WYBOCZENIE PRĘTÓW PROSTYCH

W przypadku ściskania elementów konstrukcyjnych mających jeden z wymia­rów dużo większy od dwóch pozostałych (pręty) może się pojawić przy ich obciążaniu efekt wyboczenia. Zjawisko to polega na utracie statycznej prostej postaci pręta, pojawieniu się zakrzywionej formy równowagi i w jego wyniku oprócz działającej siły ściskającej powstaje dodatkowe obciążenie w postaci momentu zginającego. W przypadku zaistnienia takiej sytuacji, aby określić siłę, która mogłaby spowodować zniszczenie ściska­nego pręta, nie możemy korzystać ze wzoru wynikającego z zależności

gdzie R_c oznacza, wytrzymałość materiału pręta na ściskanie. Należy jednak pamiętać, że nie zawsze pręt ściskany ulegnie wyboczeniu i wtedy ww. wzór prawidłowo opisuje wartość siły wywołującej zniszczenie. Zależy to głównie od długości pręta.

Rys. 8.1.

Wpływ długości pręta na możliwość zaistnienia wyboczenia Dla pręta krótkiego zniszczenie przy ściskaniu może wystąpić tylko wsku­tek działania przyłożonej siły. W zależności od materiału zniszczenie może nastąpić w postaci zgniotu lub też kruchego pęknięcia. W przypadku pręta długiego zniszczenie zostanie poprzedzone utratą stateczności i może często przyjąć formę złamania towarzyszącego zgnieceniu lub skruszeniu.

Wyboczenie pręta jest to wygięcie się jego osi (tzw. utrata statecz­ności) wywołane siłą ściskającą, działającą ściśle wzdłuż tej osi.

Oprócz wymiarów pręta utrata stateczności przy ściskaniu uzależniona jest od wartości siły. Jeżeli siła będzie stosunkowo niewielka, wówczas wyboczenie nie będzie zachodzić i pręt pozostanie w równowadze statycznej zachowu­jąc postać prostoliniową.

W przypadku długich prętów, jeżeli będziemy pręt dodatkowo obciążali, wtedy — przy pewnej wartości siły — jego równowaga ulegnie zmianie z trwałej na równowagę chwiejną. W takiej sytuacji każde, nawet niewielkie zwiększenie siły spowoduje gwałtowne wyginanie się pręta. Wartość siły ściskającej, po przekroczeniu której następuje wyboczenie pręta, nazywamy siłą krytyczną. Innymi słowy jest to najmniejsza siła ściskająca, która jest w stanie utrzymać pręt w postaci wygiętej.

Jeżeli po osiągnięciu siły krytycznej pręt poddamy odciążeniu, wówczas ponownie wróci on do stanu równowagi statycznej i przyjmie kształt prostoliniowy.

Na utratę stateczności obciążonych prętów mają również wpływ czynniki dodatkowe w postaci odchyłek od prostoliniowości osi pręta, niewspółosiowości osi pręta i siły ściskającej, niejednorodności materiału, wstrząsów, drgań i wiele innych. Wymienione czynniki mogą powodować zarówno zwiększenie, jak i zmniejszenie niebezpieczeństwa zaistnienia wyboczenia. Zależy to w du­żym stopniu od tego, czy działać będą pojedynczo czy też zbiorowo, oraz czy ich działanie sumuje się bądź odejmuje.

W praktyce możemy wyróżnić kilka przypadków wyboczenia, co związane jest ze sposobem zamocowania końców pręta.

Typowe przypadki wyboczenia w zależności od sposobu zamocowania końców pręta: I - jeden koniec pręta zamocowany na stałe, drugi swobodny, II - oba końce pręta zamocowane przegubowo, II - jeden koniec pręta utwierdzony, drugi zamocowany przegubowo, IV - oba końce pręta utwierdzone.

Przedstawione typowe przypadki wyboczenia nie odzwierciedlają wszystkich możliwości spotykanych w rzeczywistych konstrukcjach. Więk­szość jednak tych przypadków daje się sprowadzić do przypadków pokaza­nych na rysunku. Przez l_w oznaczono długość wyboczeniową odpowiadającą półfali sinusoidy stanowiącej oś pręta po odkształceniu.

ZAGADNIENIE EULERA

Zależności określające siłę krytyczną dla osiowo ściskanych prętów pryzma­tycznych zostały wyprowadzone przez szwajcarskiego matematyka L. Eulera w osiemnastym stuleciu. W swoich rozważa­niach przyjął on następujące założenia:

• materiał pręta jest jednorodny i izotropowy,

• materiał pręta podlega prawu Hooke'a,

• oś działania obciążenia idealnie pokrywa się z osią pręta.

Euler wyprowadził zależności na siłę kryty­czną dla kilku typowych sposobów zamocowa­nia pręta. W celu zachowania przejrzystości rozważań przytoczymy tutaj tok postępowania przy wyprowadzeniu zależności określających siłę krytyczną dla jednego wybranego sposobu zamocowania pręta, a mianowicie dla przypadku pręta utwierdzonego z jednej strony oraz swo­bodnego z drugiej. Załóżmy wyjściowo, że pręt utrzymywany jest w postaci pokazanej na rysunku, tj. że przekroczona została wartość siły krytycznej.

Układ pręta jednostronnie utwierdzonego poddanego działaniu siły powodującej wyboczenie

Linię ugięcia pręta można wyrazić w postaci funkcji w = w(x₁). W stanie równowagi postaci wygiętej oprócz ściskającej siły podłużnej w pręcie pojawi się moment zginający, który dla przyjętego układu współrzędnych i dowolnie wybranego przekroju poprzecznego można wyrazić w postaci związku

gdzie: f - wielkość chwilowego ugięcia swobodnego końca pręta, w - wielkość ugięcia zależna od współrzędnej x₁. Znak minus wynika z przyjętej umowy znakowania mo­mentów zginających. Należy pamiętać, że moment jest tutaj również funkcją niewiadomego ugięcia, tj. M(\x₁, w(x₁)).

Przybliżone równanie różniczkowe linii ugięcia pręta ma postać:

Iloczyn EJ oznacza sztywność pręta przy zginaniu, przy czym J określa najmniejszy osiowy moment bezwładności, ponieważ wyboczenie następuje w płaszczyźnie najmniejszej sztywności, o ile warunki podparcia nie określają uprzywilejowanego kierunku wyboczenia.

Podstawiając do tego równania postać funkcji momentów zginających, otrzymujemy:

Zastosowanie oznaczenia

prowadzi do zależności reprezentującej ostateczną postać niejednorodnego różniczkowego równania równowagi wybo­czonego pręta:

Całkę ogólną tego równania można przedstawić w formie:

Stałe całkowania C₁, C₂ określa się na podstawie warunków brzegowych, zależnych od sposobu podparcia belki. Dla rozpatywanego przypadku są one następujące:

Spełnienie tych warunków prowadzi do zależności

Uwzględnienie wartości stałych całkowania pozwala uzys­kać równanie odkształconej osi pręta:

Biorąc pod uwagę warunek

otrzymujemy

Stąd, po odrzuceniu rozwiązania trywialnego f = 0, otrzymujemy

co spełnione jest dla następujących wartości kl:

skąd natychmiast wynika wartość parametru k:

Ponieważ

co pozwala po prze­kształceniu otrzymać zależność, określającą wartość siły P, przy której możli­we są wygięte postaci równowagi pręta (mody 0, l, 2, itd.)

Wartość najmniejszej siły utrzymującej pręt w postaci wyboczonej uzysku­jemy dla n = 0. Nazywana jest ona siłą krytyczną Eulera:

Przyjęcie wyższych wartości n nie ma praktycznego znaczenia, ponieważ już dla n = 0 zajdzie wyboczenie. Wyższe wartości spowodują jedynie ugię­cie, które przybierze dla rozpatrywanego przypadku wyboczeniowego postać dwóch, trzech lub więcej półfal kosinusoidalnych.

Przedstawione rozważania można również przeprowadzić dla innych typo­wych przypadków wyboczeniowych, otrzymując w efekcie siły krytyczne uwzględniające sposób zamocowania końców pręta. W naszej analizie ograni­czymy się tylko do podania końcowych wyników i ich uogólnienia, prowa­dzącego do ogólnej postaci wzoru na siłę krytyczną Eulera. Wartości sił krytycznych dla poszczególnych typowych przypadków wyboczeniowych są następujące:

- I sposób zamocowania

- II sposób zamocowania

- III sposób zamocowania

- IV sposób zamocowania

Uogólnienia wzorów Eulera, podanych dla różnych sposobów zamocowania końców pręta, można dokonać, wprowadzając pojęcie długości wyboczeniowej w następującej postaci

gdzie a oznacza współczynnik długości, określający wpływ sposobu zamoco­wania końców pręta. Stąd

Ogólna postać wzoru Eulera, obowiązująca dla wszystkich przypadków wyboczeniowych, daje się sprowadzić do postaci

Mając określoną siłę krytyczną, można określić naprężenie krytyczne przy ściskaniu, przy którym następuje wyboczenie pręta o przekroju S

stąd

Po wprowadzeniu pojęcia promienia bezwładności i w postaci

oraz pojęcia smukłości pręta 

wzór na naprężenia krytyczne można przekształcić do postaci

Wzór ten wyraża zależność naprężenia krytycznego od smukłości i na wykresie w układzie σ_kr,  przedstawia tzw. hiperbolę Eulera.

Interpretacja graficzna funkcji opisujących przypadki wyboczenia

Należy pamiętać, iż wzór Eulera wyprowadzono przy założeniu, że wyboczenie ma miejsce w zakresie ważności prawa Hooke'a, tj. w zakresie odkształceń sprężys­tych. Dlatego też naprężenia krytyczne określone tym wzorem muszą być mniejsze lub co najwyżej równe granicy proporcjonalności R_H, czyli

Stąd znajdujemy graniczną wartość smukłości pręta

Wyboczenie zachodzące przy smukłościach równych i większych od smukłości granicznej ( > _kr) nazywa się wyboczeniem sprężystym.

W przypadku smukłości mniejszych od granicznej zjawisko wyboczenia również może mieć miejsce, ale wtedy wzór Eulera jest nieprzydatny.

W prętach o smukłościach mniejszych od smukłości granicznej w trakcie ściskania, oprócz odwracalnych odkształceń sprężystych, powstają odkształcenia plasty­czne, które powodują trwałą deformację pręta, tj. taką, że po usunięciu obcią­żenia pręt nie powróci do pierwotnej pozycji. Utrata stateczności, zachodząca w takich warunkach, nazywana jest wyboczeniem niesprężystym.

Wyboczenie niesprężyste

W zakresie wyboczenia niesprężystego dla smukłości  < _gr naprężenia kry­tyczne obliczamy najczęściej ze wzorów empirycznych: Tetmajera-Jasińskiego i Johnsona-Ostenfelda.

Wzór Tetmajera-Jasińskiego odpowiada równaniu prostej (rysunek)

gdzie a i b są to stałe wyznaczane doświadczalnie charakteryzujące własności ma­teriału i wyrażające się następująco:

Wyniki bardziej zgodne z doświadczeniem otrzymuje się, stosując wzór Eulera przy smukłościach prętów:

Wzór Johnsona-Ostenfelda stosowany jest przy  < _ (rysunek)

gdzie A i B oznaczają, stałe materiałowe obliczane ze wzorów:

Przykład Stalowy pręt pryzmatyczny o przekroju rurowym, utwierdzony na jednym końcu, ściskany jest osiowo (rysunek). Jaką siłą P można obciążyć ten pręt, jeżeli długość pręta wynosi l = 5 m, a wymiary D = 5 cm i d = 3 cm? Moduł Younga E = 2,1^.l0⁵ MPa, granica proporcjonalności materiału R_pr = 200 MPa, a współczynnik bezpieczeństwa na wyboczenie jest równy n_w = 2.

Rozwiązanie

Moment bezwładności przekroju poprzecznego pręta wynosi

Pole przekroju jest równe

Promień bezwładności

Długość wyboczeniowa pręta wynosi l_w = 2l = 10 m, stąd smukłość pręta jest równa

Smukłość graniczną obliczamy ze wzoru

Zatem można stosować wzór Eulera ( > _gr)

Dopuszczalna wartość siły obciążającej pręt

Przykład 18.2. Pręt wykonany z duralu PA7 o średnicy d = 2 cm i długości l = 35 cm za­mocowano jednym końcem przegubowo, a na drugim utwierdzono (rysunek). Obliczyć wartość siły krytycznej dla tego pręta. Moduł Younga E = 0,73^.l0⁵ MPa, granica proporcjonalności materiału R_pr = 250 MPa, a granica plastyczności R_pl = 300 MPa.

Rozwiązanie

Minimalny moment bezwładności jest równy

Pole przekroju wynosi

Promień bezwładności

Smukłość pręta

Smukłość graniczna obliczona ze wzoru

Zatem naprężenia krytyczne obliczymy ze wzoru Johnsona-Ostenfelda, gdyż  < _

Wartość siły krytycznej jest równa

1

---