CAŁKOWANIE FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH

Funkcje trygonometryczne całkujemy przekształcając funkcję podcałkową za pomocą odpowiednich tożsamości trygonometrycznych oraz wykorzystując podstawienia, które sprowadzają zadanie do całkowania pewnej funkcji wymiernej. Podamy teraz metody całkowania różnych typów całek funkcji trygonometrycznych.

• Całki typu:

wyznaczamy korzystając z tożsamości trygonometrycznych, które iloczyn funkcji trygonometrycznych zamieniają na sumę, lub różnicę

Przykład

• Całki typu:

wyznaczamy

1. stosując podstawienie t = sinx, gdy m jest liczbą nieparzystą,

2. stosując podstawienie t = cosx, gdy n jest liczbą nieparzystą,

3. wykorzystując wzory trygonometryczne na sinus i cosinus kąta podwojonego (np. gdy n > m, to n = m + 2k i całka ma przedstawienie

bądź wzory rekurencyjne, lub podstawienie t = tg x, gdy n i m są parzyste.

Przykłady

• 

• 

Wyznaczamy obie całki

Ostatecznie otrzymujemy

• Całki typu:

gdzie R oznacza funkcję wymierną względem wymienionych argumentów, wyznaczamy stosując podstawienie

Wówczas

Po zastosowaniu powyższego podstawienia otrzymujemy całkę funkcji wymiernej.

Przykład

• Całki typu:

wyznaczamy stosując podstawienie:

Stąd

Podstawienie to sprowadza zadanie do wyznaczenia całki pewnej funkcji wymiernej.

Przykład

Uwaga

Powyższe podstawienie, zwane podstawieniem uniwersalnym, umożliwia również wyznaczenie całek funkcji trygonometrycznych rozważanych wcześniej typów, niemniej prezentowane tam metody będą na ogół znacznie efektywniejsze obliczeniowo.