Protokół zawiera opracowanie ćwiczenia numer 9 – „Snellius”, wykonywanego na Laboratoriach z Fizyki.

Opracowany przez studentów z Grupy numer 5

W opracowaniu zawiera się:

1. Opis prawa Snelliusa

2. Opis wykonywanego ćwiczenia

3. Opis wyników + wykres

4. Wnioski

Opracowano na podstawie notatek przekazanych studentom.

1. Opis prawa Snelliusa

Prawo Snelliusa nazywane też prawem załamania światła opisujące zmianę kierunku biegu promienia światła przy przejściu przez granicę między dwoma ośrodkami przezroczystymi o różnych współczynnikach załamania. Prawo to wzięło swą nazwę od holenderskiego astronoma i matematyka Snelliusa, który jako pierwszy opublikował poprawne rozumowanie dotyczące zagadnienia w roku 1621.

Wiązka światła padająca na granicę dwóch ośrodków, w których rozchodzi się z różnymi prędkościami, rozdziela się na wiązkę załamaną i wiązkę odbitą. Kątem padania wiązki nazywamy kąt, jaki wiązka tworzy z prostopadłą (normalną) do granicy dwóch ośrodków. Na rysunku poniżej, kąt α. Kątem załamania (kąt β, opisujący kierunek załamała się wiązki) nazywamy kąt liczony również do normalnej. W teorii falowej promieniowania kąt odbicia fali jest równy

kątowi padania. Zależność pomiędzy kątem padania i załamania fali opisuje prawo Snelliusa.

Na rysunku tarcza Hartla

Prawo załamania światła, przedstawia się następująco:

$$\frac{\text{sinα}}{\text{sinβ}} = \frac{n\mathrm{2}\ }{n1}$$

gdzie α jest kątem padania w ośrodku pierwszym (o bezwzględnym współczynniku załamania n1), a β jest kątem załamania w ośrodku drugim o współczynniku n2.

Dla powietrza n₁=1, a zazwyczaj to powietrze jest pierwszym ośrodkiem, więc wzór wygląda następująco:

$$\frac{\text{sinα}}{\text{sinβ}} = n$$

Prawo Snelliusa opisuje zależności geometryczne między kierunkami promieni w sposób kompletny tylko dla ośrodków jednorodnych. W ośrodkach anizotropowych promień świetlny może rozdzielać się na dwa promienie, zjawisko takie nazywane jest dwójłomnością. Wówczas kierunek tylko jednego z promieni (normalnego) daje się opisywać tym prawem, tj. tylko dla tego promienia stosunek sinusa kąta padania do sinusa kąta załamania jest stały. Dla promienia anomalnego zależy on od kąta.

Na rysunku zaznaczono czoło rozchodzących się fal. Czoło fali – miejsce geometryczne punktów drgających w tej samej fazie. Czoło fali jest prostopadłe do kierunku rozchodzenia się fali. Przy przejściu do drugiego ośrodka nie zmienia się częstotliwość drgania, więc ponieważ związek długości fali, częstotliwości oraz prędkości rozchodzenia się fali jest następujący:

$$V = \frac{\lambda}{T} = \lambda v$$

gdzie v -częstotliwość światła, zmienia się długość fali.

Na rysunku 2 po wprowadzeniu odpowiednio kątów α i β do trójkątów prostokątnych, jeśli zauważymy, ze drogi przebyte przez falę w tym samym czasie się różnią, ze względu na różnicę prędkości otrzymamy związek zawierający iloraz prędkości.

$$\frac{\text{sinα}}{\text{sinβ}} = \frac{n\mathrm{2}\ }{n1} = \frac{v1}{v2}$$

Ilustracja rozchodzenia się fali na płaskiej granicy dwóch ośrodków. Prędkości rozchodzenia się fal w dwóch ośrodkach są różnie oznaczone. W opisie przyjęto oznaczenia v1 i v2.

Sformułowane w ten sposób prawa odbicia i załamania określają jedynie kierunki rozchodzenia się fali odbitej i załamanej w stosunku do kierunku rozchodzenia się fali padającej i płaszczyzny rozgraniczającej ośrodki. Nie określają one jaka część natężenia światła padającego ulega odbiciu, a jaka część przechodzi do drugiego ośrodka. Występujące we wzorach:

$$\frac{\text{sinα}}{\text{sinβ}} = \frac{n\mathrm{2}\ }{n1} = \frac{v1}{v2}$$

$$\frac{\text{sinα}}{\text{sinβ}} = \frac{n\mathrm{2}\ }{n1}$$

Współczynniki załamania są to tzw. bezwzględne współczynniki załamania liczone przy założeniu, że ośrodkiem nr 1 jest próżnia, w której światło się rozchodzi z prędkością c.

Pamiętajmy, że bezwzględne współczynniki załamania są zawsze (poza próżnią) większe od jedności! Definiujemy również względne współczynniki załamania pomiędzy ośrodkami.

$$n = \frac{c}{v}\ ;n = \frac{\lambda_{0}}{\lambda};\ n_{1} = \frac{c}{v_{1}};\ n_{2} = \frac{c}{v_{2}};\ n_{21} = \frac{n_{2}}{n_{1}} = \frac{v_{1}}{v_{2}};\ n_{12} = \frac{n_{1}}{n_{2}} = \frac{v_{2}}{v_{1}};$$

gdzie λ₀ - długość fali światła w próżni.

Każda teoria opisująca światło ma swoje wyprowadzenie zależności załamania się światła. Istnieje więc wiele sposobów wyprowadzania praw optyki geometrycznej.

współczynniku załamania. Granicznym kątem padania jest kąt, dla którego fala załamana porusza się wzdłuż granicy rozdzielającej oba ośrodki, tzn. α =90O, co po wstawieniu do wzoru Snelliusa prowadzi do wyniku:

$$sin\beta = \frac{n_{1}}{n_{2}}$$

Przyjęto oznaczenie, że nadal kąt w ośrodku o współczynniku n2 oznaczamy β Jeżeli założymy, ze współczynnik załamania powietrza niewiele się różni od tego dla próżni n możemy to zapisać

$sin\beta GR = \frac{1}{n}$ albo po przekształceniu: $n = \ \frac{1}{\text{sinβGR}}$

1. Opis ćwiczenia

Do wykonania ćwiczenia potrzebny jest goniometr – urządzenie umożliwiające pomiar kąta, pod którym wychodzi wiązka światła. Może tę rolę spełniać spektrometr (przeznaczony do bardziej złożonych pomiarów). Szkło, dla którego wyznaczamy współczynnik załamania powinno być w kształcie „półkrążka”. W zależności od kierunku przejścia światła pomiędzy szkłem a powietrzem możemy obserwować załamanie się, lub całkowite wewnętrzne odbicie światła. Gdy światło pada na nasz „półkrążek” od strony ośrodka o większym współczynniku załamania np. dla padania od strony szkła o współczynniku załamania n2 na granicę z powietrzem, którego współczynnik załamania n1=1 współczynnik odbicia światła osiąga wartość maksymalną R=1 dla kąta padania GR (rys.5). Dla kątów większych od GR światło ulega całkowitemu odbiciu. Granicznym kątem padania jest kąt, dla którego fala załamana porusza się wzdłuż granicy rozdzielającej oba ośrodki, tzn. =90O, co po wstawieniu do wzoru (5) umożliwia wyznaczenie współczynnika załamania szkła. W ćwiczeniu dysponujemy źródłem światła monochromatycznego – laserem półprzewodnikowym. Równoległa wiązka światła z lasera pada na płaską powierzchnię rozdzielającą szkło i powietrze i załamuje się lub odbija, w zależności od kierunku wiązki i kąta padania.

Rysunki poniżej przedstawiają stolik goniometru przypadku przedstawionym na rysunkach kąt padania i kąta odbicia:

Wiązka światła powinna padać na płytkę w punkcie O (wprowadzonym w podpisie pod Rys. 1), który zarazem jest pionową osią symetrii płytki, jak i osią obrotu stolika. Światło lasera pada na płaską powierzchnię półkrążka, a następnie się w nim załamuje. Należy się upewnić, że wiązka światła pada na płytkę nadbiegając z powietrza wzdłuż normalnej do powierzchni rozdzielającej powietrze i szkło, a po przejściu przez szkło wychodzi z badanego półkrążka pod kątem zero do normalnej.

1. Wykonać pomiary załamania światła w szkle. Kąt padania światła zmieniać od 0˚ do 80˚. Wyniki zapisać w tabelce protokołu. Wykonać dwie serie pomiarowe. Wyniki na kąt załamania β uśrednić.

2. Wyznaczanie kąta granicznego. W tym celu należy odwrócić bieg promienia wiązki światła w płytce, tak by wiązka światła padała na „środek” półkrążka (punkt O).

3. Tym razem światło przechodzi ze szkła do powietrza. Kąt graniczny odpowiada sytuacji, gdy promień nie wychodzi ze szkła. Ocenić dokładność wyznaczenia kąta granicznego, zanotować w tabelce.

Trzeba też wziąć pod uwagę to, że badanie zaczynamy od wycelowania promienia lasera w kąt 90˚ na podziałce goniometru, a nie od 0. Potem przesuwamy o wskazaną odległość w naszym przypadku o 5-10˚.

1. Opis wyników

W naszym przypadku badaniu podlegała półkolisty element wykonany z pleksiglasu oraz woda.

Materiał: pleksiglas		Materiał: woda
lp	alfa α [stopnie]	alfa β [stopnie]
1	0	0
2	10	7
3	15	10
4	25	16
5	30	19
6	45	28
7	50	31
8	60	36
9	75	41
10	80	44

Kąt graniczny dla wody = 49˚

Kąt graniczny dla pleksiglasu = 43˚

Przy pomocy oprogramowania komputera stwierdzono, że współczynniki załamania dla:

Wody = 1,3344 ± 0,012

Pleksiglasu = 1,453 ± 0,007

Obliczanie błędu kąta w radianach

β = 2 - dla wody β = 3 - dla pleksiglasu	$$\frac{2*\pi}{180} = 0,03\ rad$$ $$\frac{3*\pi}{180} = 0,05\ rad$$

Z kąta granicznego obliczamy współczynnik załamania

$\text{sinβ}_{\text{GR}} = \frac{1}{n}$

sinβ_GR = 43 = 0, 75 rad 

sinβ_GR = 49 = 0, 85 rad

co nam daje po przekształceniu

$n = \frac{1}{\text{sinβ}_{\text{GR}}}$ = 1,3250 – dla wody

$n = \frac{1}{\text{sinβ}_{\text{GR}}}$ = 1,4662 – dla pleksiglasu

1. - Przyjęto ze względu na to, że czynnikiem przez który przechodzi wiązka to powietrze.

Błąd pomiaru współczynnika obliczamy z:

$$\Delta n = \left| \frac{- cos\beta_{\text{GR}}}{{(sin)}^{2}} \right|\Delta\beta_{\text{GR}} = \left| \frac{- cos49}{({sin49)}^{2}} \right|*0,03 = 0,0345$$

$$\Delta n = \left| \frac{- cos\beta_{\text{GR}}}{{(sin)}^{2}} \right|\Delta\beta_{\text{GR}} = \left| \frac{- cos43}{({sin43)}^{2}} \right|*0,05 = 0,0786$$

Co nam daje:

Współczynnik załamania światła wraz z błędem pomiaru

Wody = 1,325 ± 0,0345

Pleksiglasu = 1,466 ± 0,0786

1. Wnioski

Nie od dziś wiadomo, że komputery są na tyle mądre na ile mądra jest osoba która je obsługuję. Mimo wszystko wprowadzając do pamięci komputera odpowiednie algorytmy i zależności na zasadach ogólnych typu „a*a=a²” nie ma możliwości by komputer wstawił nam dwie różne liczby. Opierając się o wprowadzone dane postępuje ściśle po algorytmie mu zadanym. Dlatego dając oprogramowaniu duży arkusz danych możemy być pewnie, że komputer policzy to z bardzo dużą dokładnością i jego wynik będzie nieomylny pod warunkiem, że osoba która, te wyniki wprowadzała nie zrobiła błędu.

W przypadku liczenia współczynnika załamania światła mamy wiele zmiennych, które trzeba dobrze zinterpretować, a o których błąd bardzo łatwo. Samo ustawianie półwalca w odpowiedniej pozycji na samym centralnym punkcie tarczy jest ciężkie. Odczyt wskazania lasera na tarczy też nie jest na tyle dokładny by dać odpowiedni wynik. Wszystko jest szacunkowe i ustalone. Zabrudzenia w wodzie jak i chropowatość tworzywa ma wpływ na odczyt. Obliczając dane „na piechotę” nie bierzemy pod uwagę kilkunastu miejsc po przecinku tylko po prostu zaokrąglamy wyniki do kilku miejsc. Tu od razu pojawia się błąd wyniku. Jest on nieznaczny ale w dalszym postępowaniu wpływa na obliczenia, które wymagają właśnie staranności i skrupulatności.

Dlatego podczas pod czas obliczania kata załamania światła dla wody czy też pleksiglasu bardzo dobrym wyjściem jest korzystanie z oprogramowania komputera. Który uściśli nam wyniki w bardzo małym marginesie błędu. Przedstawione i obliczone przez nas wyniki to:

Wody = 1,325 ± 0,0345

Pleksiglasu = 1,466 ± 0,0786

Zaś wynik obliczony przez oprogramowanie komputera:

Wody = 1,3344 ± 0,012

Pleksiglasu = 1,453 ± 0,007

Same wartości załamania wyszły podobne, jednak na pierwszy rzut oka widzimy różnice w marginesie błędu. Ten odsetek błędu obliczony przez nas jest bardzo dużym błędem pomiarowym i obliczeniowym.