Wydział: Budowy Maszyn i Informatyki Data przeprowadzonych zajęć:

Rok akademicki: 2011/2012

Studia: stacjonarne/inż.

Semestr: 5

Kierunek/Specjalność: Mechanika i Budowa Maszyn/Samochody i Silniki

Laboratorium

Drgań Mechanicznych

Temat: Wyznaczanie współczynnika tłumienia układu

drgającego o jednym stopniu swobody

Skład sekcji:

Same prze h..e:D

Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest zapoznanie się ze zjawiskiem drgań tłumionych układów liniowych o jednym stopniu swobody. Przedmiotem ćwiczenia jest badanie drgań swobodnych, badanie wpływu tłumienia na ich przebieg oraz wyznaczenie zastępczego współczynnika tłumienia.

Przebieg ćwiczenia

• Zanotowano sztywności sprężyn:k₁ i k₂;

• Dokonano pomiaru i zanotowano wymiary przekroju poprzecznego belki: b i h_b;;

• Zmierzono i zanotowano wymiary długościowe: l_1,l₂,l₃,l_4,l₅;

• Zanotowano masę dodatkowego obciążnika m_t;

• Obliczono masę belki m oraz jej masowy moment bezwładności B;

• Obliczono częstość drgań własnych α;

• Przykręcono dodatkowy obciążnik do belki w miejscu pokazanym na rysunku 1;

• Uruchomiono rejestrację przebiegu drgań układu poprzez naciśnięcie przycisku funkcyjnego F5;

• Wprawiono belkę w ruch drgający poprzez przesunięcie jej swobodnego końca w dół o około 2 cm i zwolnienie uchwytu;

• Zatrzymano rejestrację przebiegu drgań poprzez ponowne naciśnięcie klawisza F5, kiedy obraz na monitorze wyglądał jak na rysunku 2;

• Wydrukowano zarejestrowany przebieg drgań;

• Powtórzono dwukrotnie rejestrację przebiegu drgań belki z przykręconą masą dodatkową

• Odkręcono masę dodatkową, a na jej miejsce zamontowano tłumik drgań;

• Wykonano trzykrotnie pomiary drgań układu z tłumikiem i wydrukowano otrzymane przebiegi, analogicznie jak dla układu z dodatkową masą;

• Opisano wydrukowane przebiegi drgań w sposób przedstawiony na rysunku 2 korzystając z wartości , w których wyskalowano poszczególne osie;

• Dla każdego z zarejestrowanych przebiegów wykonano obliczenia:

• logarytmicznego dekrementu tłumienia ;

• intensywności tłumienia h;

• częstości drgań własnych tłumionych;

• zastępczego współczynnika tłumienia układu c_φ,

Schemat stanowiska laboratoryjnego

Rys .1. Stanowisko do badania drgań swobodnych i wymuszonych układów o jednym stopniu swobody

Opis stanowiska:

• stalowa belka (rozpatrywana jako element o pomijalnie małych odkształceniach), o prostokątnym przekroju poprzecznym (bxh_b);

• sprężyny o współczynnikach sztywności k₁ i k₂;

• tłumik wodny

• dodatkowy obciążnik, którego masa m_t jest równa masie tłoka tłumika;

• czujniki drgać Cd1 i Cd2.

• System pomiarowy Spider 8;

• Komputer z oprogramowaniem Catman.

Dane wejściowe do ćwiczenia

Zależności obliczeniowe:

Równanie różniczkowe ruchu opisujące drgania swobodne tłumione nieodkształcalnej belki ma postać:

$$\ddot{\varphi} + 2h\dot{\varphi} + \alpha^{2}\varphi$$

Gdzie:

Intensywność tłumienia:

$$2h = \frac{c_{\varphi}}{B}$$

$$h_{} = \frac{\Delta}{T}$$

Zastępczy współczynnik tłumienia:

c_φ = 2hB

Częstość drgań własnych belki:

$$\alpha^{2} = \frac{k_{1}{*l_{1}}^{2}{+ k}_{2}{*l_{2}}^{2}}{B}$$

Masa belki:

m_b = V_b * ρ

Objętość belki:

V_b = b × h × (l₅+l₄)

Masowy moment bezwładności belki:

$$B = \frac{m_{b}{(l_{5} + l_{4})}^{2}}{12} + \frac{{m_{b}(l_{5} + l_{4})}^{2}}{4} + m_{t}l_{3}^{2}$$

logarytmiczny dekrement tłumienia:

$$\Delta_{} = ln\frac{\Phi(t)}{\Phi(t + T)} = hT$$

Częstość drgań własnych:

$$\lambda_{} = \sqrt{\alpha^{2} + h^{2}}$$

Dane pomiarów i odczytów:

Sztywność sprężyn:

$$k_{1} = 1225\ \frac{N}{m}$$

$$k_{2} = 5200\ \frac{N}{m}$$

Gęstość materiału belki:

$$\rho = 7850\frac{\text{kg}}{m^{3}}$$

Wymiary przekroju belki:

b = 8mm = 0, 008m

h = 10mm = 0, 010m

Wymiary długościowe układu:

l₁ = 96mm = 0, 096m

l₂ = 46mm = 0, 046m

l₃ = 163mm = 0, 163m

l₄ = 121mm = 0, 121m

l₅ = 281mm = 0, 281m

l₅ + l₄ = 0, 121 + 0, 281 = 0, 402m

Masa dodatkowego obciążnika:

m_t = 77g = 0, 077kg

Rys.2. Przebieg drgań swobodnych tłumionych

Tabela danych pomiarowych

	Pomiar	Wartość odchylenia w pierwszym okresie	Wartość odchylenia w kolejnym okresie	Okres pomiędzy odchyleniami
		Φ(t)	Φ(t + T)	T
Ciężarek	1	6,83	3,84	0,108
	2	6,61	3,73	0,108
	3	14,25	8,8	0,12
Tłumik	1	3,20	0,96	0,108
	2	5,12	0,96	0,124
	3	4,46	1,06	0,115

Obliczenia:

Objętość belki:

V_b = b × h × (l₅+l₄) = 8 × 10⁻⁵ × 0, 402 = 3, 216 * 10⁻⁵m³

Masa belki:

m_b = V_b * ρ = 3, 216 * 10⁻⁵ * 7850 = 0, 2524kg

Masowy moment bezwładności belki:

$$B = \frac{m_{b}{(l_{5} + l_{4})}^{2}}{12} + \frac{{m_{b}(l_{5} + l_{4})}^{2}}{4} + m_{t}l_{3}^{2} = \frac{0,2524*{0,402}^{2}}{12} + \frac{{0,2524*0,402}^{2}}{4} + 0,077*{0,163}^{2} = 0,0156$$

Częstość drgań własnych belki:

$$\alpha^{2} = \frac{k_{1}{*l_{1}}^{2}{+ k}_{2}{*l_{2}}^{2}}{B} = \frac{1225*{0,096}^{2} + 5200*{0,046}^{2}}{0,0156} = 1429,025$$

α = 37, 802

Obliczenie logarytmicznego dekrementu tłumienia:

$$\Delta_{} = ln\frac{\Phi(t)}{\Phi(t + T)} = hT$$

Ciężarek:

$$\Delta_{c1} = ln\frac{6,83}{3,84} = 0,576$$

$$\Delta_{c2} = ln\frac{6,61}{3,73} = 0,572$$

$$\Delta_{c3} = ln\frac{14,25}{8,8} = 0,482$$

Tłumik:

$$\Delta_{t1} = ln\frac{3,2}{0,96} = 1,204$$

$$\Delta_{t2} = ln\frac{5,12}{0,96} = 1,674$$

$$\Delta_{t3} = ln\frac{4,46}{1,06} = 1,437$$

Intensywność tłumienia:

$$h_{} = \frac{\Delta}{T}$$

Ciężarek:

$$h_{c1} = \frac{0,576}{0,108} = 5,33$$

$$h_{c2} = \frac{0,572}{0,108} = 5,29$$

$$h_{c3} = \frac{0,482}{0,12} = 4,016$$

Tłumik:

$$h_{t1} = \frac{1,204}{0,108} = 11,15$$

$$h_{t2} = \frac{1,674}{0,124} = 13,5$$

$$h_{t3} = \frac{1,437}{0,115} = 12,49$$

Częstość drgań własnych:

$$\lambda_{} = \sqrt{\alpha^{2} + h^{2}}$$

Ciężarek:

$$\lambda_{c1} = \sqrt{1429,025 + {5,33}^{2}} = 38,176$$

$$\lambda_{c2} = \sqrt{1429,025 + {5,296}^{2}} = 38,172$$

$$\lambda_{c3} = \sqrt{1429,025 + {4,016}^{2}} = 38,015$$

Tłumik:

$$\lambda_{t1} = \sqrt{1429,025 + {11,15}^{2}} = 39,41$$

$$\lambda_{t2} = \sqrt{1429,025 + {13,5}^{2}} = 40,14$$

$$\lambda_{t3} = \sqrt{1429,025 + {12,49}^{2}} = 39,81$$

Zastępczy współczynnik tłumienia układu:

$$2h = \frac{c_{\varphi}}{B}$$

c_φ = 2hB

Ciężarek:

c_φc1 = 2 * 5, 33 * 0, 0156 = 0, 166

c_φc2 = 2 * 5, 296 * 0, 0156 = 0, 165

c_φc3 = 2 * 4, 016, *0, 0156 = 0, 125

Tłumik:

c_φt1 = 2 * 11, 15 * 0, 0156 = 0, 348

c_φt2 = 2 * 13, 5 * 0, 0156 = 0, 421

c_φt3 = 2 * 12, 49 * 0, 0156 = 0, 389

Tabela wyników obliczeń:

	Pomiar	Logarytmiczny dekrement tłumienia	Intensywność tłumienia	Częstość drgań własnych	Zastępczy współczynnik tłumienia układu
		Δ	h	λ	cφ
Ciężarek	1	0,576	5,333	38,176	0,166
	2	0,572	5,296	38,172	0,165
	3	0,482	4,016	38,015	0,125
Tłumik	1	1,204	11,15	39,41	0,348
	2	1,674	13,5	40,14	0,421
	3	1,437	12,49	39,81	0,389

Wnioski

Podczas przeprowadzanego ćwiczenia zapoznaliśmy się ze zjawiskiem drgań tłumionych układów liniowych o jednym stopniu swobody. Poznaliśmy wpływ tłumienia na ich przebiegi oraz wyznaczyliśmy zastępczy współczynnik tłumienia dla belki obciążonej ciężarkiem oraz obciążonej tłumikiem.

Z pomiarów i obserwacji wynika:

• Wartość logarytmicznego dekrementu dla belki obciążonej tłumikiem jest zdecydowanie większa niż dla belki obciążonej ciężarkiem

• Podobnie intensywność tłumienia jest większa dla belki obciążonej tłumikiem

• Wartości obliczeniowe częstości drgań własnych tłumionych są niewiele większe dla belki z tłumikiem ale już w porównywalnych wielkościach

• Zastępczy współczynnik tłumienia układu jest większy dla belki obciążonej tłumikiem

• Tłumik znacząco zmniejsza wartość odchylenia w kolejnych okresach

• Wartość okresu nie zmienia się znacząco

Podsumowując, tłumik w układzie nie wpływa znacząco na częstotliwość drgań natomiast zdecydowanie wpływa na wartości odchyleń w kolejnych okresach zmniejszając je.