Temat ćwiczenia:

Wyznaczanie momentów bezwładności.

Wydział: Elektryczny

Kierunek: Elektrotechnika

Grupa 2, Sekcja 9

I. Część teoretyczna:

Moment bezwładności to miara bezwładności ciała w ruchu obrotowym względem określonej, ustalonej osi obrotu. Im większy moment, tym trudniej zmienić ruch obrotowy ciała, np. rozkręcić dane ciało lub zmniejszyć jego prędkość kątową.

Definicja

Moment bezwładności ciała zależy od wyboru osi obrotu, od kształtu ciała i od rozmieszczenia masy w ciele. Moment bezwładności ma wymiar . Zwykle mierzy się go w kg·m².

Moment bezwładności punktu materialnego jest iloczynem jego masy i kwadratu odległości od osi obrotu:

gdzie:

 – masa punktu;

 – odległość punktu od osi obrotu.

II. Wykaz użytych przyrządów:

1. Waga

2. Suwmiarka

3. Miara

4. Stoper

III. Skrócony opis przebiegu ćwiczenia:

Dla pręta:

Wyznaczamy masę i długość pręta i jego odległość osi obrotu od środka masy. Zawieszamy pręt na stelażu przymocowanego do ściany i wychylamy do pewnego położenia nierównowagi i liczymy liczbę pełnych okresów w zadanym czasie 60 sekund.

Dla krążka:

Wyznaczamy masę i promień krążka i odległość osi obrotu od środka masy. Zawieszamy krążek na stelażu przymocowanego do ściany i wychylamy do pewnego położenia nierównowagi i liczymy liczbę pełnych okresów w zadanym czasie 60 sekund.

IV. Obliczenie wyników i ich niepewność:

Dla pręta:

Masa pręta:

m= 335 [g]

Długość pręta:

l= 86,3 [cm]

Odległość osi obrotu od środka masy:

x= 41,4 [cm]

Pomiary pełnych okresów w ciągu 60 sekund:

Pomiary:

1. Liczba okresów n= 40,0

2. Liczba okresów n= 39,5

3. Liczba okresów n= 39,5

Błędy pomiaru:

∆m= 2 [g]

∆l= 1 [mm]

∆t= 0.2 [s]

∆x= 1 [mm]

Dla krążka:

Masa krążka:

m= 1085 [g]

Promień krążka:

R= 14,92 [cm]

Odległość osi obrotu od środka masy:

d= 13,31 [cm]

Pomiary pełnych okresów w ciągu 60 sekund:

Pomiary:

1. Liczba okresów n= 63,0

2. Liczba okresów n= 63,0

3. Liczba okresów n= 63,5

Błędy pomiaru:

∆m= 2 [g]

∆R= 0,02 [mm]

∆t= 0.2 [s]

∆d= 0,02 [mm]

Moment bezwładności względem danej osi obrotu:

I = ∫g²dm

Dla osi środkowej otrzymuje się w przypadku walce:

$$I_{S} = \frac{1}{2}mR^{2}$$

$$I_{S} = \frac{1}{2}*1,085*{0,1331}^{2} = 0,0097\ \lbrack kg*m^{2}\rbrack$$

Dla pręta:

$$I_{S} = \frac{1}{12}ml^{2}$$

$$I_{S} = \frac{1}{12}*0,335*{0,414}^{2} = 0,0048\ \lbrack kg*m^{2}\rbrack$$

Stosując twierdzenia Steinera o momencie bezwładności względem osi równoległych mamy:

I_O = I_S + m * a²

I_O – moment bezwładności względem osi nie środkowej

a – odległość obu osi

Obliczenie momentu bezwładności pręta ze wzoru:

$$I_{O} = \frac{1}{12}ml^{2} + \ mx^{2} = m\left( \frac{1}{12}l^{2} + \ x^{2} \right)$$

$$I_{O} = 0,335*\left( \frac{1}{12}{*0,863}^{2} + \ {0,414}^{2} \right) = 0,079\ \lbrack kg*m^{2}\rbrack$$

Obliczenie momentu bezwładności krążka ze wzoru:

$$I_{O} = \frac{1}{2}mR^{2} + \ md^{2} = m\left( \frac{1}{2}R^{2} + \ d^{2} \right)$$

$$I_{O} = 1,085*\left( \frac{1}{2}{*0,1492}^{2} + \ {0,1331}^{2} \right) = 0,032\ \lbrack kg*m^{2}\rbrack$$

Bryły zawieszone na poziomej osi obrotu, nie przechodzącej przez środek masy, wykonują drgania z okresem:

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{I_{O}}{\text{mga}}}$$

gdzie: a – odległość osi obrotu od środka masy

Ze wzoru tego wynika ze

$$I_{O} = \frac{\text{mga}T^{2}}{4\pi^{2}}$$

Dla pręta:

$$T = \frac{t}{n} = \frac{60}{39,67} = \ 1,52\ \lbrack s\rbrack$$

Dla krążka:

$$T = \frac{t}{n} = \frac{60}{63,17} = \ 0,95\ \lbrack s\rbrack$$

Moment bezwładności ze wzoru:

$$I_{O} = \frac{\text{mga}T^{2}}{4\pi^{2}}$$

Dla pręta:

$$I_{O} = \frac{0,335*10*0,414*{1,512}^{2}}{4\pi^{2}} = 0,081\ \lbrack kg*m^{2}\rbrack$$

Dla krążka:

$$I_{O} = \frac{1,085*10*0,1331*{0,9498}^{2}}{4\pi^{2}} = 0,033\ \lbrack kg*m^{2}\rbrack$$

Obliczyć błąd względny i bezwzględny:

Dla pręta (metoda ze wzoru):

$$I_{preta} = m\left( \frac{1}{12}l^{2} + x^{2} \right) + m\left( \frac{l*l}{6} + 2x*x \right)$$

$$I_{preta} = 0,002*\left( \frac{1}{12}*{0,863}^{2} + {0,414}^{2} \right) + 0,335*\left( \frac{0,863*0,001}{6} + 2*0,414*0,001 \right) = 0,00079$$

Dla krążka (metoda ze wzoru):

$$I_{krazka} = m\left( \frac{1}{2}R^{2} + d^{2} \right) + m\left( R*R + 2d*d \right)$$

$$I_{krazka} = 0,002*\left( \frac{1}{2}*{0,1492}^{2} + {0,1331}^{2} \right) + 1,085*\left( 0,1492*0,02 + 2*0,1331*0,02 \right) = 0,00907$$

Metoda wahadła fizycznego:

$$\left| \frac{I}{I} \right| = \left| \frac{m}{m} \right| + \left| \frac{a}{a} \right| + 2\left| \frac{T}{T} \right|$$

gdzie: a =$\left\{ \begin{matrix} x - \ dla\ preta \\ \ d - \ dla\ krazka \\ \end{matrix} \right.\ $ i $T = \ \frac{t}{n}$

Dla pręta:

$$\left| \frac{I}{I} \right| = \left| \frac{0,002}{0,335} \right| + \left| \frac{0,001}{0,414} \right| + 2*\left| \frac{0,005}{1,512} \right| = 0,015$$

I = 0, 01500 * 0, 08031 = 0, 00120

Dla krążka:

$$\left| \frac{I}{I} \right| = \left| \frac{0,002}{1,085} \right| + \left| \frac{0,02}{0,1331} \right| + 2*\left| \frac{0,0032}{0,9498} \right| = 0,16$$

I = 0, 15884 * 0, 03300 = 0, 0053

Zestawienie wyników:

	Ze wzoru	Metoda wahadła fizycznego	Średnia ważona
Pręt	0,079 ± 0,00079	0,081 ± 0,0012	0,079
Krążek	0,032 ± 0,0091	0,033 ± 0,0053	0,033

Ocena słowna błędu:

Naszym zdaniem błędy są dość porównywalne dla obu metod.

V. Wykresy

Wykres z wyników pomiaru okresu w czasie 60 sekund:

Wykresy błędów:

Wykres pomiarów z błędami:

VI. Wnioski:

Wyniki w obu metodach były zbliżone tak jak i ich błędy pomiaru.

Kąt wychyłu od poziomu równowagi nie wpływał na liczbę okresów, natomiast czas badania okresu do liczby okresów był zawsze proporcjonalny.

VII. Karta pomiarowa: