Kolokwium obowiązuje do średniej harmonicznej! Trzeba znać teorie i przykłady. Test wielokrotnego wyboru 10min.

Przykład 1:

a) Dane: Ludność miasta A w trzech kolejnych okresach X, Y, Z:

*W okresie X – 6 tys mieszkańców

*W okresie Y – 8 tys mieszkańców

*W okresie Z – 10 tys mieszkańców

b) Szukane: Średnia przyrost liczby ludności pomiędzy okresami.

(przyrost o ok. 33%)

(przyrost o 25%)

(Przyrost o ok. 29%)

Przykład 2:

Z powtórzeniami wartości cechy.

= średnia geometryczna

k = liczba wszystkich wartości cechy (bez powtórzeń)

n₁= liczba powórzeń wartości x₁

i = 1,2,…,k.

n = liczebność populacji.Interpretacja – jak w a) średnia arytmetyczna, b)-średnia harmoniczna

Σ = sigma.

c) średnia geometryczna: zakres stosowania: badanie średniego tempa zmian zjawisk w czasie.

d) dominanta: definicje, przykłady

Dominanta D = najczęściej występująca wartość (cechy) zmiennej czyli dla szeregów 1) wyliczających jest to najczęściej powtarzająca się wartość cechy.

Przykład: 100,100,100,300,500,800,800 os/km2

=>*Dominanta czyli najczęściej się pojawiająca liczba = 100

D=100 (por. gęstości zaludnienia przy średniej harmonicznej).

2) rozdzielnych punktowych to wartość cechy, której odpowiada największa liczebność ni – równoważnie – największa częstość względem w1 lub (wg)i.

Przykład: rozwody w rejonie X w okresie Y wg wieku kobiet w momencie wniesienia powództwa.

Dane:

Wiek kobiety [lata] xi	Liczba kobiet N1	Częstość względna
		Wi
19	259	6/1000 *
20	2121	49/100
21	2322	54/100
22	2536	59/1000
23	2975	69/1000
24 = D	5214	121/1000
25	3251	75/100
.	.	.
.	.	.
.	.	.
.	.	.
45	190	4/100

*1 dane już wystarczy, inne to konsekwencja.

Można obliczyć populacje jeśli pominięte lata to spadek a nie wzrost (nawet chwilowy!). Wtedy nie zaburza to szyku.

Dominanta – interpretacja = patrz definicja (najczęściej występujaca cecha)

-zakres stosowania dla rozkładów:

• Jednomodalnych (jeden ośrodek dominujący)

• O umiarkowanej asymetrii

e) Kwantyle: definicje

Kwantyl = wartość p cechy dzieląca badaną zbiorowość na dwie części pozostające w określonej proporcji ilościowej, przy czym pierwsza część składa się z tych wszystkich jednostek, dla których wartość cechy jest p, zaś druga – z pozostałych jednostek

1. Kwartale podział zbiorowości na 4 części

Q1- kwartyl pierwszy (dobry) – podział w proporcji 1:3 = 25% : 75%

Q2-kwartyl drugi (wartość środkowa, mediana Me) – podział w proporcji 1:1=50% : 50%

Q3- kwartyl trzeci (górny) –podział w proporcji 3:1 = 75%

1. Decyle podział zbiorowości na 10 części

D1, D2,....,D9.

D1= podział 1:9

D2=2:8

D9=9:1

1. Centyle (percentyle) podział zbiorowości na 100 części

99 wartości centyli. C1, C2,....,C99.

C1=1:99

C2=2:98

C99=99:1

OBLICZANIE KWANTYLI

UWAGA! Przed obliczaniem wyznaczania kwantyli na podstawie szeregu statystycznego należy uporządkować wartości badanej cechy od najniższej do najwyższej:

-wyznaczanie kwartyli, przykłady (ograniczamy się do szeregów szczegółowych bez powtórzeń wartości cechy).

Rozpatrzenie kilku przypadków, dotyczących liczbowych wartości populacji (N), w zależności od liczby będziemy liczyć kwantyle:

• N – liczebność badanej populacji (liczba nieparzysta, to: )

Q₂=x_[N+1]/2– wybieramy taki x

Me (mediana)

Jeśli dodatkowo N+1 jest podzielne przez 4, to:

, , .

Przykład:

15 , 2 , 21 , 17 , 5 , 18 , 20 to po uporządkowaniu

x₁=2 ,x₂=5 ,x₃=15 ,x₄=17 ,x₅=18 ,x₆=20 ,x₇=21

N = 7

Me = = x _(8/2) = x₄ = 17

Q1 = = x _(8/4) = x₂= 5

Q3 = = x _[(3*8)/4] = x₆ = 20

• N – liczba parzysta to:

Jeśli dodatkowo 4 | N (N niepodzielne przez 4), to:

Q₁= x _(N/4)

Q₃ = x_(3N/4)

Przykład:

N = 8

x₁=2 ,x₂=5 ,x₃=15 ,x₄=17 ,x₅=18 ,x₆=20 ,x₇=21, x₈=23

Q₁= x _(8/4)=x₂=5

Me = = (x₄+x₅)/2 = (17+18)/2= 35/2 = 17,5 (nie ma jej w szeregu)

Q₃ = x_(3N/4)= x_(3*8/4)= x₆=20

• 

dla N parzystych w szeregu wtedy numery "i" wartości cechy jako kwartyli Q_1, Q₃ nie są liczbami całkowitymi w tym, gdzie

i = (N+4)/4 (dla Q₁)

i =[3 (N+1)]/4 (dla Q₃)

wówczas jeśli i E (k,k+1) gdzie k jest dodatnią liczby całkowitą, to :

Q₁₌ Q₃₌(x_k+x_k+1)/2 (ale wynik nie jest ten sam)

Przykład:

1. 3/2 to k =1

5/2 to k =2

x₁=2 ,x₂=5 ,x₃=15 ,x₄=17 ,x₅=18

N=5

i dla Q₁ = (N+1)/4=6/4=3/2 E (1,2)

Q₁ = (x₁+x₂)/2=(2+5)/2=7/2 = 3,5

i dla Q₃ = [3(N+1)]/4=18/4=9/2 E (4,5)

Q₃ = (x₄+x₅)/2=(17+18)/2=32/2 = 17,5

• interpretacja kwantyli (patrz definicja)

• zakres stosowania kwantyli:

  • są przydatne (szczególnie w przypadku szeregów dla których nie można policzyć średniej arytmetycznej ani dominanty.

    • rzadsze podziały stosujemy dla zbiorowości o mniejszej liczbie jednostek (kwantyle)

    • gęste podziały stosujemy dla zbiorowości o większej ilości jednostek (decyle, Centyle)