Równanie ruchu i charakterystyka statyczna podstawowych członów automatyki.

Układ dynamiczny opisany jest ogólnym równaniem ruchu w postaci:

gdzie: x- wektor sygnałów wejściowych, y- wektor sygnałów wyjściowych.

Przyjmując, że zależność pomiędzy wejściem a wyjściem jest liniowa to otrzymujemy następujące równanie różniczkowe n-tego rzędu o stałych współczynnikach:

$$\frac{d^{n}y(t)}{\text{dt}^{n}} + a_{n - 1}\frac{d^{n - 1}y(t)}{\text{dt}^{n - 1}} + \ \ldots + a_{1}\frac{dy(t)}{\text{dt}} + a_{0}y\left( t \right) =$$

$$= b_{m}\frac{d^{m}x(t)}{\text{dt}^{m}} + b_{m - 1}\frac{d^{m - 1}x(t)}{\text{dt}^{m - 1}} + \ \ldots + b_{1}\frac{dx(t)}{\text{dt}} + b_{0}x\left( t \right)$$

gdzie współczynniki a₀, a₁,..., a_n-1 oraz b₀, b₁,..., b_m są stałymi rzeczywistymi.

Charakterystyką statyczną nazywamy zależność między sygnałem (wektorem) wyjściowym a sygnałem (wektorem) wejściowym w stanie ustalonym.

W stanie ustalonym, gdy t →∞ przyjmuje się w równaniu ruchu wszystkie pochodne względem czasu t równe 0, otrzymując równanie charakterystyki statycznej w postaci:

f(x,y) = 0 lub liniowe a₀y = b₀x

y y

$\tan{a = \frac{b_{0}}{a_{0}} = k}$

x x

Linearyzacja statyczna nieliniowych równań różniczkowych

Układ dynamiczny opisany jest ogólnym równaniem ruchu w postaci:

gdzie: x- wektor sygnałów wejściowych, y- wektor sygnałów wyjściowych.

Przyjmując, że zależność pomiędzy wejściem a wyjściem jest nieliniowa to poddajemy go linearyzacji. Linearyzacją układów nieliniowych nazywamy zastąpienie układu nieliniowego jego liniowym przybliżeniem. Jedną z metod linearyzacji jest rozwinięcie równania ruchu w szereg Taylora w otoczeniu punktu równowagi p(x₀, y₀). Linearyzacja statyczna w warunkach ustalonych (t → ∞) sprowadza równanie ruchu do postaci:

$\frac{d}{\text{dt}} = 0$

Jego postać zlinearyzowana to:

$$\left. \ \frac{\partial f}{\partial y} \right|_{y0}y + \left. \ \frac{\partial f}{\partial x} \right|_{x0}x = 0$$

gdzie:

Równanie zlinearyzowane obowiązuje tylko w dobranym przedziale Δy, Δx wokół punktu pracy p(x₀, y₀) i definiuje go współczynnik wzmocnienie k.

y y^’

Δy $\tan{a = \frac{b_{0}}{a_{0}} = k}$

Δy P(x₀,y₀₎ x^’

Δx Δx x

Elementy automatyki - przykłady

1. Dźwignia

a b y

x

$$\tan{\alpha =}\frac{x}{a} = \frac{y}{b}$$

$y = \frac{b}{a}x$

y = kx

X – sygnał wejścia

Y – sygnał wyjścia

k – wzmocnienie

Jest to równanie ruchu, charakterystyka statyczna i dynamiczna.

Element liniowy, proporcjonalny, bezinercyjny.

1. Dźwignia – sumator

c d y

x z

a b

$$\left\lbrack \begin{matrix} \tan{\alpha =}\frac{x}{c} = \frac{y}{d} = \frac{z}{b - d} \\ a + b = c + d \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$\left\lbrack \begin{matrix} \begin{matrix} \frac{x}{c} = \frac{y}{d} \\ \frac{y}{d} = \frac{z}{b - d} \\ \end{matrix} \\ c = a + b - d \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$\left\lbrack \begin{matrix} xd = y(a + b - d) \\ y\left( b - d \right) = zd \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$\left\lbrack \begin{matrix} d(x + y) = y(a + b) \\ d\left( z + y \right) = yb \\ \end{matrix} \right.\ $$

$\frac{y}{x + y}\left( a + b \right) = \frac{y}{z + y}b\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :y$ b(x+y) = (z+y)(a+b)

bx = z(a+b) + ay

$z = \frac{b}{a + b}x - \frac{a}{a + b}y$

Etapy działania regulacyjnego dźwigni jako sumatora

- pojawienie się sygnału x:

c y

x e

a b

- etap regulacji:

c d y

x e

a b

- zakończenie regulacji, e=0:

c d y

x e=0

a b

R $I = \frac{1}{R}U$

gdzie: I-prąd; U-napięcie; R-opór

F = kx

gdzie: F-siła; x-ugięcie sprężyny

k-współczynnik sprężystości sprężyny

Wypływ swobodny cieczy

Q₁

h Q – natężenie przepływu cieczy w punkcie 1 i 2

h – wysokość cieczy w zbiorniku

f – przekrój wypływu

α – współczynnik wypływu otworu

Q₂, f , α

Warunek stanu ustalonego: Q₁=Q₂

$Q = \alpha f\sqrt{2gh}$

Równanie należy zlinearyzować $F\left( Q,h \right) = Q - \alpha f\sqrt{2gh}$=0

$$\left. \ \frac{\partial F}{\partial Q} \right|_{Q0}Q + \left. \ \frac{\partial F}{\partial h} \right|_{h0}h = 0$$

$$1 \bullet Q - \text{αf}\sqrt{\frac{g}{2h_{0}}}h = 0$$

$$Q = \text{αf}\sqrt{\frac{g}{2h_{0}}}h$$

Transmitancja operatorowa podstawowych członów automatyki.

Dane jest ogólne równanie ruchu n-tego rzędu o stałych współczynnikach:

$$\frac{d^{n}y(t)}{\text{dt}^{n}} + a_{n - 1}\frac{d^{n - 1}y(t)}{\text{dt}^{n - 1}} + \ \ldots + a_{1}\frac{dy(t)}{\text{dt}} + a_{0}y\left( t \right) =$$

$$= b_{m}\frac{d^{m}x(t)}{\text{dt}^{m}} + b_{m - 1}\frac{d^{m - 1}x(t)}{\text{dt}^{m - 1}} + \ \ldots + b_{1}\frac{dx(t)}{\text{dt}} + b_{0}x\left( t \right)$$

gdzie współczynniki a₀, a₁,..., a_n-1 oraz b₀, b₁,..., b_m są stałymi rzeczywistymi.

Dokonując transformaty Laplace'a na obu stronach równania ruchu przy założeniu zerowych warunków początkowych otrzymujemy postać:

(sⁿ+a_n − 1s^n − 1+ …+a₁s+a₀)Y(s) = (s^m+b_m − 1s^m − 1+ …+b₁s+b₀)X(s)

Po przekształceniu otrzymujemy transmitancję operatorową danego elementu:

$$G\left( s \right) = \frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{s^{m} + b_{m - 1}s^{m - 1} + \ \ldots + b_{1}s + b_{0}}{s^{n} + a_{n - 1}s^{n - 1} + \ \ldots + a_{1}s + a_{0}}$$

Transmitancja operatorowa danego elementu jest to stosunek transformaty sygnału wyjściowego Y(s) do transformaty sygnału wejściowego X(s) dla zerowych warunków początkowych. Pozwala na wyznaczenie charakterystyki dynamicznej elementu.

Własności transformaty streszczone mogą zostać następująco:

- Transmitancja operatorowa definiowana jest tylko dla układów liniowych stacjonarnych. Nie może zostać zdefiniowana dla układów nieliniowych.

- Transmitancja pomiędzy zmienną wejściową i zmienną wyjściową układu, definiowana jest jako transformata Laplace'a odpowiedzi impulsowej. Innym sposobem wyznaczania transmitancji jest wyznaczenie ilorazu transformaty Laplace'a wyjścia do transformaty Laplace'a wejścia.

- Wszystkie warunki początkowe układu są zbiorem zerowym.

- Transmitancja nie zależy od rodzaju sygnału wejściowego.

- Transmitancja operatorowa układu ciągłego jest wyrażana tylko i wyłącznie jako funkcja operatorowa zmiennej zespolonej s. Nie jest to funkcja zmiennej rzeczywistej, czasu ani żadnej innej zmiennej, która używana byłaby jako zmienna niezależna .

Transmitancja właściwa. Transmitancja opisana równaniem nazywana jest ściśle właściwą jeśli rząd wielomianu mianownika jest większy od rzędu wielomianu licznika (tzn. n => m). Transmitancja jest niewłaściwa jeśli n < m.

Równanie charakterystyczne. Równanie charakterystyczne układu liniowego jest definiowane jako równanie uzyskane poprzez przyrównanie wielomianu mianownika transmitancji do zera. Równanie charakterystyczne układu jest następujące:

sⁿ + a_n − 1s^n − 1 +  …+a₁s + a₀ = 0

Stabilność układów z pojedynczym wejściem i wyjściem określona jest wystarczająco poprzez pierwiastki równania charakterystycznego.

Linearyzacja dynamiczna nieliniowych równań różniczkowych

Układ dynamiczny opisany jest ogólnym równaniem ruchu w postaci:

gdzie: x- wektor sygnałów wejściowych, y- wektor sygnałów wyjściowych.

Przyjmując, że zależność pomiędzy wejściem a wyjściem jest nieliniowa to poddajemy go linearyzacji. Linearyzacją układów nieliniowych nazywamy zastąpienie układu nieliniowego jego liniowym przybliżeniem. Jedną z metod linearyzacji jest rozwinięcie równania ruchu w szereg Taylora.

Jego postać zlinearyzowana to:

$$\left. \ \left. \ \frac{\partial f}{{\partial y}^{(n)}} \right|_{p}{\Delta y}^{(n)} + \ \ldots + \frac{\partial f}{{\partial y}^{(1)}} \right|_{p}{\Delta y}^{(1)} + \left. \ \frac{\partial f}{\partial y} \right|_{p}\Delta y + \left. \ \left. \ \frac{\partial f}{{\partial x}^{(m)}} \right|_{p}{\Delta x}^{(m)} + \ \ldots + \frac{\partial f}{{\partial x}^{(1)}} \right|_{p}{\Delta x}^{(1)} + \left. \ \frac{\partial f}{\partial x} \right|_{p}\Delta x + R = 0$$

Gdzie: R – nieliniowa część rozwinięcia,

Δyⁿ = yⁿ − y₀ⁿ

……………

Δy¹ = y¹ − y₀¹

Δy = y − y₀

Δx^m = x^m − x₀^m

……………

Δx¹ = x¹ − x₀¹

Δx = x − x₀

Dla R =0, otrzymuje się przybliżenie liniowe równania różniczkowego układu.

Przykład:

Znaleść rozwiązanie równania różniczkowego dla x=1(t) przy zerowych warunkach początkowych.

$$\ddot{y} + 2\dot{y} + 3y = 2x$$

s²Y(s) + 2sY(s) + 3Y(s) = 2X(s)

$$Y\left( s \right) = \frac{2}{s^{2} + 2s + 3}X\left( s \right)\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ X}\left( s \right) = \frac{1}{s}$$

$$Y\left( s \right) = \frac{2}{s\left( s^{2} + 2s + 3 \right)}\text{\ \ }$$

$$Y\left( s \right) = \frac{A}{s} + \frac{Bs + C}{s^{2} + 2s + 3}\text{\ \ }$$

$$Y\left( s \right) = \frac{As^{2} + 2As + 3A + Bs^{2} + Cs}{s\left( s^{2} + 2s + 3 \right)}\text{\ \ }$$

$$\left\{ \begin{matrix} A + B = 0 \\ 2A + C = 0 \\ 3A = 2 \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\left\{ \begin{matrix} A = \frac{2}{3} \\ B = - \frac{2}{3} \\ C = - \frac{4}{3} \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$Y\left( s \right) = \frac{2}{3} \bullet \frac{1}{s} - \frac{2}{3} \bullet \frac{s + 2}{s^{2} + 2s + 3}\text{\ \ }$$

$$y_{1} = \frac{s + 2}{s^{2} + 2s + 3}\text{\ \ }$$

Δ = 4 − 12 = −8

$$\sqrt{\Delta} = \pm 2i\sqrt{2}$$

$$s_{1} = - 1 - i\sqrt{2}\text{\ \ \ \ \ \ i\ \ \ \ \ \ \ }s_{2} = - 1 + i\sqrt{2}\ $$

$$y_{1} = \frac{A + iC}{s - \left( - 1 - i\sqrt{2} \right)} + \frac{B + iD}{s - \left( - 1 + i\sqrt{2} \right)}\ $$

$$y_{1} = \frac{As + A - iA\sqrt{2} + iCs + iC + C\sqrt{2} + Bs + B + iB\sqrt{2} + iDs + iD - D\sqrt{2}}{s^{2} + 2s + 3}\ $$

$$\left\{ \begin{matrix} A + B = 1 \\ C + D = 0 \\ \begin{matrix} A + B + \sqrt{2}\left( C - D \right) = 2 \\ \sqrt{2}\left( B - A \right) + C + D = 0 \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\left\{ \begin{matrix} A = \frac{1}{2} \\ B = \frac{1}{2} \\ \begin{matrix} C = \frac{\sqrt{2}}{4} \\ D = - \frac{\sqrt{2}}{4} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$y_{1} = \frac{\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{4}}{s - \left( - 1 - i\sqrt{2} \right)} + \frac{\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{4}}{s - \left( - 1 + i\sqrt{2} \right)}\ $$

$$y_{1} = \left( \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{4} \right)e^{\left( - 1 - i\sqrt{2} \right)t} + \left( \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{4} \right)e^{\left( - 1 + i\sqrt{2} \right)t}\ $$

$$y_{1} = \frac{1}{2}e^{\left( - 1 - i\sqrt{2} \right)t} + i\frac{\sqrt{2}}{4}e^{\left( - 1 - i\sqrt{2} \right)t} + \frac{1}{2}e^{\left( - 1 + i\sqrt{2} \right)t} - i\frac{\sqrt{2}}{4}e^{\left( - 1 + i\sqrt{2} \right)t}\ $$

$$y_{1} = \frac{1}{2}\left( e^{\left( - 1 - i\sqrt{2} \right)t} + e^{\left( - 1 + i\sqrt{2} \right)t} \right) + i\frac{\sqrt{2}}{4}\left( e^{\left( - 1 - i\sqrt{2} \right)t} - e^{\left( - 1 + i\sqrt{2} \right)t} \right)\ $$

$$y_{1} = \frac{1}{2}e^{- t}\left( e^{- i\sqrt{2}t} + e^{i\sqrt{2}t} \right) + i\frac{\sqrt{2}}{4}e^{- t}\left( e^{- i\sqrt{2}t} - e^{i\sqrt{2}t} \right)\ $$

$$y_{1} = e^{- t}\frac{e^{- i\sqrt{2}t} + e^{i\sqrt{2}t}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}e^{- t}\frac{e^{- i\sqrt{2}t} - e^{i\sqrt{2}t}}{2i}\ $$

$$y_{1} = e^{- t}\frac{e^{- i\sqrt{2}t} + e^{i\sqrt{2}t}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}e^{- t}\frac{e^{i\sqrt{2}t} - e^{- i\sqrt{2}t}}{2i}\ $$

Według wzorów Eulera

$$\cos a = \frac{e^{\text{ia}} + e^{- ia}}{2};\ \ \ \ \ \ \ \sin{a =}\frac{e^{i\sqrt{2}t} - e^{- i\sqrt{2}t}}{2i}\ $$

$$y_{1} = e^{- t}\cos{\sqrt{2}t} + \frac{\sqrt{2}}{2}e^{- t}\sin{\sqrt{2}t}\ $$

$$y_{1} = e^{- t}\left( \cos{\sqrt{2}t} + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin{\sqrt{2}t} \right)\ $$

Ze wzorów trygonometrycznych

sin(α+β) = sinαcosβ + cosαsinβ

Asin(α+β) = Asinαcosβ + Acosαsinβ

$$\left\{ \begin{matrix} \beta = \sqrt{2}t \\ A\sin\alpha = 1 \\ \operatorname{Acos}\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\left\{ \begin{matrix} \beta = \sqrt{2}t \\ A^{2}{\sin\alpha}^{2} = 1 \\ {\cos\alpha}^{2} = \frac{1}{2} \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\left\{ \begin{matrix} \beta = \sqrt{2}t \\ A^{2}\left( {\sin\alpha}^{2} + {\cos\alpha}^{2} \right) = \frac{3}{2} \\ \tan\alpha = \frac{2}{\sqrt{2}} \\ \end{matrix} \right.\ \ \ \ \ \ \ \ \ A = \sqrt{\frac{3}{2}}$$

$$y_{1} = \sqrt{\frac{3}{2}}e^{- t}\sin\left( \sqrt{2}t + \alpha \right)\ $$

Ostatecznie

$$y\left( t \right) = \frac{2}{3} \bullet 1(t) - \frac{2}{3} \bullet \sqrt{\frac{3}{2}}e^{- t}\sin\left( \sqrt{2}t + \alpha \right)\text{\ \ }$$

Obliczenia z wykorzystaniem tablic transformat:

$$Y\left( s \right) = \frac{2}{3} \bullet \frac{1}{s} - \frac{2}{3} \bullet \frac{s + 2}{s^{2} + 2s + 3}\text{\ \ }$$

$$Y\left( s \right) = \frac{2}{3} \bullet \frac{1}{s} - \frac{2}{3} \bullet \frac{s + 1 + 1}{\left( s + 1 \right)^{2} - 1 + 3}\text{\ \ }$$

$$Y\left( s \right) = \frac{2}{3} \bullet \frac{1}{s} - \frac{2}{3}\left( \frac{s + 1}{\left( s + 1 \right)^{2} + 2} + \frac{1}{\left( s + 1 \right)^{2} + 2} \right)\text{\ \ }$$

$$Y\left( s \right) = \frac{2}{3} \bullet \frac{1}{s} - \frac{2}{3}\frac{s + 1}{\left( s + 1 \right)^{2} + 2} - \frac{2}{3}\frac{1}{\left( s + 1 \right)^{2} + 2}\text{\ \ }$$

$$Y\left( s \right) = \frac{2}{3} \bullet \frac{1}{s} - \frac{2}{3}\frac{s + 1}{\left( s + 1 \right)^{2} + 2} - \frac{2}{3} \bullet \frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\sqrt{2}}{\left( s + 1 \right)^{2} + 2}\text{\ \ }$$

$$Y\left( s \right) = \frac{2}{3} \bullet \frac{1}{s} - \frac{2}{3}\frac{s + 1}{\left( s + 1 \right)^{2} + 2} - \frac{\sqrt{2}}{3}\frac{\sqrt{2}}{\left( s + 1 \right)^{2} + 2}\text{\ \ }$$

$$Y\left( s \right) = \frac{2}{3} \bullet \frac{1}{s} - \frac{2}{3}\left( \frac{s + 1}{\left( s + 1 \right)^{2} + 2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{2}}{\left( s + 1 \right)^{2} + 2} \right)\text{\ \ }$$

Z tablic:

$$L\left\lbrack e^{\text{at}}\cos\text{wt} \right\rbrack = \frac{s - a}{\left( s - a \right)^{2} + w^{2}}\text{\ \ \ \ \ i\ \ \ \ \ \ \ }L\left\lbrack e^{\text{at}}\sin\text{wt} \right\rbrack = \frac{w}{\left( s - a \right)^{2} + w^{2}}\ $$

Ostatecznie:

$$y\left( t \right) = \frac{2}{3}1\left( t \right) - \frac{2}{3}\left( e^{- t}\cos{\sqrt{2}t} + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin{\sqrt{2}t} \right)\ $$

$$y\left( t \right) = \frac{2}{3}1\left( t \right) - \frac{2}{3}e^{- t}\left( \cos{\sqrt{2}t} + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin{\sqrt{2}t} \right)\ $$

$$Y\left( s \right) = \frac{2}{3} \bullet 1(t) - \frac{2}{3} \bullet \sqrt{\frac{3}{2}}e^{- t}\sin\left( \sqrt{2}t + \alpha \right)\text{\ \ }$$

Wypływ swobodny cieczy

Q₁

A h Q – natężenie przepływu cieczy w punkcie 1 i 2

h – wysokość cieczy w zbiorniku

f – przekrój wypływu

α – współczynnik wypływu otworu

Q₂, f , α A – pole powierzchni lustra cieczy

Warunek równowagi wypływu: Ah = (m₁−m₂)ρ

$A\frac{\text{dh}}{\text{dt}} = \left( Q_{1} - Q_{2} \right)\rho$

$Q_{2} = \alpha f\sqrt{2gh}$

$\frac{A}{\rho}\frac{\text{dh}}{\text{dt}} + \alpha f\sqrt{2gh} = Q_{1}$

Równanie należy zlinearyzować $F\left( \dot{h,}h,Q,t \right) = \frac{A}{\rho}\frac{\text{dh}}{\text{dt}} + \alpha f\sqrt{2gh} - Q_{1}$=0

$$\left. \ \frac{\partial F}{\partial\dot{h}} \right|_{\dot{h}0}\dot{h} + \left. \ \frac{\partial F}{\partial h} \right|_{h0}h + \left. \ \frac{\partial F}{\partial Q} \right|_{Q0}Q = 0$$

$$\frac{A}{\rho}\Delta\dot{h} + \text{αf}\sqrt{\frac{g}{2h_{0}}}h - Q = 0$$

$$\frac{A}{\text{ραf}\sqrt{\frac{g}{2h_{0}}}}\Delta\dot{h} + h = \frac{1}{\text{αf}\sqrt{\frac{g}{2h_{0}}}}Q$$

$$T = \frac{A}{\text{ραf}\sqrt{\frac{g}{2h_{0}}}};\ \ \ \ \ k = \frac{1}{\text{αf}\sqrt{\frac{g}{2h_{0}}}}$$

$$T\Delta\dot{h} + h = kQ$$

R i

u = iR + u_c

U U_c równanie kondensatora

$i = C\frac{du_{c}}{\text{dt}}$

Stąd $u(t) = RC\frac{du_{c}}{\text{dt}} + u_{c}$(t)

U(s) = RCsU_c(s) + U_c(s)

$G\left( s \right) = \frac{U_{c}\left( s \right)}{U\left( s \right)} = \frac{1}{RCs + 1}$

k = 1;      T = RC

Podstawowe elementy automatyki:

1. Proporcjonalny, bezinercyjny

y = k • x

$$G\left( s \right) = \frac{Y\left( s \right)}{X(s)} = k$$

1. Inercyjny pierwszego rzędu

$$T\dot{y} + y = kx$$

TsY(s) + Y(s) = kX(s)

$$G\left( s \right) = \frac{Y\left( s \right)}{X(s)} = \frac{k}{T \bullet s + 1}$$

1. Inercyjne wyższego rzędu

$$G\left( s \right) = \frac{Y\left( s \right)}{X(s)} = \frac{k}{\left( T_{1}s + 1 \right)\left( T_{2}s + 1 \right)\ \ldots..\ \left( T_{n - 1}s + 1 \right)\left( T_{n}s + 1 \right)}$$

1. Całkujący

$$\frac{\text{dy}}{\text{dt}} = kx\ \ \ \ \ \ \ lub\ \ \ \ \ \ \ \ y = k\int_{0}^{t}\text{xdt}$$

sY(s) = kX(s)

$$G\left( s \right) = \frac{Y\left( s \right)}{X(s)} = \frac{k}{s}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ lub\ \ \ \ \ \ \ \ \ G}\left( s \right) = \frac{1}{\text{Ts}}$$

1. Różniczkujący

$$y = T_{d}\frac{\text{dx}}{\text{dt}}\text{\ \ \ \ \ \ \ lub\ \ \ \ \ \ \ \ }T\dot{y} + y = T_{d}\frac{\text{dx}}{\text{dt}}$$

Y(s) = T_dsX(s) lub TsY(s) + Y(s) = T_dX(s)

$$G\left( s \right) = \frac{Y\left( s \right)}{X(s)} = T_{d}\text{s\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ lub\ \ \ \ \ \ \ \ \ G}\left( s \right) = \frac{T_{d}s}{Ts + 1}$$

1. Oscylacyjny

$$T_{1}^{2}\ddot{y +}T_{2}\dot{y} + y = kx$$

T₁²s²Y(s) + T₂sY(s) + Y(s) = kX(s)

$$G\left( s \right) = \frac{Y\left( s \right)}{X(s)} = \frac{k}{{T_{1}^{2}s^{2} + T}_{2}s + 1}\text{\ \ \ \ \ \ lub\ \ \ \ \ \ \ G}\left( s \right) = \frac{k\omega_{0}^{2}}{{s^{2} + 2\xi\omega}_{0}s + \omega_{0}^{2}}$$

Gdzie: ξ – współczynnik tłumienia

ω – częstotliwość drgań własnych

Przykłady: inercyjne drugiego rzędu

R₁ i i₂ R₂

i₁

U C₁ U_c1 C₂ U_c2

$$\left\{ \begin{matrix} u = iR_{1} + u_{c1} \\ \begin{matrix} u_{c1} = i_{2}R_{2} + u_{c2} \\ i_{1} = C_{1}\frac{du_{c1}}{\text{dt}} \\ \begin{matrix} i_{2} = C_{2}\frac{du_{c2}}{\text{dt}} \\ i = i_{1} + i_{2} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$\left\{ \begin{matrix} u = \left( i_{1} + i_{2} \right)R_{1} + u_{c1} \\ \begin{matrix} u_{c1} = i_{2}R_{2} + u_{c2} \\ i_{1} = C_{1}\frac{du_{c1}}{\text{dt}} \\ \begin{matrix} i_{2} = C_{2}\frac{du_{c2}}{\text{dt}} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$\left\{ \begin{matrix} U = \left( I_{1} + I_{2} \right)R_{1} + U_{c1} \\ \begin{matrix} U_{c1} = I_{2}R_{2} + U_{c2} \\ I_{1} = C_{1}sU_{c1} \\ \begin{matrix} I_{2} = C_{2}sU_{c2} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$\left\{ \begin{matrix} U = \left( C_{1}sU_{c1} + C_{2}sU_{c2} \right)R_{1} + U_{c1} \\ \begin{matrix} U_{c1} = {R_{2}C}_{2}sU_{c2} + U_{c2} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$\left\{ \begin{matrix} U = \left( {R_{1}C}_{1}s + 1 \right)U_{c1} + {R_{1}C}_{2}sU_{c2} \\ \begin{matrix} U_{c1} = \left( {R_{2}C}_{2}s + 1 \right)U_{c2} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right.\ $$

U = (R₁C₁s+1)(R₂C₂s+1)U_c2 + R₁C₂sU_c2

$$G\left( s \right) = \frac{U_{c2}\left( s \right)}{U\left( s \right)} = \frac{1}{\left( {R_{1}C}_{1}s + 1 \right)\left( {R_{2}C}_{2}s + 1 \right) + {R_{1}C}_{2}s}$$

$$G\left( s \right) = \frac{U_{c2}\left( s \right)}{U\left( s \right)} = \frac{1}{{R_{1}C}_{1} \bullet {R_{2}C}_{2} \bullet s^{2} + \left( {R_{1}C}_{1} + {R_{2}C}_{2} + {R_{1}C}_{2} \right)s + 1}$$

k = 1;         T₁ = R₁C₁;           T₂ = R₂C₂

$$G\left( s \right) = \frac{U_{c2}\left( s \right)}{U\left( s \right)} = \frac{1}{{T_{1}T}_{2}s^{2} + \left( {T_{1} + T}_{2} + {R_{1}C}_{2} \right)s + 1}$$

Wersja uproszczona:

$$G\left( s \right) = \frac{1}{\left( T_{1}s + 1 \right)\left( T_{2}s + 1 \right)}$$

Charakterystyka skokowa:

$$Y = \frac{1}{\left( T_{1}s + 1 \right)\left( T_{2}s + 1 \right)}\frac{1}{s}$$

$$Y = \frac{A}{s} + \frac{B}{\left( T_{1}s + 1 \right)} + \frac{C}{\left( T_{2}s + 1 \right)}$$

$$\left\{ \begin{matrix} A = 1 \\ B = \frac{- T_{1}^{2}}{T_{1} - T_{2}} \\ C = \frac{T_{2}^{2}}{T_{1} - T_{2}} \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$Y = \frac{1}{s} - \frac{T_{1}^{2}}{T_{1} - T_{2}}\frac{1}{\left( T_{1}s + 1 \right)} + \frac{T_{2}^{2}}{T_{1} - T_{2}}\frac{1}{\left( T_{2}s + 1 \right)}$$

$$Y = \frac{1}{s} - \frac{1}{T_{1} - T_{2}}\frac{T_{1}}{\left( s + \frac{1}{T_{1}} \right)} + \frac{1}{T_{1} - T_{2}}\frac{T_{2}}{\left( s + \frac{1}{T_{2}} \right)}$$

$$y = 1 + \frac{T_{1}}{T_{2} - T_{1}}e^{- \frac{t}{T_{1}}} + \frac{T_{2}}{T_{1} - T_{2}}e^{- \frac{t}{T_{2}}}$$

Przykłady: inercyjne trzeciego rzędu

R₁ i i₂ R₂ i₃ R₃

i₁ i₄

U C₁ U_c1 C₂ U_c2 C₃ U_c3

$$\left\{ \begin{matrix} u = iR_{1} + u_{c1} \\ \begin{matrix} u_{c1} = i_{2}R_{2} + u_{c2} \\ u_{c2} = i_{3}R_{3} + u_{c3} \\ \begin{matrix} i_{1} = C_{1}\frac{du_{c1}}{\text{dt}};\ \ \ i_{4} = C_{2}\frac{du_{c2}}{\text{dt}};\ \ \ \ \ \ \ i_{3} = C_{3}\frac{du_{c3}}{\text{dt}}\ \\ i = i_{1} + i_{2};\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ i_{2} = i_{3} + i_{4} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$\left\{ \begin{matrix} u = \left( i_{1} + i_{3} + i_{4} \right)R_{1} + u_{c1} \\ \begin{matrix} u_{c1} = \left( i_{3} + i_{4} \right)R_{2} + u_{c2} \\ u_{c2} = i_{3}R_{3} + u_{c3} \\ \begin{matrix} i_{1} = C_{1}\frac{du_{c1}}{\text{dt}};\ \ \ i_{4} = C_{2}\frac{du_{c2}}{\text{dt}};\ \ \ \ \ \ \ i_{3} = C_{3}\frac{du_{c3}}{\text{dt}}\ \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$\left\{ \begin{matrix} U = \left( I_{1} + I_{3} + I_{4} \right)R_{1} + U_{c1} \\ \begin{matrix} U_{c1} = \left( I_{3} + I_{4} \right)R_{2} + U_{c2} \\ U_{c2} = I_{3}R_{3} + U_{c3} \\ \begin{matrix} I_{1} = C_{1}sU_{c1};\ \ \ I_{4} = C_{2}sU_{c2};\ \ \ \ \ \ \ I_{3} = C_{3}sU_{c3}\ \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$\left\{ \begin{matrix} U = \left( C_{1}sU_{c1} + C_{3}sU_{c3} + C_{2}sU_{c2} \right)R_{1} + U_{c1} \\ \begin{matrix} U_{c1} = \left( C_{3}sU_{c3} + C_{2}sU_{c2} \right)R_{2} + U_{c2} \\ U_{c2} = C_{3}sU_{c3}R_{3} + U_{c3} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$\left\{ \begin{matrix} U = \left( R_{1}C_{1}s + 1 \right)U_{c1} + R_{1}C_{3}sU_{c3} + R_{1}C_{2}sU_{c2} \\ \begin{matrix} U_{c1} = \left( R_{2}C_{2}s + 1 \right)U_{c2} + R_{2}C_{3}sU_{c3} \\ U_{c2} = \left( {R_{3}C}_{3}s + 1 \right)U_{c3} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$\left\{ \begin{matrix} U = \left( R_{1}C_{1}s + 1 \right)U_{c1} + R_{1}C_{3}sU_{c3} + R_{1}C_{2}s\left( {R_{3}C}_{3}s + 1 \right)U_{c3} \\ \begin{matrix} U_{c1} = \left( R_{2}C_{2}s + 1 \right)\left( {R_{3}C}_{3}s + 1 \right)U_{c3} + R_{2}C_{3}sU_{c3} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right.\ $$

U = (R₁C₁s+1)[(R₂C₂s+1)(R₃C₃s+1)+R₂C₃s]U_c3 + R₁C₃sU_c3 + R₁C₂s(R₃C₃s+1)U_c3

U = [(R₁C₁s+1)(R₂C₂s+1)(R₃C₃s+1)+(R₁C₁s+1)R₂C₃s+(R₃C₃s+1)R₁C₂s+R₁C₃s]U_c3

$$G\left( s \right) = \frac{U_{c3}}{U} = \frac{1}{\left( R_{1}C_{1}s + 1 \right)\left( R_{2}C_{2}s + 1 \right)\left( {R_{3}C}_{3}s + 1 \right) + \left( R_{1}C_{1}s + 1 \right)R_{2}C_{3}s + \left( {R_{3}C}_{3}s + 1 \right)R_{1}C_{2}s + R_{1}C_{3}s}$$

$$G\left( s \right) = \frac{U_{c3}}{U} = \frac{1}{\left( T_{1}s + 1 \right)\left( T_{2}s + 1 \right)\left( T_{3}s + 1 \right) + \left( T_{1}s + 1 \right)R_{2}C_{3}s + \left( T_{3}s + 1 \right)R_{1}C_{2}s + R_{1}C_{3}s}$$

k = 1;         T₁ = R₁C₁;          T₂ = R₂C₂;            T₃ = R₃C₃

$$G\left( s \right) = \frac{U_{c3}}{U} = \frac{1}{{T_{1}T}_{2}T_{3}s^{3} + \left( {T_{1}T}_{2} + {T_{1}T}_{3} + {T_{2}T}_{3} + R_{1}C_{2}T_{3} + R_{2}C_{3}T_{1} \right)s^{2} + \left( {T_{1} + T}_{2} + T_{3} + R_{1}C_{2} + R_{1}C_{3} + {R_{2}C}_{3} \right)s + 1}$$

Wersja uproszczona:

$$G\left( s \right) = \frac{1}{\left( T_{1}s + 1 \right)\left( T_{2}s + 1 \right)\left( T_{3}s + 1 \right)}$$

Charakterystyka skokowa:

$$Y = \frac{1}{\left( T_{1}s + 1 \right)\left( T_{2}s + 1 \right)\left( T_{3}s + 1 \right)}\frac{1}{s}$$

$$Y = \frac{\frac{1}{T_{1}T_{2}T_{3}}}{\left( s + \frac{1}{T_{1}} \right)\left( s + \frac{1}{T_{2}} \right)\left( s + \frac{1}{T_{3}} \right)}\frac{1}{s}$$

$$Y = \frac{A}{s} + \frac{B}{\left( s + \frac{1}{T_{1}} \right)} + \frac{C}{\left( s + \frac{1}{T_{2}} \right)} + \frac{D}{\left( s + \frac{1}{T_{3}} \right)}$$

$$\left\{ \begin{matrix} A = 1 \\ B = \frac{T_{1}^{2}}{\left( T_{3} - T_{1} \right)\left( T_{1} - T_{2} \right)} \\ \begin{matrix} C = \frac{T_{2}^{2}}{\left( T_{3} - T_{2} \right)\left( T_{2} - T_{1} \right)} \\ D = \frac{T_{3}^{2}}{\left( T_{1} - T_{3} \right)\left( T_{3} - T_{2} \right)} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$Y = \frac{1}{s} + \frac{T_{1}^{2}}{\left( T_{3} - T_{1} \right)\left( T_{1} - T_{2} \right)}\frac{1}{\left( s + \frac{1}{T_{1}} \right)} + \frac{T_{2}^{2}}{\left( T_{3} - T_{2} \right)\left( T_{2} - T_{1} \right)}\frac{1}{\left( s + \frac{1}{T_{2}} \right)} + \frac{T_{3}^{2}}{\left( T_{1} - T_{3} \right)\left( T_{3} - T_{2} \right)}\frac{1}{\left( s + \frac{1}{T_{3}} \right)}$$

$$y = 1 + \frac{T_{1}^{2}}{\left( T_{3} - T_{1} \right)\left( T_{1} - T_{2} \right)}e^{- \frac{t}{T_{1}}} + \frac{T_{2}^{2}}{\left( T_{3} - T_{2} \right)\left( T_{2} - T_{1} \right)}e^{- \frac{t}{T_{2}}} + \frac{T_{3}^{2}}{\left( T_{1} - T_{3} \right)\left( T_{3} - T_{2} \right)}e^{- \frac{t}{T_{3}}}$$

Przykłady: układ drugiego rzędu oscylacyjny

R i

L

U C U_c

$$\left\{ \begin{matrix} u = iR + u_{L} + u_{c} \\ \begin{matrix} i = C\frac{du_{c}}{\text{dt}} \\ \begin{matrix} u_{L} = L\frac{\text{di}}{\text{dt}} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$\left\{ \begin{matrix} U = IR + U_{L} + U_{c} \\ \begin{matrix} I = CsU_{c} \\ \begin{matrix} U_{L} = LsI \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$\left\{ \begin{matrix} U = \left( R + Ls \right)I + U_{c} \\ \begin{matrix} I = CsU_{c} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right.\ $$

U = (RCs+LCs²+1)U_c

$$G\left( s \right) = \frac{U_{c}}{U} = \frac{1}{\text{LC}s^{2} + RCs + 1}$$

$$k = 1;\ \ \ \ \ \ \ \ T_{1} = \sqrt{\text{LC}};\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ T_{2} = RC$$

lub

$$G\left( s \right) = \frac{U_{c}}{U} = \frac{\frac{1}{\text{LC}}}{s^{2} + \frac{R}{L}s + \frac{1}{\text{LC}}}$$

$$k = 1;\ \ \ \ \ \ \ \ \omega_{0} = \frac{1}{\sqrt{\text{LC}}};\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \xi = \frac{R}{2}\sqrt{\frac{C}{L}}$$

$$\begin{matrix} 0 < \xi < 1\ \ \ \ \ \ element\ oscylacyjny \\ \xi > 1\ \ \ \ \ \ \ \ element\ inercyjny\ drugiego\ rzedu \\ \end{matrix}$$

Wersja uproszczona:

$$G\left( s \right) = \frac{k\omega_{0}^{2}}{{s^{2} + 2\xi\omega}_{0}s + \omega_{0}^{2}}$$

Charakterystyka skokowa:

$$Y = \frac{k\omega_{0}^{2}}{{s^{2} + 2\xi\omega}_{0}s + \omega_{0}^{2}} \bullet \frac{1}{s}$$

$$Y = \frac{A}{s} + \frac{Bs + C}{{s^{2} + 2\xi\omega}_{0}s + \omega_{0}^{2}}$$

$$\left\{ \begin{matrix} A = k \\ B = - k \\ C = {- 2k\xi\omega}_{0} \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$Y = \frac{k}{s} - k\frac{s + {2\xi\omega}_{0}}{{s^{2} + 2\xi\omega}_{0}s + \omega_{0}^{2}}$$

$$Y = \frac{k}{s} - k\frac{s + {2\xi\omega}_{0}}{\left( {s + \xi\omega}_{0} \right)^{2} + \omega_{0}^{2}\left( 1 - \xi^{2} \right)}$$

$$Y = \frac{k}{s} - k\frac{s + \text{ξω}_{0}}{\left( {s + \xi\omega}_{0} \right)^{2} + \omega_{0}^{2}\left( 1 - \xi^{2} \right)} - k\frac{\text{ξω}_{0}}{\left( {s + \xi\omega}_{0} \right)^{2} + \omega_{0}^{2}\left( 1 - \xi^{2} \right)}$$

$$Y = \frac{k}{s} - k\frac{s + \text{ξω}_{0}}{\left( {s + \xi\omega}_{0} \right)^{2} + \omega_{0}^{2}\left( 1 - \xi^{2} \right)} - \frac{k\xi}{\sqrt{1 - \xi^{2}}}\frac{\omega_{0}\sqrt{1 - \xi^{2}}}{\left( {s + \xi\omega}_{0} \right)^{2} + \omega_{0}^{2}\left( 1 - \xi^{2} \right)}$$

$$y = k - ke^{- \text{ξω}_{0}t}\cos\left( \omega_{0}\sqrt{1 - \xi^{2}}t \right) - \frac{k\xi}{\sqrt{1 - \xi^{2}}}e^{- \text{ξω}_{0}t}\sin\left( \omega_{0}\sqrt{1 - \xi^{2}}t \right)$$

$$y = k - ke^{- \text{ξω}_{0}t}\left\lbrack \cos\left( \omega_{0}\sqrt{1 - \xi^{2}}t \right) + \frac{\xi}{\sqrt{1 - \xi^{2}}}\sin\left( \omega_{0}\sqrt{1 - \xi^{2}}t \right) \right\rbrack$$

Asin(α+β) = Asinαcosβ + Acosαsinβ

$$\left\{ \begin{matrix} \beta = \omega_{0}\sqrt{1 - \xi^{2}}t \\ A\sin\alpha = 1 \\ \operatorname{Acos}\alpha = \frac{\xi}{\sqrt{1 - \xi^{2}}} \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\left\{ \begin{matrix} \beta = \omega_{0}\sqrt{1 - \xi^{2}}t \\ A^{2}{\sin\alpha}^{2} = 1 \\ {\cos\alpha}^{2} = \frac{\xi^{2}}{1 - \xi^{2}} \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\left\{ \begin{matrix} \beta = \omega_{0}\sqrt{1 - \xi^{2}}t \\ A^{2}\left( {\sin\alpha}^{2} + {\cos\alpha}^{2} \right) = \frac{1}{1 - \xi^{2}} \\ \tan\alpha = \frac{\sqrt{1 - \xi^{2}}}{\xi} \\ \end{matrix} \right.\ \ \ \ \ \ \ \ \ A = \frac{1}{\sqrt{1 - \xi^{2}}}$$

$$y = k - \frac{k}{\sqrt{1 - \xi^{2}}}e^{- \text{ξω}_{0}t}\sin\left( \omega_{0}\sqrt{1 - \xi^{2}}t + \alpha \right)$$