Pozycja 2. Żebro

Schemat statyczny.

Żebro jest belką dwuprzęsłową o przekroju teowym, równomiernie obciążoną ciężarem własnym i obciążeniem użytkowym

Rozpiętość efektywna.

- szerokość podpory skrajnej na murze t=0,25m

- szerokość oparcia na podciągu t= 0,35m

l_eff = ln+ a_n1+a_n2

a_n1=0,125 m, a_n2 = 0, 175m

l_eff = 5, 725 + 0, 125 + 0, 175 = 6, 025m

Grubość otulenia prętów zbrojenia.

Przyjeto ją jak w przypadku płyty: c_nom=30mm.

Trzeba jednak zaznaczyć , że w belce jest to grubość otuliny do spodu strzemion. Przy założeniu średnicy strzemion φ = 6mm grubość otulenia zbrojenia głównego żebra c=30+6=36mm

Przyjęto otulenie zbrojenia 35mm

Zestawienie obciążeń przypadających na żebro

Obciążenia stałe:

- oddziaływanie z poz.1

3,6*2,5=9 kN/m

4,86*2,5=12,15 kN/m

-ciężar własny żebra

25*0,20(0,45-0,10)=1,75 kNm

1,75*1,35=2,3625 kN/m

-razem

g _k= 9,0+ 1,75=10,75 kN/m

g= 12,15+2,3625=14,5125kN/m

Obciążenie użytkowe

q_k=6,5*2,5=16,25 kN/m

q=16,25*1,5=24,375 kN/m

Obciążenie całkowite

g_k + q_k=10,75+16,25=27 kN/m

g+q= 14,5125+24,375=38,8875 kN/m

Wstępne przyjęcie wymiarów przekroju Wymiary przekroju poprzecznego belki zależą przede wszystkim od działających obciążeń i rozpiętości elementu. W zestawieniu obciążeń przyjęto szacunkowo wymiary żebra, które po zakończeniu wstepnej analizy mogą być skorygowane . Wymiary belki dobieramy tak, aby spełnić wymagania stanów granicznych nośności oraz ugięć.

Obliczenia wymiarów przekroju poprzecznego belki ze względu na stan graniczny nośności . Dane: - obciążenie obliczeniowe g+q=38,8875kN/m

- rozpiętość efektywna przęsła zebra l_eff = 6, 025m

- moment przęsłowy obliczony szacunkowo jak dla belki swobodnie podpartej

$$M_{0} = \frac{\left( g + q \right)l_{\text{eff}}^{2}}{8} = \frac{38,88*{6,025}^{2}}{8} = 176,421\ kNm$$

W przypadku schematu belki ciągłej zmniejszono moment przęsłowy, przyjmując

M= 0,7M₀=123,497kNm

Do obliczeń przyjeto :

- beton klasy B25, f_cd=13,3 MPa,

-stal klasy A-III, f_yd=350 MPa,

-stopień zbrojenia ρ=1%,

-szerokość żebra b= 0,25 m

Obliczenie wysokości żebra:

$\xi_{\text{eff}} = \rho\frac{f_{\text{yd}}}{f_{\text{cd}}}$=0,01$\frac{350}{13,3} = 0,263$ μ_eff = ξ_eff(1−0,5ξ_eff) = 0, 263(1−0,5*0,263) = 0, 228 

d = $\frac{1}{\sqrt{\mu_{\text{eff}}}}\sqrt{\frac{M}{f_{\text{cd}}b}} = \frac{1}{\sqrt{0,228}}\sqrt{\frac{0,123494}{13,3*0,25} =}$ 0,403m

Wstępnie oszacowaną wysokość użyteczną d należy powiększyć o grubość otuliny c=36mm i połowę średnicy zbrojenia głównego. Założono zastosowanie pretów o średnicy 16mm. W przypadku ułożenia zbrojenia w jednym rzędzie:

a ₁₌ 36+0,5 *16 =44mm ,

przyjęto a₁=45mm

Ponieważ wysokość belki ustala się , stopniując wymiary co 5cm,

przyjęto:h = 0,45m , b=0,25m

Obliczenia wymiarów przekroju poprzecznego belki ze względu na stan graniczny ugięć.

Korzystamy z tablicy 14.2 w której podano maksymalną wartość stosunku rozpiętości l_eff do wysokości użytecznej d,przy której nie będzie przekroczone dopuszczalne ugięcie sprawdzanego elementu konstrukcji.W przypadku skrajnego przęsła belki ciągłej dla stopnia zbrojenia As/(bd)= 1% oraz betonu klasy B25 maksymalna wartośc odczytana z tablicy 14.2

($\frac{l_{\text{eff}}}{d})$_lim

Minimalna wartość użyteczna żebra

d=$\frac{l_{\text{eff}}}{22} = \frac{602,5}{22} = 27,38cm$

Ze względu na stan graniczny ugięć otrzymano mniejsza wysokośc belki niż z wyliczeń stanu granicznego nośności na zginanie . Przyjęto więc uprzednio ustalone wymiary żebra.

Uwaga! O przyjęciu wymiarów przekroju belek o większych rozpiętościach decyduje zazwyczaj stan graniczny ugięć

Obliczenie momentów zginających i sił poprzecznych. Momenty ekstremalne i siły poprzeczne obliczono, korzystając z tablic Winklera:

M₁=(0,070*14,51+0,096*24,375)*6,025²=121,814 kNm

M_B=-0,125(14,51+24,375)*6,025²=-176,44kNm

V_A=(0,375*14,51+0,437*24,375)*6,025=96,95kN

V_BL=V_BP=0,625(14,51+24,375)*6,025=±146, 426kN

Geometria przekroju poprzecznego żebra

Przęsło skrajne l_o=0,85l_eff

b _eff=0,25+0,20*0,85*6,025²=1,274m

1,274<0,25+1,05+1,05=2,35m

W Stanie granicznym nośności

b _eff=b_w+b_eff1+b_eff2

b_eff=b_eff2=6h_f

b_eff=0,25+2*6*0,1=1,45m

Do obliczeń stanu granicznego nośności przyjęto mniejszą wartość szerokości płyty współpracującej z belką b_eff=1,25m

Wymiarowanie żebra

I stan graniczny nośności

1.Obliczenie pola przekroju zbrojenia podłużnego z uwagi na zginanie

A-zbrojenie w przęśle

M₁=121,814kNm

h=0,45m d=0,41m , a₁=25+6+0,5*16=39mm, przyjęto a₁=40mm

b=0,25m , b_eff=1,27m

Sprawdzamy położenie osi obojętnej w celu ustalenia, czy przekrój jest pozornie czy rzeczywiście teowy. Zakładamy, że x_eff=h_f, i obliczamy nośność przekroju przy tym założeniu:

M_Rd=f_cd b_eff h_f (d-0,5h_f)=13300*1,27*0,1(0,45-0,5*0,1)=608,07kNm

M_Rd=608,07kNm>M_Ed=M₁=121,814kNm

Przekrój jest pozornie teowy.

μ _eff=$\frac{M_{\text{Ed}}}{f_{\text{cd}\text{\ \ }}b_{\text{eff}\ d^{2}}} = \frac{0,121814}{13,3*1,27*{0,41}^{2}} = 0,0429$

ξ _eff =1-$\sqrt{1 - 2*0,0429}$=0,0438=ξ _eff,lim=0,53

Przekrój może być pojedynczo zbrojony

ζ _eff=1-0,5 ξ _eff=1-0,5*0,0438=0,978

A_s1=$\frac{\ M_{\text{Ed}}}{0,978*350*0,41}$=$\frac{0,1218}{140,342}$=0,000867m²=8,67cm²

Przyjęto 5φ 16 A_s1=10,05cm²

Sprawdzenie warunku minimalnego pola przekroju zbrojenia podłużnego z warunków (5.2) i (5.3):

A_s1,min=0,26$\frac{f_{\text{ctm}}}{f_{\text{yk}}}$b_d=0,26$\frac{2,2}{410}$0,25*041=0,000114m²=1,14cm²

Oraz z warunku (13,14) wymaganego z uwagi na ograniczenie szerokości rys spowodowanych skurczem, osiadaniem podpór itp.:

A_s,min=k_ck_fct,_eff$\frac{A_{\text{ct}}}{\text{δs}}$ =0,4*0,71*2,2$\frac{0,5*0,45*0,25}{240}$=0,000146m²=1,46cm²

Przyjęty przekrój zbrojenia A_s1=10,05cm² jest większy od minimalnego wyznaczonego z powyższych warunków.

Stopień zbrojenia w przęśle

ρ=$\frac{A_{s1}}{b*d}$=$\frac{0,001005}{0,25*0,41}$=0,0098=0,98%≈1%

B.Zbrojenie na podporze B

Obliczamy je w osi i na krawędzi. Zbrojenie w osi podpory:

M_B=-176,44kNm

hp=h+$\frac{0,56}{3}$=0,51m

dp=hp-a₁=0,51-0,066=0,444m, przyjęto dp=0,44m

a₁=25+8+6+16+0,5*21=65,5mm, przyjęto a₁=66mm

Wartość a₁ na podporze obliczono, uwzględniając: otulinę 25mm, pręty zbrojenia płyty φ=16mm oraz połowę odległości między dwoma rzędami zbrojenia

μ _eff=$\frac{M_{\text{Ed}}}{f_{\text{cd}\text{\ \ }}b_{\ d^{}}\ p^{2}}$=$\frac{0,176}{13,3*0,25*{0,44}^{2}}$=0,274

ξ _eff =1-$\sqrt{1 - 2*\mu\ \text{ef}f}$=1$- \sqrt{1 - 2*0,308}$=0,381< ξ _eff,lim=0,53

ζ _eff=1-0,5 ξ _eff=1-0,5*0,381=0,809

A_s1=$\frac{\ M_{\text{Ed}}}{\text{ζ\ }\text{eff}*\text{fyd}*d}$=$\frac{0,1514}{0,809*350*0,384}$=0,0013925m²=13,925cm²

Przyjęto 7φ16 A_s1=14,07cm²

Stopień zbrojenia na podporze

$\rho = \frac{A_{s1}}{\text{bd}}$=$\frac{0,001407}{0,25*0,384}$=0,0146=1,46%

2. Obliczenie pola przekroju zbrojenia z uwagi na ścinanie

A. Podpora skrajna

V_Rd=V_A=96,95 kN

V_Rd,S=V_A-(g+q)0,5t=96,95-(14,5125+24,375)*0,5*0,25=92,0809kN

Należy sprawdzić czy obliczenie nośności na ścinanie jest konieczne. W tym celu określamy obliczeniową nośność na ścinanie V_Rd1 w elemencie bez zbrojenia poprzecznego ze wzoru (9.11)

V_Rd,c=[0,35kf_ctd(1,2+40 ptw)+0,15 δcp] b_wd

k=1,6-0,41=1,19 ( do podpory doprowadzono 5φ16, A_sl=10,05 cm⁴

pl=$\frac{\text{Asl}}{\text{bwd}}$=$\frac{10,05}{25*41} = 0,0098 = 0,01$

f_ctd=1,0 MPa

δ_zp=0 , ponieważ belka nie jest obciążona podłuż na siłą ściskającą

V_Rd,c=[0,35*1,19*1,0(1,2+40*0,01)]*0,25*0,41=0,0683 MN

V_sd,kr=92,0809kN>68,3kN

Konieczne jest obciążenie dodatkowego zbrojenia poprzecznego na odcinku drugiego rodzaju. Nośność ściskanych krzyżulców betonowych obliczamy ze wzoru (9.15)

V_Rd2=Vf_cdb_wz*$\frac{\text{cotθ}}{1 + \cot^{2\ \ \ \ \ }\theta} = 0,552*13,3*0,25*0,9*0,41\frac{2}{1 + 2^{2}} = 0,2709\ MN$

V=0,6(1-$\frac{\text{fck}}{250}) = 0,6\left( 1 - \frac{20}{250} \right) = 0,552$

z=0,9*d= 0,9*0,41=0,37m

Vsd,kr=92,0809kN<V_Rd2=270,9kN

Nośność ściskanych krzyżulców betonowych jest wystarczająca

Długość odcinku drugiego rodzaju

lt=$\frac{92,0809 - 68,3}{38,8875} = 0,61m$

Roztaw strzemion obliczono przyjmując że :

- zbrojenie na ścinanie sklada się wyłącznie ze strzemion pionowych

- strzemiona są dwuramienne φ6 ze stali A-III

- strzemiona przeniosą cała siłę poprzeczną Vsd,kr=V_Rd3

- cot=2,0

s₁=$\frac{2*0,000050*210*0,37*2,0}{0,09208} = \frac{0,01554}{0,09208}0,1627m$

Przyjęto l_t=0,65m i rozmieszczono strzemiona dwuramienne w rozstawie co 15cm

Minimalny stopień zbrojenia strzemionami (wzór 9,34)

ρ_w1,min=$\frac{0,08\sqrt{\text{fck}}}{\text{fyk}} = \frac{0,08\sqrt{20}}{240} = 0,0015$

Stopień zbrojenia strzemionami

ρ_w1=$\frac{A_{sw1}}{s1bw}$=$\frac{2*0,000050}{0,10*0,25} = 0,004 > pw,min = 0,0015$

Zaprojektowane zbrojenie strzemionami prostopadłymi do osi belki zapewnia nośność na ścinanie na odcinku drugiego rodzaju . Sprawdzenie czy zbrojenie podłużne doprowadzone do skrajnej podpory przeniesie siłę rozciągająca Ftd obliczoną z uwzględnieniem siły poprzecznej (wzór 9.24)

∆Ftd= 0,5*96,98*2=96,98 kN

Do przemieszcznia ∆Ftd wystarczy zbrojenie podłużne o przekroju ∆A_s1

∆A_s1=$\frac{Ftd}{\text{fyd}}$= $\frac{0,09698}{350} = 0,000277m^{2} = 2,774m^{2}$

W przypadku podpory skrajnej (gdy Msd=0) jest to minimalny przekruj zbrojenia które należy doprowadzić do podpory i odpowiednio zakotwić. Do skrajnej podpory doprowadzono 4 prety φ 16 , których pole przekroju zapewnia przemieszczenie siły rozciągającej ∆Ftd, ponieważ A_s1=8,04cm²>2,77cm²

Obliczenie długości zakotwienia prętów podłużnych (wzór 5,9) 4φ16cm doprowadzonych do skrajnej podpory.

lbd=α1α2α3α4α5 lb,rqd

obliczenie długości zakotwienia dla danych

beton klasy C20/25 fcd=20/1,4=14,2857MPa

stal zbrojenia klasy A-III gatunek 34GS fyd=350 MPa

średnica pręta 16φ

f_td=2,25η1η2f_ctd

f_td=2,25*1*1*1,43=3,22 MPa

δ_sd=f_yd=350MPa

lb,rqd= $\frac{\text{ϕδsd}}{4fbd}$ =$\frac{\phi 350}{4*3,22}$ = 27,1739ϕ = 435, 78 = 435mm

lbd=0,7*27φ=18,9φ=19φ=304>200mm