STATYSTYKA MATEMATYCZNA

1. Wyjaśnij różnice między statystyką opisową a statystyką matematyczną.

Statystyka opisowa zajmuje się metodami badania zjawisk masowych, natomiast statystyka matematyczna zajmuje się metodami wnioskowania o całej zbiorowości statystycznej na podstawie zbadania pewnej jej części zwanej próbą.

1. Zdefiniuj następujące pojęcia

1. zbiorowość statystyczna– zwana też populacją generalną, to zbiór jednorodnych elementów objętych badaniem statystycznym,

2. populacja generalna – to zbiór dowolnych elementów, nieidentycznych z punktu widzenia badanej cechy

3. próba statystyczna– to podzbiór populacji podlegający bezpośrednio badaniu ze względu na ustalona cechę,

4. cecha statystyczna – to właściwości charakteryzujące jednostki badanej zbiorowości,

5. zmienna losowa - jest funkcją mierzalną jednoznacznie określoną na zbiorze zdarzeń elementarnych, przyjmującą wartości ze zbioru liczb rzeczywistych, która przyporządkowuje wartości liczbowe wynikom doświadczenia losowego. Jest numerycznym opisem wyniku eksperymentu.

1. Co to jest rozkład zmiennej losowej, jakie są podstawowe charakterystyki tego rozkładu?

Rozkład zmiennej losowej to w przypadku zmiennej losowej ciągłej przyporządkowanie prawdopodobieństw wartościom z określonego przedziału, czyli otoczenia tych wartości. W przypadku zmiennej losowej skokowej to przyporządkowanie konkretnym wariantom tej zmiennej odpowiadających im prawdopodobieństw.

Podstawowe charakterystyki rozkładu to funkcja rozkładu prawdopodobieństwa i dystrybuanta.

1. Podaj znane Ci przykładowe rozkłady teoretyczne zmiennej losowej skokowej i ciągłej.

Rozkłady teoretyczne zmiennej losowej skokowej:

- rozkład zero-jedynkowy,

- rozkład jednostajny,

- rozkład dwumianowy,

- rozkład Poissona.

Rozkłady teoretyczne zmiennej losowej ciągłej:

- rozkład prostokątny,

- rozkład normalny.

1. Omów metody, schematy i techniki losowania elementów do próby.

Metody losowania jednostek do próby:

- losowanie niezależne i zależne -w losowaniu zależnym jednostka wylosowana za każdym razem wraca do populacji, a zatem nie zmieniają się warunki losowania kolejnych jednostek,

- losowanie indywidualne i zbiorowe zw. zespolonym - jednostka losowania jest jednocześnie jednostką badaną, losuje się pojedyncze elementy z populacji generalnej,

- losowanie jednoetapowe i wieloetapowe –losuje się bezpośrednio jednostki badania, występuje wiele etapów, a do tego dochodzą zmienne ilości w poszczególnych etapach,

- losowanie ograniczone i nieograniczone – odbywa się z poszczególnych części populacji generalnej, nieograniczone natomiast odbywa się z całej populacji.

Schematy losowania elementów do próby:

- losowanie proste ( indywidualne, nieograniczone, niezależne),

- losowanie systematyczne (indywidualne, ograniczone, zależne),

- losowanie warstwowe ( indywidualne, ograniczone, niezależne).

Techniki losowania:

- na chybił-trafił,

- poprzez wykorzystanie tablic liczb losowych,

- wykorzystanie komputera ( generatory liczb losowych)

1. Omów zagadnienie ustalania wielkości próby dla celów estymacji.

W praktycznych zastosowaniach rachunku estymacyjnego w zasadzie nie mamy możliwości pobierania wielu prób z danej populacji generalnej, a niejednokrotnie nie jest to nawet wskazane. Na ogół pobiera się tylko jedną n-elementową próbę i na podstawie jej wyników szacuje się nieznane parametry populacji generalnej. Przyjęcie do badań zbyt dużej liczby próby pociąga za sobą znaczne koszty, przedłuża czas opracowywania wyników, opóźnia okres realizacji praktycznych wyników wynikających z przeprowadzonego badania. Natomiast ustalenie zbyt małej próby nie zapewnia żądanej dokładności i wiarygodności wnioskowania, co może nawet przekreślić użyteczność całego badania. Przystępując do ustalenia minimalnej liczebności próby należy przyjąć w zależności od celu badania poziom współczynnika ufności. Jeżeli jest konieczna wysoka wiarygodność badania, przyjmuje się współczynnik ufności niewiele różniący się od jedności, i na odwrót. Należy przy tym zdawać sobie sprawę z tego, że przyjęcie wysokiego poziomu współczynnika ufności powoduje w konsekwencji zwiększenie długości przedziału ufności, a tym samym zmniejszenie dokładności oszacowania. Aby otrzymać żądaną wiarygodność i dokładność szacunku, należy przed podjęciem badania ustalić minimalną liczebność próby.

Niezbędna liczebność próby przy szacowaniu średniej m w populacji.

$$\overset{\overline{}}{X} - z_{\alpha}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} < m < \overset{\overline{}}{X} + z_{\alpha}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

Długość przedziału, a tym samym dokładność przedziałowej estymacji średniej zależy od trzech czynników: od wartości odchylenia standardowego cechy X w populacji, od poziomu współczynnika ufności (1-α) oraz od liczebności próby (n). Dokładność estymacji można zatem „regulować” za pomocą współczynnika ufności oraz liczebności próby.

1. Wyjaśnij znaczenie wielkości próby w procesie weryfikacji hipotez statystycznych.

Weryfikacja hipotez statystycznych odbywa się poprzez stosowanie narzędzia służącego do jego weryfikacji tj. testu statystycznego. Stanowi to regułę postępowania, która każdej możliwej próbie losowej przyporządkowuje decyzję przyjęcia lub odrzucenia sprawdzanej hipotezy.

1. Wyjaśnij co rozumiesz pod pojęciem wnioskowanie statystyczne?

Wnioskowanie statystyczne to proces myślowy polegający na formułowaniu sądów dotyczących całej zbiorowości, czyli populacji generalnej na podstawie wyników z próby. Wnioskowanie statystyczne obejmuje:

*w zakresie analizy struktury zjawisk masowych:

- estymację parametrów populacji,

- weryfikację hipotez statystycznych dotyczące parametrów i rozkładów zmiennych.

*w zakresie zależności zjawisk masowych-wnioskowanie dotyczące:

- korelacji,

- regresji,

*w zakresie dynamiki zjawisk:

- wnioskowanie określane mianem prognozowania.

1. Jakie zagadnienia wchodzą w skład wnioskowania statystycznego w zakresie analizy struktury zjawisk?

W zakresie analizy struktury zjawisk wnioskowanie statystyczne obejmuje:

- estymację (szacowanie) parametrów populacji,

- weryfikacje hipotez statystycznych dotyczących parametrów i rozkładów zmiennych.

1. Jakie zagadnienia wchodzą w skład wnioskowania statystycznego w zakresie analizy korelacji?

W skład wnioskowania statystycznego w zakresie analizy korelacji wchodzą następujące zagadnienia:

*dwuwymiarowy rozkład normalny.

*weryfikacja hipotez statystycznych.

- test niezależności χ²,

- test istotności dla współczynnika korelacji liniowej Pearsona p_xy,

- test istotności dla stosunków korelacyjnych Pearsona n_xy, n_yx,

- test istotności dla współczynnika korelacji rang Spearmana p_s.

1. Jakie zagadnienia wchodzą w skład wnioskowania statystycznego w zakresie analizy regresji?

-szacowanie (estymacja) parametrów metodą najmniejszych kwadratów
-miary dokładności oszacowanego modelu regresji liniowej:

Model regresji liniowej informuje o ogólnej tendencji zależności Y względem X. Odchylenia nieuruchomione punktów empirycznych wokół linii regresji są wykorzystywane do analizy regresji. Reszty ( stopień rozproszenia punktów empirycznych wokół linii regresji) służą do określenia dokładności dopasowania oszacowanego modelu regresji liniowej do danych empirycznych.

Do zagadnień, które są wykorzystywane do oszacowania modelu regresji zaliczamy:

*Wariancję resztową S²(u) i odchylenie standardowe reszt S(u) – jest to pierwiastek kwadratowy z wariancji resztowej. Odchylenia informuje, że wartości empiryczne zmiennej objaśnianej y_i różnią się od wartości teoretycznych otrzymanych na podstawie modelu regresji, średnio o S(x). odchylenie jest miarą bezwzględną

*Współczynnik zmienności losowej Vu - jest miarą względna wielkości odchyleń wokół linii regresji. Informuje jaki procent średniej arytmetycznej zmiennej objaśnianej stanowi odchylenie standardowe reszt.

*Współczynnik determinacji R² informuje o tym, jaka część całkowitej zmienności zmiennej objaśnianej została wyjaśniona przez oszacowany model regresji. Jeżeli R² przekracza wielkość graniczną to można uznać, że stopień dopasowania modelu do danych empirycznych jest wysoki. Wzór:

*Współczynnik zbieżności φ² - przyjmuje wartości z przedziału [0, 1], informuje on jaka część całkowitej zmienności zmiennej objaśnianej nie jest wyjaśniona przez model. Dopasowanie modelu do danych jest tym lepsze im mniejsze jest φ².

-weryfikacja w modelu regresji liniowej

-wykorzystanie modelu regresji

1. Wskaż elementy wnioskowania statystycznego w procedurze budowy modelu ekonometrycznego.

Elementy wnioskowania w procedurze budowy modelu ekonometrycznego:
- specyfikacja
- identyfikacja
- zebranie materiału statystycznego
- estymacja parametrów
- weryfikacja modelu
- zastosowanie modelu – praktyczne wykorzystanie
Estymacja parametrów i weryfikacja jest elementem wnioskowania w budowie modelu ekonometrycznego.

1. Co rozumiesz pod pojęciem estymacji parametrów populacji generalnej? Podaj przykład.

To szacowanie ocen nieznanych parametrów opisujących rozkład zmiennej w populacji generalnej przy czym ocena ta dokonywana jest na podstawie danych z próby wylosowanej z tej zbiorowości. Parametry obliczane z danych z próby nazywane są estymatorami parametrów populacji generalnej, jednak jest to określenie nieścisłe.

1. Zdefiniuj pojęcie estymatora i omów jego własności. Wskaż na odpowiednie estymatory dla wartości oczekiwanej.

Estymator to funkcja matematyczna w oparciu o którą można wyliczyć ocenę wartości interesującego nas parametru. Inaczej estymator, to funkcja wyników obserwacji dokonanych na zmiennej losowej X, na podstawie której wnioskujemy o wartości parametru Q w populacji generalnej.

1. Wyjaśnij na czym polega estymacja punktowa. Podaj przykład.

Estymacja punktowa to metoda szacunku nieznanego parametru Q populacji, polegająca na tym, że jako wartość parametru Q przyjmuje się wartość estymatora Z tego parametru, otrzymaną z danej, n-elementowej próby losowej.

Przykład.

Q=E(x)

E(x) =$\overline{x}$ ±D($\overline{x}$)

gdzie D($\overline{x}$) to średni błąd szacunku parametru Q.
Prawdopodobieństwo tego, że estymator przyjmie wartość równa wartości szacowanego parametru jest równe 0. oznacza to, że punktowe oceny parametrów uzyskiwane z prób losowych z reguły różnią się od wartości tych parametrów w populacji generalnej. Ponadto przy estymacji punktowej nie jesteśmy w stanie ustalić stopnia ufności co do prawdziwości uzyskanych wyników.

1. Omów estymację punktową dla wartości oczekiwanej.

Polega na wyborze odpowiedniego estymatora, wyliczeniu na podstawie próby jego wartości, która jest oceną szacowanego parametru oraz określeniu średniego błędu szacunku.

1. Wyjaśnij na czym polega estymacja przedziałowa. Podaj ogólną postać przedziału ufności.

Estymacja przedziałowa polega na zbudowaniu tak zwanego przedziału ufności, który z określonym prawdopodobieństwem pokrywa wartości szacowanego parametru populacji generalnej. Prawdopodobieństwo to określa się jako współczynnik ufności i oznacza jako 1-α.

Ogólna postać przedziału ufności: P{T₁<T_n<T₂} = 1-α

1. Zdefiniuj pojęcie współczynnika ufności. Wpływ współczynnika ufności na precyzję i wiarygodność szacunku.

Współczynnik ufności to prawdopodobieństwo 1-α występujące po prawej stronie wzoru na przedział ufności, a oznaczające prawdopodobieństwo, z jakim parametr Q jest pokryty tym przedziałem. Współczynnik ufności w praktyce wybiera się jako dowolnie duże prawdopodobieństwo. Najczęściej przyjmowanymi współczynnikami są liczby 0.90, 0.95, 0.99. im bliższy jest współczynnik ufności wartości 1, tym szerszy otrzymuje się przedział ufności. Dlatego tez bez specjalnej potrzeby nie należy przyjmować zbyt wysokich wartości współczynnika ufności.

1. Zapisz przedział ufności dla wartości oczekiwanej w przypadku małej próby. Wyjaśnij poszczególne elementy zapisu.

$P\{\overset{}{X}$ - $u_{\alpha}\ \frac{D(X)}{\sqrt{n}}$< E(X) < $\overset{}{X}$ + u_α $\frac{D(X)}{\sqrt{n}}$} = 1 – α

u_α – wartość zmiennej określona dla prawdopodobieństwa

D(X) – odchylenie standardowe populacji

E(X) – estymator

X- średnia z próby losowej

n – liczebność próby losowej

1. Zapisz przedział ufności dla wartości oczekiwanej w przypadku dużej próby. Wyjaśnij poszczególne elementy zapisu.

$P\{\overset{}{X}$ - $u_{\alpha}\ \frac{S}{\sqrt{n}}$< E(X) < $\overset{}{X}$ + u_α $\frac{S}{\sqrt{n}}$} = 1 – α

u_α – wartość zmiennej losowej

S – odchylenie standardowe populacji

E(X) – estymator

X- średnia z próby losowej

n – liczebność próby losowej

1. Zapisz przedział ufności dla odchylenia standardowego w przypadku dużej próby. Wyjaśnij w jaki sposób szacuje się wariancję na podstawie dużej próby?

P $\left\{ S - u_{\alpha}\ \frac{S}{\sqrt{2n}} < \ D^{2}\left( X \right) < S + u_{\alpha}\ \frac{S}{\sqrt{2n}}\ \right\}$ = 1- α

W przypadku, gdy mamy do czynienia z liczną populacją próby i rozkład badanej cechy nie podważa zgodności rozkładu cechy w populacji generalnej z rozkładem normalnym obliczamy z próby oszacowania odchylenia standardowego.

1. Zapisz przedział ufności dla odchylenia standardowego w przypadku małej próby. Wyjaśnij w jaki sposób szacuje się wariancję na podstawie małej próby?

P $\left\{ \frac{\left( n - 1 \right){\hat{S}}^{2}}{X_{\frac{\alpha}{2},\ n - 1}^{2}}\ < \ D^{2}(X) < \ \frac{\left( n - 1 \right){\hat{S}}^{2}}{X_{1 - \frac{\alpha}{2},\ n - 1}^{2}} \right\}$ = 1- α

1. Zapisz przedział ufności dla wskaźnika struktury. Podaj objaśnienia stosowanych symboli.

$P\{\frac{m}{n}$ - $u_{\alpha}\sqrt{\frac{\frac{m}{n}\ (\ 1 - \ \frac{m}{n})}{n}}$< p <$\frac{m}{n}$ + $u_{\alpha}\sqrt{\frac{\frac{m}{n}\ (\ 1 - \ \frac{m}{n})}{n}}$ } = 1 – α

u_α – statystyka spełniająca warunek

m – liczba elementów w próbie

n – liczba obserwacji

p – wskaźnik struktury

P{ - u_α< p < u_α} = 1 – α gdzie U jest zmienną losową o rozkładzie nominalnym N (0,1)

1. Jak rozumiesz zagadnienie weryfikacji statystycznej?

Weryfikacja statystyczna to jeden z rodzajów wnioskowania statystycznego, który dotyczy rodzaju badanej cechy w zbiorowości generalnej. W trakcie każdej konkretnej weryfikacji stawiamy dwie hipotezy:
a) hipotezę zerową – jest to hipoteza formułowana w celu jej bezpośredniego sprawdzenia,
b) hipotezę alternatywną – jest to hipoteza przeciwna do hipotezy zerowej.
Ogólny zapis układu hipotez statystycznych: H₀: A = B

H₁: A ≠ B – dwustronna hipoteza alternatywna

lub H₁: A > B

lub H₁: A < B – jednostronna hipoteza alternatywna

gdzie A – parametr populacji generalnej
B – wniosek z próby
Hipotezy statystyczne sprawdzamy na podstawie wyników z próby losowej.
Dopuszczając określony błąd w tego rodzaju wnioskowaniu, narzędziem służącym do weryfikacji hipotez statystycznych jest test statystyczny.

1. Zdefiniuj pojęcie hipotezy statystycznej.

Hipoteza statystyczna to każde przypuszczenie dotyczące postaci rozkładu zmiennej losowej lub parametrów go opisujących w populacji generalnej.

1. Czym różnią się hipotezy parametryczne od nieparametrycznych?

Hipotezy parametryczne to hipotezy statystyczne precyzujące wartość parametru w rozkładzie populacji generalnej znanego typu, natomiast hipoteza nieparametryczna to hipoteza precyzująca typ rozkładu populacji generalnej.

1. Wyjaśnij czym są błędy I i II rodzaju.

Błąd I rodzaju to prawdopodobieństwo warunkowe odrzucenia hipotezy zerowej, przy założeniu, że jest ona prawdziwa.

Błąd II rodzaju oznacza prawdopodobieństwo warunkowe przyjęcia hipotezy zerowej, pod warunkiem że prawdziwa jest hipoteza alternatywna.

1. Co to jest test statystyczny? Scharakteryzuj test statystyczny jako zmienną losową.

Test statystyczny to pewna reguła postępowania, która każdej próbie losowej przyporządkowuje decyzję przyjęcia lub odrzucenia dopuszczalnej hipotezy.
Pozwalają oszacować prawdopodobieństwo spełnienia pewnej hipotezy statystycznej w populacji na podstawie próby losowej z tej populacji.
a)Testy parametryczne służą one do weryfikacji hipotez parametrycznych, odnoszących się do parametrów rozkładu badanej cechy w populacji generalnej. Najczęściej weryfikują sądy o takich parametrach populacji jak średnia arytmetyczna, wskaźnik struktury i wariancja. Testy te konstruowane są przy założeniu znajomości postaci dystrybuanty w populacji generalnej. Biorąc pod uwagę zakres ich zastosowań, testy te można podzielić na dwie grupy:
*Testy parametryczne służące do weryfikacji własności populacji jednowymiarowych, a wśród nich wyróżnia się:
-testy dla średniej
-test dla proporcji (wskaźnika struktury)
-test dla wariancji
W testach tych oceny parametrów uzyskane z próby losowej są porównywane z hipotetycznymi wielkościami parametrów, traktowanymi jako pewien wzorzec.
*Testy parametryczne służące do porównania własności dwóch populacji, do których należą:
-test dla dwóch średnich
-test dla dwóch proporcji
-test dla dwóch wariancji
Testy te porównują oceny parametrów, uzyskane z dwóch prób losowych.
b)Testy nieparametryczne służą do weryfikacji różnorodnych hipotez, dotyczących m.in. zgodności rozkładu cechy w populacji z określonym rozkładem teoretycznym, zgodności rozkładów w dwóch populacjach, a także losowości doboru próby. Biorąc pod uwagę zakres ich zastosowań, testy te można podzielić na dwie grupy:
*Testy nieparametryczne służące do weryfikacji własności populacji jednowymiarowych, a wśród nich wyróżnia się:
-test zgodności chi-kwadrat
-test zgodności λ Kołmogorowa
-test normalności Shapiro-Wilka
-test serii
Dwa pierwsze testy zgodności oceniają zgodność rozkładu empirycznego z teoretycznym, natomiast test serii (losowości) weryfikuje hipotezę o losowym pochodzeniu obserwacji badanej cechy w próbie.
*Testy nieparametryczne służące do porównania własności dwóch populacji, do których należą:
-test Kołmogorowa-Smirnowa
-test jednorodności chi-kwadrat
-test mediany
-test serii
-test znaków

1. Scharakteryzuj rozkład statystyk z prób.

Rozkład statystyk z prób jest rozkładem prawdopodobieństwa wszystkich możliwych wartości jakie ta statystyka może przyjąć, jeżeli obliczamy je na podstawie badania losowych prób o tych samych rozmiarach n, pobranych z określonej populacji.

1. Zdefiniuj pojęcie poziomu istotności.

Poziom istotności to prawdopodobieństwo popełnienie błędu pierwszego rodzaju w postępowaniu testującym hipotezę. Poziom istotności oznacza się najczęściej symbolem α i obiera się go zwykle jako małe prawdopodobieństwo. Do najczęstszych poziomów istotności należą prawdopodobieństwa 0.1, 0.05, 0.01. Odrzucenie sprawdzanej hipotezy na poziomie istotności przykładowo 0.05 oznacza, że ryzyko popełnienia błędu pierwszego rodzaju przy tej decyzji wynosi 5% - tzn. będziemy popełniać błąd co najwyżej 5 razy na 100 takich decyzji.

1. Scharakteryzuj krótko procedurę weryfikacyjną, stosowaną przy wykorzystaniu statystycznych testów istotności.

Etapy weryfikacji:

- sformułować układ hipotez składających się z hipotezy zerowej oraz hipotezy alternatywnej,

- wybrać test i obliczyć jego wartość,

- ustalić poziom istotności, czyli błąd I rodzaju,

- wyznaczyć obszar krytyczny,

- podjąć decyzję weryfikacyjną według zasad

1. Wyjaśnij, co to jest, od czego zależy i do czego służy obszar krytyczny.

Obszar krytyczny to podzbiór przestrzeni próby o tej własności, że jeżeli otrzymamy w próbie punkt przestrzeni próby należący do tego podzbioru to podejmuje się decyzję odrzucenia hipotezy zerowej. Wyznaczenie obszaru krytycznego związane jest z określeniem układu hipotez. Może być dwustronny lub jednostronny – lewostronny lub prawostronny. Przy wyznaczaniu obszaru krytycznego bierze się pod uwagę typ rozkładu statystycznego.

1. Wyjaśnij zasady podejmowania decyzji weryfikacyjnej przy stosowaniu statystycznych testów istotności.

Decyzję weryfikacyjną podejmuje się według następujących zasad:

- jeżeli U_obl. ( t_obl.) trafi do obszaru krytycznego, to H₀ należy odrzucić,

- jeżeli U_obl. ( t_obl.) znajdzie się poza obszarem krytycznym, to nie ma podstaw do odrzucenia H₀, ale nie znaczy to też że hipotezę tę przyjmujemy.

1. Wyjaśnij do czego służy prawdopodobieństwo testowe (p-value).

W klasycznym testowaniu decyzję o ewentualnym odrzuceniu hipotezy zerowej podejmujemy

na podstawie wyniku porównania empirycznej wartości statystyki testowej z wartością krytyczną odczytaną z tablic rozkładu statystyki testowej. Możemy również podjąć tą decyzję porównując wartość p–value z poziomem istotności α. Ta reguła odrzucenia jest prawdziwa dla wszystkich testów statystycznych i nie wymaga wykorzystywania tablic statystycznych. Jej powszechne stosowanie jest możliwe dzięki programom komputerowym, które dla obliczenia pola nie muszą analitycznie wyznaczać całki z funkcji gęstości. Teraz badacz nie ma problemów obliczeniowych i powinien skoncentrować się na ważnych sprawach podstawowych: formułowanie hipotez, wybór testu, realność założeń, jakość danych statystycznych, interpretacja wyników.

Niewłaściwa interpretacja wartości p-value to uznawanie jej za prawdopodobieństwo prawdziwości hipotezy zerowej.

1. Scharakteryzuj testy dla wartości oczekiwanej.

- testy dla wartości średniej populacji

a) model 1 - populacja generalna ma rozkład normalny, znane jest odchylenie standardowe populacji generalnej, z populacji generalnej losuje się n elementową próbę,

b) model 2 – populacja generalna ma rozkład normalny, odchylenie standardowe populacji nie jest znane, z populacji losowana jest mała próba,

c) model 3 – populacja generalna ma rozkład normalny lub dowolny inny o średniej i skończonej wariancji, wariancja nie jest znana, z populacji generalnej losowana jest duża próba.

- test dla dwóch średnich

a) model 1– badane są dwie populacje generalne o rozkładach normalnych, odchylenia standardowe tych populacji są znane, wylosowano niezależnie dwie próby o liczebnościach n₁n₂

b) model 2 – bada się dwie populacje generalne o rozkładach normalnych, odchylenia standardowe tych populacji nie są znane ale jednakowe, losuje się niezależnie dwie małe próby o liczebnościach n₁n₂

c) model 3 – badane są dwie populacje generalne o rozkładach normalnych lub innych ale o skończonych wariancjach, wariancje te nie są znane, losuje się dwie duże próby

1. Scharakteryzuj testy dla wariancji.

- test dla wariancji – populacja generalna ma rozkład normalny, z populacji tej losuje się niezależnie n elementową próbę,

- test dla dwóch wariancji – poddaje się badaniu dwie populacje generalne o rozkładach normalnych, parametry tych rozkładów nie są znane, z populacji tych losuje się niezależnie dwie próby o liczebnościach odpowiednio n₁ i n₂,

- test dla kilku wariancji – bada się k niezależnych populacji o rozkładach normalnych, parametry tych rozkładów nie są znane, z każdej populacji losujemy próby o liczebnościach n(n=n₁= n₂ = … =  n_k)

1. Scharakteryzuj testy dla wskaźnika struktury.

- test dla wskaźnika struktury ( tylko dla dużej próby) – populacja generalna ma rozkład dwupunktowy z parametrem p, z populacji losuje się duża próbę.

- test dla dwóch wskaźników struktury – dane SA dwie populacje generalne o rozkładach dwupunktowych z parametrami, odpowiednio p₁p₂, z obu populacji losuje się niezależnie dwie duże próby.

1. Wymień znane Ci nieparametryczne testy istotności. Scharakteryzuj test zgodnościx².

Nieparametryczne testy istotności:

- test zgodności,

- test losowości,

- test niezależności.

Test zgodności x² służy do sprawdzania hipotezy, że populacja ma określony typ rozkładu, czyli określoną postać funkcyjną dystrybuanty. Istotą stosowania testu jest porównanie liczebności rozkładu empirycznego z liczebnościami wyznaczonymi przy założeniu określonego typu rozkładu. Jeśli rozkład w populacji jest założonym rozkładem, to różnice pomiędzy liczebnościami empirycznymi i teoretycznymi będą nieistotne. Gdy zaś rozbieżności pomiędzy liczebnościami empirycznymi i teoretycznymi są zbyt duże, wtedy hipoteza, że populacja ma ten właśnie rozkład teoretyczny musi zostać odrzucona.

1. Wyjaśnij do czego służy test zgodności λ – Kołmogorowa.

W teście λ Kołomogorowa porównuje się dystrybuantę empiryczną i hipotetyczną. Jeśli populacja generalna ma rozkład zgodny z hipotezą, to wartości dystrybuanty empirycznej i hipotetycznej powinny być we wszystkich badanych punktach zbliżone. Punktem wyjścia jest analizowanie bezwzględnych wartości różnic między tymi dwoma dystrybuantami. Rozkład jest niezależny od postaci dystrybuanty hipotecznej. Rozkład ten służy do budowy obszaru krytycznego w teście, przy czym jeżeli maksymalna różnica w pewnym punkcie obszaru zmienności badanej cechy jest zbyt duża, to hipotezę że rozkład populacji ma taką dystrybuantę jak przypuszczamy, należy odrzucić. W tablicach statystycznych można znaleźć dokładny rozkład statystyki λ Kołomogorowa, ale znacznie częściej korzysta się z granicznego rozkładu, tzn. z dużej próby. Przy stosowaniu testu zgodności λ Kołomogorowa, w zasadzie parametry hipotetycznego rozkładu powinny być znane, jednak gdy próba jest duża to można je szacować z próby.

Z testem λ Kołomogorowa wiąże się test Kołomogorowa-Smirnowa dla weryfikacji hipotezy, że dwie próby pochodzą z tej samej populacji, czyli że dwie populacje mają ten sam rozkład.

1. Wskaż na specyfikę związków między zjawiskami społeczno-ekonomicznymi.

Cechą charakterystyczną związków między zjawiskami społeczno-ekonomicznymi jest to, że te zjawiska są ze sobą powiązane. Przykładem takiego zjawiska jest bezrobocie. Jego konsekwencje można rozpatrywać zarówno na płaszczyźnie ekonomicznej, społecznej, prawnej, politycznej, a także psychologicznej, etyczno-moralnej w odniesieniu do jednostek, rodzin, środowisk lokalnych i całego społeczeństwa z punktu widzenia zagrożeń bieżących i perspektywistycznych.
Powołując się na model ekonometryczny, możemy wyróżnić m.in. dwie główne właściwości tego modelu, mianowicie: spójność ekonomicznych i społecznych zjawisk i procesów, a także powiązanie za pomocą formalnych konstrukcji zjawisk społeczno-ekonomicznych, które wchodzą do wyodrębnionego systemu.

1. Wymień i scharakteryzuj krótko rodzaje związków stochastycznych.

Proces stochastyczny - rodzina zmiennych losowych określonych na pewnej przestrzeni probabilistycznej o wartościach w pewnej przestrzeni mierzalnej. Najprostszym przykładem procesu stochastycznego jest wielokrotny rzut monetą: dziedziną funkcji jest zbiór liczb naturalnych (liczba rzutów), natomiast wartością funkcji dla danej liczby jest jeden z dwóch możliwych stanów losowania (zdarzenie), orzeł lub reszka. Nie należy mylić procesu losowego, którego wartości są zdarzeniami losowymi, z funkcją, która zdarzeniom przypisuje wartość prawdopodobieństwa ich wystąpienia (mamy wówczas do czynienia z rozkładem gęstości prawdopodobieństwa). W praktyce dziedziną, na której zdefiniowana jest funkcja, jest najczęściej przedział czasowy (taki proces stochastyczny nazywany jest szeregiem czasowym) lub obszar przestrzeni (wtedy nazywany jest polem losowym). Jako przykłady szeregów czasowych można podać: fluktuacje giełdowe, sygnały, takie jak mowa, dźwięk i wideo, dane medyczne takie jak EKG i EEG, ciśnienie krwi i temperatura ciała, losowe ruchy takie jak ruchy Browna. Przykładami pól losowych są statyczne obrazy, losowe krajobrazy i układ składników w niejednorodnych materiałach.

1. Podaj kryteria wyboru metody badania zależności między zmiennymi.

Wybór testu w zależności od typu danych statystycznych i rodzaju zmiennych przedstawia tabela:

Rodzaj zmiennych	Dane statystyczne
	Szereg korelacyjny
Dwie zmienne ilościowe	rxy, test t dla pxy rs, test t dla ps
Jedna zmienna ilościowa, druga jakościowa	rs, test t dla ps
Dwie zmienne jakościowe	rs, test t dla ps

1. Oceń możliwości o ograniczenia wykorzystania testu niezależności x² i siły związku cech.

Wartość statystyki χ² zależy od trzech czynników:
a) od natężenia (siły) związku badanych cech. Im wyższe różnice między liczebnościami empirycznymi (n_ij) i teoretycznymi $(\hat{n_{\text{ij}})}$, tym większa jest wartość statystyki χ², a tym samym większa siła zależności,
b) od wielkości próby, która zgodnie z wymogami tego testu powinna być duża,
c) od stopnia szczegółowości grupowania danych.
Natężenie współzależności dwóch zmiennych można wyrazić liczbowo za pomocą wielu mierników. Wybór miernika uzależniony jest m.in. od rodzaju cech, między którymi zależność jest badana, liczby obserwacji, kształtu zależności. Zakładając, że współzależność badanych zmiennych losowych X i Y jest statystycznie istotna, możemy wyrazić cztery rodzaje podstawowych miar siły korelacji tych zmiennych: współczynnik zbieżności Czuprowa, wskaźniki korelacyjne Pearsona, współczynnik korelacji liniowej Pearsona, współczynnik korelacji kolejnościowej (rang) Spearmana.
Na podstawie statystyki χ² buduje się miarę siły zależności między zmiennymi, czyli współczynnik Czuprowa, który otrzymuje się po standaryzacji statystyki χ² i obliczeniu pierwiastka kwadratowego. Współczynnik ten ma postać:

$$T_{\text{xy}} = T_{\text{yx}} = \sqrt{\frac{\chi^{2}}{n\sqrt{\left( k - 1 \right)(r - 1)}}}$$

Współczynnik Czuprowa przyjmuje wartość z przedziału [0,1]. Im bliższa zeru wartość współczynnika, tym zależność między zmiennymi jest słabsza. Może on być stosowany do oceny siły zależności zarówno zmiennych mierzalnych jak i niemierzalnych.

1. Omów przydatność współczynników zbieżności opartych na statystyce x².

Współczynnik zbieżności φ² zalicza się do miar dokładności oszacowanego modelu regresji, jest miarą uzupełniającą miarę współczynnika determinacji R² (R² + φ² =1) i informuje o tym, jaka część całkowitej zmienności (zmian) zmiennej objaśnianej nie została wyjaśniona przez zmiany zmiennej objaśniającej występującej w modelu regresji. Im niższa jest wartość φ² (bliższa zeru), tym dopasowanie modelu do danych empirycznych jest lepsze.

1. Omów badanie związku dwóch cech jakościowych.

Do weryfikacji niezależności badanych cech służy test x²

$x^{2} = \ \sum_{i = 1}^{r}\frac{\ {(n}_{i - \ \ \hat{n_{i}}\ })^{2}}{\hat{n_{i}}}$

Badanie cech jakościowych polega na sprawdzeniu za pomocą testu x²niezależności badanych cech, a następnie obliczeniu siły związku pomiędzy badanymi cechami wyznaczając jeden ze współczynników.

1. Omów badanie związku dwóch cech porządkowych.

Badanie związku dwóch cech porządkowych następuje poprzez mierzenie siły korelacji a następnie badaniu jej istotności statystycznej. W tym celu wykorzystuje się współczynnik Spearmana

r_d = 1-6 $\frac{\sum_{i = 1}^{n}d_{i}^{2}}{n\ (\ n^{2} - 1)}$

gdzie d_i=y_i- x_i - różnica rang nadanych poszczególnym cechom

a n- liczba obserwacji

przyjmuje wartości [-1,1], daje informację o sile oraz o kierunku związku
0 – brak związku , a im dalej od 0 – związek silniejszy

1. Omów badanie związku cech, gdy jedna z nich jest jakościowa, druga zaś stricte ilościowa.

W tym przypadku do zbadania związku między tymi dwiema cechami używane są wskaźniki (stosunki) korelacyjne Pearsona.

Podstawą do oceny tego związku bez konieczności zakładania liniowości tego związku jest równość wariancyjna. Gdy bada się wpływ zmiennej X na zmienną Y należy rozważyć równość postaci:

$$S^{2}\left( y \right) = S^{2}\left( \overset{\overline{}}{y_{i}} \right) + \overset{\overline{}}{S_{i}^{2}(y)}$$

gdzie:
$S^{2}\left( \overset{\overline{}}{y_{i}} \right) = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{k}{\left( \overset{\overline{}}{y_{i}} - \overset{\overline{}}{y} \right)^{2}n_{\text{i.}}}$

$\overset{\overline{}}{S_{i}^{2}(y)} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{k}{S^{2}(x)n_{\text{i.}}}$

W oparciu o równość wariancyjną dla zmiennej zależnej wyznacza się wskaźnik korelacyjny Pearsona mierzący siłę zależności Y od X, tj.:

$$e_{\text{xy}} = \sqrt[ + ]{\frac{S^{2}\left( \overset{\overline{}}{y_{i}} \right)}{S^{2}\left( y \right)}} = \frac{S(\overset{\overline{}}{y_{i}})}{S(y)} = \sqrt[ + ]{1 - \frac{\overset{\overline{}}{S_{i}^{2}(y)}}{S^{2}\left( y \right)}}$$

Wskaźniki korelacyjne przyjmują wartości z przedziału [0, 1].

Stosunki korelacyjne są miarami niemianowanymi, przyjmującymi wartości z przedział: 0 ≤ e ≤ 1. Są one równe zeru, gdy cechy są nieskorelowane, jedności zaś – gdy między badanymi zmiennymi zachodzi zależność funkcyjna. Im wartość stosunku korelacyjnego jest bliższa jedności, tym zależność korelacyjna cech jest silniejsza.

Wskaźniki korelacyjne nie wskazują kierunku korelacji badanych zmiennych; zawsze przyjmują wartości nieujemne.

Następnie bada się istotność statystyczną wskaźnika.

Stawia się hipotezy:

H₀ : η_yx = 0

H₁ : η_yx > 0

Stosuje się odpowiedni test statystyczny, tj.:

$$F = \frac{e_{\text{yx}}^{2}}{k - 1}:\frac{\left( 1 - e_{\text{yx}}^{2} \right)}{n - k}$$

gdzie: k – liczba wariantów zmiennej X,

Decyzja:

*gdy t_obl > t_kryt (U_obl > U_kryt) odrzucamy H₀ (wskaźnik jest statystycznie istotny)

*gdy t_obl < t_kryt (U_obl < U_kryt) brak podstaw do odrzucenia H_o(wskaźnik jest statystycznie nieistotny)

1. Omów badanie związku dwóch cech mierzalnych sensu stricte. Na jakie inne kwestie należy dodatkowo zwrócić uwagę w tym wypadku?

W tym przypadku zastosowanie znajduje współczynnik korelacji Pearsona. Ten współczynnik może być tylko zastosowany, gdy badana zależność jest liniowa i oczywiście, gdy obie cechy są mierzalne.

W tym wypadku należy dodatkowo zwrócić uwagę na:

- postać formuły obliczeniowej, która jest zależna od układu równań,

- wartość testu, która jest zależna od wielkości próby (mała, duża).

1. Scharakteryzuj współczynnik korelacji liniowej Pearsona – założenia, obliczanie, badanie statystycznej istotności.

Założenia: badana zależność jest liniowa, obie badane cechy są mierzalne,

Obliczanie: zależy od układu danych

i tak dla danych indywidualnych: $r_{\text{xy\ \ }} = \ \frac{\sum_{i = 1}^{n}(x_{i - \ \overline{x}})(y_{i} - \overline{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n}{(x_{i}}} - \overline{x})^{2}\sum_{i = 1}^{n}{(y_{i} - \overline{y})^{2}}}$

a dla danych w postaci tablicy korelacyjnej $r_{\text{xy\ \ }} = \ \frac{\sum_{j = 1}^{l}\sum_{i = 1}^{k}(x_{i - \ \overline{x}})(y_{i} - \overline{y})n_{\text{ij}}}{\text{nS}\left( x \right)S(y)}$

Badanie istotności statystycznej:

- polega na postawieniu hipotezy H₀: p_xy = 0 gdy współczynnik jest statystycznie nieistotny,

H₀: p_xy ≠ 0 gdy współczynnik jest istotny statystycznie

- obliczeniu wartości testu według wzorów dla małych prób t = $\frac{r_{\text{xy}}}{\sqrt{1 - \ r_{\text{xy}}^{2}}}\ \sqrt{n - 2}$

i dla dużych prób U = $\frac{r_{\text{xy}}}{\sqrt{1 - \ r_{\text{xy}}^{2}}}\ \sqrt{n}$

- podjęciu decyzji weryfikacyjnej w zależności od tego, czy empiryczna wartość testu zmieści się w obszarze krytycznym, czy nie.

1. Podaj wzory na wskaźniki korelacyjne Pearsona i omów badanie ich istotności.

W oparciu o równość wariancyjną dla zmiennej zależnej wyznacza się wskaźnik korelacyjny Pearsona mierzy siłę zależności Y do X:

e_yx = $\sqrt[ + ]{\frac{S^{2}(\hat{y_{i})}}{S^{2}(y)}}$ = $\frac{S(\ \hat{y_{i})}}{S(y)}$ = $\sqrt[ + ]{1 + \frac{\overset{\overline{}}{S_{i}^{2}}(\ y)}{S^{2}(y)}}$

Analogicznie wyznacza się wskaźnik korelacyjny mierzący zależność x do Y:

e_xy = $\sqrt[ + ]{\frac{S^{2}(\hat{x_{j})}}{S^{2}(x)}}$ = $\frac{S(\ \hat{x_{i})}}{S(x)}$ = $\sqrt[ + ]{1 + \frac{\overset{\overline{}}{S_{i}^{2}}(\ x)}{S^{2}(x)}}$

Wskaźniki korelacyjne przyjmują wartość z przedziału [0,1]. Badanie istotności polega na:

- postawieniu hipotezy

- zastosowaniu odpowiedniego testu statystycznego F= $\frac{e_{\text{yx}}^{2}}{k - 1}\ :\ \frac{(\ 1 - \ e_{\text{yx}}^{2})}{n - k}$

- podejmuje się decyzję weryfikacyjną wg zasad.

1. Wyjaśnij na czym polega testowanie liniowości związku między zmiennymi.

Trzeba najpierw sprecyzować założenia, że dysponujemy danymi odnośnie wartości i rozkładów empirycznych zmiennych X i Y w postaci tablicy korelacyjnej oraz odpowiednio oznaczyć weryfikację hipotez:

H₀: zależność Y względem X jest liniowa
H₁: zależność Y względem X nie jest liniowa
Następnie korzysta się z testu statystycznego:

Statystyka F, przy założeniu prawdziwości hipotezy zerowej, ma rozkład F-Snedecora o k – 2 i n – k stopniach swobody. Podejmuje się decyzję weryfikacyjną: jeżeli , to H₀ odrzucamy - związek nie jest liniowy. W przeciwnym wypadku, nie ma podstaw do odrzucenia H₀, co znaczy, że przypuszczenie o krzywoliniowym charakterze związku nie potwierdziło się.

1. Zapisz klasyczny model regresji liniowej z jedną zmienną objaśniającą. Podaj ogólną interpretację współczynnika regresji.

Klasyczny model regresji liniowej opiera się na równaniu:

Y = E(Y|X) + ε = α₁X + α₀ + ε

składnik systematyczny składnik losowy
(linia prosta)

Współczynnik regresji informuje o ile przeciętnie wzrośnie (jeżeli α₁ > 0) lub spadnie (jeżeli α₁ <0) wartość zmiennej objaśniającej, gdy wartość zmiennej objaśniającej (niezależnej) wzrośnie o jednostkę.

1. Scharakteryzuj etap weryfikacji modelu ekonometrycznego. Co rozumiesz przez weryfikację ekonomiczną a co przez weryfikacje statystyczną?

Etapy weryfikacji modelu ekonometrycznego:

- zbudowanie modelu funkcji regresji,

-estymacja parametrów modelu,

- statystyczna weryfikacja modelu,

- wyznaczenie wartości zmiennych niezależnych, objaśniających.

Weryfikacja statystyczna dotyczy rozkładu badanej cechy w zbiorowości generalnej

1. Wymień najważniejsze testy statystyczne stosowane na etapie weryfikacji modelu ekonometrycznego.

1. Weryfikacja losowości procesu resztowego:
- Test w oparciu o wartości PACF
- Test Quenouille’a
- Test Durbina-Watsona
2. Weryfikacja normalności rozkładu reszt: test na normalność rozkładu reszt -
3. Weryfikacja jednorodności wariancji: test White'a na heteroskedastyczność reszt (zmienność wariancji resztowej)
4. Weryfikacja nieliniowości związku:
- Test na nieliniowość (kwadraty)
- Test na nieliniowość (logarytmy)
- Test RESET na specyfikację
5. Weryfikacja stabilności ocen parametrów strukturalnych CUSUM: test CUSUM na stabilność parametrów modelu.

1. Scharakteryzuj testowanie istotności regresji.

Na początek należy postawić hipotezy:

H0 : α1 = 0

H1 : α1 ≠ 0

Następnie stosujemy test: t=a1/S(a1)

Na koniec podejmujemy decyzję weryfikacyjną: Jeżeli | t | > tγ,n-2, to H0 odrzucamy, a zatem nie jest prawdą, że zmienna X nie wpływa na zmienną Y. Innymi słowy, parametr regresji mierzący ten wpływ jest istotny statystyczni

1. Scharakteryzuj badanie własności składnika losowego w modelu regresji.

Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej objaśniającej jest określony przez tzw. składnik losowy modelu:

Wartość oczekiwana μ składnika losowego zależy od składnika systematycznego w sposób określony przez tzw. funkcję wiążącą l:

η = l(μ)

W zależności od wyboru funkcji wiążącej otrzymuje się różne modele.
Nieznane parametry β są zwykle estymowane za pomocą metod największej wiarygodności, quasi-największej wiarygodności, lub metod bayesowskich.

1. Wyjaśnij następujące pojęcia:

1. predykator – zmienna w modelu statystycznym, na podstawie której wylicza się zmienną objaśniającą,

2. predykcja – przewidywanie przyszłych realizacji procesu stochastycznego,

3. prognoza

1. Zapisz przykładowy model przyczynowo-opisowy jako predykator oraz model trendu liniowego w tej samej roli.

Model przyczynowo- opisowy jako predykator:

Y_T, p = a₀ + a₁x_1T + … + a_k − 1x_{k − 1, T}

Predyktor – jako narzędzie prognozowania

Y_T, p - wartość prognozowania zmiennej Y (prognoza na okres T)

x_i, T - rzeczywiste wartości zmiennej X w okresie prognozy (ilość k − 1)

Prognoza – wartość prognozowania zmiennej Y na okres T

T = n + 1,  n + 2,  …, n + τ (τ  - horyzont prognozy)

Model trendu liniowego

1. Zapisz klasyczny model regresji liniowej jako predyktor. Spróbuj ocenić jego praktyczna przydatność.

y_Tp = a₀ + a₁ x_T1 + … + a_j x_Tj + … + a_k x_Tk

gdzie:

y_Tp – wartość prognozowana zmiennej Y (prognoza na okres T)

x_T – rzeczywista wartość zmiennej X w okresie prognozy

1. Omów wyznaczenie prognoz punktowych i przedziałowych na podstawie klasycznego modelu regresji liniowej.

Klasyczny model Regresji Liniowej jest bardzo użytecznym narzędziem służącym do analizy danych empirycznych. Analiza regresji zajmuje się opisem zależności między wybraną zmienną (nazywaną zmienną zależną lub objaśnianą) i jedną lub wieloma zmiennymi nazywanymi zmiennymi niezależnymi lub objaśniającymi.

y = α₀ + α₁ t +ε

Prognoza punktowa polega na wyznaczeniu konkretnej wartości predyktora (y_Tp).

Natomiast w prognozie przedziałowej konstruuje się przedział predykcji o postaci:

p{y_Tp - u_α * V_T < Y_T < y_Tp + u_α * V_T } = 1 – α

gdzie:

y_Tp – prognoza

u_α – wartość krytyczna w rozkładzie normalnym

V_T – błąd predykcji

1 – α – współczynnik ufności

1. Scharakteryzuj miary oceny jakości prognoz. Wyjaśnij na czym polega ocena dopuszczalności i trafności prognoz?

Ocenę jakości prognoz dokonuje się poprzez:

- błędy ex ante – pozwalają na ocenę dopuszczalności prognozy w momencie jej budowy,

- błędy ex post – pozwalają na ocenę trafności prognozy po zrealizowaniu się konkretnej wartości zmiennej prognozowanej.

Ocena dopuszczalności prognozy powiązana jest z poziomem wartości dopuszczalnej wiarygodności. Oblicza się tak zwany bezwzględny średni błąd prognozy:

V_T= $\sqrt{S_{u}^{2}\left\lfloor 1 + X_{\text{T\ }}(X'\ X)^{- 1}{X'}_{T} \right\rfloor}$

Oblicza się względny błąd prognozy : V_T^*=$\frac{V_{T}}{y_{T,p}}$

Wyznacza się błąd graniczny : np. V_G^*= 0,10

Prognozę uznaje się za dopuszczalną, jeżeli : V_T^* ≤ V_G^*

Trafność prognozy, oblicza się błąd ex post prognozy : δ_T= y_T- y_T, p

- jeżeli y_T- y_T, p < 0, to prognoza jest przeszacowana,

- jeżeli y_T- y_T, p > 0, to prognoza jest niedoszacowana.