniowym m-równań o n-niewiadomych naz. układ: a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1nx_n= b₁; a₂₁x₁+a₂₂x₂+…+a_2nx_n= b₂;…; a_n1x₁+a_n2x₂+…+a_mnx_n= b_n, gdzie aij, bij - dane liczby, xi- niewiadome. Eliminacja Gaussa: n=m(l. równań=l. niewiadomych) 1. Zamiana miejscami wierszy macierzy; 2. Pomnożenie wiersza przez jedną liczbę ≠0; 3. Odjęcie dwóch wierszy. Metoda wyznaczników-tylko macierze kwadratowe. Wyznacznikiem macierzy A=[a] naz. liczbę a. Jeżeli n>1, to wyznacznik det A(|A|) macierzy dany jest wzorem: detA=(-1)^A+1 a₁₁detA₁₁+(-1)¹⁺² a₁₂detA₁₂+…+(-1)¹⁺ⁿ a_1ndetA_1n. Metoda Saurussa tylko dla macierzy 3x3. Własności wyznaczników: 1) detA=detA^T; 2) Jeżeli A=[aij] jest macierzą górnotrójkątną, to detA=a₁₁*a₂₂*…*a_nm; 3) Jeżeli zamienimy miejscami 2 kolumny (wiersze) to wyznacznik zmienni znak na przeciwny; 4) Jeżeli do jednej z kolumn dodamy inną pomnożoną przez liczbę ≠0 to wartość wyznacznika się nie zmieni; 5) Mnożąc kolumnę macierzy przez liczbę mnożymy jej wyznacznik przez tę liczbę; 6) Wyznacznik macierzy, której 1 z kolumn składa się z samych 0 jest równy 0. Tw. o rozwijaniu wyznacznika względem wiersza lub kolumny: Dla dowolnej macierzy kwadratowej A=[aij]ij=1,…,n mamy: det(A)=
a_li*detA_li, (A)=
a_ik*detA_ik, Tw. Jeżeli A i B są macierzami kwadratowymi tego samego wymiaru, to det(A*B)=detA*detB. Permutacją σ zbioru {1,…,0} naz. każdy ciąg (σ(1), σ(2), σ(n)) utworzony z różnych elementów tego zbioru. Zbiór {1,2,…,n} ma n! permutacji. Def. Parę (σ(i), σ(j)) naz. inwersją permutacji σ, jeżeli i<j oraz σ(i)> σ(j). Tw. Dla dowolnej macierzy kwadratowej A=[aij] _ij=1,…,n mamy: detA=
*a_{1 σ(1)}*a_{2 σ(2)}*…*a_{n σ(n)}, gdzie S(n) jest zbiorem wszystkich permutacji zbioru {1,…,n}. Macierz A^(-1) naz. macierzą odwrotną do A, jeżeli A*A^(-1)=A*A^(-1)=I. Macierz A jest odwracalna <=> gdy detA≠0. Dopełnieniem algebraicznym elementu aij macierzy nazywamy Dij= (-1)^(i+j) detAij. Macierz transponowaną do macierzy [Dij]_i,j=1,…,n naz. macierzą dołączoną do A i oznaczamy A^D. Tw. Jeżeli A jest odwracalna, to: A^(-1)= A^D/detA. Tw. Jeżeli detA≠0, to układ a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1nx_n= b₁; a₂₁x₁+a₂₂x₂+…+a_2nx_n= b₂;…; a_n1x₁+a_n2x₂+…+a_mnx_n= b_n ma dokładnie jedno rozwiązanie dane wzorem: xi=Di/D, i=1,…,0. Wektory v1, v2,…, vn naz. liniowo niezależnymi, jeżeli istnieją stałe a1,a2,…,aneR niewszystkie równe 0 takie, że
. Tw. Jeżeli v1,v2,…,vn są wektorami n-wymiernymi, to są one liniowo niezależne <=> gdy det[v1,v2,…,vn]=0. Rządem macierzy A naz. maksymalną liczbę liniowo niezależnych kolumn macierzy A. Def. Jeżeli w macierzy A skreślimy pewną liczbę kolumn i wierszy, tak, że otrzymamy macierz kwadratową B, to detB naz. minorem macierzy. Tw. Rząd macierzy jest równy maksymalnemu wymiarowi jej niezerowego minora. Tw. Dla dowolnej macierzy A mamy: rzA=rzA^T. Tw. Kroneckera-Capelliego: Układ a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1nx_n= b₁; a₂₁x₁+a₂₂x₂+…+a_2nx_n= b₂;…; a_n1x₁+a_n2x₂+…+a_mnx_n= b_n ma rozwiązania <=> gdy rzA=rz[A|B]. rzA=rz[A|B]=n, to układ ma dokładnie 1 rozw. rzA=rz[A|B]<n to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań. rzA≠rz[A|B] - układ nie ma rozwiązań. Przestrzenie liniowe: Niepusty zbiór V naz. przestrzenią liniową, jeżeli dla dowolnych u,veV i αeR określone są u+veV i α*v=V tak, że spełnione są warunki: 1) dla każdego u,w,veV to: u+v= v+ui(u+v)+w=u+(v+w) 2) istnieje 0eR dla każdego veV to: 0+v=v. 3) dla każdego ueV istnieje -ueV to: u+(-u)=0. 4) dla każdego α,βeR dla każdego ueV to: (α*β)u=α(β*u). 5) dla każdego ueV to: 1*u=u. 6) dla każdego αeR dla każdego u,veV to: α(u+v)= α*u+α*v. 7) dla każdego α,βeR dla każdego ueV to: (α+β)u=αu+βu. 8) dla każdego ueV to: -u=(-1)u. def. Jeżeli Pn(R) oznacza zbiór wszystkich wielomianów st=n i suma wielomianów nie musi być wielomianem stopnia n. QePn(R), RePn(R), to Q+R nie należyPn(R). Kombinacją liniową wektorów v1,…,vn eV o współczynnikach λ1,…, λneR naz. wektor
. Jeżeli V jest przestrzenią liniową i UeV oraz dla każdego α, βeR i dla każdego u1,u2eR: αu1+ βu2eU to U naz. podprzestrzenią V. Przestrzenią rozpiętą na wektorach v1,v2,…,vn eR naz. zbiór: lin {v1,…,vn}={
}. lin {v1,…,vn} jest podprzestrzenią V. Wektory v1,v2,…,vn eV naz. liniowo niezależnymi, jeżeli:
. Tw. Wektory v1,v2,…,vn eR^n są liniowo niezależne <=> gdy rzA=k, gdzie v1,…,vn są kolumnami (wierszami) macierzy A. Mówimy, że zbiór wektorów B={v1,…,vn} tworzy bazę przestrzeni V, jeżeli: 1) wektory v1,…,vn są liniowo niezależne, 2) linB=V. Def. Jeżeli b=(v1,…,vn) jest bazą przestrzeni liniowe V v=
to liczby λi, vi naz. współrzędnymi wektoru V w bazie B. Tw. jeżeli B1 i B2 są bazami p.l.V, to B1,B2 mają tyle samo elementów. Tw. Jeżeli V jest przestrzenią liniową z bazą B={b1,…,bn} to każdy wektor veV ma jednoznaczne przedstawienie w postaci: v=
. Liczby α1 z równości : v=
naz. współrzędnymi wektora v w bazie B (v=(α1,…,αn)). Tw. Jeżeli pewna baza p.l.V ma n elementów, to każda inna baza też ma n elementów. Wymiarem p.l.V naz. ilość wektorów w bazie (dimV). Wniosek: dimR^n=n. Tw. Jeżeli v1,…,vneR^n, to: dim(lin{v1,…,vn})=rzA, gdzie A jest macierzą o kolumnach v1,…,vn. Wniosek: Wektory v1,…,vneR^n tworzą bazę detA≠0. Iloczynem skalarnym wektorów v1=[x1,…,xn], v2= [y1,…,yn] naz. liczbę <v1,v2>=
. Własności: 1) dla każdego veR^n: <v,v>≥0 i <v,v>=0 v=0. 2) dla każdego u,veR^n: <u,v>=<v,u> 3) dla każdego α, βeR dla każdego u,v,weR^n: <αu+βv+w>=α<u,w> +β<v,w>. Długością wektora v=[x1,…,xn] naz. liczbę: ||v||=
=
. Odległością wektorów u i v naz. liczbę ||u-v||. Własności: 1) dla każdego ueR: ||u||≥0 i ||u|| u=0. 2) dla każdego αeR dla każdego ueV: ||α*u\\=|α|*||u||. 3) dla każdego u,veV: ||u+v||≤||u||+||v||. Nierówność Schwarza: dla każdego u,veV: |<u,v>| ≤||u||*||v||. Jeżeli u,veR, u≠0, v≠0, to miarą kąta pomiędzy u i v naz. liczbę αe[0,π] takie że: cosα=<u,v>/||u||*||v||. Jeżeli u,v są przestrzeniami liniowymi to funkcję f:u v naz. przekształceniem liniowym, jeżeli: dla każdego α,βeR i dla każdego u.veU: f(αu+βv)=αf(u)+βf(v). Jeżeli u i v są p.l. z bazami Bi={e1,…,en}, B2={f1,…,fn} odpowiada φ:u v jest przekształceniem liniowym, to macierz której kolumnami są φ(e1), φ(e2),…,φ(en) naz. macierzą przekształcenia φ i oznaczami Aφ. Jeżeli b1,…,bn jest bazą U, to macierz utworzoną z wektorów kolumnowych f (a1,j,…, an,j) naz. macierzą przekształcenia f i oznaczamy Af (Af-mxn). Tw. jeżeli f*uV jest przekształceniem liniowym o macierzy Af to: dla każdego ueU: f(u)=Afu. Def. Jeżeli f1:uV, f2:v W są przekształceniami liniowymi, to złożeniem f2of1:UW naz. przekształcenie określone wzorem: f2of1(u)=f2(f1(u)). Tw. Jeżeli f1 i f2, jak w definicji, to f2of1 jest przekształceniem liniowym i macierz przekształcenia f2of1: Af2of1=Af2-Af1. Obszarem przekształcenia f:uV naz. zbiór: Imf={f(u):ueU}. Jądrem przekształcenia liniowego f:uV naz. zbiór: Ker(f)={ueU:f(u)=0}cU. Tw. Jeżeli f:uV jest przekształceniem liniowym, to Kerf jest podprzestrzenią u, a Imf jest podprzestrzenią V oraz wymiar dim u = dim (Imf) +dim(Kerf). Wniosek: dim(Imf)=rzAf, dim(Kerf)=dim u- rzAf. Jeżeli f:uV jest przekształceniem liniowym, to wektor u≠0 naz. wektorem własnym f, jeżeli istnieje stała λeR (C), taka, żeL f(u)=λu. Liczbę λ naz. wówczas wartością własną. Równanie det[A-λI]=0 naz. równaniem charakterystycznym macierzy A. Tw. Liczba λ jest wartością własną macierzy A gdy jest pierwiastkiem równania charakterystycznego. Jeżeli B1=(u1,…,un) i B2=(v1,…,vn) są bazami przestrzeni liniowej V, to macierzą przejścia z bazy B1 do B2 naz. macierz p=[pij]i,j=1,…,n, gdzie: v1=p11u1+p21u2+…+ pn1un … vn=p1nu1+p_2nu₂+…+p_nnu_n. Własności macierzy przejścia: 1) macierz P jest nieosobliwa. 2) macierz P^(-1) jest macierzą przejścia z bazy B2 do B1. 3) Jeżeli [x1,…,xn] są współrzędnymi wektora v w bazie b1, to w bazie B2 ma współrzędne: P^(-1) [x1 kropki w dół…xn]. Tw. Jeżeli A jest macierzą przekształcenia f w bazie B1, to w bazie B2 macierz tego przekształcenia ma postać: P^(-1)*A*P. Macierze A i B (kwadratowe) tego samego wymiaru naz. podobnymi, jeżeli istnieje macierz nieosobliwa P taka, że A=P^(-1)*B*P. Blokiem lub klatką Jordana wymiaru k naz.macierz wymiaru k x k postaci:
. M. Jordana naz. m postaci
, gdzie Ai są klatkami Jordana. Tw. Każda macierz jest podobna do pewnej macierzy Jordana. Macierz Jordana, do której podobna jest macierz A naz. postacią kanoniczną(Jordana) macierzy A. Uwaga: 1) elementy a przekątnej postaci kanonicznej to wartości własnej m A. 2) Jeżeli a_m=dim Im(A-λI)^m, to: a) a_m≤a_m-1, b) a_m-1-a_m jest liczbą klatek Jordana dla wartości własnej λ wymiaru ≥m.

---