Protokół zawiera opracowanie ćwiczenia numer 1

„Wyznaczanie przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego”,

wykonywanego na Laboratoriach z Fizyki.

Opracowany przez studentów z Grupy numer 5

W opracowaniu zawiera się:

1. Opis wahadła rewersyjnego

2. Różnice między wahadłem fizycznym i matematycznym

3. Opis wykonywanego ćwiczenia

4. Opis wyników + wykres

5. Dyskusja błędu pomiaru

6. Wnioski

Opracowano na podstawie notatek przekazanych studentom.

1. Wahadło Rewersyjne

Wahadło rewersyjne (czyli odwracalne) to przyrząd będący rodzajem wahadła fizycznego o dwóch równoległych osiach zawieszenia i regulowanym rozkładzie masy, używany do wyznaczania przyspieszenia ziemskiego. Wahadło zostało wynalezione przez Henry’ego Katera w 1817 roku.

Składa się ono z metalowego pręta, dwóch ostrzy O i O` na których można je zawieszać oraz z dwóch lub trzech metalowych brył w kształcie soczewki (by zmniejszyć opory powietrza), z których jedna może być przesuwana po pręcie, pozwala to na zmianę okresu drgań wahadła. Zastosowanie takiej konstrukcji pozwala na wyeliminowane ze wzorów wielkości trudno mierzalnych, takich jak moment bezwładności i odległość do środka masy. Przy odpowiednio dobranym położeniu masy ruchomej okres drgań wahadła dla obu zawieszeń jest jednakowy i odpowiada okresowi drgań wahadła matematycznego o długości równej odległości między osiami obrotu. Odległość ta jest nazywana długością zredukowaną wahadła. Wahadło pozwala wyznaczyć dokładnie wartość przyspieszenia ziemskiego:

$$g = \frac{{4\pi}^{2}l}{T_{0}^{2}}$$

g – przyśpieszenie ziemskie,
l - odległość między punktami zawieszenia wahadła (osiami),
T₀ - okres drgań wahadła.

1. Różnice między wahadłem fizycznym i matematycznym

Wahadło - ciało zawieszone lub zamocowane ponad swoim środkiem ciężkości wykonujące w pionowej płaszczyźnie drgania pod wpływem siły grawitacji. W teorii mechaniki rozróżnia się dwa podstawowe rodzaje wahadeł:

• matematyczne

• fizyczne

Wahadło matematyczne

Punkt materialny zawieszony na nierozciągliwej i nieważkiej nici. Jest to idealizacja wahadła fizycznego.

Ważną cechą wahadła fizycznego i matematycznego jest stałość okresu drgań dla niewielkich wychyleń wahadła.

Ogólne równanie ruchu wahadła matematycznego:

Gdzie:

• l - długość nici,

• g - przyspieszenie ziemskie,

• m - masa ciała,

• θ - kąt wektora wodzącego ciała z pionem

• A - amplituda siły wymuszającej

• ωD - częstość siły wymuszającej

• γ - współczynnik oporu ośrodka

Równanie to odpowiada równaniu drgań tłumionych o sile nieproporcjonalnej do wychylenia, czyli drgań nieharmonicznych. Równania tego nie da się rozwiązać analitycznie, nawet gdy A=0.

Dla małych wychyleń funkcję sinus można przybliżyć przez zastosowanie prawidłowości:

Stosując powyższe przybliżenie, pomijając opory oraz siłę wymuszającą równanie, otrzymuje postać:

Równanie, to odpowiada równaniu oscylatora harmonicznego o częstości:

Z rozwiązania przybliżonego ruchu wahadła wynika, że dla małych kątów wychylenia okres drgań wahadła jest niezależny od masy wahadła, amplitudy drgań wahadła, a zależy tylko od długości i przyspieszenia ziemskiego. Warunki przybliżenia są w miarę dobrze spełnione dla wychyleń mniejszych niż 8 stopni.

Gdy nie występuje wymuszanie drgań ani opór ośrodka, okres drgań może być wyrażony wzorem:

Gdzie, E(k,φ) jest funkcją eliptyczną Legendre'a pierwszego rodzaju:

W ogólności ruch wahadła rozpatruje się jako drgania, odpowiednio swobodne, tłumione, wymuszone.

Wahadło fizyczne

Bryła sztywna mogąca wykonywać obroty dookoła poziomej osi przechodzącej ponad środkiem ciężkości tej bryły.

Wzór na okres drgań wahadła fizycznego dla małych wychyleń:

Przez analogię do wahadła matematycznego wzór ten zapisuje się jako:

,

wprowadzając wielkość długość zredukowana wahadła l₀

gdzie:

• d - odległość od punktu zawieszenia do środka ciężkości,

• g - przyspieszenie ziemskie,

• I - moment bezwładności ciała względem osi obrotu,

• m - masa ciała

1. Opis ćwiczenia

1. Ciężarek A (znajdujący się między osiami) zamocowujemy mniej więcej w połowie odległości między osiami Ciężarek B umieszczamy w położeniu najbliższym osi 0.

2. Uruchamiamy wahadło i mierzymy czas dwudziestu wahnięć wokół osi 0.

3. Wyznaczamy okres drgań T Odwracamy wahadło, mierzymy czas 20 wahnięć wokół osi 0’ i wyznaczamy okres drgań T’ .

4. Przesuwamy ciężarek A o 2 cm, ponownie znajdujemy okresy wahań T i T’ wokół osi

Na wahadle rewersyjnym mierzyliśmy okresy czasowe w jakim wahadło wykonało 20 pełnych wahnięć, co każde 20 wahnięć zmieniając położenie obciążnika na wahadle o 3cm. Na wahadle mieliśmy podziałkę z wyżłobionymi rowkami co 1 cm. Obciążnikiem przesuwaliśmy, aż do końca podziałki na wahadle zarówno z jednej jak i z drugiej strony wahadła.

9 pomiarów na każdą ze stron wahadła.

1. Opis wyników

Pierwsza strona wahadła
Liczka wahnięć
20
20
20
20
20
20
20
20
20

Druga strona wahadła
Liczka wahnięć
20
20
20
20
20
20
20
20
20

Odległość między mocowaniem wahadła z pierwszej strony i mocowania drugiej strony to 104cm – 1,04m

L = 104cm = 1,04m

T₀ = 2,02 s

Obliczamy przyśpieszenie ziemskie:

$g = \frac{{4\pi}^{2}l}{T_{0}^{2}}$= $\frac{4*{3,14}^{2}*1,04}{{2,02}^{2}} = 10,05194001{m/s}^{2}$

1. Dyskusja błędu pomiaru.

$\frac{\Delta g}{g} = \frac{\Delta l}{l} + 2\frac{{\Delta T}_{0}}{T_{0}} = \ \frac{0.5}{104} + \frac{0,02}{2,02} = 0,0147$m/s²

Δg = g * 0, 0147 = 0, 147m/s²

g = 10,05 ± 0,15 m/s²

1. Wnioski

Przy pomocy wahadła rewersyjnego w bardzo łatwy sposób można wyznaczyć przyśpieszenie ziemskie ale ważne jest przy tym by być dokładnym. Samo to, że mierzymy stoperem, który jest wyłączany przez człowieka. A wiadomo, że reakcja człowieka podczas wyłączania stopera jest różna czasowo od momentu nadania sygnału przez jedną osobę o zwolnieniu wahadła do włączenia. Podobnie sytuacja się ma z cyklami puszczania wahadła. Trzeba rozpoczynać cykl od puszczenia wahadła i wprawienie go w ruch cały czas z tego samego miejsca. W przeciwnym wypadku wyniki są rozbierze, tak jak u nas na wykresie. Również podczas ustawiania obciążnika wahadła zachodzą minimalne zmiany w przesunięciu odważnika. Przesuwaliśmy go co 3 centymetry według podziałki na pręcie, gdzie też mogliśmy zrobić błąd w ustawieniu go idealnie. Sama grawitacja wynosi 10,05 m/s² ±0,15 różnica w błędzie dokładności jest dość spora ale na tyle mała, że jest nie odczuwalne ale by wykonać bardzo dokładny wynik trzeba się do tego przyłożyć.