Konstrukcje betonowe – projekt hali żelbetowej

1. Wstępny dobór wymiarów konstrukcji

   1. Słup

Rozstaw elementów nośnych: a = 6, 00 m

Długość hali: d = 90, 00 m

1. Cześć nadsuwnicowa

Jako cześć nadsuwnicą przyjmuję słup jednogałęziowy o przekroju prostokątnym o wymiarach:

h = 0, 50 m

b = 0, 50 m

Wysokość słupa w części nadsuwnicowej:

h_g = 3, 00 m

1. Cześć podsuwnicowa i krótki wspornik

Słup w części podsuwnicowej zostanie wykonany jako słup dwugałęziowy o przekroju prostokątnym o wymiarach:

h = 1, 10 m

h_wspornika = 1, 50 m

h_okna = 1, 30 m

b_okna = 0, 50 m

h_galezi = 0, 50 m

b = 0, 50 m

Wysokość słupa w części podsuwnicowej:

h_d = 4, 30 m - wysokość od poziomu terenu do początku części nadsuwnicowej

h_s = 1, 30 m - wysokość od poziomu terenu do miejsca zamocowania w stopie fundamentowej

1. Belka podsuwnicowa

Belka podsuwnicowa żelbetowa prefabrykowana C-2 firmy PPH GRALBET o przekroju teowym L = 6,00 m. Szczegółowe wymiary znajdują się w części rysunkowej projektu.

1. Dźwigar dachowy oraz pokrycie

Prefabrykowany dachowy dźwigar strunobetonowy o rozpiętości 18,00 m SI-500/1200/18,00 firmy CONSOLIS o nachyleniu 6,25 % i szerokości przekroju 0,50 m. Maksymalna wysokość dźwigara dachowego wynosi 1,80 m.

Pokrycie dachowe wykonane jest z płyt kanałowych strunobetonowych HC-200 firmy CONSOLIS o długości 6,00 m, szerokości 1,20 m oraz grubości 0,20 m. Płyty pokryte są wylewką cementową o grubości 3,00 cm, dodatkowo pokryte są warstwą termoizolacji w postaci Styropianu o grubości 10,0 cm oraz dwiema warstwami hydroizolacji – papy termozgrzewalnej.

1. Obudowa zewnętrzna hali - ściany

Obudowa zewnętrzna hali zostanie wykonana elementów zbrojonych z betonu komórkowego YTONG. System ten nie obciąża dodatkowo słupów hali, ponieważ ściany są samonośne. Wymagają one jednak dodatkowej konstrukcji w postaci słupów stalowych, jednak na potrzeby projektu zostaną one pominięte.

1. Stopa fundamentowa

Stopa fundamentowa kielichowa żelbetowa z betonu B45 oraz stali klasy A-III. Wymiary stopy są następujące:

h = 1, 65 m

L = 3, 50 m

B = 2, 90 m

Kształt stopy oraz zbrojenie został pokazana na rysunkach zbrojenia.

1. Zebranie obciążeń

   1. Obciążenie stałe

      1. Obciążenie stałe od konstrukcji dachu przekazane na dźwigar dachowy

Pasmo zbierania obciążeń: a = 6, 00 m

Lp	Warstwa	Grubość [m]	Pasmo zbierania obciążeń [m]	Ciężar objętościowy [kN/m^3], [kN/m^2]	gk [kN/m]
1.	2xPapa termozgrzewalna	0,01	6,00	11,0 [kN/m^3]	0,660
2.	Gładź cementowa	0,03	6,00	19,0 [kN/m^3]	3,420
3.	Płyty styropianowe	0,10	6,00	0,045 [kN/m^3]	0,027
4.	Płyty kanałowe strunobetonowe wraz ze spoinami	0,32	6,00	2,60 [kN/m^2]	15,600
5.	Instalacje	-	6,00	0,30 [kN/m^2]	1,80

∑=21,507 kN/m

g_k = 21, 507 kN/m

$$g_{d} = \gamma_{f} \bullet g_{k} = 1,1 \bullet 21,507\frac{\text{kN}}{m} = 23,66\frac{\text{kN}}{m}\ $$

1. Obciążenie stałe od dźwigara dachowego

Dźwigar dachowy strunobetonowy Consoli SI-500/1200/18,00

g_k, zew = 39, 8 kN/m – maksymalne charakterystyczne obciążenie zewnętrzne konstrukcji dźwigara

L = 18, 00 m

$$g_{k} = 7,80\frac{\text{kN}}{m}$$

$$g_{d} = \gamma_{f} \bullet g_{k} = 7,80\frac{\text{kN}}{m} \bullet 1,1 = 8,58\frac{\text{kN}}{m}$$

1. Łączne obciążenie słupów od ciężaru dachu

$$V_{\text{dachu}} = \frac{23,66\frac{\text{kN}}{m} \bullet 18,00\ m}{2} + \frac{8,58\frac{\text{kN}}{m} \bullet 18,00\ m}{2} = 290,16\ kN$$

Działanie siły V_dachu dodatkowo obciążamy momentem zginającym, ponieważ siła nie działa osiowo.

Ramię działania siły:

$$e = \frac{0,50\ m}{2} \bullet \frac{2}{3} = 0,17\ m$$

Moment:

M = e • V_dachu = 0, 17 m • 290, 16 kN = 49, 33 kNm

1. Obciążenie stałe od belki podsuwnicowej i szyny

Belka podsuwnicowa żelbetowa GRALBET C-2 – dane:

$M_{\text{Rd}} = 473,00\frac{\text{kN}}{m}$ - dopuszczalny moment zginający działający na belkę podsuwnicową

V_Rd = 406, 00 kN - dopuszczalna siła tnąca działający na belkę podsuwnicową

l = 6, 00 m

m = 6250 kg - masa belki

V = 2, 080 m³ - objętość belki

$$g_{k} = \frac{6250\ kg \bullet 10\ \frac{m}{s^{2}}}{6,00\ m} = 10417\frac{N}{m} = 10,417\frac{\text{kN}}{m}$$

$$g_{d} = g_{k} \bullet \gamma_{F} = 10,417\frac{\text{kN}}{m} \bullet 1,1 = 11,46\frac{\text{kN}}{m}$$

Reakcja przekazana na układ nośny:

$$V_{stale,b} = \frac{g_{d} \bullet l}{2} = \frac{11,46\frac{\text{kN}}{m} \bullet 6,00\ m}{2} = 34,38\ kN$$

Szyna kolejowa SD 75 – dane:

m = 56, 6 kg/m

$$g_{k} = 56,6\frac{\text{kg}}{m} \bullet 10\ \frac{m}{s^{2}} = 0,566\frac{\text{kN}}{m}$$

$$g_{d} = g_{k} \bullet \gamma_{F} = 0,566\frac{\text{kN}}{m} \bullet 1,1 = 0,62\frac{\text{kN}}{m}$$

Reakcja przekazana na układ nośny:

$$V_{\text{szyny}} = \frac{g_{d} \bullet l}{2} = \frac{0,62\frac{\text{kN}}{m} \bullet 6,00\ m}{2} = 1,86\ kN$$

V_{na wspornik} = V_stale, b + V_szyny = 34, 38 kN + 1, 86 kN = 36, 24 kN

Obciążenie zmienne

ψ₀ = 0, 7

$$q_{k} = 0,50\frac{\text{kN}}{m^{2}}$$

$${q_{k}}^{I} = 0,50\frac{\text{kN}}{m^{2}} \bullet 6,00\ m = 3,00\ kN/m$$

$$q_{d} = q_{k} \bullet \gamma_{Q} \bullet a = 0,50\frac{\text{kN}}{m^{2}} \bullet 1,3 \bullet 6,00\ m = 3,90\ kN/m$$

$$V_{uzytkowe,\ dach} = \frac{3,90\frac{\text{kN}}{m} \bullet 18,00\ m}{2} = 35,10\ kN$$

Ramię działania siły:

$$e = \frac{0,50\ m}{2} \bullet \frac{2}{3} = 0,17\ m$$

Moment:

M = e • V_{uzytkowe,  dach} = 0, 17 m • 35, 10 kN = 5, 97 kNm

• Obciążenie śniegiem na podstawie PN-B-80/02010

ψ₀ = 0, 9

Wzór: s_k = Q_k • C

s_k – charakterystyczne obciążenie śniegiem dachu$,\ \frac{\text{kN}}{m^{2}}$

Q_k – charakterystyczne obciążenie śniegiem gruntu, $\frac{\text{kN}}{m^{2}}$

C – współczynnik kształtu dachu

W schemacie statycznym przyjęto, że dach jest płaski. W rzeczywistości jest on nachylony pod kątem 2,8^o

Wyznaczenie charakterystycznego obciążenia śniegiem gruntu:

Wzór: $Q_{k} = q_{k} \bullet \overset{\overline{}}{R}$

Szczecin (woj. Zachodniopomorskie) znajduje się w I strefie obciążenia śniegiem gruntu.

$$q_{k} = 0,29\ m\ i\ \overset{\overline{}}{R} = 2,45\frac{\text{kN}}{m^{3}}$$

Zatem: $Q_{k} = 2,45 \bullet 0,29 = 0,71\ \frac{\text{kN}}{m^{2}}$

Wyznaczenie współczynnika kształtu dachu: C₁=C₂=0,8 dla kąta nachylenia dachu: 2,8^o

Wyznaczenie charakterystycznego obciążenia śniegiem dachu:

$$s_{k} = Q_{k} \bullet C = 0,71 \bullet 0,8 = 0,57\ \frac{\text{kN}}{m^{2}}\ $$

$$S_{k,1} = s_{k} \bullet a = 0,57\frac{\text{kN}}{m^{2}} \bullet 6,00\ m = 3,42\ kN/m$$

$S_{d,1} = S_{k,1} \bullet \gamma_{f} = 3,42\frac{\text{kN}}{m} \bullet 1,4 = 4,79\ kN/m$

$V_{s1} = \frac{4,79\frac{\text{kN}}{m} \bullet 18,00\ m}{2} = 43,11\ kN$

Ramię działania siły:

$$e = \frac{0,50\ m}{2} \bullet \frac{2}{3} = 0,17\ m$$

Moment:

M_s1 = e • V_s1 = 0, 17 m • 43, 11 kN = 7, 33 kNm

Obciążenie śniegiem zmniejszone o połowe:

$$S_{k,2} = 0,5s_{k} \bullet a = 0,5 \bullet 0,57\frac{\text{kN}}{m^{2}} \bullet 6,00\ m = 1,71\ kN/m$$

$$S_{d,2} = S_{k,2} \bullet \gamma_{f} = 1,71\frac{\text{kN}}{m} \bullet 1,4 = 2,39\ kN/m$$

$$V_{s2} = \frac{2,39\frac{\text{kN}}{m} \bullet 18,00\ m}{2} = 21,56\ kN$$

Ramię działania siły:

$$e = \frac{0,50\ m}{2} \bullet \frac{2}{3} = 0,17\ m$$

Moment:

M_s2 = e • V_s2 = 0, 17 m • 21, 56 kN = 3, 67 kNm

• Obciążenie wiatrem na podstawie PN-B-02011

Wzór: p_k = q_k • C_e • C • β, gdzie:

q_k – charakterystyczne ciśnienie prędkości wiatru, [Pa]

C_e – współczynnik ekspozycji,

C – współczynnik aerodynamiczny

β - współczynnik działania porywów wiatru

Charakterystyczne ciśnienie prędkości wiatru:

Szczecin znajduje się w I strefie obciążenia wiatrem.

$q_{k} = 250\ GPa = 0,25\ \frac{\text{kN}}{m^{2}}$

Współczynnik ekspozycji:

Wybrano rodzaj terenu:

B – teren zabudowany przy wysokości istniejących budynków do 10 m

C_e=0,8.

Współczynnik aerodynamiczny:

C_p = C_z − C_w

Dla budowli zamkniętych C_w = 0 i C_p = C_z Na podstawie Załącznika 1 wyznaczono:

Wysokość hali liczona od wierzchu gruntu : H = 8,50 m

Stąd przyjęto: +0,7 -0,4

C_p = +0, 7 i C_z = −0, 4 Wiatr

Współczynnik działania porywów wiatru:

Przyjęto wartość β=1,8 dla budowli niepodatnych na dynamiczne działanie wiatru.

Wyznaczenie charakterystycznego obciążenia wiatrem na jednostkę powierzchni p_k:

Charakterystyczna wartość parcia wiatru: $p_{\text{kp}} = 0,25 \bullet 0,8 \bullet 1,8 \bullet 0,7 = 0,25\ \frac{\text{kN}}{m^{2}}$

Charakterystyczna wartość ssania wiatru: $p_{\text{ks}} = 0,25 \bullet 0,8 \bullet 1,8 \bullet \left( - 0,4 \right) = - 0,14\ \frac{\text{kN}}{m^{2}}\ $

Do obliczeń przyjęto:

a = 8,50 m – wysokość budynku od poziomu gruntu

Obciążenie obliczeniowe wiatrem na powierzchnie ścian:

$${\overset{\overline{}}{p}}_{\text{kp}} = p_{\text{kp}} \bullet a \bullet \gamma_{f} = 0,25\frac{\text{kN}}{m^{2}} \bullet 8,50\ m \bullet 1,3 = 2,76\ \frac{\text{kN}}{m}$$

$${\overset{\overline{}}{p}}_{\text{ks}} = p_{\text{ks}} \bullet a \bullet \gamma_{f} = - 0,14\frac{\text{kN}}{m^{2}} \bullet 8,50\ m \bullet 1,3 = - 1,55\ \frac{\text{kN}}{m}$$

ψ₀ = 0, 8

Parcie oraz ssanie wiatru na powierzchnie dachu zostało pominięte, ponieważ przy tak małych nachyleniach połaci występuję głównie ssanie, które odciąża konstrukcje dachu, dlatego na potrzeby projektu akademickiego zostaje ono pominięte.

1. Obciążenie suwnicą

Do projektu została przyjęte dwie suwnice dwudźwigarowa firmy ABUS typu ZLK o udźwigu 20000 kg o długości L =16 m.

Grupa natężenia pracy: A3

S	A1	K1	C1	L1	L2	Zmin	Hmax	R	LK	Nacisk kół, KN
m	mm	mm	mm	mm	mm	mm	mm	mm	mm	Rmax
16	460	1330	-130	820	820	180	10000	2900	1865	119

Ilość suwnic pracujących na jednym poziomie: 2

Udźwig: Q = 200 kN

Wysokość podnoszenia: h_p = 5,0 m

Rozstaw kół w jednej suwnicy:

R = 2900 mm = 2, 90 m

Odległość pomiędzy kołami sąsiednich suwnic:

$$e = 2 \bullet \left( LK - \frac{R}{2} \right) = 2 \bullet \left( 1865 - \frac{2900}{2} \right) = 830\ mm = 0,83\ m$$

1. Współczynniki

Dla grupy A3 :

γ_f = 1, 10

ψ₂ = 0, 6

ψ₀ = 1, 0

Współczynniki dynamiczne:

φ_dyn = 1, 2- belki podsuwnicowe

φ_dyn = 1, 1- słupy

φ_dyn = 1, 0 - fundamenty

1. Obliczenie reakcji pionowych kół suwnicy

Obliczenie ciężaru własnego suwnicy:

G = 2(R_min+0,9R_min) = 2(23,8 kN+0,9•23,8 kN) = 90, 44 kN

Obliczenie reakcji kół suwnicy:

Q_max = R_max = 119, 0 kN

$$Q_{(\max)} = 0,9R_{\min} + \left( \frac{L_{1}}{L_{s}} \right) \bullet \frac{Q}{2} = 0,9 \bullet 23,8\ kN + \left( \frac{0,82\ m}{16,00\ m\ } \right) \bullet \frac{200,00\ kN}{2} = 26,545\ kN$$

1. Obliczenie reakcji poziomych kół suwnicy

$$\frac{L_{s}}{R} = \frac{16,00\ m}{2,90\ m} = 5,52$$

β = 0, 05 • 5, 52 = 0, 28

H_T, max = 0, 28 • Q_max = 0, 28 • 119, 00 kN = 32, 83 kN

H_T, (max) = 0, 28 • Q_(max) = 0, 28 • 26, 545 kN = 7, 43 kN

1. Maksymalne oddziaływanie na belkę podsuwnicową

Rozpiętość belki podsuwnicowej wynosi 6,00 m

$$k = \frac{e}{L_{b}} = \frac{0,83\ m}{6,00\ m} = 0,14\ $$

Oddziaływania pionowe:

$$M_{s} = \frac{2Q_{\max}}{L_{b}}\left( \frac{L_{b}}{2} - \frac{e}{4} \right)^{2} = \frac{2 \bullet 119,00\ kN}{6,00\ m}\left( \frac{6,00\ m}{2} - \frac{0,83\ m}{4} \right)^{2} = 309,32\ kNm$$

M_k = φ_dyn • M_s = 1, 2 • 309, 32 kNm = 369, 14 kNm - wartość charakterystyczna

$$V_{s} = 3 \bullet R_{m\text{ax}} - \frac{1}{6}\left\lbrack e \bullet Q_{\max} + \left( e + R \right) \bullet Q_{\max} \right\rbrack = 3 \bullet 119\ kN - \frac{1}{6}\left\lbrack 0,83\ m \bullet 119\ kN + \left( 0,83\ m + 2,90\ m \right) \bullet 119\ kN \right\rbrack = 266,56\ kN$$

V_k = φ_dyn • V_s = 1, 2 • 266, 56 kN = 319, 87 kN - wartość charakterystyczna

Oddziaływania poziome:

Zgodnie z normą budowlaną PN-86/B-02005 w suwnicach pomostowych natorowych należy przyjmować, że siły poziome prostopadłe do toru działają na jedna belkę toru przez obrzeża kół lub poziome rolki prowadzące jednego naroża suwnicy tak jak na rysunku poniższym.

Dodatkowo norma mówi, że wartości charakterystyczne obliczone wg pkt. 2.4.3. dla suwnic z napędem mechanicznym przyjmować należy tylko dla jednej suwnicy, najniekorzystniej oddziaływującej na rozpatrywany tor jezdny lub konstrukcje wsporcza. Dla pozostałych suwnic wartości te należy zmniejszać o połowę, lecz nie więcej niż do 0, 1Q_maxdla suwnic natorowych i 0, 05Q_max dla suwnic podwieszonych.

W projekcie występują dwie suwnice, więc:

H_{T, max, 1} = 0, 28 • Q_max = 0, 28 • 119, 00 kN = 32, 83 kN

$$H_{T,max,2} = \frac{0,28}{2} \bullet Q_{\max} = 0,28 \bullet 119,00\ kN = 16,66\ kN$$

Najbardziej niekorzystny schemat statyczny obciążeń poziomych działających na belkę podsuwnicową:

$$V_{T} = \frac{H_{T,max,1} \bullet L_{b} + H_{T,max,2} \bullet {(L}_{b} - e)}{L_{b}} = \frac{32,83\ kN \bullet 6,00\ m + 16,66\ kN \bullet \left( 6,00\ m - 0,83\ m \right)}{6,00\ m} = 47,19\ kN$$

Wartości charakterystyczne:

V_T, k = φ_dyn • V_T = 1, 2 • 47, 19 kN = 56, 62 kN

1. Oddziaływania na słup

Oddziaływania pionowe:

Przyłożenie na górnej powierzchni wspornika słupa:

V_max = V_s = 266, 56 kN

Na przeciwległym słupie:

$$V_{\left( \max \right)} = V_{s}\left( \frac{Q_{\left( \max \right)}}{Q_{\max}} \right) = 266,56\ kN \bullet \left( \frac{26,545\ kN}{119\ kN} \right) = 50,46\ kN$$

Wartości charakterystyczne:

V_max, k = φ_dyn • V_max = 1, 1 • 266, 56 kN = 293, 22 kN

V_(max), k = φ_dyn • V_(max) = 1, 1 • 50, 46 kN = 55, 51 kN

Wartości obliczeniowe:

V_max, Ed = γ_F • V_max, k = 1, 1 • 293, 22 kN = 322, 54 kN

V_(max), Ed = γ_F • V_(max), k = 1, 1 • 55, 51 kN = 61, 06 kN

Wartości obliczeniowe w kombinacji prawie stałej:

V_max, Ed = ψ₂ • γ_F • V_max, k = 0, 6  • 1, 1 • 293, 22 kN = 193, 52  kN

V_(max), Ed = ψ₂ • γ_F • V_(max), k = 0, 6 • 1, 1 • 50, 46 kN = 36, 64 kN

Oddziaływania poziome:

Przyłożone do górnej gałęzi słupa, u góry belki

V_H, max = V_T = 47, 19 kN

Wartość charakterystyczne:

V_{H, max, k} = φ_dyn • V_H, max = 1, 1 • 47, 19 kN = 51, 91 kN

Wartości obliczeniowe:

V_{H, max, Ed} = γ_F • V_{H, max, k} = 1, 1 • 51, 91 kN = 57, 10 kN

Ramię działania siły poziomej:

e = 1, 35 m

Moment:

M_{H, max, Ed} = e • V_s2 = 1, 35 m • 57, 10 kN = 77, 08 kNm

Wartości obliczeniowe w kombinacji prawie stałej:

V_{H, max, Ed} = ψ₂ • γ_F • V_{H, max, k} = 0, 6 • 1, 1 • 51, 91 kN = 34, 26 kN

1. Sprawdzenie belki podsuwnicowej:

   1. Sprawdzenie na maksymalną dopuszczalną siłę poprzeczną:

OBCIĄŻENIA:

OBCIĄŻENIA: ([kN],[kNm],[kN/m])

------------------------------------------------------------------

Pręt: Rodzaj: Kąt: P1(Tg): P2(Td): a[m]: b[m]:

------------------------------------------------------------------

Grupa: G "" Zmienne f= 1,20

1 Skupione 0,0 119,00 0,00

1 Skupione 0,0 119,00 0,83

1 Skupione 0,0 119,00 3,73

------------------------------------------------------------------

REAKCJE PODPOROWE:

REAKCJE PODPOROWE: T.I rzędu

Obciążenia obl.: G

------------------------------------------------------------------

Węzeł: H[kN]: V[kN]: Wypadkowa[kN]: M[kNm]:

------------------------------------------------------------------

1 0,00 319,87 319,87

2 0,00 108,53 108,53

------------------------------------------------------------------

T_max = 319, 87 kN

T_max ≤ T_dop

319, 87 kN < 406, 00 kN

Belka na siłę poprzeczną dobrana poprawnie.

1. Sprawdzenie belki podsuwnicowej na maksymalny dopuszczalny moment zginający

OBCIĄŻENIA:

OBCIĄŻENIA: ([kN],[kNm],[kN/m])

------------------------------------------------------------------

Pręt: Rodzaj: Kąt: P1(Tg): P2(Td): a[m]: b[m]:

------------------------------------------------------------------

Grupa: G "" Zmienne f= 1,20

1 Skupione 0,0 119,00 2,58

1 Skupione 0,0 119,00 3,42

------------------------------------------------------------------

MOMENTY:

M_max = 369, 14 kNm

Belka podsuwnicowa GRALBET typu C-2: M_dop = 473, 00 kNm

M_max ≤ M_dop

369, 14 kNm < 473, 00 kNm

Belka podsuwnicowa na moment zginający dobrana poprawnie.

Belka podsuwnicowa dobrana poprawnie.

1. Sprawdzenie dźwigara dachowego

Obciążenie charakterystyczne od konstrukcji dachu: $g_{k_{\text{dachu}}} = 21,507\frac{\text{kN}}{m}$

Obciążenie charakterystyczne od śniegu: ${\text{\ s}_{1}}^{I} = 3,42\frac{\text{kN}}{m}$

Obciążenie charakterystyczne od obciążeni użytkowego: ${q_{k}}^{I} = 0,50\frac{\text{kN}}{m^{2}} \bullet 6,00\ m = 3,00\frac{\text{kN}}{m}$

Dopuszczalne obciążenie charakterystyczne dźwigara: $q_{ch,zew} = 39,8\frac{\text{kN}}{m}$

g_kdachu +  s₁^I + q_k^I ≤ q_ch, zew

$$21,507\frac{\text{kN}}{m} + 3,42\frac{\text{kN}}{m} + 3,00\frac{\text{kN}}{m} \leq 39,8\frac{\text{kN}}{m}$$

$$27,93\frac{\text{kN}}{m}\ < 39,8\frac{\text{kN}}{m}$$

Dźwigar dachowy dobrany poprawnie

1. Obliczenia zbrojenia w poszczególnych elementach

   1. Słup – część nadsuwnicowa

Dane:

M_sd = - 75,05 kNm

N_sd = - 391,14 kN

L_col = 3,00 m

h = 50 cm

b = 50 cm

A_c =50 cm x 50 cm = 2500 cm²

Beton B45

f_cd = 23,3 MPa = 2,33 $\frac{\text{kN}}{cm^{2}}$

E_cm = 34 GPa

Stal A-III

f_yd = 350 MPa = 350 000 $\frac{\text{kN}}{m^{2}}$ = 35 $\frac{\text{kN}}{cm^{2}}$

E_s = 200 GPa

Długość obliczeniowa l₀

l₀ = 2,5 · l_u

l_u = 3,00 m = 300 cm

l₀ = 2,5 · 300 cm = 750 cm = 7,50 m

Mimośrody siły podłużnej:

Konstrukcyjny:

e_e = $\left| \frac{M_{\text{sd}}}{N_{\text{sd}}} \right|$ = $\left| \frac{- 75,05\ kNm}{- 391,14\text{\ kN}} \right|$ = 0,192 m = 19,2 cm = 192 mm

Przypadkowy:

e_a = max ($\ \frac{l_{\text{col}}}{600};\frac{h}{30};10\ $)mm = max ($\ \frac{300}{600}$; $\frac{500}{30}$; 10 )mm = 17 mm

Początkowy:

e₀ = e_a + e_e = 192 mm + 17 mm = 209 mm

Smukłość słupa:

Nośność elementów ściskanych należy sprawdzić z uwzględnieniem ich smukłości jeżeli zachodzą warunki:

$$I_{c} = \frac{50 \bullet 50^{3}}{12} = 520833\ \text{cm}^{4}$$

$\frac{l_{o}}{i}$ > 25 i = $\sqrt{\frac{I_{c}}{A_{c}}}$ = $\sqrt{\frac{520833}{2500}}$ = 14,4 cm $\frac{750}{14,4}$ = 52,08 > 25

$\frac{l_{o}}{h}$ > 7 $\frac{750}{50}$ = 15 > 7

Należy uwzględnić wpływ wyboczenia

Sumaryczny stopień zbrojenia

ρ_s > ρ_min = A_s,min/A_c

A_c = 2500 cm²

A_s,min = 0,003A_c = 0,003 · 2500 cm² = 7,50 cm²

A_s,min = 0,15$\frac{N_{\text{sd}}}{f_{\text{yd}}}$ = 0,15 · $\frac{391,14}{35\ \frac{\text{kN}}{cm^{2}}}$ = 1,67 cm²

ρ_min =$\ \frac{7,50\ \text{cm}^{2}}{2500\ \text{cm}^{2}}$ = 0,003

Przyjmuję ρ_s = 0,005 > 0,003

Dla słupa przyjmuję wymiary a₁ = a₂ = 40 mm

Obliczenie siły krytycznej

$$N_{\text{crit}} = \ \frac{9}{{l_{0}}^{2}}\left\lbrack \frac{E_{\text{cm}}I_{c}}{{2k}_{\text{lt}}}\left( \frac{0,11}{0,1 + \frac{e_{0}}{h}\ } + 0,1 \right) + E_{s}I_{s} \right\rbrack$$

Wartości znane:

l₀ = 8,62 m

E_cm = 34 GPa = 34 000 MPa = 3 400 $\frac{\text{kN}}{cm^{2}}$

I_c = 520833 cm⁴

E_s = 200 GPa = 200 000 MPa = 20 000 $\frac{\text{kN}}{cm^{2}}$

Wartości szukane:

Moment bezwładności przekroju zbrojenia względem środka ciężkości przekroju betonu:

I_s = ?

I_s = ρ_s· A_c (0,5h – a_1,2)² = 0,005 · 2500 cm²(0,5 · 50 cm – 4 cm)² = 5512 cm⁴

Współczynnik wyrażający wpływ oddziaływania długotrwałego:

k_lt = ?

k_lt = 1 + 0,5 · $\frac{N_{sd,lt}}{N_{\text{sd}}}O_{\left( \infty,to \right)}$

N_sd, lt = - 348,03 kN – część długotrwała obciążenia

$$h_{0} = \frac{2A_{c}}{u} = \ \frac{2 \bullet 2500}{4 \bullet 50} = 25,00\ cm = 250\ mm$$

O_(∞,to) = 2, 11

k_lt = 1 + 0,5 · $\frac{- 348,03\ kN}{- 391,14\text{\ kN}}$ · 2,11 = 1,94

Stosunek mimośrodu początkowego do wysokości przekroju słupa

$\frac{e_{0}}{h}$ = ?

$\frac{e_{0}}{h}$ ≥ 0,5 – 0,01 $\frac{l_{0}}{h}$ - 0,01f_cd = 0,5 – 0,01 · $\frac{750}{50}$ - 0,01 · 23,3 MPa = 0,117

$\frac{e_{0}}{h}$ ≥ 0,05

$\frac{20,9\ cm}{50\ cm}$ = 0,418

Do wzoru na normalną siłę krytyczną podstawiam $\frac{e_{0}}{h}$ = 0,418

Podstawiam wszystkie wartości do wzoru:

$$N_{\text{crit}} = \ \frac{9}{{(750\ cm)}^{2}}\left\lbrack \frac{3400\ \frac{\text{kN}}{cm^{2}} 520833\ \text{cm}^{4}\ }{2 1,94}\left( \frac{0,11}{0,1 + 0,418\ } + 0,1 \right) + 20000\ \frac{\text{kN}}{cm^{2}} 5512\ \text{cm}^{4} \right\rbrack$$

= 4044, 78 kN

Na podstawie normalnej siły krytycznej wyznaczam współczynnik η, który uwzględni wpływ smukłości na nośność ściskanych elementów.

η = $\frac{1}{1 - \frac{N_{\text{sd}}}{N_{\text{crit}}}}$ = $\frac{1}{1 - \frac{391,14\ kN}{4044,78\ kN}}$ = 1,15

Mimośród całkowity:

e_tot = η·e₀

e_tot = 1,15· 209 mm = 240 mm

Mają obliczony założony mimośród całkowity mogę przystąpić do projektowania zbrojenia w słupie.

Założenia do projektowania zbrojenia:

c_min = 30 mm

a₁ = a₂ = 4,0 cm = a

d = h – a₁ = 50 cm – 4,0 cm = 46,0 cm

Projektowanie zbrojenia rozpoczynamy od założenia, że mamy do czynienia ze ściskaniem z dużym mimośrodem.

Duży mimośród: x_eff ≤ x_eff,lim

e_s1 = e_tot + 0,5h – a = 24,0 cm + 0,5 · 50 cm – 4,0 cm = 45,0cm

e_s2 = |e_tot – 0,5h + a| = |24,0 cm - 0,5 · 50 cm + 4,0 cm| = 3,0 cm

N_sd = f_cd · b · x_eff + A_s2 · f_yd – k_s · A_s1 · f_yd

Dla założeń A_s1 = A_s2 oraz k_s= 1,0 otrzymujemy:

N_sd = f_cd · b · x_eff

x_eff = $\frac{N_{\text{sd}}}{f_{\text{cd}}\ \ b}$ = $\frac{391,14\ \text{kN}}{2,33\ \frac{\text{kN}}{cm^{2}}\text{\ \ } 50\ cm}$ = 3,4 cm

x_eff,lim = ξ_eff,lim · d ξ_eff,lim = 0,53 dla stali A-III

x_eff,lim = 0,53 · 46,0 cm = 24,4 cm

x_eff < x_eff,lim

A_s1 = A_s2 = $\frac{N_{\text{sd}}\left( e_{s1} - d + 0,5x_{\text{eff}} \right)}{f_{\text{yd}}(d - a)}$ = $\frac{391,14\ \text{kN}\left( 45,0\ \text{cm} - 46,0\text{cm} + 0,5 3,0\ \text{cm} \right)}{35\frac{\text{kN}}{cm^{2}}(46,0\ \text{cm} - 4,0\ \text{cm})}$ = 0,13 cm²

A_s1 + A_s2 = A_s ≥ A_s,min

A_s,min = 0,003A_c = 0,003 · 2500 cm² = 7,50 cm²

A_s,min = 0,15$\frac{N_{\text{sd}}}{f_{\text{yd}}}$ = 0,15 · $\frac{391,14\ \text{kN}}{35\ \frac{\text{kN}}{cm^{2}}}$ = 1,67 cm²

W tym wypadku przyjmuję:

A_s1 = A_s2 = 8,04 cm² (4#16) - w praktyce w słupach nie stosuję się prętów o średnicy mniejszej od 16 mm do zbrojenia słupów (minimalna średnica do zbrojenia słupów to Ø12 mm)

16,08 cm² > 7,50 cm²

$\rho = \ \frac{A_{s1} + A_{s2}}{A_{c}} = \ \frac{16,08\ cm^{2}}{2500\ cm^{2}} = 0,0064$

ρ_s = 0,005

$\rho = \ \left| \frac{\rho_{s} + \rho}{2}\ \right| \in {(0,8\rho}_{s};1,2\rho_{s})$

$\rho = \ \left| \frac{0,005 + 0,0064}{2}\ \right| = 0,0057\ \in (0,004;0,006)$ - stopień zbrojenia dobrany poprawnie

Sprawdzenie warunków nośności:

x_eff = $(d - e_{s1}) + \sqrt{{(d - e_{s1})}^{2} + \frac{2f_{\text{yd}}(A_{s1}e_{s1} + A_{s2}e_{s2})}{f_{\text{cd}} \bullet b}}$ = $(46,0\ \text{cm} - 45,0\ \text{cm}) + \sqrt{{(46,0\ \text{cm} - 45,0\ \text{cm})}^{2} + \frac{2 \bullet 35\ \frac{\text{kN}}{cm^{2}}(8,04\ cm^{2}\ \bullet 45,0\ \text{cm}\ + 8,04\ cm^{2}\ \bullet 3,0\ \text{cm})}{2,33\frac{\text{kN}}{cm^{2}}\ \bullet 50\ \text{cm}}}$ = 16,3 cm

x_eff < x_eff,lim

16,3 cm < 24,38 cm

Warunki nośności:

1. N_sd ≤ f_cd· b · x_eff + A_s2 · f_yd - A_s1 · f_yd ·k_s

2. N_sd ≤ $\frac{1}{e_{s1}}$(f_cd· b · x_eff (d – 0,5 x_eff) + A_s2 · f_yd (d – a₂))

k_s = 1, 0

N_sd ≤ f_cd · b · x_eff

391,14 kN ≤ 2,33$\frac{\text{kN}}{cm^{2}}$· 50 cm · 16,3 cm

391,14 kN < 1898,95 kN - warunek spełniony

N_sd ≤ $\frac{1}{e_{s1}}$(f_cd · b · x_eff (d – 0,5 x_eff) + A_s2 · f_yd (d – a₂))

391,14 kN ≤ $\frac{1}{45,0\ \text{cm}}$(2,33$\frac{\text{kN}}{cm^{2}}$· 50 cm · 16,3 cm (46,0 cm – 0,5 · 16,3 cm) + 8,04 cm² · 35$\frac{\text{kN}}{cm^{2}}$ (46,0 cm – 4,0 cm))

391,14 kN < 1791,08 kN – warunek spełniony

Przyjęcie średnicy strzemion:

$$\varnothing_{s} \geq \left\{ \begin{matrix} 0,2\varnothing_{glownego} = 0,2 \bullet 16\ mm = 3,2\ mm \\ 5,5\ mm \\ \end{matrix} \right.\ $$

Przyjmuję: ⌀_s = 6 mm, stal klasy A-I

Wyznaczenie rozstawu strzemion:

$$s\ \leq min\left\{ \begin{matrix} 15\varnothing = 15 \bullet 16\ mm = 240\ mm \\ 400\ mm \\ b = 50\ cm = 500\ mm \\ \end{matrix} \right.\ $$

Przyjmuję strzemiona dwucięte ⌀_s = 6 mm w rozstawie co 200 mm i w rozstawie 100 mm na długości zakładu. W strefie oparcia dźwigara strzemiona będą rozmieszczone co 50 mm.

Długość zakładu i zakotwienia

Długość zakotwienia:

$$l_{\text{bd}} = \alpha_{a}l_{b}\frac{A_{s,req}}{A_{s,prov}} \geq l_{b,min}$$

α_a = 1, 0

$$l_{b} = \frac{\varnothing}{4} \bullet \frac{f_{\text{yd}}}{f_{\text{bd}}} = \frac{16\ mm}{4} \bullet \frac{350\ MPa}{3,4\ MPa} = 412\ mm = 41,2\ cm$$

$$l_{\text{bd}} = 1,0 \bullet 41,2\ cm\frac{7,50\ \text{cm}^{2}}{16,08\ \text{cm}^{2}\ } = 19,2\ cm > 16\ cm$$

Długość zakładu:

l_s = l_bd • α₁ ≥ l_s, min

α₁ = 1, 0 - pręty ściskane

l_s = 41, 2 cm • 1, 0 = 41, 2 cm > 20 cm

Sprawdzenie słupa na docisk dźwigara dachowego:

Słup wstępnie nie jest zbrojony dodatkowo na docisk, więc sprawdzamy czy beton przeniesie naprężenia od docisku dźwigara.

N_sd = 368, 37 kN

f_cud = v_cu • f_cd

$$v_{\text{cu}} = \omega_{u} - \frac{\sigma_{\text{cum}}}{f_{\text{cd}}}(\omega_{u} - 1)$$

A_c0 = 50 cm • 25 cm = 1250 cm²

A_c1 = 50 cm • 50 cm = 2500 cm²

$$\omega_{u} = \sqrt{\frac{A_{c1}}{A_{c0}}} = \sqrt{\frac{1250\ \text{cm}^{2}}{2500\ \text{cm}^{2}}} = 0,71$$

σ_cum = 0 MPa

v_cu = 0, 71

f_cud = v_cu • f_cd = 0, 71 • 23, 3 MPa = 16, 48 MPa = 1, 65 kN/cm²

N_sd ≤ N_rd = α_uf_cudA_c0

$$\alpha_{u} = \frac{1}{3}(2 + \frac{\sigma_{u,min}}{\sigma_{u,max}})$$

Rozkład naprężeń od dźwigara dachowego przyjmuje postać rozkładu trójkątnego gdzie:

σ_u, min = 0, więc:

$$\alpha_{u} = \frac{2}{3}$$

$$368,37\ kN \leq \frac{2}{3} \bullet 1,65\frac{\text{kN}}{\text{cm}^{2}} \bullet 1250\ \text{cm}^{2}$$

368, 37 kN ≤ 1375 kN

Warunek spełniony, dodatkowe zbrojenie na docisk nie jest wymagane.

1. Słup dwugałęziowy – część podsuwnicowa

Wartości sił przekrojowych:

Przypadek 1 – maksymalny moment zginający i minimalna siła normalna

M_sd = −582, 44 kNm

N_sd = −692, 24 kN

Przypadek 2 – maksymalna siła normalna i minimalny moment zginający

M_sd = 136, 39 kNm

N_sd = −770, 45 kN

Dane geometryczno:

l_col = 4, 30 m

h = 110 cm = 1, 10 m

b = 50 cm = 0, 5 m

c = 80 cm = 0, 80m

A_c = 2 • 50 • 30 = 3000 cm²

Dane materiałowe:

Beton B45:

$f_{\text{cd}} = 23,3\ \text{MPa} = 2,23\frac{\text{kN}}{cm^{2}}$

$E_{\text{cm}} = 34\ \text{GPa} = 34\ 000\ \text{MPa} = 3400\frac{\text{kN}}{cm^{2}}$

Stal A-III:

$f_{\text{yd}} = 350\ \text{MPa} = 350\ 000\frac{\text{kN}}{m^{2}} = 35\frac{\text{kN}}{cm^{2}}$

$E_{s} = 210\ \text{GPa} = 21000\frac{\text{kN}}{cm^{2}}$

Wyznaczenie długości obliczeniowej słupa dwugałęziowego l₀

l₀ = 1, 6 • l_α • l_col

$$l_{\alpha} = \sqrt{\frac{\eta_{1,2}^{2} + \left( \frac{N_{d}}{N_{g}} - 1 \right) \bullet \eta_{1,1}^{2}}{\frac{N_{d}}{N_{g}}}}$$

$$l_{0} = 1,6 \bullet h_{d} \bullet \sqrt{\frac{\eta_{1,2}^{2} + \left( \frac{N_{d}}{N_{g}} - 1 \right) \bullet \eta_{1,1}^{2}}{\frac{N_{d}}{N_{g}}}}$$

Dla górnej części słupa dwugałęziowego:

N_g = 391, 14 kN.

Dla dolnej części słupa dwugałęziowego:

N_d = 770, 45 kN

Wartość współczynników η zależy od wielkości $\beta_{1} = \frac{h_{g}}{h_{d}}$ i $n = \frac{I_{g}}{I_{d}}$

h_d = 300 cm $I_{g} = I_{c} = \frac{50 \bullet 50^{3}}{12} = 520833\ cm^{4}$

h_g = 430 cm $I_{d} = 2 \bullet (\frac{50 \bullet 30^{3}}{12} + 50 \bullet 30 \bullet 40^{2}) = 5025000\ cm^{4}$

$\beta_{1} = \frac{h_{g}}{h_{d}} = \frac{300}{430} = \mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{70}$ $n = \frac{I_{g}}{I_{d}} = \frac{520833}{5025000} = 0,104 \approx \mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{1}$

η_1, 1 = 1, 36

η_1, 2 = 2, 46

$l_{0} = 1,6 \bullet h_{d} \bullet \sqrt{\frac{\eta_{1,2}^{2} + \left( \frac{N_{d}}{N_{g}} - 1 \right) \bullet \eta_{1,1}^{2}}{\frac{N_{d}}{N_{g}}}} = 1,6 \bullet 430 \bullet \sqrt{\frac{{2,46}^{2} + \left( \frac{770,45}{391,14} - 1 \right) \bullet {1,36}^{2}}{\frac{770,45}{391,14}}} = 1373\ \text{cm} = 13,73\ m$

Wyznaczenie współczynnika η

Mimośród siły podłużnej:

e₀ = e_e + e_a

Mimośród konstrukcyjny e_e

Dla krzywoliniowego wykresu momentów zginających:

$e_{e} = \left| \frac{M_{\text{sd}}}{N_{\text{sd}}} \right| = \left| \frac{582,44}{692,24} \right| = 0,84\ m = 84\ \text{cm} = 840\ \text{mm}$

Mimośród przypadkowy e_a:

$$e_{a} = \max\left\{ \begin{matrix} \frac{l_{\text{col}}}{600} = \frac{430}{600} = 0,72\ \text{cm} = 7,2\ \text{mm} \\ \frac{h}{30} = \frac{110}{30} = 3,67\ \text{cm} = 36,7\ \text{mm} \approx \mathbf{37}\mathbf{\ }\mathbf{\text{mm}} \\ 10\ \text{mm} \\ \end{matrix} \right.\ $$

e_a = 37 mm = 3, 7 cm

Mimośród początkowy e₀:

e₀ = e_e + e_a = 840 + 37 = 877 mm

Sumaryczny stopień zbrojenia:

ρ_s > ρ_min = A_s, min/A_c

W elementach żelbetowych ściskanych o polu przekroju betonowego A_c sumaryczne pole przekroju zbrojenia podłużnego A_s nie może być mniejsze niż:

$$A_{s,\min} \geq \left\{ \begin{matrix} 0,15\frac{N_{\text{sd}}}{f_{\text{yd}}} = 0,15 \bullet \frac{770,45\ \text{kN}}{35} = 3,30\ cm^{2} \\ 0,003A_{c} = 0,003 \bullet 3000 = \mathbf{9}\mathbf{,}\mathbf{00}\ cm^{2} \\ \end{matrix} \right.\ $$

A_s, min ≥ 9, 00 cm²

$$\rho_{\min} = \frac{A_{s,\min}}{A_{c}} = \frac{9,00}{3000} = 0,003$$

Przyjęto ρ_s = 0, 01 > ρ_min = 0, 003

Dla słupa przyjęto a₁ = a₂ = 40 mm

Moment bezwładności I_s przekroju zbrojenia względem środka ciężkości przekroju betonu:

I_s = ρ_sA_c(0,5h−a_1, 2)² = 0, 01 • 3000 • (0,5•50,0−4,0)² = 13230 cm⁴

$$N_{\text{crit}} = \ \frac{9}{{l_{0}}^{2}}\left\lbrack \frac{E_{\text{cm}}I_{d}}{{2k}_{\text{lt}}}\left( \frac{0,11}{0,1 + \frac{e_{0}}{h}\ } + 0,1 \right) + E_{s}I_{s} \right\rbrack$$

Wyznaczenie parametru k_lt uwzględniającego wpływ efektów wynikających z pełzania betonu:

$k_{\text{lt}} = 1 + 0,5 \bullet \frac{N_{\text{sd},\text{lt}}}{N_{\text{sd}}}O_{\left( \infty,to \right)}$

N_sd, lt = 394, 27 kN −  obciążenie stałe + 80% obciążenia użytkowego (technologicznego)

Wyznaczenie końcowego współczynnika pełzania betonu O_(∞,to)

Miarodajny wymiar przekroju elementu:

$h_{0} = \frac{2A_{c}}{u} = \frac{2 \bullet 3000}{2 \bullet 2 \bullet (30 + 50)} = 18,75\ \text{cm} = 187,5\ \text{mm}$

Dla h₀ = 187, 5 mm i betonu B45 współczynnik pełzania po 28 dniach wynosi:

O_(∞,to) = 2, 17

$k_{\text{lt}} = 1 + 0,5 \bullet \frac{N_{\text{sd},\text{lt}}}{N_{\text{sd}}}O_{\left( \infty,to \right)} = 1 + 0,5 \bullet \frac{394,27}{770,45} \bullet 2,17 = 1,56$

Wyznaczenie stosunku mimośrodu początkowego do wysokości przekroju słupa $\frac{e_{0}}{h}$

$$\frac{e_{0}}{h} \geq \left\{ \begin{matrix} 0,5 - 0,01 \bullet \frac{l_{0}}{h} - 0,01f_{\text{cd}} = 0,5 - 0,01 \bullet \frac{1373}{110} - 0,01 \bullet 23,3 = 0,015 \\ 0,05 \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$\frac{e_{0}}{h} = \frac{87,7}{110} = 0,80 > \left\{ \begin{matrix} 0,015 \\ 0,05 \\ \end{matrix} \right.\ $$

Przyjęto wartość $\text{\ \ }\frac{e_{0}}{\ h} = 0,80$

Siła krytyczna N_crit:

$N_{\text{crit}} = \ \frac{9}{{l_{0}}^{2}}\left\lbrack \frac{E_{\text{cm}}I_{d}}{{2k}_{\text{lt}}}\left( \frac{0,11}{0,1 + \frac{e_{0}}{h}\ } + 0,1 \right) + E_{s}I_{s} \right\rbrack = \frac{9}{1373^{2}} \bullet \left\lbrack \frac{3400 \bullet 5025000}{2 \bullet 1,56} \bullet \left( \frac{0,11}{0,1 + 0,80} + 0,1 \right) + 21000 \bullet 13230 \right\rbrack = 7136,06\ \text{kN}$

Współczynniki uwzględniający wpływ smukłości na nośność ściskanych elementów żelbetowych

$$\eta = \frac{1}{1 - \frac{N_{\text{sd}}}{N_{\text{crit}}}} = \frac{1}{1 - \frac{770,45}{7136,06}} = 1,12$$

Mimośród całkowity:

e_tot = η • e₀ = 1, 12 • 877 = 983 mm = 98, 3 cm

Wyznaczanie siły normalnej w gałęzi w górnej części słupa dwugałęziowego

$$N_{1,2} = \frac{N}{2} \pm \frac{M \bullet \eta}{c}$$

Wartości sił osiowych w gałęziach słupa:

Przypadek 1

M_sd = −582, 44 kNm - moment dolny - podporowy

N_sd = −692, 24 kN

$$N_{1} = \frac{N_{\text{sd}}}{2} + \frac{M_{\text{sd}} \bullet \eta}{c} = \frac{- 692,24}{2} + \frac{- 582,44 \bullet 1,12}{0,80} = - 1161,54\ \text{kN}$$

$$N_{2} = \frac{N_{\text{sd}}}{2} - \frac{M_{\text{sd}} \bullet \eta}{c} = \frac{- 692,24}{2} - \frac{- 582,44 \bullet 1,12}{0,80} = 469,30\ \text{kN}$$

Przypadek 2

M_sd = 136, 39 kNm - moment dolny - podporowy

N_sd = −770, 45 kN

$$N_{1} = \frac{N_{\text{sd}}}{2} + \frac{M_{\text{sd}} \bullet \eta}{c} = \frac{- 770,45}{2} + \frac{136,39 \bullet 1,12}{0,80} = - 247,44\ \text{kN}$$

$$N_{2} = \frac{N_{\text{sd}}}{2} - \frac{M_{\text{sd}} \bullet \eta}{c} = \frac{- 770,45}{2} - \frac{136,39 \bullet 1,12}{0,80} = - 576,17\ \text{kN}$$

Wyznaczenie siły poprzecznej w przewiązkach:

Wzór: $Q_{p} = \frac{V \bullet a_{p}}{c}$

V = 77, 25 kN

a_p = 80 cm + 30 cm = 110 cm – osiowa odległość między przewiązkami

c = 80 cm - osiowa odległość między gałęziami

$$V_{r} = \frac{77,25\ \text{kN} \bullet 110\ \text{cm}}{80\ \text{cm}} = 106,22\ \text{kN}$$

Wyznaczenie momentów zginających w elementach słupa dwugałęziowego:

$$M_{s,1} = \frac{V}{2} \bullet \frac{1}{2} \bullet a_{p} = \frac{77,25\ kN}{2} \bullet \frac{1}{2} \bullet 1,10\ m = 21,24\ kNm$$

$$M_{s,2} = \frac{V}{2} \bullet \frac{1}{3} \bullet a_{p} = \frac{77,25\ kN}{2} \bullet \frac{1}{3} \bullet 1,10\ m = 14,16\ kNm$$

$${M_{s}}^{I} = \frac{V}{2} \bullet \frac{2}{3} \bullet a_{p} = \frac{77,25\ kN}{2} \bullet \frac{2}{3} \bullet 1,10\ m = 28,32\ kNm$$

M_r = M_s, 1 + M_s, 2 = 21, 24 kNm + 14, 16 kNm = 35, 40 kNm

Wymiarowanie elementów słupa dwugałęziowego

Gałąź

Najbardziej niekorzystnym z dwóch przypadków sił N₁ i N₂ jest przypadek z maksymalnym momentem zginającym i przynależną mu siłą normalną. Z otrzymanych wyników wynika, że w słupie jedna z gałęzi jest rozciągana, a druga ściskana. Jednak projektujemy obie gałęzi słupa jako symetryczne, więc przeliczę najpierw gałąź słupa na ściskanie, a następnie sprawdzę ją również na rozciąganie.

$$N_{1} = \frac{N_{\text{sd}}}{2} + \frac{M_{\text{sd}} \bullet \eta}{c} = \frac{- 692,24}{2} + \frac{- 582,44 \bullet 1,12}{0,80} = - 1161,54\ \text{kN}$$

$$N_{2} = \frac{N_{\text{sd}}}{2} - \frac{M_{\text{sd}} \bullet \eta}{c} = \frac{- 692,24}{2} - \frac{- 582,44 \bullet 1,12}{0,80} = 469,30\ \text{kN}$$

Ściskanie mimośrodowe:

M_s, max = 21, 24 kNm

N₁ = −1161, 54 kN

l₀ = a_p = 110 cm

c = 80 cm

h = 30 cm

b = 50 cm

A_c = 1500 cm²

$$I_{c} = \frac{50 \bullet 30^{3}}{12} = 112500\ \text{cm}^{4}$$

Beton B45:

$f_{\text{cd}} = 23,3\ \text{MPa} = 2,23\frac{\text{kN}}{cm^{2}}$

$E_{\text{cm}} = 34\ \text{GPa} = 34\ 000\ \text{MPa} = 3400\frac{\text{kN}}{cm^{2}}$

Stal A-III:

$f_{\text{yd}} = 350\ \text{MPa} = 350\ 000\frac{\text{kN}}{m^{2}} = 35\frac{\text{kN}}{cm^{2}}$

$E_{s} = 210\ \text{GPa} = 21000\frac{\text{kN}}{cm^{2}}$

Długość obliczeniowa l₀

l₀ = a_p = 110 cm = 1, 10 m

Mimośrody siły podłużnej:

Konstrukcyjny:

e_e = $\left| \frac{M_{\text{sd}}}{N_{\text{sd}}} \right|$ = $\left| \frac{21,24\ kNm}{- 1161,54\ kN} \right|$ = 0,018 m = 1,8 cm = 18 mm

Przypadkowy:

e_a = max ($\ \frac{l_{\text{col}}}{600};\frac{h}{30};10\ $)mm = max ($\ \frac{1100}{600}$; $\frac{300}{30}$; 10 )mm = 10 mm

Początkowy:

e₀ = e_a + e_e = 18 mm + 10 mm = 28 mm

Smukłość słupa:

Nośność elementów ściskanych należy sprawdzić z uwzględnieniem ich smukłości jeżeli zachodzą warunki:

$\frac{l_{o}}{i}$ > 25 i = $\sqrt{\frac{I_{c}}{A_{c}}}$ = $\sqrt{\frac{112500}{1500}}$ = 8,66 cm $\frac{110}{8,66}$ = 12,70 < 25

$\frac{l_{o}}{h}$ > 7 $\frac{110}{30}$ = 3,67 < 7

Nie należy uwzględniać wpływu wyboczenia.

Mimośród całkowity:

e_tot = e₀

e_tot = 28 mm = 2,8 cm

Mają obliczony założony mimośród całkowity mogę przystąpić do projektowania zbrojenia w słupie.

Założenia do projektowania zbrojenia:

c_min = 30 mm

a₁ = a₂ = 4,0 cm = a

d = h – a₁ = 30 cm – 4,0 cm = 26,0 cm

Projektowanie zbrojenia rozpoczynamy od założenia, że mamy do czynienia ze ściskaniem z dużym mimośrodem.

Duży mimośród: x_eff ≤ x_eff,lim

e_s1 = e_tot + 0,5h – a = 2,8 cm + 0,5 · 30 cm – 4,0 cm = 13,8 cm

e_s2 = |e_tot – 0,5h + a| = |2,8 cm - 0,5 · 30 cm + 4,0 cm| = 8,2 cm

N_sd = f_cd · b · x_eff + A_s2 · f_yd – k_s · A_s1 · f_yd

Dla założeń A_s1 = A_s2 oraz k_s= 1,0 otrzymujemy:

N_sd = f_cd · b · x_eff

x_eff = $\frac{N_{\text{sd}}}{f_{\text{cd}}\ \ b}$ = $\frac{1161,54}{2,33\ \frac{\text{kN}}{cm^{2}}\text{\ \ } 50\ cm}$ = 9,97 cm

x_eff,lim = ξ_eff,lim · d ξ_eff,lim = 0,53 dla stali A-III

x_eff,lim = 0,53 · 26,0 cm = 13,78 cm

x_eff < x_eff,lim

A_s1 = A_s2 = $\frac{N_{\text{sd}}\left( e_{s1} - d + 0,5x_{\text{eff}} \right)}{f_{\text{yd}}(d - a)}$ = $\frac{1161,54\ \text{kN}\left( 13,8\ \text{cm} - 26,0\text{cm} + 0,5 9,97\text{cm} \right)}{35\frac{\text{kN}}{cm^{2}}(26,0\ \text{cm} - 4,0\ \text{cm})}$ = - 10,88cm²

A_s1 + A_s2 = A_s ≥ A_s,min

A_s,min = 0,003A_c = 0,003 · 1500 cm² = 4,50 cm²

A_s,min = 0,15$\frac{N_{\text{sd}}}{f_{\text{yd}}}$ = 0,15 · $\frac{1161,54\ \text{kN}}{35\ \frac{\text{kN}}{cm^{2}}}$ = 4,98 cm²

A_s, min ≥ 4, 98 cm²

$$\rho_{\min} = \frac{A_{s,\min}}{A_{c}} = \frac{4,98}{1500} = 0,0033$$

W tym wypadku przyjmuję:

A_s1 = A_s2 = 8,04 cm² (4#16)

16,08 cm² > 4,98 cm²

$\rho = \ \frac{A_{s1} + A_{s2}}{A_{c}} = \ \frac{16,08\ cm^{2}}{1500\ cm^{2}} = 0,01$

Sprawdzenie warunków nośności:

x_eff = $(d - e_{s1}) + \sqrt{{(d - e_{s1})}^{2} + \frac{2f_{\text{yd}}(A_{s1}e_{s1} + A_{s2}e_{s2})}{f_{\text{cd}} \bullet b}}$ = $\left( 26,0\ cm - 13,8\text{\ cm} \right) + \sqrt{\left( 26,0\ cm - 13,8\text{\ cm} \right)^{2} + \frac{2 \bullet 35\ \frac{\text{kN}}{cm^{2}}\left( 8,04\ cm^{2}\ \bullet 13,8\ cm\ + 8,04\ cm^{2}\ \bullet 8,2\ cm \right)}{2,33\frac{\text{kN}}{cm^{2}}\ \bullet 50\ cm}} = 28,17\ cm$

x_eff > x_eff,lim

28,17 cm > 13,78 cm

Mamy do czynienia z małym mimośrodem, więc musimy wyznaczyć nową wartość x_eff:

x_eff = $d - e_{s1} - \beta + \sqrt{{(d - e_{s1} - \beta)}^{2} + 2d\left\lbrack \beta - \frac{f_{\text{yd}}\left( A_{s1}e_{s1} + A_{s2}e_{s2} \right)}{f_{\text{cd}} \bullet b \bullet d} \right\rbrack}$

$$\beta = \frac{2e_{s1}}{1 - \xi_{eff,lim}}\frac{f_{\text{yd}}A_{s1}}{f_{\text{cd}}\text{bd}} = \frac{2 \bullet 13,8\text{cm}}{1 - 0,53}\frac{35\ \frac{\text{kN}}{cm^{2}} \bullet 8,04\ cm^{2}}{2,33\ \frac{\text{kN}}{cm^{2}} \bullet 50\ cm \bullet 26,0\ cm} = 5,46\ cm$$

x_eff = $26,0\ \text{cm} - 13,8\ \text{cm} - 5,46\ \text{cm} + \sqrt{{(26,0\ \text{cm} - 13,8\ \text{cm} - 5,46\ \text{cm})}^{2} + 2 \bullet 26,0\ \text{cm} \bullet \left\lbrack 5,46\ \text{cm} - \frac{35\ \frac{\text{kN}}{cm^{2}}\left( 8,04\ cm^{2} \bullet 13,8\ \text{cm} - 8,04\ cm^{2} \bullet 8,2\ \text{cm} \right)}{2,33\ \frac{\text{kN}}{cm^{2}} \bullet 50\ \text{cm} \bullet 26,0\ \text{cm}} \right\rbrack}$= 24,13 cm

Warunki nośności:

1. N_sd ≤ f_cd· b · x_eff + A_s2 · f_yd - A_s1 · f_yd ·k_s

2. N_sd ≤ $\frac{1}{e_{s1}}$(f_cd· b · x_eff (d – 0,5 x_eff) + A_s2 · f_yd (d – a₂))

k_s = $\frac{2\left( 1 - \xi_{\text{eff}} \right)}{1 - \xi_{eff,lim}} - 1$

$\xi_{\text{eff}} = \frac{x_{\text{eff}}}{d} = \frac{24,13\ cm}{26,0\ cm}$ = 0,93

k_s = $\frac{2\left( 1 - 0,93 \right)}{1 - 0,53} - 1 = - 0,70$

N_sd ≤ f_cd · b · x_eff + A_s2 · f_yd - A_s1 · f_yd ·k_s

1161,54 kN ≤ 2,33$\frac{\text{kN}}{cm^{2}}$· 50 cm · 24,13 cm + 8,04 cm² · 35$\frac{\text{kN}}{cm^{2}}$ – 8,04 cm² · 35$\frac{\text{kN}}{cm^{2}}\ $· (-0,70)

1161,54 kN < 3297,68 kN - warunek spełniony

N_sd ≤ $\frac{1}{e_{s1}}$(f_cd · b · x_eff (d – 0,5 x_eff) + A_s2 · f_yd (d – a₂))

1161,54 kN ≤ $\frac{1}{13,8\ \text{cm}}$(2,33$\frac{\text{kN}}{cm^{2}}$· 50 cm · 24,13 cm (26,0 cm – 0,5 · 24,13 cm) + 8,04 cm² · 35$\frac{\text{kN}}{cm^{2}}$ (26,0 cm – 4,0 cm))

1161,54 kN < 3287,25 kN – warunek spełniony

Przyjęcie średnicy strzemion:

$$\varnothing_{s} \geq \left\{ \begin{matrix} 0,2\varnothing_{glownego} = 0,2 \bullet 16\ mm = 3,2\ mm \\ 5,5\ mm \\ \end{matrix} \right.\ $$

Przyjmuję: ⌀_s = 6 mm, stal klasy A-I

Wyznaczenie rozstawu strzemion:

$$s\ \leq min\left\{ \begin{matrix} 15\varnothing = 15 \bullet 16\ mm = 240\ mm \\ 400\ mm \\ b = 50\ cm = 500\ mm \\ \end{matrix} \right.\ $$

Przyjmuję strzemiona czterocięte ⌀_s = 6 mm w rozstawie co 200 mm i w rozstawie 100 mm na długości zakładu.

Sprawdzenie zbrojenia na rozciąganie mimośrodowe:

e_e = 0,018 m = 1,8 cm = 18 mm

e_e < 0,5h – a₁

1,8 cm < 0,5 • 30 cm – 4 cm

1,8 cm < 11 cm – rozciąganie z małym mimośrodem

e_s1 = 0,5h – a₁ – e_e = 0,5 • 30 cm – 4 cm – 1,8 cm = 9,2 cm

e_s2 = 0,5h – a₂ + e_e = 0,5 • 30 cm – 4 cm + 1,8 cm = 12,8 cm

Sprawdzenie nośności:

N_sd ≤ $\frac{1}{e_{s1}}$ A_s2 · f_yd (d – a₂)

469,30 kN ≤ $\frac{1}{9,2\ \text{cm}}$ 8,04 cm² · 35$\frac{\text{kN}}{cm^{2}}$ (26,0 cm – 4,0 cm)

469,30 kN ≤ 672,91 kN – warunek spełniony

N_sd ≤ $\frac{1}{e_{s2}}$ A_s1 · f_yd (d – a₂)

469,30 kN ≤ $\frac{1}{12,8\ \text{cm}}$ 8,04 cm² · 35$\frac{\text{kN}}{cm^{2}}$ (26,0 cm – 4,0 cm)

469,30 kN ≤ 483,65 kN – warunek spełniony (miarodajny)

Zbrojenie pojedynczej gałęzi słupa składać się będzie ze zbrojenia A_s1 = A_s2 = 8,04 cm² (4#16), które przenosi zarówno siłę ściskającą, jak i siłę rozciągającą.

Przewiązki słupa

M_r = 35, 40 kNm

V_r = 106, 22 kN

c = 80 cm

h = 30 cm

b = 50 cm

d = h − a₁ = 30 cm − 4 cm = 26 cm

Beton B45:

$f_{\text{cd}} = 23,3\ \text{MPa} = 2,23\frac{\text{kN}}{cm^{2}}$

$E_{\text{cm}} = 34\ \text{GPa} = 34\ 000\ \text{MPa} = 3400\frac{\text{kN}}{cm^{2}}$

Stal A-III:

$f_{\text{yd}} = 350\ \text{MPa} = 350\ 000\frac{\text{kN}}{m^{2}} = 35\frac{\text{kN}}{cm^{2}}$

$E_{s} = 210\ \text{GPa} = 21000\frac{\text{kN}}{cm^{2}}$

Zaprojektowanie zbrojenia w przewiązkach:

$$\mu_{\text{eff}} = \frac{M}{b \bullet d^{2} \bullet f_{\text{cd}}} = \frac{3540\ }{30 \bullet 26^{2} \bullet 2,33} = 0,075$$

$$\xi_{\text{eff}} = 1 - \sqrt{{1 - 2\mu}_{\text{eff}}} < \xi_{eff,lim} = 0,53$$

$$\xi_{\text{eff}} = 1 - \sqrt{{1 - 2\mu}_{\text{eff}}} = 1 - \sqrt{1 - 2 \bullet 0,075} = 0,078 < 0,53$$

$$A_{s1} = b \bullet \xi_{\text{eff}} \bullet \frac{f_{\text{cd}}}{f_{\text{yd}}} \bullet d \geq A_{s,min}$$

$$A_{s1} = 50 \bullet 0,078 \bullet \frac{2,33}{35} \bullet 26 = 6,75\ \text{cm}^{2}$$

$$A_{s,min} = \left\{ \begin{matrix} 0,26\frac{f_{\text{ctm\ }}}{f_{\text{yk}}}bd = 0,26\frac{3,2}{410} \bullet 50 \bullet 26 = 2,63\ cm^{2}\ \\ 0,0013bd = 0,0013 \bullet 50 \bullet 26 = 1,69\ cm^{2} \\ \end{matrix} \right.\ $$

6, 75 cm² > 2, 63 cm²

Przyjmuję:

4#16 →  8, 04 cm² > 6, 75 cm²

Zaprojektowanie zbrojenia na ścinanie w przewiązkach:

V_r = 106, 22 kN

Nośność przekroju na ścinanie V_Rd1:

V_Rd1 = [0,35•k•f_ctd(1,2+40•ρ_L)+0,15•σ_cp]b_w • d

k = 1, 0 - do podpory doprowadzono 33 % zbrojenia

$$\rho_{L} = \frac{A_{\text{sL}}}{b_{w} \bullet d} \leq 0,01$$

$$\rho_{L} = \frac{8,042\ \bullet 10^{- 4}}{0,50 \bullet 0,26} = 0,0062 \leq 0,01$$

σ_cp‒ naprężenia spowodowane siłą normalną w przekroju są pomijalnie małe

V_Rd1 = [0,35•1,0•1500•(1,2+40•0,0062)+0,15•0]0, 50 • 0, 26 = 98, 83 kN

V_Rd1 ≥ V_sd

98, 83 kN < 106, 22 kN

Warunek nie został spełniony, więc trzeba zastosować dodatkowe zbrojenie na ścinanie w postaci strzemion.

Nośność przekroju na ścinanie V_Rd2:

$$V_{\text{Rd}2} = \nu f_{\text{cd}}b_{w}z \bullet \frac{\text{cotθ}}{1 + \cot^{2}\theta}$$

$\nu = 0,6\left( 1 - \frac{f_{\text{ck}}}{250} \right) = \ 0,6\ \left( 1 - \frac{35}{250} \right) = \ 0,516\ $

z = 0, 9 d = 0, 9 • 0, 26 = 0, 234 m = 23, 4 cm 

$cot\theta = \ \sqrt{3}$ , bo θ = 30^o

$$V_{\text{Rd}2} = \nu f_{\text{cd}}b_{w}z \bullet \frac{\text{cotθ}}{1 + \cot^{2}\theta} = 0,516 \bullet 23300 \bullet 0,50 \bullet 0,234 \bullet \frac{\sqrt{3}}{1 + {(\sqrt{3})}^{2}} = 609,10\ kN\ $$

V_Rd2 ≥ V_sd

609, 10 kN  > 106, 22

Nośność obliczeniowa na ścinanie ze względu na ściskanie betonu powstające przy ścinaniu została zapewniona.

Nośność przekroju na ścinanie V_Rd3:

$$V_{\text{Rd}3} = V_{\text{Rd}31} = \frac{A_{sw1}f_{ywd1}}{s_{1}}z \bullet cot\theta$$

Wstępnie przyjmuję strzemiona czterocięte – wynika to z wymiarów przekroju przewiązki:

$$A_{sw1} = \frac{{0,8}^{2}}{4}\pi \bullet 4 = 2,01\ \text{cm}^{2}\ $$

$f_{ywd1} = 210\ MPa = 21,0\frac{\text{kN}}{\text{cm}^{2}}$

Ponieważ nie znamy rozstawu strzemion podstawiamy, że: V_Rd31 = V_sd

$$s_{1} = \frac{A_{sw1}f_{ywd1}}{V_{\text{Rd}31}}z \bullet cot\theta = \ \frac{2,01 \bullet 21,0}{106,22}23,4 \bullet \sqrt{3} = 16,1\ cm$$

Przyjmuję rozstaw strzemion: s₁ = 15, 0 cm

$$V_{\text{Rd}31} = \frac{A_{sw1}f_{ywd1}}{s_{1}}z \bullet cot\theta = \ \frac{2,01 \bullet 21,0}{15,0}23,4 \bullet \sqrt{3} = 114,05\ kN$$

V_Rd3 ≥ V_sd

114, 05 kN > 106, 22 kN

1. Krótki wspornik

Wartości sił:

F_V, Sd = 362, 34 kN

H_Sd = 57, 10 kN

Dane geometryczne:

a_F = 15 cm = 0, 15 m

h = 90 cm = 0, 90 m

b = 50 cm = 0, 5 m

c_F = 4, 0 cm

d = h − c_F = 90, 0 cm − 4, 0 cm = 86, 0 cm = 0, 86 m

A_c = b • h = 50 • 90 = 4500 cm²

Dane materiałowe:

Przyjęto beton klasy B45

$f_{\text{cd}} = 23,3\ MPa = 2,33\frac{\text{kN}}{cm^{2}}$

$f_{\text{ck}} = 35\ MPa = 3,5\frac{\text{kN}}{cm^{2}}$

$E_{\text{cm}} = 34\ GPa = 34\ 000\ MPa = 3400\frac{\text{kN}}{cm^{2}}$

Stal A-IIIN: $f_{\text{yd}} = 420\ \text{MPa} = 420\ 000\frac{\text{kN}}{m^{2}} = 42\frac{\text{kN}}{cm^{2}}$

Stal A-III: $f_{\text{yd}} = 350\ \text{MPa} = 350\ 000\frac{\text{kN}}{m^{2}} = 35\frac{\text{kN}}{cm^{2}}$

Stal A-I: $f_{\text{ywd}} = 210\ MPa = 210\ 000\frac{\text{kN}}{m^{2}} = 21\frac{\text{kN}}{cm^{2}}$

$E_{s} = 210\ GPa = 21000\frac{\text{kN}}{cm^{2}}$

Sprawdzenie warunku wysokości przekroju wspornika

$$\left\{ \begin{matrix} 0,3 < \frac{a_{F}}{h} \leq 1,0\ \ to\ \ \ \ F_{V,Sd} \leq F_{V,Rd} = 0,5 \bullet \nu{\bullet f}_{\text{cd}} \bullet b \bullet \text{d\ \ } \\ \frac{a_{F}}{h} \leq 0,3\ \ \ \ \ \ \ to\ \ \ \ \ \ \ \ F_{V,Sd} \leq F_{V,Rd} = 0,4 \bullet v \bullet f_{\text{cd}} \bullet b \bullet d \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$\frac{a_{F}}{h} = \frac{15}{90} = 0,167 \rightarrow F_{V,Sd} \leq F_{V,Rd} = 0,4 \bullet \nu{\bullet f}_{\text{cd}} \bullet b \bullet \text{d\ \ }$$

$\nu = 0,6 \bullet \left( 1 - \frac{f_{\text{ck}}}{250} \right) = 0,6 \bullet \left( 1 - \frac{35}{250} \right) = 0,516$

$$F_{V,Rd} = 0,4 \bullet \nu{\bullet f}_{\text{cd}} \bullet b \bullet d = 0,4 \bullet 0,516 \bullet 2,33\frac{\text{kN}}{cm^{2}} \bullet 50,0\ cm \bullet 86,0\ cm = 2067,92\ kN\ $$

Projektowanie zbrojenia poziomego A_s

Warunek:

Dla relacji $\frac{a_{F}}{h} \leq 0,3\ \ $spełniony mus być warunek: $A_{s} \geq \frac{1}{f_{\text{yd}}} \bullet \left( {0,5F}_{V,Sd} + H_{\text{Sd}} \right)$

Wyznaczenie poszczególnych wielkości:

$$a_{1} = \frac{F_{V,Sd\ }}{{0,85f}_{\text{cd}}b} = \frac{362,34\ kN}{0,85 \bullet 2,33\frac{kN}{cm^{2}} \bullet 50\ cm} = 3,7\ cm$$

a = a_F + 0, 5a₁ = 15 cm + 0, 5 • 3, 7 cm = 16, 9 cm

$a_{2} = d - \sqrt{d^{2} - 2a_{1}a} = 86\ cm - \sqrt{{(86\ cm)}^{2} - 2 \bullet 3,7\ cm \bullet 16,9\ cm} = 0,8\ $cm

z = d − 0, 5 • a₂ = 86 − 0, 5 • 0, 8 = 85, 6 cm  

z = 85, 6 < d = 86cm (warunek spełniony)

Ponieważ belka podsuwnicowa nie jest usztywniona w płaszczyźnie poziomej ,,zastrzałem” związanym ze słupem, to H_Sd ≥ 0, 2 • F_V, Sd.

H_Sd = 57, 10 kN

0, 2 • F_V, Sd = 0, 2 • 362, 34 = 72, 45 kN

H_Sd = 57, 10 kN < 0, 2 • F_V, Sd = 72, 45 kN

W dalszej analizie przyjmuję H_Sd = 72, 45 kN

Wyznaczenie wielkości a_H− odległość punktu przyłożenia siły od górnego zbrojenia

a_H = h − d + (h_szyny+h_belki) = 90, 0 cm − 86, 0 cm + 90, 0 cm = 94 cm = 0, 94 m

Zbrojenie A_s

$$A_{s} \geq \frac{1}{f_{\text{yd}}} \bullet \left( {0,5F}_{V,Sd} + H_{\text{Sd}} \right)$$

$\frac{1}{f_{\text{yd}}} \bullet \left( {0,5F}_{V,Sd} + H_{\text{Sd}} \right) = \frac{1}{35} \bullet \left( 0,5 \bullet 362,34\ kN + 72,45\ kN \right) = 7,25\ cm^{2}$

A_s ≥ 7, 25 cm²

Przyjęto 4#16 → A_s = 8, 04 cm²

Stopień zbrojenia A_s

ρ_s, min ≥ 0, 004

$\rho = \frac{A_{s}}{A_{c}} = \frac{8,04\ cm^{2}}{4500\ cm^{2}} = 0,0018$

ρ = 0, 0018 < ρ_s, min = 0, 004

Więc przyjmuję:

4#25→A_s=19, 63 cm²

$\rho = \frac{A_{s}}{A_{c}} = \frac{19,63\ cm^{2}}{4500\ cm^{2}} = 0,0044$

ρ = 0, 0044 > ρ_s, min=0, 004

Warunek spełniony

Długość zakładu i zakotwienia

Długość zakotwienia:

$$l_{\text{bd}} = \alpha_{a}l_{b}\frac{A_{s,req}}{A_{s,prov}} \geq l_{b,min}$$

α_a = 1, 0

$$l_{b} = \frac{\varnothing}{4} \bullet \frac{f_{\text{yd}}}{f_{\text{bd}}} = \frac{25\ mm}{4} \bullet \frac{350\ MPa}{3,4\ MPa} = 643\ mm = 64,3\ cm$$

$$l_{\text{bd}} = 1,0 \bullet 64,3\ cm\frac{18,00\ \text{cm}^{2}}{19,63\ \text{cm}^{2}\ } = 59,0\ cm > 25\ cm$$

Zbrojenie strzemionami

By uniknąć strzemion o dużych średnicach stosuję stal A-IIIN jako stal na strzemiona.

Strzemiona pionowe:

Ponieważ $\frac{a_{F}}{h} = 0,167 < 0,6\ $, to nie trzeba stosować strzemion pionowych – stosujemy tylko strzemiona konstrukcyjne między górną częścią słupa a wewnętrzną częścią belki podsuwnicowej.

$$\text{\ \ A}_{sw,v2} \geq \frac{0,5F_{V,Sd}}{f_{\text{ywd}}}$$

$$\text{\ \ A}_{sw,v2} \geq \frac{0,5 \bullet 362,34\ kN}{42\frac{\text{kN}}{cm^{2}}} = 4,31\ cm^{2}\ $$

Przyjęto strzemiona poziome czterocięte 4O12 A_sw, v2 = 4, 52 cm²

A_sw, v2=4, 52 cm²>4, 31 cm²

Rozstaw strzemion pionowych

$$s_{w} \leq min\left( \frac{0,25h}{150\ mm} \right) = min\left( \frac{0,25 \bullet 900\ mm = 225\ mm}{150\ mm} \right)$$

s_w=150 mm

Strzemiona poziome:

Warunki:

$$\left\{ \begin{matrix} \text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\frac{a_{F}}{h} \leq 0,3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{\ \ A}_{sw,h} \geq \frac{0,5F_{V,Sd}}{f_{\text{ywd}}}\text{\ \ } \\ 0,3 < \ \frac{a_{F}}{h} \leq 0,6\ \ \ \ \text{\ \ \ \ \ A}_{sw,h} \geq 0,5A_{s} \\ 0,6 < \frac{a_{F}}{h}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\text{\ \ \ A}_{sw,h} \geq 0,3A_{s} \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$\text{\ \ }\frac{a_{F}}{h} = 0,167 \leq 0,3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $$

$$\text{\ \ A}_{sw,h} \geq \frac{0,5 \bullet 362,34\ kN}{42\frac{\text{kN}}{cm^{2}}} = 4,31\ cm^{2}\ $$

Przyjęto strzemiona poziome czterocięte 4O12 A_sw, h = 4, 52 cm²

A_sw, h=4, 52 cm²>4, 31 cm²

Rozstaw strzemion poziomych

$$s_{w} \leq min\left( \frac{0,25h}{150\ mm} \right) = min\left( \frac{0,25 \bullet 900\ mm = 225\ mm}{150\ mm} \right)$$

s_w=100 ÷ 150 mm

1. Stopa fundamentowa

Siły przekrojowe działające na stopę fundamentową:

Wartości sił osiowych w gałęziach słupa:

Przypadek 1

M₁ = −582, 44 kNm

N₁ = −692, 24 kN

T₁ = 77, 25 kN

Przypadek 2

M₂ = 136, 39 kNm

N₂ = −770, 45 kN

T₂ = −68, 42 kN

Dane:

h = 1, 65 m

$$G = 25\frac{\text{kN}}{m^{3}} \bullet \left\lbrack 3,5 \bullet 2,9 \bullet 0,40 + \frac{2,5 \bullet 1,9 + 2,05 \bullet 1,45}{2} \bullet 1,3 - \left( \frac{1,25 \bullet 0,65 + 1,2 \bullet 0,6}{2} \bullet 1,3 \right) \right\rbrack = 202,09\ kN$$

L = 3, 50 m

B = 2, 90 m

Obliczenie mimośrodu obciążenia względem osi słupa:

M^′₁ = T₁ • h = 77, 25 kN • 1, 65 m = 127, 46 kNm

N^′₁ = N₁ + G = 692, 24 kN + 202, 09 kN = 894, 33 kN

$$e_{1} = \frac{M_{1} + {M^{'}}_{1}}{{N^{'}}_{1}} = \frac{582,44\ kNm - 127,46\ kNm}{894,33\ kN} = 0,51\ m$$

M^′₂ = T₂ • h = 68, 42 kN • 1, 65 m = 112, 89 kNm

N^′₂ = N₂ + G = 770, 45 kN + 202, 09 kN = 972, 54 kN

$$e_{2} = \frac{M_{2} + {M^{'}}_{2}}{{N^{'}}_{2}} = \frac{136,39\ kNm + 112,89\ kNm}{972,54\ kN} = 0,25\ m$$

Dalsze obliczenia zostaną wykonane tylko dla przypadku pierwszego, ponieważ mimośród, na którym działa siła jest dwa razy większy niż w drugim przypadku.

Naprężenia dopuszczalne w gruncie:

$$q_{\max} = 0,2\ MPa = 0,02\frac{\text{kN}}{cm^{2}} = 0,02\frac{\text{kN}}{{10^{- 4}m}^{2}} = 200\ kN/m^{2}$$

$$\sigma_{1} = \frac{{N^{'}}_{1}}{B \bullet L} \bullet \left( 1 + \frac{6e}{L} \right) = \frac{894,33\ kN}{3,5\ m \bullet 2,9\ m} \bullet \left( 1 + \frac{6 \bullet 0,51\ m}{3,5\ m} \right) = 165,15\ \frac{\text{kN}}{m^{2}} < 200\ kN/m^{2}$$

$$\sigma_{2} = \frac{{N^{'}}_{1}}{B \bullet L} \bullet \left( 1 - \frac{6e}{L} \right) = \frac{894,33\ kN}{3,5\ m \bullet 2,9\ m} \bullet \left( 1 - \frac{6 \bullet 0,51\ m}{3,5\ m} \right) = 1,10\ \frac{\text{kN}}{m^{2}} < 200\ kN/m^{2}$$

Odpór:

$$\overset{\overline{}}{\sigma_{1}} = \sigma_{1} - \frac{G}{B \bullet L} = 165,15\ \frac{\text{kN}}{m^{2}} - \frac{202,09\ kN}{3,5\ m \bullet 2,9\ m} = 145,24\frac{\text{kN}}{m^{2}}$$

$$\overset{\overline{}}{\sigma_{2}} = \sigma_{2} - \frac{G}{B \bullet L} = 1,10\ \frac{\text{kN}}{m^{2}} - \frac{202,09\ kN}{3,5\ m \bullet 2,9\ m} = - 18,81\frac{\text{kN}}{m^{2}}\sim 0,00\frac{\text{kN}}{m^{2}}$$

Została przyjęta wartość $\overset{\overline{}}{\sigma_{2}} = 0,00\frac{\text{kN}}{m^{2}}$ ponieważ w gruncie nie występuje rozciąganie. Dodatkowo należy sprawdzić warunek na odrywanie fundamentu od podłoża:

p −  odległość od krawędzi fundamentu najbardziej obciążonego odporem gruntu

p = 1, 24 m

$$\frac{3p}{L} \geq 0,75$$

$$\frac{3 \bullet 1,24\ m}{3,5\ m} = 1,07 > 0,75$$

Obliczenie naprężeń krawędziowych:

$$c = \frac{L - h_{s}}{2} = \frac{3,5 - 1,1}{2} = 1,2\ m$$

$$\overset{\overline{}}{\sigma_{\text{kr}}} = \overset{\overline{}}{\sigma_{2}} + \frac{\left( \overset{\overline{}}{\sigma_{1}} - \overset{\overline{}}{\sigma_{2}} \right) \bullet (L - c)}{L} = 0,00\frac{\text{kN}}{m^{2}} + \frac{\left( 145,24\frac{\text{kN}}{m^{2}} - 0,00\frac{\text{kN}}{m^{2}} \right) \bullet (3,5\ m - 1,2\ m)}{3,5\ m} = 95,44\frac{\text{kN}}{m^{2}}$$

$$\overset{\overline{}}{\sigma_{sr}} = \frac{\overset{\overline{}}{\sigma_{1}} + \overset{\overline{}}{\sigma_{\text{kr}}}}{2} = \frac{145,24\frac{\text{kN}}{m^{2}} + 95,44\frac{\text{kN}}{m^{2}}}{2} = 120,34\frac{\text{kN}}{m^{2}}$$

Moment zginający działający na stopę:

$${\overset{\overline{}}{M}}_{1} = \frac{\overset{\overline{}}{\sigma_{sr}}\ ({L - h_{s} + 2e)}^{2}(2B + b_{s})}{24} = \frac{120,34\frac{\text{kN}}{m^{2}}\ ({3,5 - 1,1 + 2 \bullet 0,51)}^{2}(2 \bullet 2,9 + 0,6)}{24} = 375,35\ kNm$$

Wyznaczenie zbrojenia

Zbrojenie spodu fundamentu:

d = h − a₁ = 35 cm − 8 cm = 27 cm = 0, 27 m

Zginanie stopy w płaszczyźnie pionowej równoległej do boku L

$$A_{s1} = \frac{{\overset{\overline{}}{M}}_{1}}{0,9 \bullet d \bullet f_{\text{yd}}} = \frac{375,35\ kNm}{0,9 \bullet 0,27\ m \bullet 35\frac{\text{kN}}{cm^{2}}} = 44,13\ cm^{2}\ $$

18#20 = 56, 52 cm² > 44, 13 cm²

Rozstaw prętów zbrojeniowych:

$$s = \frac{2900\ mm - 2 \bullet 80\ mm}{17} = 161\ mm$$

Zginanie stopy w płaszczyźnie pionowej równoległej do boku B

$$\overset{\overline{}}{\sigma} = \frac{N_{2}}{B \bullet L} = \frac{770,45\ \text{kN}}{3,5\ m \bullet 2,9\ m} = 75,91\frac{\text{kN}}{m^{2}}$$

$$c = \frac{B - b_{s}}{2} = \frac{2,9 - 0,6}{2} = 1,15\ m$$

$${\overset{\overline{}}{M}}_{2} = \frac{\overset{\overline{}}{\sigma}\ ({B - b_{s})}^{2}(2L + h_{s})}{24} = \frac{75,91\frac{\text{kN}}{m^{2}}\ ({2,9 - 0,6)}^{2}(2 \bullet 3,5 + 1,1)}{24} = 135,53\ kNm$$

$$A_{s1} = \frac{{\overset{\overline{}}{M}}_{2}}{0,9 \bullet d \bullet f_{\text{yd}}} = \frac{135,53\ kNm}{0,9 \bullet 0,27\ m \bullet 35\frac{\text{kN}}{cm^{2}}} = 15,94\ cm^{2}$$

23#20 = 72, 22 cm² > 15, 94 cm²

Rozstaw prętów zbrojeniowych:

$$s = \frac{3500\ mm - 2 \bullet 80\ mm}{22} = 152\ mm$$

Zbrojenie kielicha:

Ciężar własny słupa: $Q = 43,3\ kN + 1,1\ m \bullet 0,6\ m \bullet 1,4\ m \bullet 25\ \frac{\text{kN}}{m^{3}} = 66,4\ kN$

P = 0, 5Q = 0, 5 • 66, 4 kN = 33, 2 kN

h^′ = 1, 30 m

h = 8, 70 m

$$M_{\alpha - \alpha} = P \bullet \left( \frac{h}{2} \bullet h^{'} \right) = 33,2\ kN \bullet \left( \frac{8,70\ m}{2} \bullet 1,30\ m \right) = 187,75\ kNm$$

$$H = \frac{M_{\alpha - \alpha}}{0,7h^{'}\ } = \frac{187,75\ kNm}{0,7 \bullet 1,30\ m} = 206,31\ kN$$

Zbrojenie poziome kielicha:

$$A_{sw1} = \frac{H}{2 \bullet f_{\text{yd}}} = \frac{206,31\ kN}{2 \bullet 35\frac{\text{kN}}{cm^{2}}} = 2,95\ \text{cm}^{2}$$

3#12 = 3, 39 cm² > 2, 95 cm²

Zbrojenie pionowe kielicha:

z = 1, 65 m = 165 cm

$$A_{sw2} = \frac{M_{\alpha - \alpha}}{z \bullet f_{\text{yd}}} = \frac{187,75\ kNm}{1,65\ m \bullet 35\frac{\text{kN}}{cm^{2}}} = 3,25\ \text{cm}^{2}\ $$

3#12 = 3, 39 cm² > 3, 25 cm²

Sprawdzenie stopy fundamentowej na przebicie:

Dla części bezpośrednio pod słupem:

N_sd = 770, 45 kN

$$g = \overset{\overline{}}{\sigma} = \frac{\overset{\overline{}}{\sigma_{11}} + \overset{\overline{}}{\sigma_{22}}}{2} = \frac{18,70 + 107,7}{2} = 63,2\frac{\text{kN}}{m^{2}}$$

A = 1, 74 m • 1, 14 m = 1, 98 m² 

$$f_{\text{ctd}} = 1,47\ MPa = 1470\frac{\text{kN}}{m^{2}}$$

d = 0, 27 m

$$u_{p} = \frac{2 \bullet \left( 1,1 + 0,5 \right) + 2 \bullet \left( 1,74 + 1,14 \right)}{2} = 4,58\ m$$

N_sd − (g + q)A ≤ f_ctdu_pd

$$770,45\ kN - 63,2\frac{\text{kN}}{m^{2}} \bullet 1,98\ m^{2} \leq 1470\frac{\text{kN}}{m^{2}} \bullet 4,58\ m \bullet 0,27\ m$$

645, 31 kN < 1817, 80 kN

Stopień zbrojenia w przekroju stopy bezpośrednio pod słupem:

Zginanie stopy w płaszczyźnie pionowej równoległej do boku L

$$\rho = \frac{A_{s}}{A} = \frac{4 \bullet 3,14\ cm^{2}}{50\ cm \bullet 35\ cm} \bullet 100\% = 0,718\% > 0,5\%$$

Dodatkowe zbrojenie na przebicie nie jest wymagane.

Zginanie stopy w płaszczyźnie pionowej równoległej do boku B

$$\rho = \frac{A_{s}}{A} = \frac{7 \bullet 3,14\ cm^{2}}{110\ cm \bullet 35\ cm} \bullet 100\% = 0,571\% > 0,5\%$$

Dodatkowe zbrojenie na przebicie nie jest wymagane.

Dla części całego fundamentu:

N_sd = 770, 45 kN

$$g = \overset{\overline{}}{\sigma} = 0,00\frac{\text{kN}}{m^{2}}$$

A = 3, 14 m • 2, 54 m = 7, 98 m² 

$$f_{\text{ctd}} = 1,47\ MPa = 1470\frac{\text{kN}}{m^{2}}$$

d = 0, 27 m

$$u_{p} = \frac{2 \bullet \left( 2,5 + 1,9 \right) + 2 \bullet \left( 3,14 + 2,54 \right)}{2} = 10,08\ m$$

N_sd − (g + q)A ≤ f_ctdu_pd

$$770,45\ kN - 0,00\frac{\text{kN}}{m^{2}} \bullet 7,98\ m^{2} \leq 1470\frac{\text{kN}}{m^{2}} \bullet 10,08\ m \bullet 0,27\ m$$

770, 45 kN < 4000, 75 kN

Stopień zbrojenia w przekroju stopy:

Zginanie stopy w płaszczyźnie pionowej równoległej do boku L

$$\rho = \frac{A_{s}}{A} = \frac{18 \bullet 3,14\ cm^{2}}{290\ cm \bullet 35\ cm} \bullet 100\% = 0,557\% > 0,5\%$$

Dodatkowe zbrojenie na przebicie nie jest wymagane.

Zginanie stopy w płaszczyźnie pionowej równoległej do boku B

$$\rho = \frac{A_{s}}{A} = \frac{23 \bullet 3,14\ cm^{2}}{350\ cm \bullet 35\ cm} \bullet 100\% = 0,589\% > 0,5\%$$

Dodatkowe zbrojenie na przebicie nie jest wymagane.

1. Wykresy - obwiednie sił przekrojowych

Obliczenia statyczne zostały wykonane w programie RM-Win. Wyniki przedstawionych poniżej obwiedni są wykonane na wartościach obliczeniowych.

Obwiednia momentów zginających:

Obwiednia sił normalnych:

Obwiednia sił tnących: