CALKOWITE Typowym zastosowaniem jest sytuacja w której dane zdarzenie może zajść na kilka sposobów, przy czym każdy sposób realizuje się z określonym prawdopodobieństwem. Twierdzenie - zgodnie ze swą nazwą - pozwala obliczyć całkowite prawdopodobieństwo zajścia danego zdarzenia.

Przykład

Żarówki pewnej marki są produkowane w dwóch fabrykach X i Y. Żarówki z fabryki X działają dłużej niż 5000 godzin w 99% procentach przypadków, żarówki z fabryki Y tylko w 95% przypadków. Fabryka X dostarcza na rynek 60% żarówek tej marki. Jakie jest prawdopodobieństwo, że zakupiona losowo żarówka będzie sprawna dłużej niż 5000 godzin?

Twierdzenie podaje odpowiedź:

P(B1)=6/10 to prawdopodobieństwo zdarzenia, że kupiona żarówka została wyprodukowana w zakładzie X;

P(B2)=4/10 to prawdopodobieństwo zdarzenia , że kupiona żarówka została wyprodukowana w zakładzie Y;

P(A|B1)=99/100 to prawdopodobieństwo zdarzenia, że żarówka będzie sprawna dłużej niż 5000 godzin pod warunkiem, że pochodzi z zakładu X;

P(A|B2)=95/100 to prawdopodobieństwo zdarzenia, że żarówka będzie sprawna dłużej niż 5000 godzin pod warunkiem, że pochodzi z zakładu Y.

Losowo zakupiona żarówka będzie działać dłużej niż 5000 godzin w 97,4% przypadków.

Generator liczb pseudolosowych NORMALNY to program lub podprogram, który na podstawie niewielkiej ilości informacji (ziarno, zarodek, ang. seed) generuje deterministycznie ciąg bitów, który pod pewnymi względami jest nieodróżnialny od ciągu uzyskanego z prawdziwie losowego źródła.

Generatory liczb pseudolosowych nie generują ciągów prawdziwie losowych – generator inicjowany ziarnem, które może przyjąć K różnych wartości, jest w stanie wyprodukować co najwyżej K różnych ciągów liczb. Co więcej, ponieważ rozmiar zmiennych reprezentujących wewnętrzny stan generatora jest ograniczony (zwykle decyzją programisty, do kilkudziesięciu lub kilkuset bitów; a rzadziej, po prostu rozmiarem pamięci komputera), i ponieważ w związku z tym może on znajdować się tylko w ograniczonej liczbie stanów, bez dostarczania nowych danych z zewnątrz musi po jakimś czasie dokonać pełnego cyklu i zacząć generować te same wartości. Teoretyczny limit długości cyklu wyrażony jest przez 2 do n , gdzie to liczba bitów przeznaczonych na przechowywanie stanu wewnętrznego. W praktyce, większość generatorów ma znacznie krótsze okresy. ZAST. W grach komputerowych czy algorytmach probabilistycznych (takich jak np. całkowanie Monte Carlo)

1. Metoda Bernoulliego P_n(m)= C_n^m * p^m * q^n-m , m= 0,1,…,n

Własności:$\sum_{m = 0}^{n}{Pn(m)} = {(p + q)}^{n} = \ 1^{n} = 1\ \ \ \ $

R_n(1) = 1 – qⁿ ( prawdopodobieństwo wystąpienia co najmniej jednego sukcesu) P_n(0)= qⁿ

R_n(k) = 1 – $\sum_{k = 0}^{k - 1}{Pn(i)}$ (prawdopodobieństwo wystąpienia co najmniej k sukcesów)

m* jest najbardziej prawdopodobną liczbą sukcesów („1”) w „n” eksperymentach, którą określamy nierównościami: np − q  ≤ m *   ≤ np + p

Przykład: Na wydziale jest 730 studentów.

Wyznaczyć: 1)najbardziej prawdopodobną liczbę m* studentów urodzonych tego samego dnia w danym roku 2)prawdopodobieństwo tego, że trzech studentów ma urodziny tego samego dnia w danym roku

2. Metoda Bayesa $P\left( H_{i} \right|A) = \ \frac{P\left( H_{i} \right)*P\left( \text{A\ } \right|H_{i})}{P(A)} = \frac{P\left( H_{i} \right)*P\left( \text{A\ } \right|H_{i})}{\sum_{i = 1}^{n}{P\left( H_{i} \right)*P\left( \text{A\ } \right|H_{i})}}$

(i = 1, 2, …, n)

Warunki:

-H₁ u H₂ u … u H_n = Ω

-H₁ A H₂ A … A H_n = Ǿ

-P(H₁)>0, (i=1,2,…,n)

-$\sum_{i = 1}^{n}{{P(H}_{1}) = 1}$

Przykład:

W szpitalu 50% na chorobę H1, 30% na H2 oraz 20% na H3. Praw. wyleczenia z chorób H1, H2, H3 wynosi odpowiednio 0.6, 0.7, 0.8. Losowy pacjent został wyleczony. Jakie jest prawdopodobieństwo, że chorował na H1?

H1 –chory na H1, H2 na H2, H3 na H3

A – wyleczenie z choroby

P(H1)=5/10 P(H2)=3/10 P(H3)=2/10

P(A|H1)=6/10 P(A|H2)=7/10 P(A|H3)=8/10

P(A)=5/10*6/10 + 3/10*7/10 + 2/10*8/10=67/100

P(H1|A)=P(A|H1)*P(H1) / P(A) = 30/67

3. Generatory