1. Szkic belki

A = b x h = 0,5 x 1,0 λ=0,1

B = b x h = 1,2 x 1,4

P₁= 4 [kN]

P₂= 6 [kN]

q₁= 9 [kNm]

q₂= 45 [kNm]

1. Dyskretyzacja belki z zamianą obciążeń skupionych na rozłożone

zamiana obciążenia skupionego na rozłożone

$\text{qP}1 = \frac{P1}{\lambda} = \frac{4\text{kN}}{0,1} =$40

1. Przedstawienie ogólnych różnicowych zależności wykorzystywanych w obliczeniach

Metoda Różnic Skończonych – metoda numeryczna służąca do wykonywania równań różniczkowych.

I Równanie Skończone:

$${\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ }\varphi}_{i} = \frac{- w_{i - 1} + w_{i + 1}}{2\lambda}$$

II Równanie Skończone:

$${\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ }M}_{i} = \frac{1}{\lambda^{2}}\left( - \text{EJi}*\ w_{i - 1} + \ 2\text{EJi}*\ w_{i} - \ \text{EJi}*\ w_{i + 1} \right)$$

III Równanie Skończone:

$T_{i} = \frac{1}{\lambda^{3}}\left\lbrack \frac{1}{2}\text{EJ}_{i - 1}*\ w_{i - 2} - \ \text{EJ}_{i - 1}*\ w_{i - 1} + \frac{1}{2}\left( \text{EJ}_{i - 1} - \text{EJ}_{i + 1} \right)*\ w_{i} + \text{EJ}_{i + 1}*w_{i + 1} - \frac{1}{2}\text{EJ}_{i + 1}*w_{i + 2} \right\rbrack$

IV Równanie Skończone:

$q_{i} = \frac{1}{\lambda^{4}}\left\lbrack \text{EJ}_{i - 1}*w_{i - 2} - 2\left( \text{EJ}_{i - 1} + \text{EJ}_{i} \right)*w_{i - 1} + \left( \text{EJ}_{i - 1} + 4\text{EJ}_{i} + \text{EJ}_{i + 1} \right)w_{i} - 2\left( \text{EJ}_{i} + \text{EJ}_{i + 1} \right)*w_{i + 1} + \text{EJ}_{i + 1}*w_{i + 2} \right\rbrack$

1. Warunki bregowe

1) M₃=-M

$$M_{3} = - EI_{A}\frac{w_{2} - 2w_{3} + w_{4}}{\lambda^{2}}\text{\ \ \ }$$

$$- EI_{A}\frac{w_{2} - 2w_{3} + w_{4}}{\lambda^{2}} = - M\ \ \ /( - \frac{\lambda^{2}}{EI_{A}})$$

$$w_{2} - 2w_{3} + w_{4} = \frac{M\lambda^{2}}{EI_{A}}$$

2) w₃=0

3) M₁₉₃=0

$$M_{193} = - EI_{B}\frac{w_{192} - 2w_{193} + w_{194}}{\lambda^{2}}\text{\ \ \ }$$

$$- EI_{B}\frac{w_{192} - 2w_{193} + w_{194}}{\lambda^{2}}\text{\ \ } = 0\ \ /( - \frac{\lambda^{2}}{EI_{B}})$$

w₁₉₂ − 2w₁₉₃ + w₁₉₄ = 0

4) T₁₉₃=P₂

$$T_{193} = - EI_{B}\frac{- w_{191} + 2w_{192} - 2w_{194} + w_{195}}{2\lambda^{3}}$$

$$P_{2} = - EI_{B}\frac{- w_{191} + 2w_{192} - 2w_{194} + w_{195}}{2\lambda^{3}}\ \ \ \ \ /( - \frac{2\lambda^{3}}{EI_{B}})$$

$$- w_{191} + 2w_{192} - 2w_{194} + w_{195} = - \frac{2\lambda^{3}P_{2}}{EI_{B}}$$

5) w₈₃=0

6) w₁₆₃=0

1. Określenie wektorów

   1. Momet bezwladności

vJ=jB*ones(195,1);

vJ(1:32)=jA;

vJ(33)=2*jA*jB/(jA+jB);

vJ(123)=0;

1|JA
.
.
.
32|JA
33|2*JA*JB/(JA+JB)
34|JB
.
.
.
123|0
.
.
.
195|JB

1. Sztywność podłoża

vK=kB*ones(195,1);

vK(4:32)=kA;

vK(3)=0.5*kA;

vK(193)=0.5*kB;

vK(33)=0.5*(kA+kB);

vK(1:2)=0;

vK(194:195)=0

1|0

2|0

3|0,5*kA

4|kA

.

.

.

32|kA

33|0,5*(kA+kB)

33|kB

.

.

.

192|kB

193|0,5*kB

194|0

195|0

1. Obciążenie

vq=zeros(195,1);

vq(3:193)=(linspace(q1,q2,191))';

vq(53)=vq(53)+qP1;

vq(3)=0.5*q1;

vq(193)=0.5*q2;

1|0

2|0

3|0,5q1

4| q1+ Δq

.

.

.

53|q[53]+qP1

.

.

.

193|0,5q2

194|0

195|0

1. Algorytm w środowisku SCILAB

//DANE

E=30D6;//[KPa}

hA=0.5;//[m]

bA=1;//[m]

hB=1.2;//[m]

bB=1.4;//[m]

Lp=195

C=30000;

P1=4;//KN

P2=6;//KN

M=20;//KNm

q1=9;//KN/m

q2=45;//KN/m

Lambda=0.1;//

//obliczejnia pomocnicze

jA=hA*bA^3/12;

jB=hB*bB^3/12;

kA=C*bA;

kB=C*bB;

//Wektory momentu bezwladnosci

vJ=jB*ones(195,1);

vJ(1:32)=jA;

vJ(33)=2*jA*jB/(jA+jB);

vJ(123)=0;

//wektor sztywnosci podloza

vK=kB*ones(195,1);

vK(4:32)=kA;

vK(3)=0.5*kA;

vK(193)=0.5*kB;

vK(33)=0.5*(kA+kB);

vK(1:2)=0;

vK(194:195)=0;

//Zamianam obciazenia stalego na rozlozone

qP1=P1/Lambda;

//wektor obcizen

vq=zeros(195,1);

vq(3:193)=(linspace(q1,q2,191))';

vq(53)=vq(53)+qP1;

vq(3)=0.5*q1;

vq(193)=0.5*q2;

G=zeros(Lp,Lp);

for i=3:193

G(i,i)=vJ(i-1)+4*vJ(i)+vJ(i+1)+vK(i)*Lambda^4/E;

G(i,i-1)=-2*(vJ(i-1)+vJ(i));

G(i,i+1)=-2*(vJ(i)+vJ(i+1));

G(i,i-2)=vJ(i-1);

G(i,i+2)=vJ(i+1);

end

//Wektor wyrazow wolnych

Q=vq*Lambda^4/E

//warunki brzegowe

G(1,2)=1;G(1,3)=-2;G(1,4)=1;Q(1)=M*Lambda^2/(E*jA);//M[3]=-m

G(2,3)=1;Q(2)=0;//W[3]=0

G($-1,192)=1;G($-1,193)=-2;G($-1,194)=1;G($-1)=0;//M193=0

G($,191)=-1;G($,192)=2;G($,194)=-2;G($,195)=1;Q($)=-(2*Lambda^3*P2/(E*jB));//T193=P2

G(83,:)=0;G(:,83)=0;G(83,83)=1;Q(83)=0;//W83=0

G(163,:)=0;G(:,163)=0;G(163,163)=1;Q(163)=0//W163=0

//rozwiazanie rownania

W=inv(G)*Q;

//obliczenienpozostalych wartosci

fi=zeros(W);

M=zeros(W);

T=zeros(W);

r=zeros(W);

for i=3:193

fi(i)=(-W(i-1)+W(i+1))/2*Lambda;

M(i)=-E*vJ(i)*(W(i-1)-2*W(i)+W(i+1))/Lambda^2;

T(i)=(-E/(2*Lambda^3))*(-vJ(i-1)*(W(i-2)-2*W(i-1)+W(i))+vJ(i+1)*(W(i)-2*W(i+1)+W(i+2)));

r(i)=vK(i)*W(i);

end

W=W(3:Lp-2);

fi=fi(3:Lp-2);

M=M(3:Lp-2);

T=T(3:Lp-2);

r=r(3:Lp-2);

8. Wykresy

8. Sprawdzenie otrzymanych wyników w programie SOLDIS

Ugiecie

Momenty

Tnące

Kąt obrotu

Uniwersytet

Technologiczno–Przyrodniczy

w Bydgoszczy

Metody Obliczeniowe

Obliczenia statyczne belki na podłożu sprężystym przy wykorzystaniu metody różnic skończonych

Dariusz Chlebicki

WBAiIŚ ; budownictwo TOB

sem VIII grupa