Aneta Kąkol
Sylwia Kopania
Gr FBU2
Dany jest model przedstawiający import w mld PLN w latach 2000-2009 (zmienna objaśniana Y) oraz dwie zmienne objaśniające: kurs PLN/EUR (Z1) oraz PKB per capita w tys. PLN (Z2). Szczegółowe dane przedstawia poniższa tabela.
| Rok | Import w mld PLN | Kurs PLN\EUR | PKB per capita w tys. PLN |
|---|---|---|---|
| 2000 | 18,577 | 4,0110 | 9,200 |
| 2001 | 15,980 | 3,6685 | 9,400 |
| 2002 | 19,287 | 3,8557 | 9,900 |
| 2003 | 24,705 | 4,3978 | 10,100 |
| 2004 | 25,545 | 4,5340 | 11,000 |
| 2005 | 28,201 | 4,0254 | 11,500 |
| 2006 | 33,596 | 3,8951 | 12,400 |
| 2007 | 35,293 | 3,7829 | 13,400 |
| 2008 | 33,588 | 3,5166 | 14,400 |
| 2009 | 35,076 | 4,3273 | 14,920 |
Oszacowanie parametrów strukturalnych modelu
A = $\begin{bmatrix} - 21,443 \\ 2,44 \\ 3,327 \\ \end{bmatrix}$
Wektor oszacowań parametrów strukturalnych modelu pozwala zbadać jak będzie zmieniać się wartość zmiennej objaśnianej w zależności od zmian zmiennych objaśniających.
Parametr a0 oznacza, że jeżeli obie zmienne objaśniające będą wynosić 0 wówczas import będzie wynosił właśnie -21,443 mld PLN. Niestety nie ma to sensu ekonomicznego, jedynie sens matematyczny.
Parametr a1 oznacza, że przy wzroście kursu PLN\EUR o 1 import wzrośnie o 2,44 mld PLN.
Parametr a2 oznacza, że przy wzroście PKB per capita o 1 tys. PLN import wzrośnie o 3,327 mld PLN.
By zbadać błędy szacunku parametrów strukturalnych modelu należy zbudować macierz wariancji kowariancji. W danym modelu wygląda ona następująco:
D2(A) = $\begin{bmatrix} 185,784 & - 36,903 & - 3,208 \\ - 36,903 & 8,750 & 0,163 \\ - 3,208 & 0,163 & 0,220 \\ \end{bmatrix}$
natomiast wariancja składnika losowego wynosi
Sξ2 = 8,404.
Bezwzględne błędy oszacowań parametrów modelu wynoszą kolejno:
Sa0 = 13,63
Sa1 = 2,96
Sa2 = 0,47
Natomiast błędy względne wynoszą odpowiednio:
WSa0 = 0,636
WSa1 = 1,21
WSa2 = 0,14
W przypadku parametru a1 jest on stosunkowo wysoki.
Badanie jakości modelu
Podstawowymi wskaźnikami jakości modelu są wskaźniki zbieżności (φ2) i determinacji (r2). Dla danego modelu wynoszą ona odpowiednio:
φ2 = 12,21%
r2 = 87,79%
Wskaźnik zbieżności wskazuje, że 12,21% zmienności zmiennej objaśnianej Y pozostaje poza modelem. Natomiast wskaźnik determinacji jest uzupełnieniem wskaźnika zbieżności i wskazuje, że 87,79% zmienności zmiennej objaśnianej Y jest wyjaśniona przez model. Z tego punktu widzenia jakość modelu jest więc dość wysoka.
Para korelacyjna składa się z macierzy korelacji R oraz wektora korelacji R0. Dla danego modelu wynoszą one odpowiednio:
R = $\begin{bmatrix} 1 & - 0,117 \\ - 0,117 & 1 \\ \end{bmatrix}$ R0 = $\begin{bmatrix} - 0,001 \\ 0,931 \\ \end{bmatrix}$
Dane w macierzy korelacji świadczą o tym, iż pomiędzy zmienną objaśniającą Z1 i zmienną objaśniającą Z2 istnieje mała korelacja ujemna. Oznacza to, że jeżeli jedna z tych zmiennych rośnie wówczas druga z nich maleje i na odwrót.
Dane w wektorze korelacji wskazują na to jaka jest korelacja między zmiennymi objaśniającymi a zmienną objaśnianą Y. Można zauważyć, że korelacja zmiennej objaśniającej Z1 i zmiennej objaśnianej Y jest bardzo niska i ujemna. Oznacza to, że kurs PLN\EUR ma znikomy wpływ na kształtowanie się importu. Natomiast wysoka wartość współczynnika korelacji dla drugiej zmiennej oznacza, że na kształtowanie się importu duży wpływ ma PKB per capita. Jest to korelacja dodatnia tzn. w przypadku wzrostu jednej zmiennej druga także wzrasta.
Współczynnik integralnej pojemności integracyjnej H wynosi dla danego modelu wynosi 0,776. Pokazuje on ile informacji o zmiennej objaśnianej Y wnoszą określone zmienne objaśniające. Również z tego względu można uznać ten model za dobry jakościowo.
Koincydentność
Badanie koincydentności modelu można sprowadzić do porównania znaków oszacowań parametrów strukturalnych modelu (A) oraz współczynników korelacji w wektorze korelacji R0. W wyniku tego porównania można stwierdzić, że dany model nie jest koincydentny. O ile w przypadku zmiennej Z2 możemy mówić o koincydentności (zarówno a2 jak i r2 mają znaki dodatnie), to zmienna Z1 nie jest koincydentna (dodatnie a1 i ujemne r1).
Efekt katalizy
W celu zbadania efektu katalizy w danym modelu należy obliczyć jego natężenie. W danym modelu wynosi ono:
η = 0,1019
Wartość ta świadczy o średnim efekcie katalizy. W celu dokładniejszego zbadania modelu należy poszukać mocnych katalizatorów. W modelu występuje taki katalizator i jest nim zmienna Z1.
Współczynnik korelacji cząstkowej i statystyczna istotność modelu
Współczynniki korelacji cząstkowej dla zmiennych objaśniających w modelu wynoszą odpowiednio:
r1* = 0,3
r2* = 0,9365
Po podstawieniu tych danych do odpowiednich nierówności możemy zbadać czy dana zmienna objaśniająca jest statystycznie istotna czy też nie. Lepszym modelem jest model statystycznie istotny.
W tym modelu jednak tylko jedna zmienna jest statystycznie istotna (Z2). W związku z tym model nie jest statystycznie istotny.
Prognozowanie punktowe
Na podstawie metody średniej prostej (k=2) dokonano prognozy kursu PLN\EUR (zmienna Z1) oraz PKB per capita w tys. PLN (zmienna Z2). Dane te zostały umieszczone w wektorze mτ.
mτ = $\begin{bmatrix} 1 & 3,922 & 14,660 \\ \end{bmatrix}$
Prognoza na rok 2010 dla importu wynosi 36,900 mld PLN.
Średni błąd prognozy wynosi
Spyτ = 3,3533.
Oznacza to, że rzeczywista wartość importu może się zmieniać o +/- 3,3533 mld PLN.
Średni względny błąd prognozy wynosi natomiast Vτ = 0,091. Można uznać ten błąd za średni.
Prognoza przedziałowa
Prognoza przedziałowa dla tego modelu wygląda następująco:
β ( 32,155 ≤ 36,900 ≤ 41,645) = 0,8
Zapis taki oznacza, iż z wiarygodnością 80% przedział < 32,155 ; 41,645 > pokryje rzeczywistą wartość zmiennej w okresie prognozowanym.