Elementy automatyki

Równanie ruchu i charakterystyka statyczna podstawowych członów automatyki.

Układ dynamiczny opisany jest ogólnym równaniem ruchu w postaci:

gdzie: x- wektor sygnałów wejściowych, y- wektor sygnałów wyjściowych.

Przyjmując, że zależność pomiędzy wejściem a wyjściem jest liniowa to otrzymujemy następujące równanie różniczkowe n-tego rzędu o stałych współczynnikach:


$$\frac{d^{n}y(t)}{\text{dt}^{n}} + a_{n - 1}\frac{d^{n - 1}y(t)}{\text{dt}^{n - 1}} + \ \ldots + a_{1}\frac{dy(t)}{\text{dt}} + a_{0}y\left( t \right) =$$


$$= b_{m}\frac{d^{m}x(t)}{\text{dt}^{m}} + b_{m - 1}\frac{d^{m - 1}x(t)}{\text{dt}^{m - 1}} + \ \ldots + b_{1}\frac{dx(t)}{\text{dt}} + b_{0}x\left( t \right)$$

gdzie współczynniki a0, a1,..., an-1 oraz b0, b1,..., bm są stałymi rzeczywistymi.

Charakterystyką statyczną nazywamy zależność między sygnałem (wektorem) wyjściowym a sygnałem (wektorem) wejściowym w stanie ustalonym.

W stanie ustalonym, gdy t →∞ przyjmuje się w równaniu ruchu wszystkie pochodne względem czasu t równe 0, otrzymując równanie charakterystyki statycznej w postaci:

f(x,y) = 0 lub liniowe a0y = b0x


$$y = \frac{b_{0}}{a_{0}}x;\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y = kx$$

y y

$\tan{a = \frac{b_{0}}{a_{0}} = k}$

x x

Linearyzacja statyczna nieliniowych równań różniczkowych

Układ dynamiczny opisany jest ogólnym równaniem ruchu w postaci:

gdzie: x- wektor sygnałów wejściowych, y- wektor sygnałów wyjściowych.

Przyjmując, że zależność pomiędzy wejściem a wyjściem jest nieliniowa to poddajemy go linearyzacji. Linearyzacją układów nieliniowych nazywamy zastąpienie układu nieliniowego jego liniowym przybliżeniem. Jedną z metod linearyzacji jest rozwinięcie równania ruchu w szereg Taylora w otoczeniu punktu równowagi p(x0, y0). Linearyzacja statyczna w warunkach ustalonych (t → ∞) sprowadza równanie ruchu do postaci:

$\frac{d}{\text{dt}} = 0$

Jego postać zlinearyzowana to:


$$\left. \ \frac{\partial f}{\partial y} \right|_{y0}y + \left. \ \frac{\partial f}{\partial x} \right|_{x0}x = 0$$

gdzie:


ay + bx = 0

Równanie zlinearyzowane obowiązuje tylko w dobranym przedziale Δy, Δx wokół punktu pracy p(x0, y0) i definiuje go współczynnik wzmocnienie k.

y y

Δy $\tan{a = \frac{b_{0}}{a_{0}} = k}$

Δy P(x0,y0) x

Δx Δx x

Elementy automatyki - przykłady

  1. Dźwignia

a b y

x


$$\tan{\alpha =}\frac{x}{a} = \frac{y}{b}$$

$y = \frac{b}{a}x$

y = kx

X – sygnał wejścia

Y – sygnał wyjścia

k – wzmocnienie

Jest to równanie ruchu, charakterystyka statyczna i dynamiczna.

Element liniowy, proporcjonalny, bezinercyjny.

  1. Dźwignia – sumator

c d y

x z

a b


$$\left\lbrack \begin{matrix} \tan{\alpha =}\frac{x}{c} = \frac{y}{d} = \frac{z}{b - d} \\ a + b = c + d \\ \end{matrix} \right.\ $$


$$\left\lbrack \begin{matrix} \begin{matrix} \frac{x}{c} = \frac{y}{d} \\ \frac{y}{d} = \frac{z}{b - d} \\ \end{matrix} \\ c = a + b - d \\ \end{matrix} \right.\ $$


$$\left\lbrack \begin{matrix} xd = y(a + b - d) \\ y\left( b - d \right) = zd \\ \end{matrix} \right.\ $$


$$\left\lbrack \begin{matrix} d(x + y) = y(a + b) \\ d\left( z + y \right) = yb \\ \end{matrix} \right.\ $$

$\frac{y}{x + y}\left( a + b \right) = \frac{y}{z + y}b\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :y$ b(x+y) = (z+y)(a+b)

bx = z(a+b) + ay

$z = \frac{b}{a + b}x - \frac{a}{a + b}y$

Etapy działania regulacyjnego dźwigni jako sumatora

- pojawienie się sygnału x:

c y

x e

a b

- etap regulacji:

c d y

x e

a b

- zakończenie regulacji, e=0:

c d y

x e=0

a b

R $I = \frac{1}{R}U$

gdzie: I-prąd; U-napięcie; R-opór

F = kx

gdzie: F-siła; x-ugięcie sprężyny

k-współczynnik sprężystości sprężyny

Wypływ swobodny cieczy

Q1

h Q – natężenie przepływu cieczy w punkcie 1 i 2

h – wysokość cieczy w zbiorniku

f – przekrój wypływu

α – współczynnik wypływu otworu

Q2, f , α

Warunek stanu ustalonego: Q1=Q2

$Q = \alpha f\sqrt{2gh}$

Równanie należy zlinearyzować $F\left( Q,h \right) = Q - \alpha f\sqrt{2gh}$=0


$$\left. \ \frac{\partial F}{\partial Q} \right|_{Q0,h0}Q + \left. \ \frac{\partial F}{\partial h} \right|_{Q0,h0}h = 0$$


$$1 \bullet Q - \text{αf}\sqrt{\frac{g}{2h_{0}}}h = 0$$


$$Q = \text{αf}\sqrt{\frac{g}{2h_{0}}}h$$


$$k = \text{αf}\sqrt{\frac{g}{2h_{0}}}$$


Q = kh

dla punktu pracy Q0, ho

Transmitancja operatorowa podstawowych członów automatyki.

Dane jest ogólne równanie ruchu n-tego rzędu o stałych współczynnikach:


$$\frac{d^{n}y(t)}{\text{dt}^{n}} + a_{n - 1}\frac{d^{n - 1}y(t)}{\text{dt}^{n - 1}} + \ \ldots + a_{1}\frac{dy(t)}{\text{dt}} + a_{0}y\left( t \right) =$$


$$= b_{m}\frac{d^{m}x(t)}{\text{dt}^{m}} + b_{m - 1}\frac{d^{m - 1}x(t)}{\text{dt}^{m - 1}} + \ \ldots + b_{1}\frac{dx(t)}{\text{dt}} + b_{0}x\left( t \right)$$

gdzie współczynniki a0, a1,..., an-1 oraz b0, b1,..., bm są stałymi rzeczywistymi.

Dokonując transformaty Laplace'a na obu stronach równania ruchu przy założeniu zerowych warunków początkowych otrzymujemy postać:


(sn+an − 1sn − 1+ …+a1s+a0)Y(s) = (sm+bm − 1sm − 1+ …+b1s+b0)X(s)

Po przekształceniu otrzymujemy transmitancję operatorową danego elementu:


$$G\left( s \right) = \frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{s^{m} + b_{m - 1}s^{m - 1} + \ \ldots + b_{1}s + b_{0}}{s^{n} + a_{n - 1}s^{n - 1} + \ \ldots + a_{1}s + a_{0}}$$


m ≤ n

Transmitancja operatorowa danego elementu jest to stosunek transformaty sygnału wyjściowego Y(s) do transformaty sygnału wejściowego X(s) dla zerowych warunków początkowych. Pozwala na wyznaczenie charakterystyki dynamicznej elementu.

Własności transformaty streszczone mogą zostać następująco:

- Transmitancja operatorowa definiowana jest tylko dla układów liniowych stacjonarnych. Nie może zostać zdefiniowana dla układów nieliniowych.

- Transmitancja pomiędzy zmienną wejściową i zmienną wyjściową układu, definiowana jest jako transformata Laplace'a odpowiedzi impulsowej. Innym sposobem wyznaczania transmitancji jest wyznaczenie ilorazu transformaty Laplace'a wyjścia do transformaty Laplace'a wejścia.

- Wszystkie warunki początkowe układu są zbiorem zerowym.

- Transmitancja nie zależy od rodzaju sygnału wejściowego.

- Transmitancja operatorowa układu ciągłego jest wyrażana tylko i wyłącznie jako funkcja operatorowa zmiennej zespolonej s. Nie jest to funkcja zmiennej rzeczywistej, czasu ani żadnej innej zmiennej, która używana byłaby jako zmienna niezależna .

Transmitancja właściwa. Transmitancja opisana równaniem nazywana jest ściśle właściwą jeśli rząd wielomianu mianownika jest większy od rzędu wielomianu licznika (tzn. n => m). Transmitancja jest niewłaściwa jeśli n < m.

Równanie charakterystyczne. Równanie charakterystyczne układu liniowego jest definiowane jako równanie uzyskane poprzez przyrównanie wielomianu mianownika transmitancji do zera. Równanie charakterystyczne układu jest następujące:


sn + an − 1sn − 1 +  …+a1s + a0 = 0

Stabilność układów z pojedynczym wejściem i wyjściem określona jest wystarczająco poprzez pierwiastki równania charakterystycznego.

Linearyzacja dynamiczna nieliniowych równań różniczkowych

Układ dynamiczny opisany jest ogólnym równaniem ruchu w postaci:

gdzie: x- wektor sygnałów wejściowych, y- wektor sygnałów wyjściowych.

Przyjmując, że zależność pomiędzy wejściem a wyjściem jest nieliniowa to poddajemy go linearyzacji. Linearyzacją układów nieliniowych nazywamy zastąpienie układu nieliniowego jego liniowym przybliżeniem. Jedną z metod linearyzacji jest rozwinięcie równania ruchu w szereg Taylora.

Jego postać zlinearyzowana to:


$$\left. \ \left. \ \frac{\partial f}{{\partial y}^{(n)}} \right|_{p}{\Delta y}^{(n)} + \ \ldots + \frac{\partial f}{{\partial y}^{(1)}} \right|_{p}{\Delta y}^{(1)} + \left. \ \frac{\partial f}{\partial y} \right|_{p}\Delta y + \left. \ \left. \ \frac{\partial f}{{\partial x}^{(m)}} \right|_{p}{\Delta x}^{(m)} + \ \ldots + \frac{\partial f}{{\partial x}^{(1)}} \right|_{p}{\Delta x}^{(1)} + \left. \ \frac{\partial f}{\partial x} \right|_{p}\Delta x + R = 0$$

Gdzie: R – nieliniowa część rozwinięcia,


Δyn = yn − y0n

……………


Δy1 = y1 − y01


Δy = y − y0


Δxm = xm − x0m

……………


Δx1 = x1 − x01


Δx = x − x0

Dla R =0, otrzymuje się przybliżenie liniowe równania różniczkowego układu.

Przykład:

Znaleść rozwiązanie równania różniczkowego dla x=1(t) przy zerowych warunkach początkowych.


$$\ddot{y} + 2\dot{y} + 3y = 2x$$


s2Y(s) + 2sY(s) + 3Y(s) = 2X(s)


$$Y\left( s \right) = \frac{2}{s^{2} + 2s + 3}X\left( s \right)\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ X}\left( s \right) = \frac{1}{s}$$


$$Y\left( s \right) = \frac{2}{s\left( s^{2} + 2s + 3 \right)}\text{\ \ }$$


$$Y\left( s \right) = \frac{A}{s} + \frac{Bs + C}{s^{2} + 2s + 3}\text{\ \ }$$


$$Y\left( s \right) = \frac{As^{2} + 2As + 3A + Bs^{2} + Cs}{s\left( s^{2} + 2s + 3 \right)}\text{\ \ }$$


$$\left\{ \begin{matrix} A + B = 0 \\ 2A + C = 0 \\ 3A = 2 \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\left\{ \begin{matrix} A = \frac{2}{3} \\ B = - \frac{2}{3} \\ C = - \frac{4}{3} \\ \end{matrix} \right.\ $$


$$Y\left( s \right) = \frac{2}{3} \bullet \frac{1}{s} - \frac{2}{3} \bullet \frac{s + 2}{s^{2} + 2s + 3}\text{\ \ }$$


$$y_{1} = \frac{s + 2}{s^{2} + 2s + 3}\text{\ \ }$$


Δ = 4 − 12 = −8


$$\sqrt{\Delta} = \pm 2i\sqrt{2}$$


$$s_{1} = - 1 - i\sqrt{2}\text{\ \ \ \ \ \ i\ \ \ \ \ \ \ }s_{2} = - 1 + i\sqrt{2}\ $$


$$y_{1} = \frac{A + iC}{s - \left( - 1 - i\sqrt{2} \right)} + \frac{B + iD}{s - \left( - 1 + i\sqrt{2} \right)}\ $$


$$y_{1} = \frac{As + A - iA\sqrt{2} + iCs + iC + C\sqrt{2} + Bs + B + iB\sqrt{2} + iDs + iD - D\sqrt{2}}{s^{2} + 2s + 3}\ $$


$$\left\{ \begin{matrix} A + B = 1 \\ C + D = 0 \\ \begin{matrix} A + B + \sqrt{2}\left( C - D \right) = 2 \\ \sqrt{2}\left( B - A \right) + C + D = 0 \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\left\{ \begin{matrix} A = \frac{1}{2} \\ B = \frac{1}{2} \\ \begin{matrix} C = \frac{\sqrt{2}}{4} \\ D = - \frac{\sqrt{2}}{4} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right.\ $$


$$y_{1} = \frac{\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{4}}{s - \left( - 1 - i\sqrt{2} \right)} + \frac{\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{4}}{s - \left( - 1 + i\sqrt{2} \right)}\ $$


$$y_{1} = \left( \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{4} \right)e^{\left( - 1 - i\sqrt{2} \right)t} + \left( \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{4} \right)e^{\left( - 1 + i\sqrt{2} \right)t}\ $$


$$y_{1} = \frac{1}{2}e^{\left( - 1 - i\sqrt{2} \right)t} + i\frac{\sqrt{2}}{4}e^{\left( - 1 - i\sqrt{2} \right)t} + \frac{1}{2}e^{\left( - 1 + i\sqrt{2} \right)t} - i\frac{\sqrt{2}}{4}e^{\left( - 1 + i\sqrt{2} \right)t}\ $$


$$y_{1} = \frac{1}{2}\left( e^{\left( - 1 - i\sqrt{2} \right)t} + e^{\left( - 1 + i\sqrt{2} \right)t} \right) + i\frac{\sqrt{2}}{4}\left( e^{\left( - 1 - i\sqrt{2} \right)t} - e^{\left( - 1 + i\sqrt{2} \right)t} \right)\ $$


$$y_{1} = \frac{1}{2}\left( e^{\left( - 1 \right)t}e^{\left( - i\sqrt{2} \right)t} + e^{\left( - 1 + i\sqrt{2} \right)t} \right) + i\frac{\sqrt{2}}{4}\left( e^{\left( - 1 - i\sqrt{2} \right)t} - e^{\left( - 1 + i\sqrt{2} \right)t} \right)\ $$


$$y_{1} = \frac{1}{2}e^{- t}\left( e^{- i\sqrt{2}t} + e^{i\sqrt{2}t} \right) + i\frac{\sqrt{2}}{4}e^{- t}\left( e^{- i\sqrt{2}t} - e^{i\sqrt{2}t} \right)\ $$


$$y_{1} = e^{- t}\frac{e^{- i\sqrt{2}t} + e^{i\sqrt{2}t}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}e^{- t}\frac{e^{- i\sqrt{2}t} - e^{i\sqrt{2}t}}{2i}\ $$


$$y_{1} = e^{- t}\frac{e^{- i\sqrt{2}t} + e^{i\sqrt{2}t}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}e^{- t}\frac{e^{i\sqrt{2}t} - e^{- i\sqrt{2}t}}{2i}\ $$

Według wzorów Eulera


$$\cos a = \frac{e^{\text{ia}} + e^{- ia}}{2};\ \ \ \ \ \ \ \sin{a =}\frac{e^{\text{ia}} - e^{- ia}}{2i}\ $$


$$\cos a = \frac{e^{\text{ia}} + e^{- ia}}{2};\ \ \ \ \ \ \ \sin{a =}\frac{e^{i\sqrt{2}t} - e^{- i\sqrt{2}t}}{2i}\ $$


$$y_{1} = e^{- t}\cos{\sqrt{2}t} + \frac{\sqrt{2}}{2}e^{- t}\sin{\sqrt{2}t}\ $$


$$y_{1} = e^{- t}\left( \cos{\sqrt{2}t} + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin{\sqrt{2}t} \right)\ $$

Ze wzorów trygonometrycznych


sin(α+β) = sinαcosβ + cosαsinβ


Asin(α+β) = Asinαcosβ + Acosαsinβ


$$\left\{ \begin{matrix} \beta = \sqrt{2}t \\ A\sin\alpha = 1 \\ \operatorname{Acos}\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\left\{ \begin{matrix} \beta = \sqrt{2}t \\ A^{2}{\sin\alpha}^{2} = 1 \\ {\cos\alpha}^{2} = \frac{1}{2} \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\left\{ \begin{matrix} \beta = \sqrt{2}t \\ A^{2}\left( {\sin\alpha}^{2} + {\cos\alpha}^{2} \right) = \frac{3}{2} \\ \tan\alpha = \frac{2}{\sqrt{2}} \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ \ }\begin{matrix} A = \sqrt{\frac{3}{2}} \\ \alpha = 54.7 \\ \end{matrix}$$


$$y_{1} = \sqrt{\frac{3}{2}}e^{- t}\sin\left( \sqrt{2}t + \alpha \right)\ $$

Ostatecznie


$$y\left( t \right) = \frac{2}{3} \bullet 1(t) - \frac{2}{3} \bullet \sqrt{\frac{3}{2}}e^{- t}\sin\left( \sqrt{2}t + \alpha \right)\text{\ \ }$$


$$y\left( t \right) = \frac{2}{3} \bullet 1(t) - \frac{\sqrt{6}}{3}e^{- t}\sin\left( \sqrt{2}t + \alpha \right)\text{\ \ }$$

Obliczenia z wykorzystaniem tablic transformat:


$$Y\left( s \right) = \frac{2}{3} \bullet \frac{1}{s} - \frac{2}{3} \bullet \frac{s + 2}{s^{2} + 2s + 3}\text{\ \ }$$


$$Y\left( s \right) = \frac{2}{3} \bullet \frac{1}{s} - \frac{2}{3} \bullet \frac{s + 1 + 1}{\left( s + 1 \right)^{2} - 1 + 3}\text{\ \ }$$


$$Y\left( s \right) = \frac{2}{3} \bullet \frac{1}{s} - \frac{2}{3}\left( \frac{s + 1}{\left( s + 1 \right)^{2} + 2} + \frac{1}{\left( s + 1 \right)^{2} + 2} \right)\text{\ \ }$$


$$Y\left( s \right) = \frac{2}{3} \bullet \frac{1}{s} - \frac{2}{3}\frac{s + 1}{\left( s + 1 \right)^{2} + 2} - \frac{2}{3}\frac{1}{\left( s + 1 \right)^{2} + 2}\text{\ \ }$$


$$Y\left( s \right) = \frac{2}{3} \bullet \frac{1}{s} - \frac{2}{3}\frac{s + 1}{\left( s + 1 \right)^{2} + 2} - \frac{2}{3} \bullet \frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\sqrt{2}}{\left( s + 1 \right)^{2} + 2}\text{\ \ }$$


$$Y\left( s \right) = \frac{2}{3} \bullet \frac{1}{s} - \frac{2}{3}\frac{s + 1}{\left( s + 1 \right)^{2} + 2} - \frac{\sqrt{2}}{3}\frac{\sqrt{2}}{\left( s + 1 \right)^{2} + 2}\text{\ \ }$$


$$Y\left( s \right) = \frac{2}{3} \bullet \frac{1}{s} - \frac{2}{3}\left( \frac{s + 1}{\left( s + 1 \right)^{2} + 2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{2}}{\left( s + 1 \right)^{2} + 2} \right)\text{\ \ }$$

Z tablic:


$$L\left\lbrack e^{\text{at}}\cos\text{wt} \right\rbrack = \frac{s - a}{\left( s - a \right)^{2} + w^{2}}\text{\ \ \ \ \ i\ \ \ \ \ \ \ }L\left\lbrack e^{\text{at}}\sin\text{wt} \right\rbrack = \frac{w}{\left( s - a \right)^{2} + w^{2}}\ $$

Ostatecznie:


$$y\left( t \right) = \frac{2}{3}1\left( t \right) - \frac{2}{3}\left( e^{- t}\cos{\sqrt{2}t} + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin{\sqrt{2}t} \right)\ $$


$$y\left( t \right) = \frac{2}{3}1\left( t \right) - \frac{2}{3}e^{- t}\left( \cos{\sqrt{2}t} + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin{\sqrt{2}t} \right)\ $$


$$Y\left( s \right) = \frac{2}{3} \bullet 1(t) - \frac{2}{3} \bullet \sqrt{\frac{3}{2}}e^{- t}\sin\left( \sqrt{2}t + \alpha \right)\text{\ \ }$$

Residuum w biegunie jednokrotnym


ResY(s)s1 = Y(s) * (ss1)

Wypływ swobodny cieczy

Q1

A h Q – natężenie przepływu cieczy w punkcie 1 i 2

h – wysokość cieczy w zbiorniku

f – przekrój wypływu

α – współczynnik wypływu otworu

Q2, f , α A – pole powierzchni lustra cieczy

Warunek równowagi wypływu: Ah = (m1m2)ρ

$A\frac{\text{dh}}{\text{dt}} = \left( Q_{1} - Q_{2} \right)\rho$

$Q_{2} = \alpha f\sqrt{2gh}$

$\frac{A}{\rho}\frac{\text{dh}}{\text{dt}} + \alpha f\sqrt{2gh} = Q_{1}$

Równanie należy zlinearyzować $F\left( \dot{h,}h,Q,t \right) = \frac{A}{\rho}\frac{\text{dh}}{\text{dt}} + \alpha f\sqrt{2gh} - Q_{1}$=0


$$\left. \ \frac{\partial F}{\partial\dot{h}} \right|_{\dot{h}0}\dot{h} + \left. \ \frac{\partial F}{\partial h} \right|_{h0}h + \left. \ \frac{\partial F}{\partial Q} \right|_{Q0}Q = 0$$


$$\frac{A}{\rho}\Delta\dot{h} + \text{αf}\sqrt{\frac{g}{2h_{0}}}h - Q = 0$$


$$\frac{A}{\text{ραf}\sqrt{\frac{g}{2h_{0}}}}\Delta\dot{h} + h = \frac{1}{\text{αf}\sqrt{\frac{g}{2h_{0}}}}Q$$


$$T = \frac{A}{\text{ραf}\sqrt{\frac{g}{2h_{0}}}};\ \ \ \ \ k = \frac{1}{\text{αf}\sqrt{\frac{g}{2h_{0}}}}$$


$$T\Delta\dot{h} + h = kQ$$

R i

u = iR + uc

U Uc równanie kondensatora

$i = C\frac{du_{c}}{\text{dt}}$

Stąd $u(t) = RC\frac{du_{c}}{\text{dt}} + u_{c}$(t)

U(s) = RCsUc(s) + Uc(s)

$G\left( s \right) = \frac{U_{c}\left( s \right)}{U\left( s \right)} = \frac{1}{RCs + 1}$

k = 1;      T = RC

$G\left( s \right) = \frac{U_{c}\left( s \right)}{U\left( s \right)} = \frac{k}{Ts + 1}$

Podstawowe elementy automatyki:

  1. Proporcjonalny, bezinercyjny


y = k • x


$$G\left( s \right) = \frac{Y\left( s \right)}{X(s)} = k$$

  1. Inercyjny pierwszego rzędu


$$T\dot{y} + y = kx$$


TsY(s) + Y(s) = kX(s)


$$G\left( s \right) = \frac{Y\left( s \right)}{X(s)} = \frac{k}{T \bullet s + 1}$$

  1. Inercyjne wyższego rzędu


$$G\left( s \right) = \frac{Y\left( s \right)}{X(s)} = \frac{k}{\left( T_{1}s + 1 \right)\left( T_{2}s + 1 \right)\ \ldots..\ \left( T_{n - 1}s + 1 \right)\left( T_{n}s + 1 \right)}$$

  1. Całkujący


$$\frac{\text{dy}}{\text{dt}} = kx\ \ \ \ \ \ \ lub\ \ \ \ \ \ \ \ y = k\int_{0}^{t}\text{xdt}$$


sY(s) = kX(s)


$$G\left( s \right) = \frac{Y\left( s \right)}{X(s)} = \frac{k}{s}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ lub\ \ \ \ \ \ \ \ \ G}\left( s \right) = \frac{1}{\text{Ts}}$$

  1. Różniczkujący


$$y = T_{d}\frac{\text{dx}}{\text{dt}}\text{\ \ \ \ \ \ \ lub\ \ \ \ \ \ \ \ }T\dot{y} + y = T_{d}\frac{\text{dx}}{\text{dt}}$$


Y(s) = TdsX(s) lub TsY(s) + Y(s) = TdX(s)


$$G\left( s \right) = \frac{Y\left( s \right)}{X(s)} = T_{d}\text{s\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ lub\ \ \ \ \ \ \ \ \ G}\left( s \right) = \frac{T_{d}s}{Ts + 1}$$

  1. Oscylacyjny


$$T_{1}^{2}\ddot{y +}T_{2}\dot{y} + y = kx$$


T12s2Y(s) + T2sY(s) + Y(s) = kX(s)


$$G\left( s \right) = \frac{Y\left( s \right)}{X(s)} = \frac{k}{{T_{1}^{2}s^{2} + T}_{2}s + 1}\text{\ \ \ \ \ \ lub\ \ \ \ \ \ \ G}\left( s \right) = \frac{k\omega_{0}^{2}}{{s^{2} + 2\xi\omega}_{0}s + \omega_{0}^{2}}$$

Gdzie: ξ – współczynnik tłumienia

ω – częstotliwość drgań własnych

  1. Opóźniający:


$$G\left( s \right) = \frac{Y\left( s \right)}{X(s)} = e^{- \tau s}$$

Przykłady: inercyjne drugiego rzędu

R1 i i2 R2

i1

U C1 Uc1 C2 Uc2


$$\left\{ \begin{matrix} u = iR_{1} + u_{c1} \\ \begin{matrix} u_{c1} = i_{2}R_{2} + u_{c2} \\ i_{1} = C_{1}\frac{du_{c1}}{\text{dt}} \\ \begin{matrix} i_{2} = C_{2}\frac{du_{c2}}{\text{dt}} \\ i = i_{1} + i_{2} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right.\ $$


$$\left\{ \begin{matrix} u = \left( i_{1} + i_{2} \right)R_{1} + u_{c1} \\ \begin{matrix} u_{c1} = i_{2}R_{2} + u_{c2} \\ i_{1} = C_{1}\frac{du_{c1}}{\text{dt}} \\ \begin{matrix} i_{2} = C_{2}\frac{du_{c2}}{\text{dt}} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right.\ $$


$$\left\{ \begin{matrix} U = \left( I_{1} + I_{2} \right)R_{1} + U_{c1} \\ \begin{matrix} U_{c1} = I_{2}R_{2} + U_{c2} \\ I_{1} = C_{1}sU_{c1} \\ \begin{matrix} I_{2} = C_{2}sU_{c2} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right.\ $$


$$\left\{ \begin{matrix} U = \left( C_{1}sU_{c1} + C_{2}sU_{c2} \right)R_{1} + U_{c1} \\ \begin{matrix} U_{c1} = {R_{2}C}_{2}sU_{c2} + U_{c2} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right.\ $$


$$\left\{ \begin{matrix} U = \left( {R_{1}C}_{1}s + 1 \right)U_{c1} + {R_{1}C}_{2}sU_{c2} \\ \begin{matrix} U_{c1} = \left( {R_{2}C}_{2}s + 1 \right)U_{c2} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right.\ $$


U = (R1C1s+1)(R2C2s+1)Uc2 + R1C2sUc2


$$G\left( s \right) = \frac{U_{c2}\left( s \right)}{U\left( s \right)} = \frac{1}{\left( {R_{1}C}_{1}s + 1 \right)\left( {R_{2}C}_{2}s + 1 \right) + {R_{1}C}_{2}s}$$


$$G\left( s \right) = \frac{U_{c2}\left( s \right)}{U\left( s \right)} = \frac{1}{{R_{1}C}_{1} \bullet {R_{2}C}_{2} \bullet s^{2} + \left( {R_{1}C}_{1} + {R_{2}C}_{2} + {R_{1}C}_{2} \right)s + 1}$$


k = 1;         T1 = R1C1;           T2 = R2C2


$$G\left( s \right) = \frac{U_{c2}\left( s \right)}{U\left( s \right)} = \frac{1}{{T_{1}T}_{2}s^{2} + \left( {T_{1} + T}_{2} + {R_{1}C}_{2} \right)s + 1}$$

Wersja uproszczona:


$$G\left( s \right) = \frac{1}{\left( T_{1}s + 1 \right)\left( T_{2}s + 1 \right)}$$

Charakterystyka skokowa:


$$Y = \frac{1}{\left( T_{1}s + 1 \right)\left( T_{2}s + 1 \right)}\frac{1}{s}$$


$$Y = \frac{A}{s} + \frac{B}{\left( T_{1}s + 1 \right)} + \frac{C}{\left( T_{2}s + 1 \right)}$$


$$\left\{ \begin{matrix} A = 1 \\ B = \frac{- T_{1}^{2}}{T_{1} - T_{2}} \\ C = \frac{T_{2}^{2}}{T_{1} - T_{2}} \\ \end{matrix} \right.\ $$


$$Y = \frac{1}{s} - \frac{T_{1}^{2}}{T_{1} - T_{2}}\frac{1}{\left( T_{1}s + 1 \right)} + \frac{T_{2}^{2}}{T_{1} - T_{2}}\frac{1}{\left( T_{2}s + 1 \right)}$$


$$Y = \frac{1}{s} - \frac{1}{T_{1} - T_{2}}\frac{T_{1}}{\left( s + \frac{1}{T_{1}} \right)} + \frac{1}{T_{1} - T_{2}}\frac{T_{2}}{\left( s + \frac{1}{T_{2}} \right)}$$


$$y = 1 + \frac{T_{1}}{T_{2} - T_{1}}e^{- \frac{t}{T_{1}}} + \frac{T_{2}}{T_{1} - T_{2}}e^{- \frac{t}{T_{2}}}$$

Przykłady: inercyjne trzeciego rzędu

R1 i i2 R2 i3 R3

i1 i4

U C1 Uc1 C2 Uc2 C3 Uc3


$$\left\{ \begin{matrix} u = iR_{1} + u_{c1} \\ \begin{matrix} u_{c1} = i_{2}R_{2} + u_{c2} \\ u_{c2} = i_{3}R_{3} + u_{c3} \\ \begin{matrix} i_{1} = C_{1}\frac{du_{c1}}{\text{dt}};\ \ \ i_{4} = C_{2}\frac{du_{c2}}{\text{dt}};\ \ \ \ \ \ \ i_{3} = C_{3}\frac{du_{c3}}{\text{dt}}\ \\ i = i_{1} + i_{2};\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ i_{2} = i_{3} + i_{4} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right.\ $$


$$\left\{ \begin{matrix} u = \left( i_{1} + i_{3} + i_{4} \right)R_{1} + u_{c1} \\ \begin{matrix} u_{c1} = \left( i_{3} + i_{4} \right)R_{2} + u_{c2} \\ u_{c2} = i_{3}R_{3} + u_{c3} \\ \begin{matrix} i_{1} = C_{1}\frac{du_{c1}}{\text{dt}};\ \ \ i_{4} = C_{2}\frac{du_{c2}}{\text{dt}};\ \ \ \ \ \ \ i_{3} = C_{3}\frac{du_{c3}}{\text{dt}}\ \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right.\ $$


$$\left\{ \begin{matrix} U = \left( I_{1} + I_{3} + I_{4} \right)R_{1} + U_{c1} \\ \begin{matrix} U_{c1} = \left( I_{3} + I_{4} \right)R_{2} + U_{c2} \\ U_{c2} = I_{3}R_{3} + U_{c3} \\ \begin{matrix} I_{1} = C_{1}sU_{c1};\ \ \ I_{4} = C_{2}sU_{c2};\ \ \ \ \ \ \ I_{3} = C_{3}sU_{c3}\ \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right.\ $$


$$\left\{ \begin{matrix} U = \left( C_{1}sU_{c1} + C_{3}sU_{c3} + C_{2}sU_{c2} \right)R_{1} + U_{c1} \\ \begin{matrix} U_{c1} = \left( C_{3}sU_{c3} + C_{2}sU_{c2} \right)R_{2} + U_{c2} \\ U_{c2} = C_{3}sU_{c3}R_{3} + U_{c3} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right.\ $$


$$\left\{ \begin{matrix} U = \left( R_{1}C_{1}s + 1 \right)U_{c1} + R_{1}C_{3}sU_{c3} + R_{1}C_{2}sU_{c2} \\ \begin{matrix} U_{c1} = \left( R_{2}C_{2}s + 1 \right)U_{c2} + R_{2}C_{3}sU_{c3} \\ U_{c2} = \left( {R_{3}C}_{3}s + 1 \right)U_{c3} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right.\ $$


$$\left\{ \begin{matrix} U = \left( R_{1}C_{1}s + 1 \right)U_{c1} + R_{1}C_{3}sU_{c3} + R_{1}C_{2}s\left( {R_{3}C}_{3}s + 1 \right)U_{c3} \\ \begin{matrix} U_{c1} = \left( R_{2}C_{2}s + 1 \right)\left( {R_{3}C}_{3}s + 1 \right)U_{c3} + R_{2}C_{3}sU_{c3} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right.\ $$


U = (R1C1s+1)[(R2C2s+1)(R3C3s+1)+R2C3s]Uc3 + R1C3sUc3 + R1C2s(R3C3s+1)Uc3


U = [(R1C1s+1)(R2C2s+1)(R3C3s+1)+(R1C1s+1)R2C3s+(R3C3s+1)R1C2s+R1C3s]Uc3


$$G\left( s \right) = \frac{U_{c3}}{U} = \frac{1}{\left( R_{1}C_{1}s + 1 \right)\left( R_{2}C_{2}s + 1 \right)\left( {R_{3}C}_{3}s + 1 \right) + \left( R_{1}C_{1}s + 1 \right)R_{2}C_{3}s + \left( {R_{3}C}_{3}s + 1 \right)R_{1}C_{2}s + R_{1}C_{3}s}$$


$$G\left( s \right) = \frac{U_{c3}}{U} = \frac{1}{\left( T_{1}s + 1 \right)\left( T_{2}s + 1 \right)\left( T_{3}s + 1 \right) + \left( T_{1}s + 1 \right)R_{2}C_{3}s + \left( T_{3}s + 1 \right)R_{1}C_{2}s + R_{1}C_{3}s}$$


k = 1;         T1 = R1C1;          T2 = R2C2;            T3 = R3C3


$$G\left( s \right) = \frac{U_{c3}}{U} = \frac{1}{{T_{1}T}_{2}T_{3}s^{3} + \left( {T_{1}T}_{2} + {T_{1}T}_{3} + {T_{2}T}_{3} + R_{1}C_{2}T_{3} + R_{2}C_{3}T_{1} \right)s^{2} + \left( {T_{1} + T}_{2} + T_{3} + R_{1}C_{2} + R_{1}C_{3} + {R_{2}C}_{3} \right)s + 1}$$

Wersja uproszczona:


$$G\left( s \right) = \frac{1}{\left( T_{1}s + 1 \right)\left( T_{2}s + 1 \right)\left( T_{3}s + 1 \right)}$$

Charakterystyka skokowa:


$$Y = \frac{1}{\left( T_{1}s + 1 \right)\left( T_{2}s + 1 \right)\left( T_{3}s + 1 \right)}\frac{1}{s}$$


$$Y = \frac{\frac{1}{T_{1}T_{2}T_{3}}}{\left( s + \frac{1}{T_{1}} \right)\left( s + \frac{1}{T_{2}} \right)\left( s + \frac{1}{T_{3}} \right)}\frac{1}{s}$$


$$Y = \frac{A}{s} + \frac{B}{\left( s + \frac{1}{T_{1}} \right)} + \frac{C}{\left( s + \frac{1}{T_{2}} \right)} + \frac{D}{\left( s + \frac{1}{T_{3}} \right)}$$


$$\left\{ \begin{matrix} A = 1 \\ B = \frac{T_{1}^{2}}{\left( T_{3} - T_{1} \right)\left( T_{1} - T_{2} \right)} \\ \begin{matrix} C = \frac{T_{2}^{2}}{\left( T_{3} - T_{2} \right)\left( T_{2} - T_{1} \right)} \\ D = \frac{T_{3}^{2}}{\left( T_{1} - T_{3} \right)\left( T_{3} - T_{2} \right)} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right.\ $$


$$Y = \frac{1}{s} + \frac{T_{1}^{2}}{\left( T_{3} - T_{1} \right)\left( T_{1} - T_{2} \right)}\frac{1}{\left( s + \frac{1}{T_{1}} \right)} + \frac{T_{2}^{2}}{\left( T_{3} - T_{2} \right)\left( T_{2} - T_{1} \right)}\frac{1}{\left( s + \frac{1}{T_{2}} \right)} + \frac{T_{3}^{2}}{\left( T_{1} - T_{3} \right)\left( T_{3} - T_{2} \right)}\frac{1}{\left( s + \frac{1}{T_{3}} \right)}$$


$$y = 1 + \frac{T_{1}^{2}}{\left( T_{3} - T_{1} \right)\left( T_{1} - T_{2} \right)}e^{- \frac{t}{T_{1}}} + \frac{T_{2}^{2}}{\left( T_{3} - T_{2} \right)\left( T_{2} - T_{1} \right)}e^{- \frac{t}{T_{2}}} + \frac{T_{3}^{2}}{\left( T_{1} - T_{3} \right)\left( T_{3} - T_{2} \right)}e^{- \frac{t}{T_{3}}}$$

Przykłady: układ drugiego rzędu oscylacyjny

R i

L

U C Uc


$$\left\{ \begin{matrix} u = iR + u_{L} + u_{c} \\ \begin{matrix} i = C\frac{du_{c}}{\text{dt}} \\ \begin{matrix} u_{L} = L\frac{\text{di}}{\text{dt}} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right.\ $$


$$\left\{ \begin{matrix} U = IR + U_{L} + U_{c} \\ \begin{matrix} I = CsU_{c} \\ \begin{matrix} U_{L} = LsI \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right.\ $$


$$\left\{ \begin{matrix} U = \left( R + Ls \right)I + U_{c} \\ \begin{matrix} I = CsU_{c} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right.\ $$


U = (RCs+LCs2+1)Uc


$$G\left( s \right) = \frac{U_{c}}{U} = \frac{1}{\text{LC}s^{2} + RCs + 1}$$


$$k = 1;\ \ \ \ \ \ \ \ T_{1} = \sqrt{\text{LC}};\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ T_{2} = RC$$

lub


$$G\left( s \right) = \frac{U_{c}}{U} = \frac{\frac{1}{\text{LC}}}{s^{2} + \frac{R}{L}s + \frac{1}{\text{LC}}}$$


$$k = 1;\ \ \ \ \ \ \ \ \omega_{0} = \frac{1}{\sqrt{\text{LC}}};\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \xi = \frac{R}{2}\sqrt{\frac{C}{L}}$$


$$\begin{matrix} 0 < \xi < 1\ \ \ \ \ \ wspolczynnik\ tlumienia,\ element\ oscylacyjny \\ \xi > 1\ \ \ \ \ \ \ \ element\ inercyjny\ drugiego\ rzedu \\ \end{matrix}$$

Wersja uproszczona:


$$G\left( s \right) = \frac{k\omega_{0}^{2}}{{s^{2} + 2\xi\omega}_{0}s + \omega_{0}^{2}}$$

Charakterystyka skokowa:


$$Y = \frac{k\omega_{0}^{2}}{{s^{2} + 2\xi\omega}_{0}s + \omega_{0}^{2}} \bullet \frac{1}{s}$$


$$Y = \frac{A}{s} + \frac{Bs + C}{{s^{2} + 2\xi\omega}_{0}s + \omega_{0}^{2}}$$


$$\left\{ \begin{matrix} A = k \\ B = - k \\ C = {- 2k\xi\omega}_{0} \\ \end{matrix} \right.\ $$


$$Y = \frac{k}{s} - k\frac{s + {2\xi\omega}_{0}}{{s^{2} + 2\xi\omega}_{0}s + \omega_{0}^{2}}$$


$$Y = \frac{k}{s} - k\frac{s + {2\xi\omega}_{0}}{\left( {s + \xi\omega}_{0} \right)^{2} - {\xi^{2}\omega}_{0}^{2} + \omega_{0}^{2}}$$


$$Y = \frac{k}{s} - k\frac{s + {2\xi\omega}_{0}}{\left( {s + \xi\omega}_{0} \right)^{2} + \omega_{0}^{2}\left( 1 - \xi^{2} \right)}$$


$$Y = \frac{k}{s} - k\frac{s + \text{ξω}_{0}}{\left( {s + \xi\omega}_{0} \right)^{2} + \omega_{0}^{2}\left( 1 - \xi^{2} \right)} - k\frac{\text{ξω}_{0}}{\left( {s + \xi\omega}_{0} \right)^{2} + \omega_{0}^{2}\left( 1 - \xi^{2} \right)}$$


$$Y = \frac{k}{s} - k\frac{s + \text{ξω}_{0}}{\left( {s + \xi\omega}_{0} \right)^{2} + \omega_{0}^{2}\left( 1 - \xi^{2} \right)} - \frac{k\xi}{\sqrt{1 - \xi^{2}}}\frac{\omega_{0}\sqrt{1 - \xi^{2}}}{\left( {s + \xi\omega}_{0} \right)^{2} + \omega_{0}^{2}\left( 1 - \xi^{2} \right)}$$


$$y = k - ke^{- \text{ξω}_{0}t}\cos\left( \omega_{0}\sqrt{1 - \xi^{2}}t \right) - \frac{k\xi}{\sqrt{1 - \xi^{2}}}e^{- \text{ξω}_{0}t}\sin\left( \omega_{0}\sqrt{1 - \xi^{2}}t \right)$$


$$y = k - ke^{- \text{ξω}_{0}t}\left\lbrack \cos\left( \omega_{0}\sqrt{1 - \xi^{2}}t \right) + \frac{\xi}{\sqrt{1 - \xi^{2}}}\sin\left( \omega_{0}\sqrt{1 - \xi^{2}}t \right) \right\rbrack$$


Asin(α+β) = Asinαcosβ + Acosαsinβ


$$\left\{ \begin{matrix} \beta = \omega_{0}\sqrt{1 - \xi^{2}}t \\ A\sin\alpha = 1 \\ \operatorname{Acos}\alpha = \frac{\xi}{\sqrt{1 - \xi^{2}}} \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\left\{ \begin{matrix} \beta = \omega_{0}\sqrt{1 - \xi^{2}}t \\ A^{2}{\sin\alpha}^{2} = 1 \\ {\cos\alpha}^{2} = \frac{\xi^{2}}{1 - \xi^{2}} \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\left\{ \begin{matrix} \beta = \omega_{0}\sqrt{1 - \xi^{2}}t \\ A^{2}\left( {\sin\alpha}^{2} + {\cos\alpha}^{2} \right) = \frac{1}{1 - \xi^{2}} \\ \tan\alpha = \frac{\sqrt{1 - \xi^{2}}}{\xi} \\ \end{matrix} \right.\ \ \ \ \ \ \ \ \ A = \frac{1}{\sqrt{1 - \xi^{2}}}$$


$$y = k - \frac{k}{\sqrt{1 - \xi^{2}}}e^{- \text{ξω}_{0}t}\sin\left( \omega_{0}\sqrt{1 - \xi^{2}}t + \alpha \right)\ $$

Przykłady: układ różniczkujący rzeczywisty

k y Y x $F_{t} = b\dot{x}$

k y b x


Fs = Ft


$$ky = b\left( \dot{x} - \dot{y} \right)$$


$$b\frac{\text{dy}}{\text{dt}} + ky = b\frac{\text{dx}}{\text{dt}}$$


bsY + kY = bsX


$$G\left( s \right) = \frac{Y}{X} = \frac{\text{bs}}{bs + k}$$


$$G\left( s \right) = \frac{Y}{X} = \frac{\frac{b}{k}s}{\frac{b}{k}s + 1} = \frac{T_{d}s}{Ts + 1}$$

Charakterystyka skokowa:


$$Y = \frac{T_{d}s}{Ts + 1} \bullet \frac{1}{s}$$


$$Y = \frac{\frac{T_{d}}{T}}{s + \frac{1}{T}}$$


$$y = \frac{T_{d}}{T}e^{- \frac{t}{T}}$$

$\frac{T_{d}}{T}$ – kd wzmocnienie dynamiczne

Przykłady: zawieszenie pojazdu

m y

k b

x


Fs + Ft = Fm


$$k\left( x - y \right) + b\left( \dot{x} - \dot{y} \right) = m\ddot{y}$$


$$m\ddot{y} + b\dot{y} + ky = b\dot{x} + kx$$


ms2Y + bsY + kY = bsX + kX


$$G\left( s \right) = \frac{Y}{X} = \frac{bs + k}{ms^{2} + bs + k}$$


$$G\left( s \right) = \frac{Y}{X} = \frac{\frac{b}{m}s + \frac{k}{m}}{s^{2} + \frac{b}{m}s + \frac{k}{m}}$$

Zakładam własności oscylacyjne.


$$K = 1;\ \ \ \ \ \ \ \ \omega_{0} = \sqrt{\frac{k}{m}};\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \xi = \frac{b}{\sqrt{4mk}}$$

Wyznaczam odpowiedź na wymuszenie impulsowe – najechanie koła na kamień.


x(t) = δ(t) X(s) = 1


$$Y = \frac{\frac{b}{m}s + \frac{k}{m}}{s^{2} + \frac{b}{m}s + \frac{k}{m}} \bullet 1$$


$$Y = \frac{\frac{b}{m}s + \frac{k}{m}}{\left( s + \frac{b}{2m} \right)^{2} + \frac{k}{m} - \left( \frac{b}{2m} \right)^{2}}$$


$$Y = \frac{b}{m}\frac{s + \frac{b}{2m}}{\left( s + \frac{b}{2m} \right)^{2} + \frac{k}{m} - \left( \frac{b}{2m} \right)^{2}} + \frac{\frac{k}{m} - \frac{b^{2}}{2m^{2}}}{\left( s + \frac{b}{2m} \right)^{2} + \frac{k}{m} - \left( \frac{b}{2m} \right)^{2}}$$


$$Y = \frac{b}{m}\frac{s + \frac{b}{2m}}{\left( s + \frac{b}{2m} \right)^{2} + \frac{k}{m} - \left( \frac{b}{2m} \right)^{2}} + \frac{\frac{k}{m} - \frac{b^{2}}{2m^{2}}}{\sqrt{\frac{k}{m} - \left( \frac{b}{2m} \right)^{2}}}\frac{\sqrt{\frac{k}{m} - \left( \frac{b}{2m} \right)^{2}}}{\left( s + \frac{b}{2m} \right)^{2} + \frac{k}{m} - \left( \frac{b}{2m} \right)^{2}}$$


$$y = \frac{b}{m}e^{- \frac{b}{2m}t}\cos\left( \sqrt{\frac{k}{m} - \left( \frac{b}{2m} \right)^{2}}t \right) + \frac{\frac{k}{m} - \frac{b^{2}}{2m^{2}}}{\sqrt{\frac{k}{m} - \left( \frac{b}{2m} \right)^{2}}}e^{- \frac{b}{2m}t}\sin\left( \sqrt{\frac{k}{m} - \left( \frac{b}{2m} \right)^{2}}t \right)$$


$$y = e^{- \frac{b}{2m}t}\left\lbrack \frac{b}{m}\cos\left( \sqrt{\frac{k}{m} - \left( \frac{b}{2m} \right)^{2}}t \right) + \frac{\frac{k}{m} - \frac{b^{2}}{2m^{2}}}{\sqrt{\frac{k}{m} - \left( \frac{b}{2m} \right)^{2}}}\sin\left( \sqrt{\frac{k}{m} - \left( \frac{b}{2m} \right)^{2}}t \right) \right\rbrack$$


Asin(α+β) = Asinαcosβ + Acosαsinβ


$$\left\{ \begin{matrix} \beta = \sqrt{\frac{k}{m} - \left( \frac{b}{2m} \right)^{2}}t \\ A\sin\alpha = \frac{b}{m} \\ \operatorname{Acos}\alpha = \frac{\frac{k}{m} - \frac{b^{2}}{2m^{2}}}{\sqrt{\frac{k}{m} - \left( \frac{b}{2m} \right)^{2}}} \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\left\{ \begin{matrix} \beta = \sqrt{\frac{k}{m} - \left( \frac{b}{2m} \right)^{2}}t \\ A^{2}{\sin\alpha}^{2} = \frac{b^{2}}{m^{2}} \\ {\cos\alpha}^{2} = \frac{\left( \frac{k}{m} - \frac{b^{2}}{2m^{2}} \right)^{2}}{\frac{k}{m} - \left( \frac{b}{2m} \right)^{2}} \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\left\{ \begin{matrix} \beta = \sqrt{\frac{k}{m} - \left( \frac{b}{2m} \right)^{2}}t \\ A^{2} = \frac{\frac{k^{2}}{m^{2}}}{\frac{k}{m} - \left( \frac{b}{2m} \right)^{2}} \\ \tan\alpha = \frac{\frac{b}{m}\sqrt{\frac{k}{m} - \left( \frac{b}{2m} \right)^{2}}}{\frac{k}{m} - \frac{b^{2}}{2m^{2}}} \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ }$$


$$A = \frac{\frac{k}{m}}{\sqrt{\frac{k}{m} - \left( \frac{b}{2m} \right)^{2}}}$$


$$y = \frac{\frac{k}{m}}{\sqrt{\frac{k}{m} - \left( \frac{b}{2m} \right)^{2}}}e^{- \frac{b}{2m}t}\sin\left( \sqrt{\frac{k}{m} - \left( \frac{b}{2m} \right)^{2}}t + \alpha \right)\ $$


$$y = \frac{\sqrt{\frac{k}{m}}}{\sqrt{1 - \frac{b^{2}}{4mk}}}e^{- \frac{b}{2m}t}\sin\left( \sqrt{\frac{k}{m} - \left( \frac{b}{2m} \right)^{2}}t + \alpha \right)\ $$

Przykłady: element całkujący

Pz=const; ps=const


$$Q = A\frac{\text{dy}}{\text{dt}}$$

gdzie: Q – natężenie przepływu oleju przez szczeliny rozdzielacza

A – powierzchnia efektywna tłoka siłownika


Q = xbv

gdzie: x – wysokość szczeliny przepływowej

b – szerokość szczeliny przepływowej

v – prędkość przepływu oleju przez szczelinę


$$A\frac{\text{dy}}{\text{dt}} = xbv$$


$$\frac{A}{\text{bv}}\frac{\text{dy}}{\text{dt}} = x$$


$$T\frac{\text{dy}}{\text{dt}} = x$$

gdzie : T – stała całkowania


$$G\left( s \right) = \frac{Y}{X} = \frac{1}{\text{Ts}}$$

Przykład : siłownik z dźwignią

Równanie dźwigni:

$z = \frac{b}{a + b}x - \frac{a}{a + b}y$


$$G\left( s \right) = \frac{Y}{Z} = \frac{1}{\text{Ts}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Z = TsY$$

$TsY = \frac{b}{a + b}X - \frac{a}{a + b}Y$

$TsY + \frac{a}{a + b}Y = \frac{b}{a + b}X$

$G(s) = \frac{Y}{X} = \frac{\frac{b}{a + b}}{Ts + \frac{a}{a + b}}$

$G(s) = \frac{Y}{X} = \frac{\frac{b}{a}}{\frac{a + b}{a}Ts + 1}$


$$T_{\text{Inercji}} = \frac{a + b}{a}T\ \ \ ;\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ k = \frac{b}{a}$$

Żelazny M.: Podstawy automatyki

Amborski :Teoria sterowania w ćwiczeniach

Kaczorek :Podstawy automatyki

Mazurek J.: Podstawy automatyki


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Wybrane elementy automatyki instalacyjnej
Spr 1, AGH IMIR Mechanika i budowa maszyn, III ROK, Elementy automatyki przemysłowej, EAP lab1
Elementy automatyki1
Zadania Podstawowe Elementy Automatyki
AC-Ca, Referat z Element˙w Automatyki
Automatyka- Identyfikacja liniowych elementow automatyki, II Informatyka
cennik uzupelniajacy elementow automatyki 2012
Elementy automatyki przemyslowe 8 id 159969
Elementy automatyki stosowane w nowoczesnych centralach wentylacyjnych i klimatyzacyjnych ( Politech
smalec,podstawy automatyzacji L,?dania symulacyjne elementów automatyki w środowisku Matlab Simulink
AC-CA2, Referat z Element˙w Automatyki
tabelka, AGH IMIR Mechanika i budowa maszyn, III ROK, Elementy automatyki przemysłowej, elementy aut
EAP-projekt, AGH IMIR Mechanika i budowa maszyn, III ROK, Elementy automatyki przemysłowej, elementy
cw6 PLC elementy automatyki prz Nieznany
2. Charakterystyki skokowe liniowych elementów automatyki, ATH, Wejściówki, PTSiS
EA5, Elektrotechnika AGH, Semestr V zimowy 2014-2015 - MODUŁ C, semestr V (moduł C), Elektromaszynow
Spr 1, Studia AGH IMIR, Elementy Automatyki Przemysłowej, Mateusz Romaszko

więcej podobnych podstron