Liczby zespolone i funkcje wymierne

1.Znaleźć część rzeczywistą i część urojoną liczby zespolonej

a) Odp: ; b) Odp:;

c) Odp: ; d) Odp: ;

e) f)

2.Znależć postacie trygonometryczne liczb zespolonych

a) oraz a następnie obliczyć :

) Odp: ; ) Odp: -2i ;

b) oraz a następnie obliczyć:

Odp: ; Odp:

3.Korzystając ze wzoru Moivrea obliczyć

a) Odp: ; b) Odp:

5.Znależć pierwiastki liczby zespolonej i zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej

a) Odp: ;

b) Odp:

c) Odp: ;

d) Odp: dla

e) Odp: dla

f) dla k =0

6.Zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej zbiory spełniające warunki

a) Odp:; b) Odp: ;

c) Odp: ; d) Odp: ;

Zaznacz na płaszczyźnie

A) A\B

B)

C)

D) E) F)

G) Re(1/z)<1/2 H) Re(1/(z-3))>2

I) Im ((2-3i)z + 2i)<5 J) Re(z − 2i)² ≥ 0 K) z² = 4Re (iz)

L) Re z³  ≥ Im z³  M) |(3+i)z+2| ≤ 6 N) $\left| \frac{z + 2}{z - 3i} \right| \leq 4$ O) |z²+6| ≤ |z−2| P) ) Re z⁸ >0 Q) Imz³ <0

7.Rozwiązać równanie algebraiczne

a) Odp: ;

b) Odp:

c) Odp: ; d) Odp:

e) Odp: ;

f) Odp:

g) ( 2 - i ) z² - z - 6 = 0 h)

i) z² + z + 3 + i = 0 j)

k) z² - (1 + 2i ) z + 4 + i = 0 l)

m) z⁴ + 2z² - 10 = 0 n)

o) p)

r) s)

8) Rozwiąż równania

a) $z^{2} + 5\overset{\overline{}}{z} = 0\ $ b) 5z + (1-2i)$\ \overset{\overline{}}{z} =$ 2 + 5i

c) $\frac{z + 1}{\overset{\overline{}}{z} - 1} = - 1$ d) 3z+$4\overset{\overline{}}{z}$+i(z-$\overset{\overline{}}{z}$)= 2 -3i

e) (2-2i)z = 4+7i – z f) $\frac{1 - 3i}{2z + i} = \frac{3 + 4i}{2 - 5iz}$

9)Wiedząc, że liczba zespolona:

a) jest pierwiastkiem równania znaleźć pozostałe pierwiastki Odp: ;

b) jest pierwiastkiem równania znaleźć pozostałe pierwiastki Odp: ;

10) Oblicz cos6α, Oblicz sin5α

Macierze i układy równań liniowych

1.Niech będą dane macierze

a) ; ;

α) Obliczyć

β)Rozwiązać równanie macierzowe

γ) Obliczyć iloczyny macierzy ; ;; ;

b) ; ; ;

α) Obliczyć

β) Rozwiązać równanie macierzowe

γ)Obliczyć iloczyny macierzy ; ; ; ; .

3.Korzystając z własności obliczyć wyznacznik

a) Odp: 3 ; b) Odp: -40 ; c) Odp: 33;

d) Odp: -113; e) Odp: yu; f) Odp: 63;

g) Odp: 0 ; h) Odp: -10 ; i) Odp: 12

j) Odp: ;

4. Znaleźć macierz odwrotną macierzy za pomocą macierzy dopełnień algebraicznych lub metodą przekształceń elementarnych

a) Odp: b) Odp:

c) Odp: ; d) Odp: ;

5.Rozwiązać równanie macierzowe

a) dla i Odp: ;

b) dla i Odp: ;

c) dla i Odp: ;

d) dla i Odp:

e) f)*

g) h)

h) i)

j) 0,5 k)

l) m)

n) o) +

p) r)

s) + t)

u) v)

w) z)

6.Rozwiązać za pomocą wzorów Cramera i metodą macierzową układ równań

a) Odp: ; b) Odp: ;

c) Odp:; d) Odp:;

7.Korzystając z definicji obliczyć rząd macierzy

a) Odp: r(A)=2 b) Odp: r(A)=1

a) b) c)

Odp: r(A)=3; Odp: r(B)=3 ; Odp:r(C)=2.

8..Metodą przekształceń elementarnych rozwiązać układ równań liniowych powołać się na twierdzenie Kroneckera-Capellego)

a) Odp: ; b) Odp: ;

c) Odp: ; d) Odp: sprzeczny;

e) Odp:f) Odp:;

g) Odp: h)Odp:sprzeczny;

i) Odp: ; j) Odp: ;

9) rozwiąż dowolną metodą

a) x - y + 1 = 0 2x + 3y - 2 = 0 5x - 3y + 6 = 0	b) x - y + z + t = 0 2x - 3y + 2z - t = 0 x + y - z + t =	c) 2x - y + z = 2 3x + 2y + z = 1	d) x - y - z = 0 x + 4y + 2z = 0 3x + 7y + 3z = 0
e) 5x-6y+4z - t = 3 3x-3y+2z +t = 2 4x -5y +2z +t =1	f) 2x - y + z - 2 =0 x + y - z - 3 = 0 4x + y - z - 8 =0	g) x+ 2y+3z+4t=5 2x + y +2z+ 3t =1 3x + 2y +z + 2t=1 4x + 3y+2z+ t=-5	h) x+2y+3z -4t =4 y - z + t = -3 x + 3y -3t = 1
i) 3x +4y-5z +7t=0 2x -3y +3z -2t =0 4x+11y-13z+16t=0 7x -2y z + 3t =0	j) 2x +3y -z +5t =0 3x -y +2z -7t =0 4x +y -3z +6t =0 x - 2y + 4z -7t= 0	k) 2x +5y -8z =8 4x + 3y - 9z =9 2x + 3y - 5z =7 x + 8y - 7z =12	l) 3x-5y+ 2z+4t=2 7x - 4y+z +3t=5 5x+7y -4z -6t =3
m) 2x -3y +z +t =4 x +2y +z +t = 6	n) x +y -4z = 0 2x +2y -8z = 1 5x +5y -20z = 3	o) 3x +y +z -t =1 9x + 3y +3z -3t =1	p) 6x -4y+2t-4z =0 9x -6y +3t -6z =1
r)x -y + 3z = 2 2x +7y +5z =1 2x -2y +6z = -5	s) x -y +z -t = 2 3x -y -7z +2t =0 6x +2y -z -t = 3 2x -2y +2z -2t =5	t) x - y + 3z + t = 0 2x +y +2z +t =0 5x +2y -5z+t =0	u) 4x - 6y + 2z + 3t = 2 2x -3y +5z +75t=1 2x-3y -11z -15t=1

10*.Przedyskutować rozwiązywalność układu równań w zależności od parametru a.

a) b)

Odp:a) a≠1 i a≠2 jedno rozwiązanie b) a≠3 jedno rozwiązanie

a=1 nieskończenie rozwiązań a=3 nieskończenie rozwiązań

a=2 układ sprzeczny

Geometria

Dane są punkty A, B, C, D i wektory u, v, w. I proste l₁ , l₂ tzn na sprawdzianie będą podane konkretne przykłady, a tu tylko model zadania. Bywa, że może być kilka wersji rozwiązań w zależności od danych

Znajdź

1. długość wektora AB

2. uv, u v, (uvw)

3. objętość czworościanu rozpiętego na u, v, w

4. długość wysokości trójkąta ABC

5. kąt między wektorami u i v

6. równanie płaszczyzny przechodzącej przez A i prostopadłej do u

7. równanie płaszczyzny przechodzącej przez A, B, C

8. równanie płaszczyzny przechodzącej przez A i B, równoległej do u

9. równanie płaszczyzny przechodzącej przez A równoległej do u i v

10. równanie płaszczyzny przechodzącej przez A równoległej do płaszczyzny 2x-y+z=5

11. równanie płaszczyzny przechodzącej przez A i prostopadłej do płaszczyzn 2x-y+z=5, 2x-3y=7

12. równanie prostej przechodzącej przez A i równoległej do u

13. równanie prostej przechodzącej przez A i B

14. równanie prostej przechodzącej przez A i prostopadłej do 3x – y +2z = 6

15. równanie prostej przechodzącej przez A i prostopadłej do u i v

16. równanie prostej będącej częścią wspólną płaszczyzn 2x-y+z=5, 2x-3y=7

17. punkt przecięcia prostej l₁ i płaszczyzny 2x-3y=7

18. punkt przecięcia płaszczyzn 2x-y+z=5, 2x-3y=7

19. odległość punktu A od płaszczyzny 2x-3y=7

20. odległość płaszczyzn 2x-y+z=5 i 4x-2y+2z =6

21. odległość punktu A od l₁

22. odległość prostych równoległych

23. odległość prostych skośnych

24. odległość prostej l₁ od 2x-3y=7

25. miarę kąta między prostą l₁ i płaszczyzną 2x-3y=7

26. miarę kąta między płaszczyznami 2x-y+z=5, 2x-3y=7

27. miarę kąta między prostymi l₁ , l₂

28. rzut A na prostą l₁

29. rzut A na płaszczyznę x-y+z=5

30. rzut l₁ na płaszczyznę x-y+z=5

31. punkt symetryczny do A względem B

32. punkt symetryczny do A względem l₁

33. punkt symetryczny do A względem x-y+z=5

Sprawdź czy

34. punkty A, B, C, D leżą na jednej płaszczyźnie?

35. punkty A, B, C leżą na jednej prostej

36. punkt A należy do l₁

37. prosta l₁ jest zawarta w 4x – 5y +3z =9

38. punkt A należy do 4x – 5y +3z =9

39. proste l₁ , l₂ mają punkt wspólny, jeśli tak znajdź go

40. prosta l₁ jest równoległa do 2x-y+z=5,

41. proste l₁ , l₂ są równoległe

42. proste l₁ , l₂ są prostopadłe

43. proste l₁ , l₂ są skośne

44. płaszczyzny 2x-y+z=5, 2x-3y=7 są równoległe

45. płaszczyzny 2x-y+z=5, 2x-3y=7 przecinają się pod katem α