Przewodnictwo elektryczne metali
Elektrony przewodnictwa mogą się przebywać wiele średnic atomowych między kolejnymi zderzeniami.
Jeżeli λ jest średnią drogą między kolejnymi zderzeniami (zwaną średnią drogą swobodną) a u jest prędkością swobodnego ruchu elektronów, to mamy równanie dla średniego czasu τ trwania drogi λ:
a) Prędkość u
Z kinetycznej teorii gazów doskonałych
Stąd otrzymujemy w
T = 300 K: u = 110 km/s.
b) Prędkość v
W obecności pola elektrycznego E, gęstość prądu
gdzie: n0 – koncentracja nośników prądu,
e – ładunek elementarny, V – objętość przewodu.
Z równania otrzymujemy: v ≈ 0,08cm/s
Wniosek: u >> v
Przewodnictwo
Opór elektryczny zależy od różnych czynników:
1) Drgania sieci.
2) Defekty sieci np. dyslokacje i defekty punktowe.
3) Granice ziaren.
Zależność przewodnictwa elektrycznego metali od temp.
Elektron zderzający się z drgającym jonem zmienia kierunek ruchu i nie wnosi pełnego wkładu w uporządkowany ruch ładunków w kierunku pola elektrycznego. Wielkość przekroju czynnego na rozpraszanie elektronów, zależy liniowo od energii drgań sieci, a więc od temperatury metalu. Dlatego wartość oporu właściwego metalu w niezbyt niskich temperaturach, zależy liniowo od temperatury, co opisuje wzór ρ= ρ0(1+αt) Drugim czynnikiem odpowiedzialnym za opór elektryczny metali są niedoskonałości budowy sieci krystalicznej realnych próbek. Nie wszystkie jony znajdują się w położeniach węzłowych, lecz mogą być np. przesunięte w położenia międzywęzłowe. Rozpraszanie elektronów na defektach sieci krystalicznej i domieszkach prowadzi do zwiększenia oporu elektrycznego. Wpływ defektów jest niewielki i nieistotny w temperaturach wyższych, ale staje się dominujący w pobliżu zera bezwzględnego.
Uproszony model izolatora oraz ruchliwości nośników ładunków
Ogólne cechy rozkładu elektronu i dziur w izolatorów i półprzewodników w funkcji temperatury. Zakładamy, że szerokości pasma walencyjnego Ev i przewodnictwa Ec są niewielkie w porównaniu z przerwą zabronioną Eg. Sytuacja podobna do układu dyskretnych poziomów energetycznych. Załóżmy, że każde pasmo zawiera Z możliwych stanów na jednostkę objętości. W temperaturze
T = 0 K, pasmo walencyjne jest wypełnione, a pasmo przewodnictwa jest puste. W T > 0 K, gęstość elektronów w paśmie przewodnictwa
Podobnie, gęstość elektronów w paśmie walencyjnym
Całkowita gęstość elektronów z czego uzyskujemy
Wniosek: poziom Fermiego jest umieszczony dokładnie w połowie pomiędzy pasmem walencyjnym i pasmem przewodnictwa.
Jeżeli poziom Fermiego jest daleko od pasma przewodnictwa powyższej 4kT, jedynkę w powyższych równaniach można pominąć. Wówczas gęstość elektronów można wyrazić w postaci: Ruchliwość nośników ładunków (tj. prędkość na jednostkę pola elektrycznego) wyraża się
Przewodnictwo elektryczne izolatorów i samoistnych półprzewodników rośnie wraz z temperaturą.
Diamagnetyki i paramagnetyki
Diamagnetyki – substancje wykazujące zjawisko diamagnetyzmu. Diamagnetyki są to gazy, ciecze oraz ciała stałe złożone z atomów nie mających stałego momentu magnetycznego. Ciała o przenikalności magnetycznej mniejszej niż przenikalność magnetycznej próżni i ujemnej podatności magnetycznej; podatność magnetycznej większości diamagnetyków, jak np. gazy szlachetne, większość związków organicznych, niektóre metale, półprzewodniki, nie zależy od temperatury; . Idealny diamagnetyzm wykazują nadprzewodniki, których wnętrze jest całkowicie izolowane od zewnętrznego pola magnetycznego. W normalnych substancjach diamagnetyzm jest efektem bardzo słabym i może być obserwowany jedynie wtedy, gdy nie istnieją w nich trwałe momenty magnetyczne.
Paramagnetyki
W materiałach paramagnetycznych, gdy nie ma zewnętrznego pola magnetycznego, atomy mają różny od zera moment magnetyczny. Na skutek ruchów termicznych cząstek ich momenty magnetyczne są zorientowane w sposób nieuporządkowany.
Gdy paramagnetyk zostanie umieszczony w zewnętrznym polu magnetycznym, momenty magnetyczne atomów (cząsteczek) dążą do ustawienia się równolegle do kierunku pola, czemu przeciwdziała ruch cieplny. Mimo ruchów cieplnych w stanie równowagi będzie znajdować się przeważająca część elementarnych magnesów, których momenty magnetyczne będą skierowane zgodnie z kierunkiem pola magnetycznego. Ciało uzyska wypadkowy moment magnetyczny.
Paramagnetyki w zewnętrznym polu magnetycznym magnesują się silniej niż diamagnetyki, dlatego też efekt diamagnetyczny jest niezauważalny w paramagnetykach. Własności magnetyczne paramagnetyków zależą od temperatury. Doświadczalnie stwierdzono, że podatność magnetyczna x dla paramagnetyków zmienia się odwrotnie proporcjonalnie do temperatury bezwzględnej T. C-stała Curie
Paramagnetyki mają przenikalność magnetyczną μ niewiele większą od jedności. Do paramagnetyków należą między innymi: tlen, tlenek azotu, glin, platyna, potas, sód, magnez, wapń.
Rozszerzalność cieplna metali.
Rozszerzalność cieplna to zwiększanie objętości ciał w miarę wzrostu temperatury i zmniejszanie ich objętości w miarę obniżania temperatury. Ogrzane zwiększają swoją objętość, gdyż ich cząsteczki po dostarczeniu im ciepła poruszają się szybciej.
Energia oddziaływania pomiędzy atomami
Obsadzanie pasm przez elektrony w przewodnikach, półprzewodnikach i izolatorach
Każde ciało stale ma elektrony. Elektrony w kryształach są układane w pasmach oddzielonych od obszarów energii dla których nie istnieją orbitali elektronowych. Takie zabronione obszary nazywają się przerwami energetycznymi lub przerwami pasmowymi. Są one skutkiem oddziaływania fal elektronów przewodnictwa z jądrami jonów kryształów. Do wyjaśnienia różnicy pomiędzy izolatorami a przewodnikami musimy rozszerzyć model swobodnych elektronów uwzględniając okresowość sieci krystalicznej. Możliwość przerwy pasmowej jest najważniejszą właściwością. Ponadto dochodzimy do wniosku, że elektrony mają masę efektywną m* , która może być dodatnia, większa lub mniejsza od masy elektronu. Elektrony zachowują się jakby miały ładunek zarówno ujemny jak i dodatni.
Opór elektryczny czystego metalu może być 10-10 Ohm*cm w temperaturze 1 K a dobrego izolatora może być 10-22Ohm*cm
Prawo Wiedemanna-Franza
Zgodnie z prawem Wiedemanna-Franza, w niezbyt niskich temperaturach stosunek przewodnictwa cieplnego K do przewodnictwa elektrycznego σ jest wprost proporcjonalny do temperatury T.
Przewodnictwo cieplne
a według teorii klasycznej przewodnictwa elektrycznego
Z powyższych równań otrzymujemy
przyjmując, że mv2 = 3kT, zgodnie z równaniem Clayperona pV = RT a pV = nmv2/3 dla gazów doskonałych.
Prawo Wiedemanna-Franza wynika stąd, że transport ładunków elektrycznych oraz ciepła jest powodowany przez istnienie wolnych elektronów w strukturze metalu. Wraz ze wzrostem temperatury następuje wzrost prędkości ruchu wolnych elektronów, co powoduje wzrost przewodnictwa cieplnego i jednocześnie spadek przewodnictwa elektrycznego. Prawo to nie działa dla niskich temperatur mianowicie nie przewiduje zjawiska nadprzewodnictwa. Wynikało z niego również że metale powinny mieć półtora razy większe ciepło właściwe niż izolatory. A tak nie jest
Pojemność cieplna metali
We wszystkich nadprzewodnikach entropia malej znacznie po schładzaniu poniżej temperatury krytycznej Tc.
Zmniejszenie entropii pomiędzy stanem normalnym i stanem nadprzewodzącym oznacza, że stan nadprzewodzący jest bardziej uporządkowany niż stan normalny. Niektóre lub wszystkie elektrony wzburzone w stanie normalnym są uporządkowane w stanie nadprzewodzącym.
Mała zmiana entropii oznacza, iż jedynie mały ułamek elektronów przewodnictwa bierze udział w przejściu do uporządkowanego stanu nadprzewodzącego.
Wykresy zmiany energii
Półprzewodniki domieszkowe:
Kryształy półprzewodnikowe zawierające w swojej budowie atomy innych pierwiastków nazywamy półprzewodnikami domieszkowymi. Rozróżniamy dwa typy półprzewodników domieszkowych:
Półprzewodniki domieszkowe typu p
Wprowadzenie domieszki dającej niedobór elektronów w stosunku do półprzewodnika samoistnego powoduje powstanie półprzewodnika typu p, domieszka taka zaś nazywana jest domieszką akceptorową. W takim półprzewodniku powstaje dodatkowy poziom energetyczny położony w obszarze pasma zabronionego niewiele nad poziomem walencyjnym, lub w samym paśmie walencyjnym. Poziomy takie wiążą elektrony znajdujące się w paśmie walencyjnym powodując powstanie w nim wolnych miejsc.
Półprzewodniki domieszkowe typu n
Wprowadzenie domieszki dającej nadmiar elektronów w stosunku do półprzewodnika samoistnego powoduje powstanie półprzewodnika typu n, domieszka taka zaś nazywana jest domieszką donorową . W takim półprzewodniku powstaje dodatkowy poziom energetyczny położony w obszarze pasma zabronionego niewiele poniżej poziomu przewodnictwa, lub w samym paśmie przewodnictwa. Nadmiar elektronów jest uwalniany do pasma przewodnictwa w postaci elektronów swobodnych zdolnych do przewodzenia prądu.
Półprzewodniki samoistne
Półprzewodnikiem samoistnym nazywamy półprzewodnik idealnie czysty bez żadnych domieszek ani defektów sieci krystalicznej. W temp. T=0°K wszystkie poziomy w paśmie walencyjnym są obsadzone przez elektrony walencyjne a w paśmie przewodnictwa brak jest elektronów swobodnych. W miarę wzrostu temperatury fonony o dużych energiach przenoszą elektrony z pasma podstawowego do pasma przewodnictwa powodując częściowe jego zapełnienie.
Wolny poziom w paśmie podstawowym nazywamy dziurą i traktujemy jak nośnik o ładunku dodatnim poruszający się w obrębie pasma podstawowego.
Model prawie swobodnych elektronów
Według modelu swobodnych elektronów dozwolone wartości energii są rozłożone ciągle od zera do nieskończenia, zgonie z zależnością gdzie, dla okresowych warunków brzegowych po długości L sześcianu, wartość liczbowa wektora falowego
k:
Według modelu prawie swobodnych elektronów, struktura pasmowa powstaje w wyniku słabego zaburzenia pasmowych elektronów przez potencjał okresowy jąder jonowych. Wiemy, że odbicie Bragga to charakterystyczna cecha ruchu falowego w kryształach. Odbicie Bragga fal elektronowych w kryształach jest przyczyną przerw energii. Te przerwy mają decydujące znaczenie w określeniu czy dane ciało jest izolatorem czy przewodnikiem. Gdy warunek odbicia Bragga k = /a jest spełniony przez wektor falowy, fala poruszająca się w prawo jest odbita do poruszania się w lewo i odwrotnie. Każde następne odbicie Bragga odwraca kierunek ruchu fali. Fala poruszająca ani w lewo ani w prawo jest falą stojącą.
Prawo Ohma wg klasycznej teorii metali
W obecności pola elektrycznego E (tj. po przyłożeniu napięcia) elektron osiąga średnią prędkość unoszenia v wyrażoną przez
Ponieważ średni czas przelotu u >> v.
z powyższych równań mamy:
równanie dla natężenia prądu
Równanie na opór
gdzie ρ opór właściwy. Ponadto, przewodnictwo właściwe
Kwantowe teorie ciepła właściwego
Teoria Einsteina
Według Einsteina oscylator jest nie klasyczny ale kwantowy.
Więc energia oscylatora nie jest równa kT/2 tak jak w mechanice klasycznej ale może być podana dla oscylatora kwantowego w postaci
Ponadto Einstein zakładał, że każdy atom drga z taką samą częstotliwością .
Zakładając, że ciało stałe jest złożone z NA atomów i każdy atom ma 3 stopnie swobody, to całkowita energia wewnętrzna jednego mola ciała
a ciepło molowe
Gdy hν << kT (tj. θE= hν /k), to z powyższych równań otrzymujemy
Gdy hν > kT, ze wzrostem T, cm początkowo rośnie wykładniczo, następnie szybko rośnie a w końcowym etapie osiąga wartość 3R.
Teoria Einsteina nie tłumaczy w sposób zadowalający.
Teoria Debye’a
Tak jak w teorii Einsteina, każdemu ciału można przypisać pewną charakterystyczną temperaturę θD, zwaną temperaturą Debye’a.
Model rozpatruje ciało stałe jako izotropowy ośrodek sprężysty, w którym mogą rozchodzić się fale o długości fali większej od podwójnej odległości między atomami sieci krystalicznej. Ciało zawierające N atomów ma 3N różnych drgań o różnych drganiach, zwanych drganiami własnymi a ich częstotliwości – częstotliwościami własnymi.
W modelu tym przyjmuje się, że drgania atomów w sieci krystalicznej można uważać za harmoniczne. Dlatego można ją przybliżyć układem oscylatorów kwantowych.
Model Debye'a zakłada, że w sieci krystalicznej propagują się fale tak jak w innych ośrodkach. Jednak istnienie obcięcia dla pewnej częstości ωD związane jest z tym, że fale o długościach porównywalnych i mniejszych niż długość stałej sieci nie mogą się propagować w ciele stałym. Zgodnie z Debye’em liczba dZ drgań w przedziale częstotliwości ν i ν+dν wynosi gdzie
V– objętość ciała, v– prędkość rozchodzenia się drgań w ciele stałym
Całkowita energia wewnętrzna ciała
Maksymalną liczbę Zmax drgań można otrzymać z równania
stąd
gdzie: liczba atomów w jednostce objętości n = N/V
Wprowadzając oznaczenia
1) Gdy T >>θ D, x << 1. Wtedy ex = 1 + x to mamy
2) Gdy T << θD, to θD/T →∞ . Wtedy
Model półprzewodnika typu n:
Półprzewodnik, w którym występuje nadmiar elektronów nazywa się półprzewodnikiem nadmiarowym lub typu n. Wprowadzenie domieszki dającej nadmiar elektronów powoduje powstanie półprzewodnika typu n, domieszka taka zaś nazywana jest domieszką donorową. W takim półprzewodniku powstaje dodatkowy poziom energetyczny położony w obszarze pasma zabronionego niewiele poniżej poziomu przewodnictwa, lub w samym paśmie przewodnictwa. Nadmiar elektronów jest uwalniany do pasma przewodnictwa w postaci elektronów swobodnych zdolnych do przewodzenia prądu. Mówimy wtedy o przewodnictwie elektronowym, lub przewodnictwie typu n
Najprostszy model półprzewodnika typu n zawiera pasmo przewodnictwa poniżej którego jest nd poziomów donorowych o energii Ed. Przy stosunkowo niskich temperaturach można pominąć wpływ pasma walencyjnego na przewodnictwo.
Zakładamy, że w T = 0 K wszystkie poziomy donorowe są obsadzone przez elektrony. Przy niskich temperaturach, gdy mały ułamek donorów jest jedynie jonizowany, oczekujemy, że poziom Fermiego mieści się w połowie drogi pomiędzy poziomami donorów Ei i dnem pasma przewodnictwa Ec. Gdy EF mieści się pod pasmem przewodnictwa więcej niż kilka kT, Lokalizację poziomu Fermiego zapisujemy wzorem
Gdy temperatura rośnie, poziom Fermiego spada
Przewodnictwo cieplne ciał stałych
Przewodnictwo cieplne to transport energii cieplnej. Ten transport dotyczy przekazu energii kinetycznej przez cząsteczki/atomy ciała stałego.
Polega na przekazywaniu energii z ciał cieplejszych do ciał zimniejszych na skutek zderzeń elektronów i cząsteczek. Proces ten trwa dopóki cala nadwyżka energii kinetycznej nie rozejdzie się równomiernie po całym ciele.
Ilość przekazanego ciepła jest zależna od substancji, proporcjonalna do przekroju ciała, różnicy temperatur oraz czasu przepływu ciepła: Przekaz energii
Jeżeli odległość między warstwami = a, warstwa ma powierzchni = A, to liczba cząsteczek w warstwie
Strumień energii cieplnej (energia przenoszona przez powierzchni w jednostce czasie)
współczynnik przewodnictwa wynosi:
Uproszony model izolatora oraz ruchliwości nośników ładunków
Ogólne cechy rozkładu elektronu i dziur w izolatorów i półprzewodników w funkcji temperatury.
Zakładamy, że szerokości pasma walencyjnego Ev i przewodnictwa Ec są niewielkie w porównaniu z przerwą zabronioną Eg. Sytuacja podobna do układu dyskretnych poziomów energetycznych.
Załóżmy, że każde pasmo zawiera Z możliwych stanów na jednostkę objętości.
W temperaturze T = 0 K, pasmo walencyjne jest wypełnione, a pasmo przewodnictwa jest puste. W T > 0 K,
gęstość elektronów w paśmie przewodnictwa
Podobnie, gęstość elektronów w paśmie walencyjnym
Całkowita gęstość elektronów z czego uzyskujemy
Wniosek: poziom Fermiego jest umieszczony dokładnie w połowie pomiędzy pasmem walencyjnym i pasmem przewodnictwa.
Jeżeli poziom Fermiego jest daleko od pasma przewodnictwa powyższej 4kT, jedynkę w powyższych równaniach można pominąć. Wówczas gęstość elektronów można wyrazić w postaci: Ruchliwość nośników ładunków (tj. prędkość na jednostkę pola elektrycznego) wyraża się:
Przewodnictwo elektryczne izolatorów i samoistnych półprzewodników rośnie wraz z temperaturą
Zjawisko Meissnera
Zjawisko Meissnera jest podstawą do określenia, czy dany przewodnik o zerowy w oporze elektrycznym jest rzeczywiście nadprzewodnikiem.
Zewnętrzne pole magnetyczne o natężeniu mniejszym od granicznego nie wnika do nadprzewodnika, z wyjątkiem cienkiej warstwy przypowierzchniowej nadprzewodnika natężenie pola magnetycznego wewnątrz nadprzewodnika jest równe zero. Natężenie graniczne pola magnetycznego zależy od materiału oraz temperatury nadprzewodnika. Jeżeli nadprzewodnik zostanie umieszczony w bardzo silnym polu magnetycznym to przestaje być nadprzewodnikiem, jeżeli natężenie pola będzie się zmniejszać, to w momencie przejścia w stan nadprzewodnictwa pole zostanie wypchnięte z nadprzewodnika. Przyczyną wypchnięcia jest pojawienie się w powierzchownej warstwie nadprzewodnika prądu elektrycznego o takim natężeniu, że wytworzone przez niego pole magnetyczne kompensuje wewnątrz nadprzewodnika pole magnetyczne. Związana z tym siła może utrzymać bryłkę nadprzewodnika nad stacjonarnym magnesem - tzw. lewitacja nadprzewodnika.
Dla wykresu pierwszego. Począwszy od zera aż do wartości krytycznej namagnesowanie rośnie wprost proporcjonalnie do wartości indukcji magnetycznej. Jeśli indukcja wzrośnie powyżej wartości krytycznej materiał ten przechodzi natychmiast ze stanu nadprzewodzącego do stanu normalnego. Nie istnieje w tym przypadku stan mieszany. Materiał mający taką cechę nazywamy nadprzewodnikiem I rodzaju .
Widzimy, że namagnesowanie początkowo rośnie tak jak poprzednio aż do wartości Bkr1 , następnie zaczyna maleć i osiąga wartość zerową, co odpowiada przejściu do stanu normalnego, po przekroczeniu przez indukcję wartości Bkr2. W zakresie indukcji pomiędzy Bkr1 i Bkr2 mamy do czynienia ze stanem mieszanym, w którym pewna objętość materiału jest nadprzewodząca a pewna znajduje się już w stanie normalnym. Materiał taki nazywamy nadprzewodnikiem II rodzaju
Ruch elektronów w jednym wymiarze według teorii pasmowej
wyprowadzenie równania prędkości v elektronu opisaną przez wektor falowy k.
Rozważmy ruch paczki falowej w polu elektrycznym zakładając, że paczka falowa składa się funkcji falowych zgromadzonych wokół wektora falowego.
Z definicji prędkość grupowa fali
gdzie ω jest częstością fali de Broglie’a, związaną z energią cząsteczki równaniem
Prędkość
Zakładamy, że elektron początkowo znajduje się w stanie k i na elektron działa pole elektryczne o natężeniu F.
Pod działaniem pola elektrycznego F na elektron w czasie dt przyrost jego energii wynosi Wyrażając przyrost energii w postaci: zmianę wektora k w czasie można podać w postaci
Przyspieszenie elektronu
Przyspieszenie swobodnego elektronu
Współczynnik masy, który jest miarą swobody elektronu
Pojęcie dziury
Dziurą nazywamy nieobsadzony stan elektronu, traktowany jako cząstkę o ładunku i masie przeciwnym do ładunku i masy elektronu w tym samym stanie. Usunięcie jednego elektronu z całkowicie wypełnionego pasma, czyli wytworzenie jednej dziury, sprawia że ładunek kryształu wzrasta o dodatnia wartość |e|- z kryształu ubył bowiem jeden ujemny ładunek e. Dziura może poruszać się w przestrzeni i przeskakiwać od stanu do stanu w paśmie zapełnionym zupełnie podobnie jak elektron w paśmie pustym.W przypadku samoistnego półprzewodnika w temperaturze > 0 K, przez poburzenie termiczne niektóre elektrony z pasma walencyjnego mogą przejść do pasma przewodnictwa. Rozważmy pojedynczą dziurę w wypełnionym paśmie sieci jednowymiarowej i rozważmy wpływ pola elektrycznego na ogólne, zbiorowe zachowanie się tego pasma. Jeżeli ładunek elektronu jest –e a prędkość ruchu elektronu jest vj, wówczas gęstość prądu związana z wszystkimi elektronami zupełnie wypełnionego pasma bez pola elektrycznegoJeżeli elektronu j brakuje, to mamy W obecności pola elektrycznego F, zmiana prądu I’ Ponieważ dziury starają się znajdować w górnej części prawie pełnego pasma, mj* < 0 a prawa strona równania jest dodatnia. Innym słowy, pasmo w którym brakuje elektronu zachowuje się jako dodatnia dziura z efektywną masą |m*|.
Grupa 1
1. Przewodnictwo elektryczne metali i zależność od temperatury
2. Izolatory. Model uproszczony przewodnictwa
3.Diamagnetyki i paramagnetyki.
4. Rozszerzalność cieplna metali.
Grupa 2
1. obsadzanie pasm przez elektrony w przewodnikach, półprzewodnikach i izolatorach
2. prawo Wiedemanna- Franza
3. pojemność cieplna metali
4. półprzewodniki samoistne i domieszkowe
poprawa
grupa 1
1. struktura pasmowa wg modelu prawie swobodnych elektronów
2. prawo Ohma wg klasycznej teorii metali
3. kwantowe teorie ciepła właściwego wg Einsteina i Debeya
4. model półprzewodnika typu n
grupa 2
1.Przewodnictwo cieplne ciał stałych
2.Uproszony model izolatora oraz ruchliwości nośników ładunków
3.Zjawisko Meissnera-Wykresy magnesowania dwóch rodzajów
4.Ruch elektronów w jednym wymiarze według teorii pasmowej i pojęcie dziury