Zadania z Fizyki I dla Wydziału Mechatroniki

Kinematyka

1. Ruch punktu w przestrzeni dany jest układem równań:

x=bt

y=ct

z=dt²

gdzie b, c, d -stałe dodatnie.

Znaleźć i narysować tor punktu oraz wartość prędkości, z jaką punkt oddala się od początku układu współrzędnych.

2. Punkt materialny porusza się w płaszczyźnie xy, przy czym jego ruch opisany jest równania

x=at

y=bt-ct²,

gdzie a=50cm/s, b=200cm/s, c=25cm/s². Znaleźć po upływie czasu t=3s

1. prędkość i przyśpieszenie punktu

2. kąt między wektorami prędkości i przyśpieszenia

4. Z jakiej wysokości należy puścić swobodnie ciało, aby zostało trafione przez pocisk wystrzelony z armaty z prędkością v₀ pod kątem α do poziomu, jeśli armata znajduje się w odległości d od miejsca przewidywanego upadku ciała?

5. Z jaką prędkością należy wystrzelić pocisk z armaty ustawionej pod kątem α, aby trafił on w ciało puszczone swobodnie jednocześnie z wystrzałem. Ciało znajduje się na przedłużeniu osi armaty.

6. Balon powietrzny odrywa się od powierzchni Ziemi i unosi pionowo w górę ze stała prędkością v_o. Wiatr nadaje mu prędkość poziomą v_x = ay, gdzie a jest stałą. a y - wysokość balonu. Znaleźć tor x(y) oraz przyśpieszenie balonu.

7. Cząstka porusza się w dodatnim kierunku osi OX. Jej prędkość v zależy od współrzędnej x i jest określona wzorem: v = ax, gdzie a- stała. Wyznaczyć :

1. zależność prędkości v (t) i przyspieszenia a (t) od czasu t

2. średnią prędkość cząstki w czasie, w którym przebędzie ona pierwszych s metrów drogi.

Przyjąć x (0) = x₀.

I, II i III zasada dynamiki

1. Cząstka o masie m = 3 kg porusza się po wpływem siły F zależnej od czasu w sposób następujący:

F=(15t, 3t-12, -6t²) N

Przyjmując warunki początkowe: r_o= (5,2,-3) m, v_o= (2,0,1) m/s znaleźć zależność położenia i prędkości cząstki od czasu.

2. Równania ruchu cząstki o masie m=0.5 kg są następujące:

x=5t² -t

y=2t³

z=-3t+2

Znaleźć zależność od czasu prędkości cząstki, pędu, przyśpieszenia, siły działającej na cząstkę oraz mocy przekazywanej cząstce.

3. Kamień o masie m wrzucono z prędkością v_o do studni, w której poziom wody znajduje się na głębokości d. Zakładamy, że kamień w powietrzu spada swobodnie, natomiast w w odzie działa na niego siła oporu proporcjonalna do prędkości F=-kv. Wyznaczyć zależność położenia, prędkości i przyśpieszenia kamienia od czasu.

4. Człowiek o masie 80 kg osiąga przy spadaniu swobodnym w powietrzu v_k=50m/s. Spadochroniarz o tej samej masie osiąga v_k=5 m/s. Jakie są wartości współczynnika oporu w tych przypadkach? Ile wyniesie droga przebyta w czasie t=10s jeśli prędkość początkowa jest równa zeru?

5. Rzucono pionowo w górę z prędkością v_o piłkę o masie m. Siła oporu powietrza działająca na piłkę dana jest wzorem F = -kv. Znaleźć równanie ruchu piłki, czas lotu do najwyższego punktu toru i położenie tego punktu.

6. Żaglówka o masie m porusza się ze stała prędkością v_o. Po zwinięciu żagla działa na nią tylko siła oporu proporcjonalna do kwadratu prędkości F =-kv². Na jakiej drodze jej szybkość spadnie do połowy?

7. Tramwaj składa się z dwóch wagonów o masach m₁ i m₂, z których tylko pierwszy ma silnik. Siła tarcia działająca na koła wagonu motorowego jest równa T. Z jaką siła wagon motorowy ciągnie drugi wagon?

8. Na stojącej platformie o masie M i długości l umieszczony jest ciężar o masie m. W chwili t=0 na ciężar zaczyna działać stała siła F. Jakie będzie przyśpieszenie platformy oraz ciężaru, jeśli współczynnik tarcia między nimi wynosi f? Po jakim czasie ciężar zostanie ściągnięty z platformy?

9. Platforma o masie M i długości L porusza się ze stałą prędkością v_o. W pewnej chwili na początku platformy położono kamień. Jaki warunek musi spełniać współczynnik tarcia między platformą a kamieniem aby kamień z niej nie spadł?

10. Na gładkiej poziomej płaszczyźnie leży deska o masie M a na niej klocek o masie m. Do klocka przyłożono siłę F=bt (b=const.). Znaleźć zależność przyśpieszenia deski i klocka od czasu, jeśli współczynnik tarcia między deską a klockiem wynosi k. Sporządzić wykres.

11 Znależć efektywny współczynnik tarcia kół samochodu o nawierzchnię drogi, jeśli wiadomo, że przy szybkości samochodu v= 10 m/s droga hamowania wynosiła s= 8 m. Przyjąć, że podczas hamowania samochód poruszał się ruchem jednostajnie opóżnionym.

Przyjąć przyspieszenie ziemskie g= 10 m/s².

12. Ciało o ciężąrze 100 N porusza się pod wpływem zmiennej siły F= p(q-t), gdzie p=100N/s, q=1s. Po jakim czasie ciało zatrzyma się, jeżeli w chwili t=0 prędkość jego wynosiła v₀ = 0.2 m/s, a siła miała kierunek prędkości. Jaką drogę przebędzie ciało do chwili zatrzymania się ?

Zasady zachowania pędu, momentu pędu i energii

1. Poruszająca się kulka o masie m₁ zderza się sprężyście z nieruchomą cząstką o masie m₂. Znaleźć względną zmianę energii kinetycznej cząstki poruszającej się, jeśli

1. po zderzeniu porusza się ona pod kątem prostym względem pierwotnego kierunku

2. zderzenie jest centralne

2. Lecąca poziomo kula o masie m utkwiła w belce o masie M zawieszonej poziomo na dwóch jednakowych linach o długości l, w wyniku czego liny odchyliły się o kąt θ . Zakładając, że m<<M znaleźć prędkość kuli przed zderzeniem i względną część pierwotnej energii kuli, która została zamieniona na ciepło.

3. Jednorodna tarcza o masie M i promieniu R obraca się swobodnie wokół nieruchomej osi przechodzącej przez jej środek. Wzdłuż promienia tarczy zamocowana jest prowadnica, po której może poruszać się bez tarcia niewielka masa m. Do masy m przymocowana jest cienka nić, której drugi koniec przewleczony jest w dół przez otwór w środku tarczy. W chwili początkowej masa znajdowała się na skraju tarczy poruszającej się z prędkością kątową ω_o. Następnie do dolnego końca nici przyłożono siłę F, która spowodowała wolne przyciągnięcie nici do środka tarczy. Obliczyć prędkość kątową układu w funkcji odległości r masy od środka tarczy. Jaką pracę wykonała siła F na przyciągnięcie masy do środka tarczy?

4. Dwie poziome tarcze obracają się swobodnie względem pionowej osi przechodzącej przez środek. Ich o momenty bezwładności wynoszą I₁ i I₂ względem osi obrotu, a prędkości kątowe ω₁ i ω₂. W pewnej chwili tarcza górna spadła na dolną, i dzięki tarciu pomiędzy ich powierzchniami po pewnym czasie zaczynają obracać się razem. Obliczyć ich wspólna prędkość kątową oraz pracę wykonaną przez siły tarcia.

5. Zamocowany jednym końcem pod sufitem pręt o masie M i długości L został puszczony swobodnie. W momencie przechodzenia przez pozycję pionową pręt uderzył w spoczywający na poziomej powierzchni klocek o masie m i. Pręt po zderzeniu odchylił się o kąt Θ od pionu. W jakiej odległości zatrzyma się klocek, jeśli współczynnik tarcia klocka o podłoże wynosi μ.

6. Kulka o masie m poruszająca się z prędkością v_o zderza się sprężyście z jedną z kul doskonale sprężystej hantli. zderzenie jest centralne. Masa każdej z kul hantli wynosi m/2, a odległość między nimi jest równa l. Zaniedbując rozmiary kul znaleźć moment pędu hantli względem jej środka masy.

7. Jednorodna cienka kwadratowa płyta o boku l i masie M może obracać się wokół nieruchomej, pionowej osi przechodzącej przez jeden jej bok. W środek płyty trafia kulka o masie m, lecąca z prędkością v. Zderzenie jest sprężyste. Obliczyć prędkość kulki po zderzeniu i poziomą składową siły, jaką oś będzie działać na płytę po zderzeniu.

8. Pręt o długości l i masie M leży na gładkim stole. Krążek hokejowy poruszający się z prędkością v uderza w pręt prostopadle w odległości d od jego końca. Zderzenie jest sprężyste. Znaleźć ruch pręta i krążka po zderzeniu. Jaka musi być masa krążka, aby pozostał w spoczynku po uderzeniu?

9. Gładki, jednorodny pręt AB o masie M i długości l obraca się swobodnie wokół pionowej osi przechodzącej przez punkt A. Z punktu A zaczyna ześlizgiwać się nawleczona na pręt niewielka masa m. Znaleźć prędkość tej masy względem pręta w chwili, gdy znajdzie się ona w punkcie B.

10. Pionowy pręt o długości l i masie M może się obracać wokół swego górnego końca. Lecąca poziomo kula o masie m trafiła w dolny koniec pręta i utkwiła w nim. Pręt wskutek zderzenia odchylił się o kąt α. Przyjmując, że m<<M obliczyć prędkość lecącej kuli oraz zmianę pędu układu pręt-kula w czasie zderzenia. W jakiej odległości od górnego kończ pręta powinna trafić kula aby pęd układu nie uległ zmianie podczas zderzenia?

11. W górną krawędź prostopadłościanu o wymiarach lxlx2l o masie M leżącego poziomo w polu sił ciężkości uderza kulka o masie m lecąca z prędkością v. Przyjmując, że krawędź KK' prostopadłościanu jest umocowana do podłoża oraz że zderzenie jest sprężyste, a kulka odlatuje do tyłu, znaleźć prędkość kątową, którą uzyskuje klocek w chwili zderzenia. Jaka jest minimalna prędkość kulki, potrzebna do postawienia klocka pionowo?

12. W dolny koniec zawieszonego pod sufitem pręta o masie M i długości L uderza całkowicie niesprężyście lecąca poziomo kula o masie m i prędkości v. O jaki kąt od pionu odchyli się pręt?

13. Obliczyć ilość ciepła, która wydziela się podczas wbicia się pocisku o masie m lecącego poziomo z prędkością v w kloc drewna o masie M zawieszony na linie o długości L, jeśli po uderzeniu odchyla się on o kąt α od poziomu?

Pole grawitacyjne

1. Obliczyć energię potencjalną ciała o masie m znajdującego się w polu grawitacyjnym Ziemi i Księżyca. Masa Ziemi M_Z, a masa Księżyca M_K ( M_{Z =} 81 M_K ) , odległość ciała od Ziemi R_Z, a Od środka Księżyca r. Odległość między Ziemią a Księżycem wynosi d= 380.000 km. W którym punkcie ( lub punktach ) natężenie pola grawitacyjnego wytworzonego przez Ziemię i Księżyc będzie równe zeru ? Jaka będzie energia potencjalna oraz natężenie pola dla ciała o masie m, gdy znajdzie się ono na powierzchni Ziemi ? i na powierzchni Księżyca ? Czy to są jedyne odpowiedzi ? Jaką prędkość musi mieć ciało wystrzelone z powierzchni Ziemi, aby osiągnąć powierzchnię Księżyca?

2. Każda z gwiazd wchodzących w skład gwiazdy podwójnej ma masę 3*10³³ kg. Obracają się one wokół ich wspólnego środka masy w odległości 10¹⁷ m od niego.

1. jaka jest ich wspólna prędkość kątowa ?

2. jeśli meteoryt przechodzi przez środek masy, prostopadle do linii łączącej gwiazdy, jaka musi być jego prędkość, aby mógł uciec z pola grawitacyjnego gwiazdy podwójnej ?

3. Mała planeta porusza się po torze eliptycznym wokół gwiazdy o masie M. Gwiazda znajduje się w jednym z ognisk elipsy. Obliczyć prędkość planety w punktach maksymalnego i minimalnego oddalenia od gwiazdy.

4. Obliczyć średnią gęstość Ziemi, jeśli wiadomo, że promień Ziemi R = 6, 37 *10³ km, a przyspieszenie ziemskie g = 9,81 m/s² ?

5. Udowodnić, że ruch w polu grawitacyjnym jest ruchem płaskim.

6. Z fikcyjnego wzniesienia znajdującego się na biegunie Ziemi wystrzelono dwa pociski o jednakowej prędkości v₀ . Początkowa prędkość jednego z nich ma kierunek promienia Ziemi, a prędkość drugiego ma kierunek prostopadły do promienia ziemskiego i pocisk ten porusza się po torze eliptycznym. Który pocisk osiągnie największą odległość od Ziemi? Obliczyć stosunek R₁ / R₂ maksymalnych odległości od Ziemi obu pocisków. Prędkość v_{0 >}√gR₀, gdzie R₀ promień Ziemi. Opór powietrza zaniedbać.

Kinematyka i dynamika relatywistyczna

1. Znaleźć taki przedział prędkości, dla którego wnioski ze szczególnej teorii względności pokrywają się z wnioskami z mechaniki klasycznej z dokładnością do 1%

2. Względem układu O porusza się ze stała prędkością v wzdłuż osi x układ O'. W układzie O' znajduje się pręt o długości l_o tworzący kąt ϕ' z osią x'. Jaką długość pręta i jaki kąt zmierzy obserwator O?

3. Objętość sześcianu, spoczywającego w układzie laboratoryjnym wynosi 1m³. Ile będzie wynosiła objętość tego sześcianu, gdy będzie się poruszał z prędkością v=0.5c?

4. Cząstka elementarna porusza si ę z prędkością v=0.9c. Jqką drogę przebędzie cząstka poruszająca się od momentu jej powstania do momentu rozpadu, je śli jej własny czas życia wynosi 10^-6 s?

5. Obliczyć, z jaką prędkością zostały wyprodukowane leptony μ w atmosferze, na wysokości 44 km nad Ziemią, jeśli detektory cząstek zarejestrowały je tuż nad poziomem morza. Czas życia leptonu wynosi 2.2 10^-6 s.

6. Dwie żarówki znajdujące się w układzie laboratoryjnym (x₁=1; x₂=10 km) wysyłają w chwili t=0 pojeduncze impulsy świetlne. Impulsy te są rejestrowane z UFO poruszającego się z prędkością v=3 10⁷ m/s w kirunku +x. Jaki przedział czasowy między impulsami zarejestruje obserwator z UFO? Która żarówka dla obserwatora z UFO pierwsza wyemitowała sygnał?

7. W tym samym miejscu korony słonecznej w odstępie 12s nastąpiły dwa wybuchy. Rakieta poruszająca się ze stałą prędkością względem słońca zarejestrowała obydwa te zdarzenia w odstępie 13s. Ile wynosi odległość przestrzenna między wybuchami w układzie związanym z poruszającą się rakietą? Jaką wartość i kierunek ma wektor prędkości rakiety?

8. Po 10 s od chwili wybuchu wulkanu na Ziemi zaobserwowano proturberancję na Słońcu. Czy może istnieć związek przyczynowy między tymi zdarzeniami? Czy istnieje taki układ odniesienia, w którym wybuch wulkanu nastąpiłby w tym samym czasie co proturberancja?

9. Czy można znaleźć taki układ odniesienia, w którym Chrzest Polski oraz bitwa pod Grunwaldem zaszłyby

1. w tym samym miejscu?

2. w tym samym czasie?

10. Z rakiety poruszająca się z prędkością v=0.6c wystrzelono pocisk z prędkością u=0.8c względem rakiety pod kątem α' = 60^o w stosunku do jej osi. Jaka będzie prędkość i kąt pocisku względem zewnętrznego układu O, w którym oś x pokrywa się z kierunkiem prędkości rakiety.

11. W układzie O emitowane są fotony w ten sposób, że kierunek ich pędu tworzy kąt ϕ z osią x. Układ O' porusza się z prędkością v wzdłuż osi x. Znaleźć kąt ϕ' fotonu w układzie O'.

12. W układzie O' związanym z rakietą poruszającą się z prędkością v względem układu O wyemitowano wiązkę światła wzdłuż osi y'. Pod jakim kątem w stosunku do osi y zaobserwuje się ją w układzie O?

13. Ile wynosi masa oraz pęd protonu o energii 10²⁰ eV pochodzącego z promieniowania kosmicznego?

14. Z jaką prędkością musi poruszać się elektron, aby jego energia kinetyczna równała się energii spoczynkowej?

15. Wyrazić wartość pędu cząstki relatywistycznej przez jej energię kinetyczną.

16. Akcelerator liniowy w Stanford przyśpiesza elektrony do takich prędkości, dla których 1-v/c ≈ 10^-10. Kanał akceleratora ma długość 3000 m. Obliczyć, jaką długość kanału zmierzy obserwator związany z przyśpieszanymi elektronami.

17. Znaleźć prędkość cząstki o masie spoczynkowej m_o i ładunku e po przejściu stałej różnicy potencjałów V. Zbadać granicę klasyczną (v<<c) i ultrarelatywistyczną (v≈c) wyniku. Posługując się wynikami obliczyć prędkości

1. elektronów w lampie elektronowej (300 eV)

2. elektronów w synchrotronie o energii 300 MeV

3. protonów w synchrocyklotronie o energii 680 MeV

4. protonów w synchrofazotronie o energii 10 GeV

18. Korzystając z zasady zachowania pędu w ujęciu relatywistycznym. obliczyć ile wynosiłby przyrost masy spoczynkowej dwóch jednakowych kul o masie spoczynkowej m_o, zderzających się centralnie i idealnie niesprężyście. Prędkości kul przed zderzeniem w układzie laboratoryjnym są skierowane wzdłuż osi x i wnoszą: v₁= 0.4c i v₂=-0.4c.

19. Jaką przyśpieszającą różnicę potencjałów powinno przebyć naładowane niewielkie ciało o ładunku q = 2 10^-10 C i masie spoczynkowej m_o=3 10^-14 kg, aby jego wymiary podłużne w kierunku ruchu zmalały o ¼?

20. W akceleratorze wiązek przeciwbieżnych dwa elektrony poruszają się naprzeciw siebie z prędkościami v=0.8c. Obliczyć energie i pęd tych elektronów w układzie laboratoryjnym i w układzie związanym z jednym z nich.

21. W promieniowani kosmicznym spotyka się protony o energii 10¹¹ GeV. Ile czasu potrzebuje taki proton na przelecenie przez całą naszą Galaktykę, jeśli czas ten mierzymy w układzie odniesienia związanym odpowiednio

1. z Ziemią

2. z samym protonem.

Średnicę naszej Galaktyki szacuje się na 10⁵ lat świetlnych.

22. Mezon π znajdujący się w spoczynku rozpada się na mezon μ i neutrino. Energia spoczynkowa mezonu π wynosi M_oc²= 136 MeV, a mezonu μ - m_oc²=104 MeV. Neutrino jest cząstką o zerowej masie spoczynkowej. Obliczyć energię kinetyczną i pęd powstałych cząstek.

23. Względem układu laboratoryjnego O wzdłuż osi x leci mezon π^o o energii całkowitej równej podwojonej energii spoczynkowej mezonu E= 2m₀c². Mezon π^o rozpada się następnie na dwa fotony. Znaleźć energię i kąt jaki tworzą rozlatujące się fotony z osią x w układzie laboratoryjnym O i w układzie związanym z samym mezonem O'.

---