Politechnika Rzeszowska im. Ignacego Łukasiewicza

Wydział Elektrotechniki i Informatyki

Teoria obwodów

Projekt

Zaprojektować filtr górnoprzepustowy Butterwortha.

Konsultował: Wykonali:

dr inż. Grzegorz Masłowski Baziak Paweł

Prof. PRZ Cieśla Mateusz

Głównie cele

1. Poznanie wiadomości dotyczących filtrów

2. Projekt filtru cyfrowego

• Określenie parametrów filtru cyfrowego

• Wyznaczenie pulsacji granicznych filtru analogowego

• Wyznaczenie parterów unormowanego górnoprzepustowego filtru analogowego

• Projektowanie prototypowego filtru górnoprzepustowego Butterwortha.

• Wyznaczenie rzędu N filtru

• Obliczenie biegunów filtru prototypowego

• Wyznaczenie transmitancji filtru prototypowego

- Dokonanie transformacji częstotliwości filtru prototypowego

- Wyznaczenie charakterystyk częstotliwościowych i czasowych

• Wyznaczenie transmitancji filtru cyfrowego

• Wyznaczenie charakterystyk częstotliwościowych i odpowiedzi impulsowej

-Wyznaczenie charakterystyk częstotliwościowych (amplitudowa i fazowa) i odpowiedzi impulsowej

• Porównanie tych charakterystyk z otrzymanymi charakterystykami dla filtru analogowego

1. Analiza zaprojektowanego układu z wykorzystaniem MathCAD

- Opis wybranych funkcji MathCAD-a

- Wyznaczenie charakterystyk częstotliwościowych – amplitudowej i fazowej (charakterystyki Bode’go), Nyquista i opóźnienia grupowego

-Wyznaczenie charakterystyk czasowych – odpowiedzi impulsowej i skokowej

4.Wnioski, spostrzeżenia i podsumowanie

WSTĘP TEORETYCZNY

Filtry aktywne są stosowane we wszystkich dziedzinach elektrotechniki . Mają spełniać zadania podobne do zadań filtrów pasywnych . Użycie elementów aktywnych pozwala zrezygnować z cewek indukcyjnych , sprawiających wiele uciążliwości . Można w związku z tym budować układy lżejsze i o lepszych własnościach elektrycznych .Należy jednak zwrócić uwagę na stabilność , ponieważ mogą generować szkodliwe drgania . Przyczyną ich są zazwyczaj niewielkie zmiany

parametrów , spowodowane na przykład warunkami zewnętrznymi ( np. zmiany temp. )

Filtry aktywne różnią się od filtrów pasywnych występowaniem źródeł sterowanych oraz pracą przy w miarę dowolnym (niekoniecznie dopasowanym) obciążeniu . Opis filtrów aktywnych można ograniczyć do filtrów dolnoprzepustowych , ponieważ można je za pomocą transformacji częstotliwości

Przekształcić w filtry górnoprzepustowe , pasmowoprzepustowe oraz pasmowozaporowe .

Problem syntezy transmitancji filtrów aktywnych można rozwiązać za pomocą połączenia łańcuchowego układów pierwszego i drugiego rzędu . W syntezie dowolnej impedancji , będącej funkcją wymierną , wystarczy rozłożyć ją na iloczyn funkcji wymiernych elementarnych i każdy czynnik zrealizować za pomocą czwórnika aktywnego . Zastosowanie czwórników aktywnych zapewnia spełnienie warunku wzajemnego nieobciążania się sekcji połączenia łańcuchowego .

Charakterystyki częstotliwościowe można optymalizować z różnych teoretycznych punktów widzenia . Z takich przesłanek optymalizacyjnych wynikają określone wartości współczynników a_i i b_i . Powstają przy tym sprzężone bieguny zespolone , których nie można zrealizować za pomocą biernych układów RC . Uzyskanie sprzężonych biegunów zespolonych staje się możliwe w wyniku zastosowania układów LRC . W zakresie częstotliwości dużych realizacja żądanych indukcyjności nie sprawia żadnych trudności , natomiast w zakresie małych częstotliwości przeważnie są potrzebne duże indukcyjności , które są bardzo niewygodne i mają złe własności elektryczne . Można jednak uniknąć stosowania takich indukcyjności dla zakresu częstotliwości małych , jeżeli do układów RC doda się elementy aktywne ( wzmacniacze operacyjne ) .Takie układy określa się mianem filtrów aktywnych .

1. PORÓWNANIE ZOPTYMALIZOWANYCH CHARAKTERYSTYK FILTRÓW

AKTYWNYCH

Charakterystyka częstotliwościowa filtrów dolnoprzepustowych Butterwortha przebiega w znacznym zakresie poziomo załamując się ostro dopiero przed osiągnięciem częstotliwości granicznej . Odpowiedź skokowa charakteryzuje się znacznymi drganiami , które rosną wraz ze wzrostem rzędu filtru .

Najbardziej stromy spadek wzmocnienia powyżej częstotliwości granicznej ma filtr dolnoprzepustowy Czebyszewa .Jednakże przebieg wzmocnienia w zakresie częstotliwości przenoszonych nie jest monotoniczny ; występuje tu pewne zafalowanie . Drgania w odpowiedzi skokowej filtru są jeszcze większe niż w przypadku filtru Butterwotha .

Optymalną odpowiedź skokową ma filtr dolnoprzepustowy Bessla . Obowiązuje przy tym założenie , opóźnienie ma wartość stałą w możliwie dużym zakresie częstotliwości , tzn. że dla zakresu częstotliwości przesunięcie fazowe jest proporcjonalne do częstotliwości . Zauważmy jednak , że charakterystyka częstotliwościowa filtru Bessla nie ma takiego ostrego załamania jak ma to miejsce w przypadku filtrów Butterwortha czy Czebyszewa .

Przykładowe charakterystyki filtrów dolnoprzepustowych Czebyszewa , Butterwortha , Bessla :

Łatwo zauważyć , że najbardziej strome przejście od pasma przepustowego do pasma tłumieniowego ma filtr Czebyszewa . Okupuje się to zafalowaniem charakterystyki częstotliwościowej w paśmie przepustowym . Im mniejsze jest to zafalowanie , tym bardziej właściwości filtru Czebyszewa są podobne do właściwości filtru Butterwortha . Obydwa filtry charakteryzują się znacznymi oscylacjami w ich odpowiedzi skokowej . Filtry Bessla dają tylko minimalne drganie . Mimo ich niezbyt dobrej charakterystyki częstotliwościowej stosuje się je zawsze tam , gdzie jest wymagana optymalna odpowiedź na wymuszenie skokowe .

2. FILTR GÓRNOPRZEPUSTOWY BUTTERWORTHA

Charakterystyka maksymalnie plaska Butterwortha

Filtr Butterwortha w stosunku do innych filtrów ma najbardziej plaski przebieg charakterystyki amplitudowej w paśmie przepustowym. Odbywa sie to kosztem załamania charakterystyki pod koniec pasma przepustowego. Ma on również kiepska charakterystykę fazowa.

W filtrze Butterwortha najważniejszym celem jest uzyskanie maksymalnej płaskości charakterystyki amplitudowej. Charakterystyka powinna zaczynać sie maksymalnie płasko dla zerowej częstotliwości i przeginać sie dopiero w pobliżu częstotliwości granicznej f_g (f_g jest zwykle czestotlwoscia 3dB).

Warunki maksymalnej płaskości charakterystyki amplitudowej.

Załóżmy, ze:

Można łatwo sprawdzić, ze funkcja spełnia warunek:

a wiec warunek maksymalnej płaskości w punkcie ω=0 (przy zadanym n). Stad charakterystykę amplitudowa A(ω) określoną wzorem (1) nazywamy charakterystyka maksymalnie plaska rzędu n lub charakterystyka Butterwortha rzędu n. Wykresy maksymalnie płaskiej charakterystyki A(ω) dla rożnych są przedstawione na poniższym rysunku. Charakterystyki A(ω) z rysunku są monotoniczne i dla wartości ω/ω₀=1 przybierają wartość:

a wiec maleją w porównaniu z wartością początkową A(0) o 3dB. Ponadto można bez trudu sprawdzić, że:

a wiec nachylenie charakterystyki A(ω) dla pulsacji 3-decybelowej ω ₀, która możemy uznać za pulsacje graniczna miedzy pasmem przepustowym a pasmem zaporowym, jest (co do modułu) niewiele i liniowo rosnie ze wzrostem n. Na poniższym rysunku przedstawiono charakterystyki amplitudowe dla kolejnych n. Rząd określony jest przez liczbę przy K(Ω)

Transmitancja filtru Butterwortha

Transmitancje H(s) odpowiadająca charakterystyce amplitudowej (1), a wiec transmitancje odpowiedniego filtru Butterwortha aproksymującego idealny filtr dolnoprzepustowy, przedstawiamy następująco:

Filtr górnoprzepustowy (HP) Butterwortha

Parametry

Pulsacje filtru cyfrowego

Pulsacje unormowane

Pulsacje graniczne filtru analogowego

rząd N

Wspólczynnik alfa

Bieguny filtru prototypowego z pulsacją ω3dB

Transmitancja filtru prototypowego

Zamian filtru dolno- na górnoprzepustowy

Zamiana transmitancji na postać czasową z zadaną częstotliwością przepuszczania

Charakterystyki

1.charakterystyka amplitudowa

2.charakterystyka amplitudowo-logarytmiczna

3.charakterystyka fazowa

4.charakterystyka amlitudowo-fazowa Nyquista

5.opoznienie grupowe

Charakterystyki czasowe

1.odpowiedz na skok

2.odpowiedz impulsowa

Projekt filtru cyfrowego

Wyznaczenie charakterystyk czestotliwosciowych

1.charakterystyka amplitudowa

2.charakterystyka logarytmiczna

3.charakterystyka fazowa

4. charakterystyka amlitudowo-fazowa, Nyquista

5.opoznienie grupowe

Charakterystyki czasowe

1.odpowiedz impulsowa

2.odpowiedz skokowa

WNIOSKI

Projekt filtru górnoprzepustowego Butterwortha został wykonany w programie Mathcad14.

Za pomocą tego programu w łatwy sposób można wykonywać różnego rodzaju obliczenia i wykresy.

Na podstawie otrzymanej transmitancji filtru cyfrowego otrzymujemy charakterystykę częstotliwościową amplitudową filtru, która jest najważniejszą częścią w sprawdzeniu poprawności pracy filtru.

W przypadku naszego filtru na podstawie charakterystyki stwierdzamy że filtr pracuje zgodnie z założeniami projektowymi.

dokumentacja będzie, a do wniosków napisz, że wyszło dobrze, pasmo

się zgadza, charakterystyka filtru odpowiada filtrowi RC i coś wymyśl.

Płyty CD nie mam.

BIBLIOGRAFIA:

1. Tomasz P. Zieliński: Cyfrowe przetwarzanie sygnałów. Od teorii do zastosowań. Wydawnictwa komunikacji i łączności, Warszawa 2005

2. Projektowanie filtrów cyfrowych Butterwortha i Czebyszewa http://teleinfo.pb.bialystok.pl/krashan/articles/filtry_iir/

3. Filtr Czebyszewa założenia teoretyczne i przykład projektowania. http://www.kmg.ps.pl/to/filtry_ak/czeby_p1.html

4. Filtry aktywne http://www.sppi.iit.pwr.wroc.pl/materialy/pliki/14-Filtry%20Aktywne.pdf

5. Mathcad instrukcja obsługi http://technologialaserowa.republika.pl/mathcad.pdf