Twierdzenie 2 - Stolz

Jeżeli:

a)
oraz

b) ciąg
gdzie
dla

posiada granicę skończoną lub nieskończoną wtedy

Twierdzenie 3

Jeżeli ciąg
jest zbieżny, to ciąg średnich arytmetycznych
jest zbieżny do tej samej granicy.

Dowód:

Wystarczy w twierdzeniu Stolza przyjąć
,
wtedy

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Stolza o średniej arytmetycznej nie jest prawdziwe.

Np. Ciąg
gdzie
dla n=1,2,... jest rozbieżny.

Natomiast ciąg średnich arytmetycznych ma postać :

PODCIĄGI- granica górna i dolna.

Niech będzie dany ciąg
oraz rosnący ciąg liczb naturalnych
tzn.

wtedy ciąg
nazywamy podciągiem ciągu
.

Podciąg
różny od ciągu
nazywamy podciągiem właściwym.

Jeżeli ciąg
jest zbieżny, to jego granicę nazywamy granicą częściową ciągu
.

Twierdzenie 4

Jeżeli ciąg
jest zbieżny g
R lub rozbieżny do
To wtedy jego podciąg
jest zbieżny do g lub rozbieżny do
. Oznaczamy przez E zbiór granic częściowych ciągu (a_n) tzn. zbiór granic wszystkich podciągów ciągu (a_n). Wtedy granicą górną ciągu (a_n) nazywamy wielkość:

A granicą dolną ciągu
nazywamy wielość

Np.: Dany jest ciąg

Wtedy

Zatem

Ciąg (a_n) nie posiada granicy właściwej, ani niewłaściwej.

Definicja:

Ciąg
posiada punkt skupienia
jeżeli
Zatem wyżej wymieniony ciąg ma dwa punkty skupienia 0,1. Jeżeli ciąg
jest zbieżny do g, to g jest punktem skupienia tego ciągu.

Twierdzenie 5 (Bolzano - Weierstrass)

Każdy ograniczony ciąg liczb rzeczywistych posiada co najmniej jeden punkt styczności.

Ciąg
nazywamy nierosnącym bądź niemalejącym, jeżeli

Twierdzenie 6

a)Ciąg --> [Author:w.k]
niemalejący i ograniczony z góry tzn.

jest zbieżny.

Ciąg --> [Author:w.k]
nierosnący i ograniczony z dołu tzn.

jest zbieżny.

b) Jeżeli ciąg niemalejący
jest nieograniczony z góry to

a z dołu to

Dowód:

1. zbiór wartości ciągu
   który jest ograniczony z góry, przy czym ciąg a_n jest niemalejący, posiada kres górny M₀, tzn

Zatem

Z monotniczności ciągu (a_n) wynika, że

dla k= 1,2,... zatem

czyli

b) niech ciąg
będzie niemalejący i nieograniczony tzn.

czyli

, a wiec

Definicja liczby e

e=

Można pokazać, że ciąg
jest rosnący i ograniczony przez 3

a więc jest to ciąg zbieżny.

Twierdzenie 7

Jeżeli
jest ciągiem dowolnym-rozbieżnym do

dla n=1,2... jest dowolnym ciągiem rozbieżnym do

Twierdzenie 8

a) jeżeli p>0,to

b) jeżeli p>0,to

c)

d) jeżeli p>0

e) jeżeli

f)
dla dowolnej liczby rzeczywistej x.

Twierdzenie 9- (zasada zbieżności ciągu liczb rzeczywistych)

Ciąg (a_n), gdzie
dla n=1,2,... jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest tzw. warunek

Cauchy'ego

Def.

Liczbami Eulara nazywamy liczby E_k określone następująco:

2. Szeregi o wyrazach rzeczywistych.

Niech będzie dany ciąg liczb rzeczywistych
. Dodajemy kolejne wyrazy ciągu
tworząc tzw. sumy częściowe

Oznaczmy przez
zbiór tych wszystkich ciągów liczb rzeczywistych
dla n=1,2... dla których ciąg sum częściowych
, jest zbieżny tzn. ma skończoną granicę. Wtedy każdemu ciągowi
można przyporządkować granicę ciągu odpowiadających mu sum częściowych.

Przyporządkowanie to jest funkcją określą na
o wartościach rzeczywistych. Mówimy wtedy również, że został określony funkcjonał tzn. funkcja o wartościach liczbowych. Funkcjonał ten nazywamy szeregiem liczbowym i oznaczamy symbolem
Wartość funkcjonału,
czyli szeregu liczbowego w punkcie
nazywamy sumą szeregu i piszemy
, gdzie
. Mówimy wtedy, że szereg
jest zbieżny.

Niech X będzie zbiorem wszystkich ciągów (a_n) o wyrazach rzeczywistych
. Przyporządkowujemy dowolnemu ciągowi
zbiór S wszystkich punktów skupienia (właściwych lub niewłaściwych).

Przyporządkowanie to nazywamy szeregiem liczbowym. Oznaczmy je symbolem
i piszemy
. Szereg jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór S składa się dokładnie z jednej liczby rzeczywistej. Jeżeli ciąg sum częściowych (A_n) dla ciągu (a_n) jest rozbieżny, to mówimy, że szereg
jest rozbieżny.

Gdy
, to mówimy, że szereg
jest rozbieżny do
i piszemy

Przykłady:

1.Szereg geometryczny:
dla xεR. Jest zbieżny dla |x|<1 oraz rozbieżny dla |x|≥1.

Uzasadnienie:

1. |x|<1 n-ta suma częściowa ma postać:
   a wiec
   czyli szereg jest zbieżny dla |x|<1

2. x=1
   szereg zbieżny do +nieskoń.

3. x=-1
   ,
   czyli szereg jest rozbieżny dla x=±1

4. x>1∨x<-1
   

2. Szereg
jest rozbieżny gdy jest rozbieżny do +∞ ciąg sum częściowych.

3. Szereg
jest rozbieżny gdyż ciąg sum częściowych nie posiada granicy właściwej ani niewłaściwej.

Znaleźć sumę szeregu:
,

Twierdzenie 1.

Jeżeli szeregi
,
są zbieżne:

1. 
   

2. 
   , gdzie c jest stałą

Dowód 1.

Ponieważ szeregi

są zbieżne więc ciągi sum częściowych:
posiadają skończone granice odpowiednio A,B Zatem granica ciągu sum częściowych dla ciągu a_n±b_nwynosi.
, Suma
, podobnie wykazujemy 2.

Definicja: N-tą resztą szeregu
nazywamy szereg postaci
gdzie n=0,1,2...

Twierdzenie 2.

1. Jeżeli szereg
   jest zbieżny to jest zbieżna każda z jego reszt.

2. Jeżeli jedna z reszt szeregu
   jest zbieżna to szereg ten jest zbieżny.

WNIOSEK: Odrzucenie skończonej liczby początkowych wyrazów szeregu lub dołączenie na początku szeregu skończonej liczby wyrazów nie ma wpływu na zbieżność szeregu. Szereg
jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy.

Twierdzenie 3. (Cauchy)

Szereg
jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek:

Dowód:

Jeżeli w warunku zbieżności z twierdzenia 3 przyjąć m=n to otrzymujemy : warunek konieczny zbieżności szeregu. Jeśli szereg
jest zbieżny, to
.

Warunek
nie wystarcza na to aby szereg
był zbieżny.

Kontrprzykład: Zbadać zbieżności szeregu:

Jest spełniony warunek konieczny zbieżności szeregu.

- przypomnienie

szereg rozbieżny

Przykład. Zbadać szereg harmoniczny

spełniony warunek konieczny zbieżności.

Przypuśćmy, że szereg ten jest zbieżny. Zatem istnieje skończona granica ciągu sum częściowych
. Ponieważ każdy podciąg ciągu zbieżnego jest zbieżny do granicy tego ciągu wiec:

Można napisać następujące oszacowania:

Czyli: Ciąg A_2n-A_n nie dąży do 0. Sprzeczność.

Zatem
=+∞

Twierdzenie 4. (Kryterium porównawcze)

Jeżeli
oraz szereg
jest zbieżny, to szereg
jest zbieżny.

Jeżeli
oraz szereg
o wyrazach mniejszych jest rozbieżny, to szereg
jest rozbieżny.

Dowód.

1. Ponieważ szereg
   jest zbieżny więc na podstawie twierdzenia 3 otrzymujemy
   . Zatem dla n,m>N_0,
   zachodzi nierówność:
   , czyli z twierdzenia 3 szereg
   jest zbieżny

2. Przypuśćmy, że szereg
   jest zbieżny, wtedy na mocy a) szereg
   jest zbieżny co jest sprzeczne z założeniem.

Przykłady:

Zbadać zbieżność szeregów:

1.

1. aε(0,1]
   a więc szereg jest rozbieżny

2. a>1,
   ; a więc na mocy kryterium porównawczego szereg jest zbieżny, gdyż jest zbieżny szereg geometryczny
   

2.

;

Skorzystamy z oszacowania.

dla k=1,2,...,n

Wtedy
Ponieważ szereg
jest zbieżny, więc na mocy kryterium porównawczego dany szereg jest zbieżny.

3.
;

;

;
, z kryterium porównawczego wynika zbieżność szeregu.

4.

, zauważmy, że
, a więc dla εε(0,1) istnieje N=N(ε)>0, takie, że dla n>N zachodzą nierówności:
stąd
ponieważ szereg
, więc z kryterium porównawczego wynika zbieżność badanego szeregu.

Twierdzenie 5 (Kryterium pierwiastkowe Cauchy'ego)

Zakładamy, że wyrazy szeregu
są nieujemne:

1. Jeżeli istnieje taka liczba 0≤q<1 oraz
   to szereg
   jest zbieżny.

2. Jeśli istnieje taka liczba q≥1 oraz
   to szereg
   jest rozbieżny.

Dowód:

1. Ponieważ dla n≥N
   oraz szereg geometryczny
   jest zbieżny, więc na mocy kryterium porównawczego szereg
   jest zbieżny.

2. Dla n≥N
   oraz szereg geometryczny
   a więc szereg a_n jest też rozbieżny (z kryterium porównawczego)

WNIOSEK:, Jeżeli wyrazy szeregu
są nieujemne oraz istnieje skończona granica
to:

1. Szereg
   jest zbieżny gdy q<1

2. Szereg
   jest rozbieżny gdy q>1

Uwaga; Gdy
to nie wiadomo, czy szereg
jest zbieżny, czy rozbieżny

Twierdzenie 6 (Kryterium ilorazowe d'Alemberta)

Zakładamy, że wszystkie wyrazy szeregu
są dodatnie.

1. Jeżeli istnieje taka liczba 0≤q<1 oraz:
   to szereg
   jest rozbieżny

2. Jeśli istnieje taka liczba q≥1 oraz iloraz
   to szereg
   jest rozbieżny

Dowód:

1. Dla n≥N mamy :
   ; podstawiamy za n kolejno N, N+1, N+2, N+p, pεN wtedy otrzymamy nierówność :
   ;
   ;
   ;
   dla dowolnego pεN. Ponieważ szereg
   jest szeregiem geometrycznym zbieżnym (0≤q≤1) więc z kryterium porównawczego wynika, że szereg a_n jest zbieżny

2. Ponieważ
   więc z kryterium porównawczego wynika zbieżność szeregu
   (q>1)

Z kryterium iloczynowego wynika wniosek:, Jeśli wyrazy szeregu
są dodatnie oraz istnieje skończona granica
to:

1. Szereg
   jest zbieżny gdy q<1

2. Szereg
   jest rozbieżny gdy granica jest q>1

3. Gdy q=1 to nie jest wiadomo czy szereg jest zbieżny czy rozbieżny.

16

---