Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska

Uniwersytet Technologiczno - Przyrodniczy

Katedra Budownictwa Drogowego

Ćwiczenie projektowe z przedmiotu

TEORIA SPRĘŻYSTOŚCI I PLASTYCZNOŚCI

Ćwiczenie projektowe XI.3_R

z teorii sprężystości i plastyczności

Temat: Czyste skręcanie pręta pryzmatycznego

Wykonał:

Michał Wiśniewski

kierunek: budownictwo

studia magisterskie

specjalność: TOB

rok I, semestr I, grupa 5

rok akad. 2012/2013

1. Definicje

Skręcanie - w wytrzymałości materiałów stan obciążenia materiału, w którym na materiał działa moment, nazwany momentem skręcającym, działający w płaszczyźnie przekroju poprzecznego materiału. Powoduje on występowanie naprężeń ścinających w płaszczyźnie równoległej do płaszczyzny działania momentu. Skręcanie występuje w prętach.
Wyróżniamy 2 podstawowe przypadki skręcania:

Rys 1. Skręcanie czyste

Skręcanie czyste - w którym do ścianek poprzecznych jednorodnego i izotropowego pręta pryzmatycznego przyłożone jest obciążenie o gęstości q = [0;q_vy;q_vz], które redukuje się do dwóch przeciwnie skierowanych momentów działających w płaszczyźnie ścianek poprzecznych. Rozwiązanie tego przypadku jest możliwe tylko w przypadku, gdy uda nam się znaleźć funkcję spaczenia ф, charakterystyczną dla przekroju pręta, która jest rozwiązaniem układu następujących równań (rozwiązaniem zagadnienia Neumanna):

gdzie m i n są współrzędnymi wektora normalnego do pobocznicy pręta.

Rys 2. Skręcanie proste

Skręcanie proste pręta, które różni się od skręcania "czystego" tym, że obciążenie zastępujemy dwójką przeciwnie skierowanych, równych, co do wartości skupionych momentów skręcających. Analityczne rozwiązanie tego przypadku jest praktycznie niemożliwe, dlatego stosujemy zgodnie z zasadą de Saint-Venanta rozwiązanie zagadnienia czystego skręcania.

1. Naprężenia i odkształcenia

Ze skręcaniem pręta pryzmatycznego mamy do czynienia wówczas, gdy układ sił zewnętrznych po jednej stronie jego przekroju poprzecznego redukuje się do momentu, którego płaszczyzna działania jest styczna do przekroju, a wektor jest równoległy do osi pręta. Moment ten M_s nazywamy momentem skręcającym. Zasadniczym problem jest wyznaczenie macierzy naprężeń i odkształceń w dowolnym punkcie pręta. Zagadnienie skręcania prętówpryzmatycznych daje się rozwiązać prostymi metodami wytrzymałości materiałów tylko w przypadku prętów o kołowo symetrycznym przekroju poprzecznym. Rozważmy wiec, pokazany na rys. 1 pręt pryzmatyczny o kołowym przekroju poprzecznym, którego pole A, określony w układzie osi (X,Y,Z), w którym oś X jest osią pręta, a dwie pozostałe są osiami głównymi centralnymi jego przekroju poprzecznego. Materiał pręta jest liniowo sprężysty o stałych materiałowych E oraz ν.

Rys. 3. Pręt pryzmatyczny o kołowym przekroju poprzecznym

Postawione zadanie rozwiążemy postępując według kilkakrotnie już stosowanego algorytmu. Po dokonaniu myślowego przekroju pręta na dwie części, odrzuceniu części II i przyłożeniu do części I układu sił wewnętrznych rozważymy trzy komplety równań tzn. równania równowagi, geometryczne i fizyczne. Równania równowagi wynikające z twierdzenia o równoważności odpowiednich układu sił wewnętrznych i zewnętrznych w tym przypadku przyjmą postać:

(1)

Równania geometryczne sformułujemy w oparciu o przypuszczony obraz deformacji pręta. Przyjęte założenia o własnościach materiału pręta, małych przemieszczeniach i zasadapłaskich przekrojów pozwalają przyjąć obraz jego deformacji po obciążeniu pokazany na rys. 2. Narysowana na powierzchni zewnętrznej pręta siatka prostopadłych do siebie linii po

Rys.4. Obraz deformacji pręta po obciążeniu

przyłożeniu momentu skręcającego deformuje się tak, że linie równoległe do osi pręta przechodzą w linie śrubowe a linie prostopadłe do osi pręta pozostają do niego prostopadłe. Można więc opisać mechanizm deformacji jako obroty wokół osi pręta płaskich kołowych. nie deformujących się przekrojów przy nie zmieniających się między nimi odległościach, zatem odkształcenia liniowe włókien równoległych do osi układu odniesienia są równe zeru:

ϵ_x = ϵ_y = ϵ_z = 0,

oraz γ_yz = 0.

Kąt o jaki obracają się poszczególne przekroje nazywać będziemy kątem skręcenia i oznaczymy go ϕ (x). Dla dalszej analizy deformacji pręta wytnijmy z niego element o dowolnie małej długości dx (rys. 2). Przyrost kąta skręcenia na tym odcinku oznaczmy przez dϕ(x).Z rys. 2 odczytujemy, że na pobocznicy zachodzą zależności:

gdzie: γ_r – odkształcenie kątowe na pobocznicy pręta. Jeśli dalej przyjmiemy, że zależności zauważone na pobocznicy spełnione są również wewnątrz pręta to możemy napisać:

$$\gamma = \rho\frac{\text{dφ}(x)}{\text{dx}}$$

gdzie: γ – odkształcenie kątowe w punkcie o promieniu wodzącym ρ dwóch prostopadłych do siebie włókien, z których jedno jest równoległe do osi pręta, a drugie prostopadłe do promienia wodzącego. Po wprowadzeniu pojęcia jednostkowego kąta skręcania określonego wzorem:

γ = ρ • θ(x) W miejsce zależności$\ \gamma = \rho\frac{\text{dφ}(x)}{\text{dx}}$, dostajemy: γ = ρ • θ(x)Z równań fizycznych Hooke’a otrzymujemy:

$$\sigma_{x} = \frac{E}{1 + \nu}\left\lbrack \varepsilon_{x} + \frac{\nu}{1 - 2 \bullet \nu}\left( \varepsilon_{x} + \varepsilon_{y} + \varepsilon_{z} \right) \right\rbrack \rightarrow \sigma_{x} = 0$$

$$\sigma_{y} = \frac{E}{1 + \nu}\left\lbrack \varepsilon_{y} + \frac{\nu}{1 - 2 \bullet \nu}\left( \varepsilon_{x} + \varepsilon_{y} + \varepsilon_{z} \right) \right\rbrack \rightarrow \sigma_{y} = 0$$

$$\sigma_{z} = \frac{E}{1 + \nu}\left\lbrack \varepsilon_{z} + \frac{\nu}{1 - 2 \bullet \nu}\left( \varepsilon_{x} + \varepsilon_{y} + \varepsilon_{z} \right) \right\rbrack \rightarrow \sigma_{z} = 0$$

τ_yz = G • γ_yz → τ_yz = 0 oraz

τ = G • γ = G • ρ • θ(x)

Rys.5.

Kierunek wektora tych ostatnich naprężeń stycznychτ, jest prostopadły do promienia wodzącego punktu ρ, a jego zwrot jest taki, że kręci względem środka tak samo jak obciążający przekrój moment skręcający. Jak widać z rys. 3 naprężenia styczne w rozważanym punkcie, równoległe do osi układu odniesienia, można wyrazić poprzez naprężenie styczne τ wzorami:

τ_xy = −τ • sinα oraz τ_xz = −τ • cosα, a po podstawieniu do równania γ = ρ • θ(x), przyjmując postać:

τ_xy = −G • θ(x)z i τ_xz = G • θ(x)y (2)

Wracamy do równań równoważności (1). Pierwsze, piąte i szóste z uwagi na zerowania się naprężeń normalnych są spełnione tożsamościowo.

Równanie drugie:

∬_Aτ_xydA = ∬_A−Gθ(x)zdA = −Gθ(x)∬_AzdA = 0,

Jest spełnione, bo całka to moment statyczny względem osi centralnej Y. Z analogicznego powodu spełnione jest trzecie równanie równoważności:

∬_Aτ_xzdA = ∬_AGθ(x)ydA = −Gθ(x)∬_AzdA = 0.

Przejdźmy do równania czwartego:

∬_A(−τ_xyz+τ_xzy)dA = M_s(x)

Podstawienie pod całkę zależności (2) i kolejne przekształcenia dają:

∬_A[Gθ(x)z²+Gθ(x)y²]dA = M_s(x) → Gθ(x)∬_A(z²+y²)dA = M_s(x)

$\theta\left( x \right) = \frac{M_{s}(x)}{GJ_{0}}$ (2)

gdzie: J₀ = ∬_A(y²+z²)dA = ∬_Aρ²dA ,to biegunowy moment bezwładności przekroju poprzecznego względem jego środka ciężkości, a iloczyn G • J₀ nazywamy sztywnością na skręcanie.

Wstawiając (2) do wzoru τ = G • γ = G • ρ • θ(x) otrzymujemy wzór określający rozkład naprężeń stycznych w przekroju poprzecznym skręcanego pręta o przekroju kołowo – symetrycznym.

$\mathbf{\tau}\mathbf{=}\frac{\mathbf{M}_{\mathbf{s}}\mathbf{(}\mathbf{x}\mathbf{)}}{\mathbf{J}_{\mathbf{0}}}\mathbf{\rho}$(3)

Rys. 6.

2. Analiza stanu naprężenia i odkształcenia

W rozważanym przypadku na płaszczyznach prostopadłych do osi układu odniesienia nie ma naprężeń normalnych, a występujące w płaszczyźnie przekroju poprzecznego naprężenia styczne określone wzorem (3) są liniowo zależne od odległości od jego środka ciężkości. Zatem swą największą wartość osiągają one w punktach leżących na obwodzie:

$$\max\ \tau = \frac{M_{s}(x)}{J_{0}}r = \frac{M_{s}(x)}{W_{0}}$$

Gdzie: $W_{0} = \frac{J_{0}}{r}$ – wskaźnik wytrzymałości przy skręcaniu (lub biegunowy wskaźnik wytrzymałości)

W omawianym przypadku w każdym punkcie pręta mamy do czynienia z płaskim stanem naprężenia (dokładniej z czystym ścinaniem), płaszczyzną tego stanu jest płaszczyzna prostopadła do przekroju poprzecznego i prostopadła do wektora wodzącego punktu. Naprężenia główne, z których jedno jest rozciągające a drugie ściskające o wartościach równych naprężeniom stycznym, nachylone są pod kątem 45° do osi pręta (rys. 6).

Rys. 8.

Macierz odkształceń odpowiadającą wyznaczonym naprężeniom obliczamy korzystając ze związków fizycznych Hooke’a.

Kąt skręcania dwóch przekrojów odległych o x jest równy:

$\varphi\left( x \right) = \int_{0}^{x}{\theta\left( x \right)\text{dx} = \int_{0}^{x}{\frac{M_{s}(x)}{G \bullet J_{0}}\text{dx}}}$ (4)

Stąd, całkowity kąt skręcania pręta o długości l, obciążonego stałym momentem skręcającymM_s(x) = M_s, wynosi:

$$\varphi = \frac{M_{s} \bullet l}{G \bullet J_{0}}$$

W tym miejscu warto zwrócić uwagę na zależność (4), pokazuje ona, że funkcja momentów skręcających podzielona przez sztywność na skręcanie GJ₀ jest pochodną kąta skręcania.

2. Wymiarowanie skręcanych prętów o kołowo symetrycznym przekroju

Stan graniczny nośności wymaga, aby największe naprężenia styczne w konstrukcji były mniejsze od naprężeń obliczeniowych przy ścinaniu R_t:

maxτ ≤ R_t

W przypadku pręta o stałym przekroju poprzecznym na całej jego długości największe naprężenia styczne wystąpią w przekroju maksymalnego momentu skręcającego we wszystkich punktach na obwodzie i warunek stanu granicznego nośności przyjmuje formę:

$$\max\tau = \frac{\max\ M_{s}}{W_{0}} \leq R_{t}$$

Stan graniczny użytkowania nie dopuszcza zbyt dużego kąta skręcania w konstrukcji i związany z nim warunek stawia wymóg, by największy jednostkowy kąt skręcania był mniejszy od dopuszczalnego:

maxθ ≤ θ_dop

W przypadku pręta pryzmatycznego wykonanego z jednego materiału największy jednostkowy kąt skręcania wystąpi w przekroju maksymalnego momentu skręcającego i warunek stanu granicznego użytkowania przyjmuje postać:

$$\frac{\max M_{s}}{G \bullet J_{0}} \leq \theta_{\text{dop}}$$

Bibliografia:

1. Kozłowski T. Zarys teorii sprężystości, Warszawa , Arkady, 1968

2. Adam Bodnar, Wytrzymałość Materiałów, podręcznik dla studentów wyższych szkół technicznych, Wydanie drugie poszerzone i poprawione, Kraków 2004 (rozdział 15).

3. Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003 r., Politechnika Poznańska, (rozdział 12: Działanie momentu skręcającego).