STATYSTYKA MATEMATYCZNA
ROZKŁAD BERNOULLI'EGO
Rozkład dwumianowy, dotyczący zmiennej losowej dyskretnej, jest oparty na doświadczeniach typu Bernoulli'ego, których schemat jest następujący:
wykonuje się serię n niezależnych doświadczeń w takich samych warunkach; w wyniku pojedynczego doświadczenia może zrealizować się pewne zdarzenie A z prawdopodobieństwem P( A ) = p lub zdarzenie przeciwne z prawdopodobieństwem P() = 1 - p = q .
Prawdopodobieństwo, że wśród przeprowadzonych n doświadczeń zrealizuje się k razy zdarzenie A jest określone wzorem:
.
Dystrybuanta rozkładu dwumianowego przyjmuje postać:
.
Podstawowe parametry rozkładu:
Wartość oczekiwana E(X) = np ;
Wariancja D2(X) = np(1-p) ;
Współczynnik asymetrii ;
Współczynnik spłaszczenia .
Kończąc charakterystykę rozkładu dwumianowego podkreślmy, że jego zastosowania praktyczne odnoszą się do obserwacji statystycznych prowadzonych na zmiennych dyskretnych dla małych liczebnie prób losowych (zwłaszcza w tzw. statystycznej kontroli jakości produkcji).
ZADANIE 1
Wiadomo, że 1% skrzynek winogron psuje się w czasie transportu. Z transportu w sposób losowy wybrano 3 skrzynki. Niech X oznacza liczbę skrzynek z zepsutymi winogronami spośród trzech wybranych. Znaleźć rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X. Podać wartości prawdopodobieństw dla X=0, 1, 2 i 3. Obliczyć podstawowe parametry statystyczne tego rozkładu.
ZADANIE 2
Wytwórnię wyposażono w 20 identycznych maszyn. Na podstawie doświadczeń stwierdzono, że prawdopodobieństwo wystąpienia awarii maszyny tego typu w ciągu jednego dnia wynosi około p = 0.05. Należy obliczyć, jakie jest prawdopodobieństwo, że
1. Cztery maszyny ulegną awarii w ciągu jednego dnia;
2. Przynajmniej cztery maszyny ulegną awarii.
Obliczyć podstawowe parametry statystyczne tego rozkładu.
ZADANIE 3
Urządzenie składa się z pięciu niezależnie pracujących elementów. Prawdopodobieństwo awarii dla każdego elementu jest równe 0.1. Wyznaczyć rozkład prawdopodobieństw liczby nie działających elementów.
ZADANIE 4
W rodzinie jest troje dzieci. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że:
1. W rodzinie jest nie mniej niż jeden chłopiec;
2. W rodzinie jest nie więcej niż dwóch chłopców;
3. W rodzinie są dwie dziewczynki.
Prawdopodobieństwo urodzenia dziewczynki jest równe prawdopodobieństwu urodzenia chłopca i wynosi : p = q = 0.5.
ROZKŁAD POISSON'A
Drugim ważnym rozkładem teoretycznym zmiennych losowych dyskretnych jest rozkład Poisson'a, zwany też rozkładem zdarzeń rzadkich bądź prawem małych liczb. Znajduje zastosowanie wszędzie tam, gdzie obserwuje się dużą liczbę zdarzeń, a prawdopodobieństwo sukcesu jest małe. Występuje on jako przybliżenie rozkładu dwumianowego przy spełnieniu dwóch warunków: a) liczba doświadczeń powinna być wystarczająco duża (praktycznie n > 100);
b) stałe prawdopodobieństwo powinno być bliskie zeru (praktycznie p < 0.1).
Zastosowania praktyczne rozkładu Poisson'a są rozliczne i np. rozkład ten może być użyty by charakteryzować takie zjawiska, jak liczbę braków w produkowanych urządzeniach, liczbę awarii, liczbę nieszczęśliwych wypadków w pewnym przedziale czasowym itp.
Rozkład Poisson'a jest określony wzorem:
.
Podstawowe parametry rozkładu:
Wartość oczekiwana E(X) = λ ;
Wariancja D2(X) =λ;
Współczynnik asymetrii ;
Współczynnik spłaszczenia .
ZADANIE 5
Fabryka produkuje żarówki. Prawdopodobieństwo wyprodukowania żarówki wadliwej wynosi 0.002. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w wyprodukowanej partii 1000 żarówek znajdzie się:
1) nie więcej niż 5 żarówek wadliwych;
2) 5 żarówek wadliwych.
Oblicz podstawowe parametry statystyczne rozkładu.
ZADANIE 6
Podręcznik wydano w nakładzie 100000 egzemplarzy. Prawdopodobieństwo tego, że podręcznik zostanie źle oprawiony, jest równe p = 0.0001.
Znaleźć prawdopodobieństwo tego, że w nakładzie pojawi się 5 źle oprawionych książek.
ZADANIE 7
Centrala telefoniczna zakładu obsługuje 100 abonentów. Prawdopodobieństwo tego, że w ciągu jednej minuty abonent zadzwoni do centrali, jest p = 0.01. Znaleźć prawdopodobieństwo tego, że w ciągu jednej minuty zadzwoni:
a) dokładnie trzech abonentów;
b) mniej niż trzech abonentów;
c) więcej niż trzech abonentów;
d) co najmniej jeden abonent.
ZADANIE 8
Tkaczka obsługuje 1000 wrzecion. Prawdopodobieństwo zerwania się nici na jednym wrzecionie w czasie jednej minuty, jest równe 0.003.
Znaleźć prawdopodobieństwo tego, że w czasie jednej minuty zerwą się:
a) dwie nici;
b) mniej niż dwie nici;
c) więcej niż dwie nici;
d) co najmniej jedna nić.