Fizyka - Zagadnienia egzaminacyjne,

1. Układ jednostek SI.

Jednostki podstawowe:

metr m długość

kilogram kg masa

sekunda s czas

amper A natężenie prądu elektrycznego

kelwin K temperatura

kandela cd światłość

mol mol liczność materii

Jednostki uzupełniające:

radian rad miara kąta płaskiego

steradian sr miara kąta bryłowego

2. Podstawowe oddziaływania w przyrodzie.

Oddziaływania podstawowe (fundamentalne)- oddziaływania fizyczne obserwowane w przyrodzie, nie dające się sprowadzić do inny oddziaływań. Obecnie znamy następujące rodzaje oddziaływań podstawowych:

-oddziaływanie grawitacyjne- zjawisko naturalne polegające na tym, że wszystkie obiekty posiadające masę oddziaływają na siebie wzajemnie się przyciągając. We współczesnej fizyce grawitację opisuje ogólna teoria względności. Oddziaływanie grawitacyjne jest w niej skutkiem zakrzywienia czasoprzestrzeni przez różne formy materii (obiekty fizyczne).

-oddziaływania słabe

-oddziaływanie elektromagnetyczne

-oddziaływanie silne

3. Mnożenie wektorów.

Iloczyn skalarny (inaczej iloczyn wewnętrzny). Wynikiem takiego iloczynu jest skalar – wielkość niewektorowa, czyli po prostu wartość. Geometrycznie iloczyn skalarny $\overrightarrow{\mathbf{a}}\mathbf{\circ}\overrightarrow{\mathbf{b}}$ wyraża się jako długość rzutu prostokątnego jednego wektora na drugi. Iloczyn skalarny wektorów $\overrightarrow{\mathbf{a}}$ i $\overrightarrow{\mathbf{b}}$ definiuje się jako:

$\overrightarrow{\mathbf{a}}\mathbf{\circ}\overrightarrow{\mathbf{b}}\mathbf{=}\left| \left| \mathbf{a} \right|\left| \mathbf{b} \right| \right|\mathbf{cos(\gamma)}$

*** gdzie γ jest rozwartością kąta między $\overrightarrow{\mathbf{a}}$ oraz $\overrightarrow{\mathbf{b}}$. Iloczyn skalarny można zapisać jako:

$\overrightarrow{\mathbf{a}}\mathbf{\circ}\overrightarrow{\mathbf{b}}\mathbf{=}\mathbf{a}_{\mathbf{1}}\mathbf{b}_{\mathbf{1}}\overrightarrow{\mathbf{i}}\mathbf{+}\mathbf{a}_{\mathbf{2}}\mathbf{b}_{\mathbf{2}}\overrightarrow{\mathbf{j}}\mathbf{+}\mathbf{a}_{\mathbf{3}}\mathbf{b}_{\mathbf{3}}\overrightarrow{\mathbf{k}}$ ogólnie: $\overrightarrow{\mathbf{a}}\mathbf{\circ}\overrightarrow{\mathbf{b}}\mathbf{=}\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{n}}{\mathbf{a}_{\mathbf{i}}\mathbf{b}_{\mathbf{i}}}\overrightarrow{\mathbf{t}_{\mathbf{i}}}$. gdzie $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$,$\ \overrightarrow{t_{i}}$ to wektory jednostkowe wzdłuż osi odpowiednio OX, OY, OZ i i-tej osi układu współrzędnych n-wymiarowych

Iloczyn wektorowy (nazywany również iloczynem zewnętrznym) ma sens jedynie w trzech wymiarach. Różni się on od iloczynu skalarnego głównie tym, że wynikiem iloczynu wektorowego dwóch wektorów jest wektor. Iloczyn wektorowy$\ \overrightarrow{\mathbf{a}} \times \overrightarrow{\mathbf{b}\ }$jest wektorem prostopadłym tak do $\overrightarrow{\mathbf{a}}$ jak i do $\overrightarrow{\mathbf{b}}\ $i jest zdefiniowany jak $\overrightarrow{\mathbf{a}} \times \overrightarrow{\mathbf{b}} = \left| \left| \mathbf{a} \right|\left| \mathbf{b} \right| \right|\sin{\left( \mathbf{\theta} \right)\mathbf{n}}$

***gdzie θ jest rozwartością kąta między $\overrightarrow{\mathbf{a}\ }$oraz $\overrightarrow{\mathbf{b}}$ , a n jest wektorem jednostkowym prostopadłym jednocześnie do$\ \overrightarrow{\mathbf{a}}$ i$\overrightarrow{\mathbf{b}}$, który uzupełnia układ prawoskrętny. Ograniczenie prawoskrętności jest niezbędne, ponieważ istnieją dwa wektory jednostkowe, które są równocześnie prostopadłe do$\ \overrightarrow{\mathbf{a}}$ i $\overrightarrow{\mathbf{b}}$, mianowicie $\overrightarrow{\mathbf{n}\ }$oraz -$\overrightarrow{\mathbf{n}}$.

***Iloczyn wektorowy$\overrightarrow{\mathbf{a}} \times \overrightarrow{\mathbf{b}}$ jest określony tak, by $\overrightarrow{\mathbf{a}}$, $\overrightarrow{\mathbf{b}}$ i $\overrightarrow{\mathbf{a}} \times \overrightarrow{\mathbf{b}}$ również były układem prawoskrętnym (jednakże $\overrightarrow{\mathbf{a}}$oraz $\overrightarrow{\mathbf{b}}$nie muszą być koniecznie ortogonalne). Jest to tzw. reguła prawej dłoni. Długość $\overrightarrow{\mathbf{a}} \times \overrightarrow{\mathbf{b}}$może być interpretowana jako pole równoległoboku o bokach a oraz b. Iloczyn wektorowy może być zapisany jako: $\overrightarrow{\mathbf{a}} \times \overrightarrow{\mathbf{b}} = \left( \mathbf{a}_{\mathbf{2}}\mathbf{b}_{\mathbf{3}} - \mathbf{a}_{\mathbf{3}}\mathbf{b}_{\mathbf{2}} \right)\overrightarrow{i} + \left( \mathbf{a}_{\mathbf{3}}\mathbf{b}_{\mathbf{1}} - \mathbf{a}_{\mathbf{1}}\mathbf{b}_{\mathbf{3}} \right)\overrightarrow{j} + \left( \mathbf{a}_{\mathbf{1}}\mathbf{b}_{\mathbf{1}} - \mathbf{a}_{\mathbf{2}}\mathbf{b}_{\mathbf{2}} \right)\overrightarrow{k} = \begin{bmatrix} a_{1} & b_{1} & \overrightarrow{i} \\ a_{2} & b_{2} & \overrightarrow{j} \\ a_{3} & b_{3} & \overrightarrow{k} \\ \end{bmatrix}$

4. Ruch prostoliniowy jednostajnie przyspieszony – szczególne przypadki.

-Kierunek i zwrot wektora prędkości jest stały. Wartość prędkości rośnie proporcjonalnie do czasu zgodnie z równaniem v₀ + at $\operatorname{tg}\alpha = \frac{v}{t} = a$
-Kierunek, zwrot wektora przyspieszenia i jego wartość są stałe a  =  const. Zwrot wektora przyspieszenia jest zgodny ze zwrotem prędkości. Wykresem a(t) jest linia prosta równoległa do osi czasu.
-Droga w ruchu jednostajnie przyspieszonym jest kwadratową funkcją czasu. Jej wykresem jest część jednej gałęzi paraboli, liczbowo równa polu figury zawartej między wykresem prędkości a osią czasu. $s = s_{0} + v_{0}t + \frac{at^{2}}{2}$

***Szczególne przypadki:

***Rzut poziomy-przy zaniedbywalnych oporach ruchu jest to ruch złożony z ruchu jednostajnego z nadaną prędkością $\overrightarrow{v_{0}}$ w kierunku poziomym i ruchu jednostajnie przyspieszonego w kierunku pionowym z prędkością początkową v_oy = 0.

ad1.Prędkość i przyspieszenie w rzucie poziomym:

Zwrot osi y jest przeciwny do zwrotu przyspieszenia $\overrightarrow{a_{y}} = - \overrightarrow{g}$. Prędkość $\overrightarrow{v}$ w każdej chwili styczna do toru, ma dwie składowe v_o i v_y = gt. Wartość wypadkowej prędkości chwilowej $v = \sqrt{{v_{0}}^{2} + {v_{y}}^{2}},v = \sqrt{{v_{0}}^{2} + g^{2}t^{2}}$. Kierunek prędkości $\overrightarrow{v}$ względem poziomu określa funkcja $\cos{\alpha = \frac{v_{0}}{v}}$.

ad2.Zasięg w rzucie poziomym: z-zasięg z = v0t $$z = v_{0}\sqrt{\frac{2h}{g}}$$ Torem rzutu poziomego jest gałąź paraboli.	ad3.Tor, równanie toru: $$y = - \frac{gt^{2}}{2} + h$$ x = vot $$t = \frac{x}{v_{0}}$$ $$y = - \frac{g}{2v_{0}^{2}}x^{2} + h$$

***Rzut ukośny- przy zaniedbywalnych oporach ruchu jest to ruch złożony z ruchu jednostajnego z prędkością v_0x w kierunku poziomym i ruchu jednostajnie zmiennego w kierunku pionowym, opóźnionego w górę z prędkością początkową v_0y i jednostajnie przyspieszonego w dół z prędkością początkową v_0y = 0.

ad1.Prędkość i przyspieszenie w rzucie ukośnym:

v_0x = v₀cosα,  v_0x = const,  v_0y = v₀sinα. Składowa v_y I wypadkowa v zmienia się podczas ruchu ciała, jest styczna do toru, w każdym punkcie tworząc z poziomem kąt α, $\operatorname{tg}\alpha = \frac{v_{0y}}{v_{0x}}$. W punkcie h_maxx $\overrightarrow{v_{y}} = 0$, a wypadkowa prędkość $\overrightarrow{v} = \overrightarrow{v_{0x}}$. W punkcie B wartość prędkości wypadkowej v=v₀, kąt nachylenia względem poziomu jest równy α. Wektor przyspieszenia w rzucie poziomym i ukośnym jest stały co do wielkości i co do kierunku i równy g. przyspieszenie nie jest skierowane zgodnie z kierunkiem prędkości. Składowa wektora v₀ o kierunku prostej stycznej do toru wpływa na zmiany wartości prędkości, natomiast składowa o kierunku prostopadłym do stycznej powoduje tylko zmiany kierunku prędkości, a tym samym i zakrzywienia toru.

ad2.Zasięg w rzucie ukośnym: z - zasięg AB z = v0xt $$t = \frac{2v_{0y}}{g}$$ $$z = \frac{v_{0}^{2}\sin{2\alpha}}{g}$$ zmax dla α=45° $$z_{\max} = \frac{v_{0}^{2}}{g}$$ Zasięg dla kątów α i (90°-α) jest taki sam przy ustalonej prędkości początkowej.	ad3.Tor, równanie toru: $$y = v_{0y}t - \frac{gt^{2}}{2}$$ $$t = \frac{x}{v_{0x}}$$ $$y = v_{0}\frac{x}{v_{0x}} - \frac{gx^{2}}{2v_{0x}^{2}}$$ $$y = - \frac{g}{2v_{0x}^{2}\operatorname{}\alpha}x^{2} + x\tan\alpha$$ Torem rzutu ukośnego jest parabola.

5. Zasady dynamiki ruchu postępowego.

I zasada dynamiki (zasada bezwładności)- informuje, jakie warunki muszą zostać spełnione, aby ciało pozostawało w spoczynku lub poruszało się ruchem jednostajnym prostoliniowym. Jeżeli zrównoważenie sił następuje w momencie, gdy ciało, na które one działają, jest w spoczynku, to pozostanie w spoczynku. Jeżeli natomiast ciało było wcześniej w ruchu, nadal będzie poruszać się z taką samą prędkością, jaką miało w chwili zrównoważenia. Ruch będzie więc jednostajny i prostoliniowy. Inaczej mówiąc: jeżeli na ciało działają siły równoważące się, to nie zmienia ono swojej prędkości.

II zasada dynamiki (zasada akcji i reakcji)- Jeśli siły działające na ciało się nie równoważą (czyli siła wypadkowa $\overrightarrow{F}$ jest różna od zera), to ciało jest w ruchu zmiennym z przyspieszeniem, którego wartość jest wprost proporcjonalna do wartości siły wypadkowej: $\overrightarrow{a} = \frac{\overrightarrow{F}}{m}$

III zasada dynamiki-Oddziaływania ciał są zawsze wzajemne. Siły wzajemnego oddziaływania dwóch ciał mają takie same wartości, taki sam kierunek, przeciwne zwroty i różne punkty przyłożenia (każda działa na inne ciało). Każdej akcji towarzyszy reakcja równa co do wartości i kierunku lecz przeciwnie zwrócona.

6. Zasada zachowania pędu.

$$\overrightarrow{p} = \overrightarrow{F_{\text{zew}}}t$$

Zmiana pędu $\overrightarrow{p}$ układu ciał zachodzi jedynie na skutek działania sił zewnętrznych. Jeśli wypadkowa sił zewnętrznych jest równa zeru, to pęd układu ciał zostaje zachowany.

Jeśli $\overrightarrow{F_{\text{zew}}} = 0$, to również $\overrightarrow{p} = const.$

7. Środek masy (prawo ruchu i zachowania).

Dla każdego układu ciał można zdefiniować punkt w przestrzeni, zwany środkiem masy, mający własność pojedynczego ciała o masie równej sumie mas ciał tworzących układ. Prawa ruchu dla poszczególnych ciał tworzących układ można zastąpić prawami ruchu środka masy.

$$x_{c} = \frac{m_{1}x_{1} + m_{2}x_{2} + \ldots + m_{n}x_{n}}{m_{1} + m_{2}\ldots + m_{n}}$$

x_c- współrzędna położenia środka masy

x₁, x₂, …x_n- współrzędne położenia poszczególnych ciał układu

m₁, m₂, …m_n- masy poszczególnych ciał układu

Wektor położenia środka masy dla n ciał jest równy $\overrightarrow{r} = \frac{\sum_{i = 1}^{n}{m_{i}x_{i}}}{\sum_{i = 1}^{n}m_{i}}$

Pęd środka masy układu n ciał równa się sumie geometrycznej pędów poszczególnych ciał. Gdy ruch odbywa się po prostej, to

$\overrightarrow{p_{c}} = \overrightarrow{p_{1}} + \overrightarrow{p_{2}} + \overrightarrow{p_{3}} + \ldots + \overrightarrow{p_{n}}$,

$m\overrightarrow{v_{c}} = m\overrightarrow{v_{1}} + m\overrightarrow{v_{2}} + m\overrightarrow{v_{3}} + \ldots + m\overrightarrow{v_{n}}$, stąd

$$v_{c} = \frac{m_{1}v_{1} + m_{2}v_{2} + m_{3}v_{3} + \ldots + m_{n}v_{n}}{m_{c}}$$

8. Ruch jednostajny po okręgu, przyspieszenie styczne i dośrodkowe.

Punkt materialny porusza się ruchem jednostajnym po okręgu (v=const, ω=const), jeżeli działa na niego siła dośrodkowa nadająca przyspieszenie dośrodkowe. Siła ta skierowana prostopadle do prędkości liniowej nie zmienia jej wartości, lecz kierunek, nie zmienia również prędkości kątowej:

$\overrightarrow{F_{r}} = m\overrightarrow{a_{r}}$, $F_{r} = m\frac{v^{2}}{R}$.

Gdy kierunek wypadkowej siły działającej na ciało będące w ruchu tworzy inny kąt niż $\frac{\pi}{2}$ z wektorem prędkości $\overrightarrow{v}$, to składowa tej siły równoległa do $\overrightarrow{v}$ nadaje przyspieszenie styczne $\overrightarrow{a_{s}}$, a składowa prostopadła nadaje przyspieszenie dośrodkowe $\overrightarrow{a_{R}}$. Jeśli wypadkowa siła ma stałą wartość, to odbywa się ruch jednostajnie zmienny.

Wypadkowe przyspieszenie $\overrightarrow{a}$ jest równe co do wartości $a = \sqrt{a_{s}^{2} + a_{R}^{2}}$.

W ruchu jednostajnie zmiennym ε = const.

Między wektorami $\overrightarrow{a_{s}}$,$\overrightarrow{\varepsilon}$ i $\overrightarrow{R}$ zachodzi związek $\overrightarrow{a_{s}} = \overrightarrow{\varepsilon} \times \overrightarrow{R}$, a_s = εR.

W ruchu jednostajnie przyspieszonym po okręgu wektory $\overrightarrow{\omega}$ i $\overrightarrow{\varepsilon}$ mają zwroty przeciwne.

$\overrightarrow{\mathbf{a}_{\mathbf{R}}}$ – przyspieszenie dośrodkowe-(normalne lub radialne)$\overrightarrow{a_{R}}$mają ciała będące w ruchu krzywoliniowym, w którym zmienia się wektor prędkości, tzn. zmienia się kierunek lub kierunek i wartość prędkości. Przykładem ruchu krzywoliniowego jest ruch po okręgu. W każdym ruchu krzywoliniowym można wyznaczyć wektorową zmianę prędkości, gdyż zmienia się jego kierunek. Wartość przyspieszenia dośrodkowego można obliczyć ze wzorów:

$$a_{R} = \frac{v^{2}}{R},\ a_{R} = \frac{4\pi^{2}R}{T^{2}},\ a_{R} = \omega^{2}R,\ a_{R} = 4\pi^{2}Rf^{2},$$

gdyż $v = \omega R,\ \omega = 2\pi f,\ f = \frac{1}{T}$

Wektor przyspieszenia dośrodkowego ciała $\overrightarrow{a_{R}}$ma kierunek promienia okręgu, zwrot do środka okręgu i w każdej chwili jest prostopadły do wektora prędkości.

Gdy wartość $\overrightarrow{v} = const$, również wartość przyspieszenia $\overrightarrow{a_{R}} = const$.

Jeśli w ruchu po krzywej wartość prędkości zmienia się, to oprócz przyspieszenia normalnego istnieje przyspieszenie styczne. Całkowite przyspieszenie jest sumą wektorową przyspieszeń radialnego $\overrightarrow{a_{R}}$ i stycznego $\overrightarrow{a_{s}}$, $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{a_{R}} + \overrightarrow{a_{s}}$.

9. Prędkość, prędkość i przyspieszenie kątowe, siła dośrodkowa.

Prędkość- wektorowa wielkość fizyczna wyrażająca zmianę wektora położenia w jednostce czasu. Skalarna wielkość oznaczająca przebytą drogę w jednostce czasu lub tylko wartość prędkości zwana przez niektórych szybkością.

Prędkość kątowa- $\overrightarrow{\mathbf{\omega}}$-W czasie równym T promień R zakreśla kąt pełny 2π radianów, a w dowolnym czasie t kąt α. Miarą długości prędkości kątowej jest stosunek zakreślonego kąta do czasu, w którym ten kąt został zakreślony.

$$\omega = \frac{\alpha}{t},\ \omega = \frac{2\pi}{T},\ \omega = 2\pi f,\ \omega = \frac{v}{R}\left\lbrack \frac{\text{rad}}{s} \right\rbrack$$

Wektory $\overrightarrow{\omega},\ \overrightarrow{R},\ \overrightarrow{v}$ tworzą układ prawoskrętny. Wektor $\overrightarrow{\omega}$ ma kierunek osi podobnie jak wektor $\overrightarrow{\alpha}$, zwrot ustalony umową z wykorzystaniem reguły śruby prawoskrętnej.

Między wektorami $\overrightarrow{\omega},\ \overrightarrow{R}\text{\ i\ }\overrightarrow{v}$ zachodzi związek $\overrightarrow{v} = \overrightarrow{\omega} \times \overrightarrow{R}$. Iloczyn wektorowy nie jest przemienny.

Przyspieszenie kątowe- $\overrightarrow{\mathbf{\varepsilon}}$ - $\overrightarrow{\varepsilon} = \frac{\overrightarrow{\omega}}{t}\left\lbrack \frac{\text{rad}}{s^{2}} \right\rbrack$ jest równe zmianie prędkości kątowej w jednostkowym czasie. Wektor przyspieszenia kątowego ma kierunek prędkości kątowej.

10. Moment pędu i moment siły.

Moment pędu- $\overrightarrow{\mathbf{L}}$- moment pędu bryły obracającej się względem ustalonej osi obrotu jest równy iloczynowi momentu bezwładności względem osi obrotu i prędkości kątowej:

$$\overrightarrow{L} = I\overrightarrow{\omega}\left\lbrack m^{2} \bullet s^{- 1} = N \bullet m \right\rbrack$$

Moment siły $\overrightarrow{\mathbf{M}}$- Momentem siły względem osi nazywamy iloczyn wektorowy wektorów $\overrightarrow{\text{R\ }}\text{i\ }\overrightarrow{F}$:

$$\overrightarrow{M} = \overrightarrow{R} \times \overrightarrow{F}\left\lbrack kg \bullet m^{2} \bullet s^{2} = N \bullet m \right\rbrack$$

Wartość momentu siły: $M = RFsin\sphericalangle(\overrightarrow{R},\overrightarrow{F})$

Ramię siły- $\overrightarrow{\mathbf{R}}$- Ramie siły R₁ to najkrótsza odległość wektora siły od osi obrotu bryły: R₁ = Rsinα[m] Kierunek wektora momentu siły ma kierunek osi, wokół której obraca się bryła, a zwrot zgodny z regułą śruby prawoskrętnej.

11. Moment bezwładności, twierdzenie Steinera.

Moment bezwładności- I-momentem bezwładności bryły sztywnej względem osi nazywamy sumę iloczynów mas poszczególnych elementów bryły i kwadratów ich odległości od osi obrotu:

$$I = \sum_{i = 1}^{n}{m_{i}R_{i}^{2}}\left\lbrack kg \bullet m^{2} \right\rbrack$$

gdzie: m₁- masa i-tego elementu bryły; R_i- odległość i-tego elementu od osi obrotu

Moment bezwładności bryły charakteryzuje jej bezwładność w ruchu obrotowym. O bezwładności w ruchu obrotowym decyduje nie tylko masa bryły, ale także jej odległość od osi obrotu.

Twierdzenie Steinera

Moment bezwładności bryły I względem dowolnej osi O’ jest równy sumie momentu bezwładności bryły I₀ względem osi O oraz iloczynu masy bryły i kwadratu odległości d między osiami O i równoległej do niej O’:

I = I₀ + md²

12. Zasada zachowania momentu pędu.

Jeżeli wypadkowy moment sił jest równy zeru, to moment pędu bryły nie ulega zmianie.

Jeżeli $\overrightarrow{M} = 0$, to $\overrightarrow{L} = 0$, to znaczy L = const.

Jeżeli jest możliwa zmiana momentu bezwładności układu pod działaniem sił wewnętrznych, to zmianom I towarzyszą zmiany ω, a iloczyn Iω jest stały. $I_{1}\overrightarrow{\omega_{1}} = I_{2}\overrightarrow{\omega_{2}}$

**np. Jeżeli baletnica wykonująca piruet zmieni swój moment bezwładności, to również zmieni się jej szybkość kątowa. Podobnie sportowiec w czasie wykonywania salta zmienia swoją szybkość kątową, gdy zmieni się ułożenie ciała wokół osi obrotu.

W konstrukcji helikoptera wykorzystywano zasadę zachowania momentu pędu. Po wprawieniu w ruch głównego śmigła kadłub helikoptera uzyskuje moment pędu, lecz o przeciwnym zwrocie, co wprawiłoby cały helikopter w ruch obrotowy. Aby temu zapobiec, na ogonie helikoptera umieszcza się małe śmigło, które kompensuje ruch obrotowy korpusu helikoptera

13. Zasady dynamiki ruchu obrotowego.

I zasada dynamiki- Jeżeli suma momentów sił działających na bryłę sztywną, czyli wypadkowy moment siły względem wybranej osi obrotu, jest równa zeru, to bryła pozostaje w spoczynku lub jest w ruchu obrotowym ze stałą prędkością kątową wokół tej osi.

$\overrightarrow{M} = \overrightarrow{M_{1}} + \overrightarrow{M_{2}} + \ldots + \overrightarrow{M_{n}}$ $M = \sum_{i = 1}^{n}{M_{1} = 0,\ \ \omega = 0\ lub\ \omega = const\ }\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }F_{1}R_{1} - F_{2}R_{2} = 0$

II zasada dynamiki- Jeżeli wypadkowy moment sił działających na bryłę jest różny od zera, to bryła jest w ruchu obrotowym z przyspieszeniem kątowym wprost proporcjonalnym do wypadkowego momentu siły, i odwrotnie proporcjonalnym do wypadkowego momentu bezwładności: $\overrightarrow{\varepsilon} = \frac{1}{I} \bullet \overrightarrow{M}$

Druga zasada dynamiki w postaci uogólnionej: $\overrightarrow{M} = \frac{\overrightarrow{L}}{t}$

Wypadkowy moment sił działający na bryłę sztywną jest równy prędkości zmian momentu pędu tej bryły. Zmiana momentu pędu bryły sztywnej może nastąpić w wyniku działania sił, których całkowity moment względem osi obrotu jest różny od zera.

14. Układy odniesienia inercjalny (nieinercjalny).

Układ inercjalny- układ odniesienia, względem którego każde ciało, niepodlegające zewnętrznemu oddziaływaniu z innymi ciałami, porusza się bez przyspieszenia (tzn. ruchem jednostajnym prostoliniowym lub pozostaje w spoczynku). Istnienie takiego układu jest postulowane przez pierwszą zasadę dynamiki Newtona. Zgodnie z zasadą względności Galileusza wszystkie inercjalne układy odniesienia są równouprawnione i wszystkie prawa mechaniki i fizyki są w nich identyczne.

Inercjalny układ odniesienia można również zdefiniować jako taki układ, w którym nie pojawiają się pozorne siły bezwładności.

Układ nieinercjalny- układ poruszający się z pewnym przyspieszeniem $\overrightarrow{a}$ względem układu inercjalnego. W układzie nieinercjalnym zasady dynamiki nie zostają spełnione. Można jednak je stosować, jeśli założymy istnienie pozornej siły zwanej siłą bezwładności F_b. Siła ta nie jest siłą rzeczywistą, gdyż nie można wskazać jej źródła. Wartość siły bezwładności jest równa F_b=ma, a jej zwrot jest przeciwny do zwrotu przyspieszenia $\overrightarrow{F_{b}} = - m\overrightarrow{a}$, a – jest wartością przyspieszenia układu nieinercjalnego. Ruch ciała w układzie nieinercjalnym jest określony sumą sił rzeczywistych (zewnętrznych) działających na ciało i pozornej siły bezwładności. Przykładem układu nieinercjalnego jest winda przyspieszająca, hamująca, jadąca do góry lub w dół, pojazd jadący ruchem zmiennym po prostej lub fragmencie okręgu.

15. Siła zachowawcza (niezachowawcza).

Siły zachowawcze-są to siły wewnętrzne działające w ruchu:

-siła grawitacji

-kulombowskie siły oddziaływań elektrostatycznych

-siła sprężystości ciał doskonale sprężystych

-siły centralne

Siły niezachowawcze-są to wszystkie siły które nie są zachowawcze, np.:

-siła tarcia

-siła oporu ośrodka

16. Praca (siły stałej i zmiennej), energia i moc.

Praca- jest to iloczyn skalarny wektora siły $\overrightarrow{F}$ i wektora przesunięcia $\overrightarrow{r}$. $\mathbf{W} = \overrightarrow{\mathbf{F}} \bullet \overrightarrow{\mathbf{r}}$

Z zapisanej definicji korzystamy w warunkach, gdy przesunięcie ciał następuje po torze prostoliniowym, to znaczy gdy długość wektora przemieszczenia jest równa drodze przebytej $\left| \overrightarrow{r} \right| = s$, a siła pozostaje niezmieniona co do kierunku i wartości.

Jednostką pracy w układzie SI jest dżul. Jeden dżul odpowiada pracy wykonanej siłą 1 niutona na drodze 1m (1J=1N∙1m) w kierunku zgodnym z przesunięciem ciała.

Często siła, którą przykładamy do poruszającego się ciała, tworzy z kierunkiem ruchu tego ciała kąt α różny o zera. Korzystając z definicji iloczynu skalarnego $W = Fcos\sphericalangle(\overrightarrow{F},\overrightarrow{r})$.

Siłę rozkładamy na składowe w kierunku ruchu i kierunku prostopadłym do toru.

Praca wykonana przez składową $\overrightarrow{F_{1}}$:

W₁ = F₁s,  F₁ = Fcosα, W₁ = Fscosα.

Praca wykonana przez składową $\overrightarrow{F_{2}}$, W₂ = 0, przesunięcie w kierunku działania siły $\overrightarrow{F_{2}}$ jest równe zeru.

Siła prostopadła do przesunięcia, nie wykonuje pracy, na przykład siła dośrodkowa. Nie wykonuje pracy uczeń niosący tornister ani atleta trzymający nad głową sztangę.

Gdy ciało porusza się po torze krzywoliniowym, z którym siła $\overrightarrow{F}$ stale tworzy kąt α, to całkowitą drogę dzielimy na bardzo wiele odcinków, aby działającą na nie siłę można było uważać za stałą.

Moc- o tym, jak szybko dana praca zostaje wykonana, świadczy moc.

$$P = \frac{W}{t},\ \left\lbrack 1W = \frac{1J}{1s} \right\rbrack$$

Jednostką mocy jest dżul na sekundę i nosi nazwę wat.

Jeśli praca wykonana w różnych odstępach czasu nie jest stała, posługujemy się pojęciem mocy średniej. Przechodząc do granicznie małych przedziałów czasu, definiujemy moc chwilową:

$$P = \frac{W}{t}\ dla\ t \rightarrow 0$$

Do charakteryzowania maksymalnej mocy silników samochodowych używana jest jednostka mocy zwana koniem mechanicznym (1KM=735,5W). Korzystając ze związku pracy z siłą, otrzymujemy zależność:

$$P = \frac{W}{t} = \frac{\text{Fs}}{t},\ czyli\ P = Fv$$

Im większa jest prędkość ciała poruszającego się ruchem postępowym, tym większa musi być moc, by działać na to ciało stałą siłą.

Energia- jest to potencjalna możliwość wykonywania przez ciało pracy, jeżeli zaistnieją odpowiednie warunki fizyczne. Energia mechaniczna może być zmagazynowana w ciele pod postacią energii potencjalnej i kinetycznej. Jednostką energii jest dżul. Energię elektryczną dostarczoną z elektrowni mierzymy w kilowatogodzinach (1kWh=3600000 J). Energia zmagazynowana w pokarmach podawana jest w kilokaloriach (1kcal=4190 J).

17. Energia kinetyczna. Twierdzenie o pracy i energii.

Energia kinetyczna- związana jest z ruchem. Każde ciało, które w rozważanym układzie odniesienia znajduje się w ruchu, ma w tym układzie energię kinetyczną. Każde ciało, które ma energię kinetyczną, zdolne jest do wykonania pracy. Na przykład poruszający się samochód, uderzając o jakąś przeszkodę, może ją przesunąć lub zgnieść, a więc wykonać pracę. Energia kinetyczna jest szybko rosnącą funkcją zmiennej v:

$$E_{k} = \frac{mv^{2}}{2}$$

Jest ona proporcjonalna do kwadratu szybkości, z jaką porusza się ciało.

Energia kinetyczna ulega zmianie, gdy siły działające na to ciało się nie równoważą. Zmiana energii kinetycznej ciała jest równa pracy sił wypadkowej działającej na to ciało.

E_k = W_{F wypadkowa}

Energia kinetyczna nigdy nie jest ujemna, natomiast równa zeru jest tylko dla ciała spoczywającego w danym układzie. Energia kinetyczna ciała ma wartość liczbową zależną od układu odniesienia, gdyż prędkość zależy od wyboru układu odniesienia.

18. Zasada zachowania energii mechanicznej i całkowitej.

Jeżeli podnosimy ciało ruchem jednostajnie przyspieszonym, to rośnie jego energia potencjalna i kinetyczna. Praca wykonana przez siłę wypadkową siły zewnętrznej i ciężkości powoduje zmianę całkowitej energii mechanicznej.

W = E_k + E_p,   W = F_wS

Jeśli wyrzucona pionowo w górę piłka wznosi się i następnie spada swobodnie, to jedyną znaczącą siłą działającą w czasie ruchu jest siła grawitacji. W układzie piłka-Ziemia siła grawitacji jest siłą wewnętrzną i tylko ona wykonuje pracę.

F_zewn = 0 (E_k−E_k0) + (E_p−E_p0) E_k + E_p = E_k0 + E_p0

W przypadku spadającej swobodnie piłki energia kinetyczna w momencie zetknięcia się z ziemią jest równa energii potencjalnej, jaką piłka miała na wysokości h. Możemy zatem zapisać: $mgh = \frac{mv^{2}}{2}$.

Energia kinetyczna piłki przekształca się w czasie ruchu w energię potencjalną, ale suma obu energii na dowolnym poziomie pozostaje stała. Siła wewnętrzna nie zmienia energii całkowitej mechanicznej.

Jeżeli siły zewnętrzne nie wykonują pracy, energia mechaniczna układu się nie zmienia, a zatem suma energii kinetycznej i potencjalnej w stanie początkowym jest równa sumie energii potencjalnej i kinetycznej w stanie końcowym.

Zasada zachowania energii dotyczy również dwóch lub więcej oddziałujących ze sobą ciał.

Dla każdego układu oddziałujących ciał, dla których można zaniedbać opory ruchu i oddziaływanie sił zewnętrznych, suma energii kinetycznych wszystkich ciał i energii potencjalnych oddziaływań między nimi jest wielkością stałą.

19. Ruch planet i satelitów (prawa Keplera).

I prawo Keplera

Każda planeta obiega Słońce po orbicie eliptycznej, tak że Słońce znajduje się w jednym z ognisk elipsy.

R - promień wodzący planety c – długość odcinka między środkiem, a jednym z ognisk

φ - kąt zwany anomalią prawdziwą E – anomalia mimośrodowa

a - wielka półoś elipsy M – anomalia średnia

e - mimośród

$e = \frac{c}{a}$ E − esinE = M $\tan{\frac{E}{2} = \sqrt{\frac{1 - e}{1 + e}} \times \tan\frac{\varphi}{2}}$

Elipsa, okrąg parabola i hiperbola stanowią rodzinę krzywych stożkowych. W polach centralnych ciała poruszają się po krzywych stożkowych, dlatego I prawo Keplera można sformułować bardzo ogólnie.

W ruchu względnym ciał, powiązanych jedynie siłami grawitacji, każde z nich porusza się po krzywej stożkowej, w której ognisku znajduje się drugie ciało.

II prawo Keplera

W jednakowych odstępach czasu promień wodzący planety zakreśla jednakowe pola S₁ = S₂,  

$\overrightarrow{v_{s}} = \frac{S}{t} = const.$ Gdzie $\overrightarrow{v_{s}}$ jest prędkością polową rozumianą jako wektor prostopadły do płaszczyzny stożkowej

III Prawo Keplera

Przy ścisłej analizie ruchu planet należy uwzględnić, że układ Słońce-planeta porusza się wokół wspólnego środka masy. Środek masy Słońce-planeta znajduje się blisko Słońca. Dla takiej pary ciał otrzymujemy związek $\frac{a^{3}}{T^{2}} = \frac{G(M_{s} + m)}{4\pi^{2}}$

Stosunek sześcianu półosi orbity do kwadratu okresu obiegu jest proporcjonalny do sumy mas obu ciał.

Dla dwu par ciał niebieskich Słońce-planeta o masie m₁ i okresie obiegu T₁ oraz Słońce-planeta o masie m₂ i okresie obiegu T₂ równanie ma postać: $\frac{T_{1}^{2}\left( M_{s} + m_{1} \right)}{T_{2}^{2}\left( M_{s} + m_{2} \right)} = \frac{a_{1}^{3}}{a_{2}^{3}}$

Związek ten nosi nazwę trzeciego uogólnionego prawa Keplera.

Prawa Keplera słuszne są również dla sztucznych i naturalnych satelitów planet. W tych przypadkach M jest masą planety, a m masą satelity. Często masa m ciała krążącego jest bardzo mała w porównaniu z masą M ciała centralnego i można wówczas zastosować przybliżenie M + m ≈ M. Wynika stąd, że:

$$\frac{a^{3}}{T^{2}} = \frac{\text{GM}}{4\pi^{2}}$$

20. Prawo powszechnej grawitacji.

Dowolne dwa punkty materialne przyciągają się wzajemnie siłą, która jest wprost proporcjonalna do iloczynu masy każdego z nich i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości między nimi. Siły przyciągania ciał podlegające temu prawu noszą nazwę sił powszechnego ciążenia lub sił grawitacyjnych. Wartość siły grawitacji jest określona wzorem: $F = G\frac{\text{Mm}}{R^{2}}$

Gdzie:

M, m– masy ciał R- odległość między ciałami

G=6,67∙10^-11$\frac{N \bullet m^{2}}{\text{kg}^{2}}$- stała grawitacji

Wzór ten również dokładnie opisuje oddziaływanie jednorodnych ciał kulistych, gdzie R oznacza odległość między ich środkami.

21. Pole grawitacyjne centralne – natężenie (wewnątrz i na zewnątrz kuli, wykres).

Wszystkie ciała nadają otaczającej ich przestrzeni pewną własność polegającą na tym, że jeśli znajdzie się w tej przestrzeni inne ciało, to będzie na nie działać siła proporcjonalna do jego masy. O takiej przestrzeni mówimy, ze istnieje w niej pole grawitacyjne. Graficznie pole to bywa przedstawione za pomocą linii pola. Linia pola jest to prosta, wzdłuż której działa siła. Linie pola mają początek w nieskończoności i przecinają się w środku kuli. To dlatego takie pole nazywamy centralnym. W obszarach o rozmiarach liniowych, niewielkich w porównaniu z odległością od centrum pola, linie tego pola są niemal równoległe. Pole grawitacyjne o tej własności nazywamy jednorodnym. Pole w pobliżu powierzchni Ziemi jest zatem polem jednorodnym.

Natężenie pola grawitacyjnego w danym punkcie to stosunek siły grawitacji działającej na umieszczone w tym punkcie ciało próbne do masy tego ciała.

$$\overrightarrow{\gamma} = \frac{\overrightarrow{F}}{m},\ \ \ \ \gamma = \frac{\text{GM}}{R^{2}}\left\lbrack \frac{N}{\text{kg}} \right\rbrack$$

Natężenie pola grawitacyjnego jest wielkością wektorową. Kierunek i zwrot wektora natężenia jest taki sam, jak kierunek i zwrot wektora siły grawitacji (do źródła). Ta wielkość jest cechą pola w danym punkcie, gdyż nie zależy od masy ciała umieszczonego w tym punkcie. Informuje, jak duża siła grawitacji działa w tym punkcie na ciało o masie 1 kg.

Natężenie pola jest równe przyspieszeniu grawitacyjnemu, czyli przyspieszeniu ruchu odbywającego się tylko pod działaniem siły grawitacji $\overrightarrow{\gamma} = \overrightarrow{g}$. Ponieważ Ziemia nie jest idealną kulą, więc punkty na jej powierzchni mają różne oddalenia od środka masy Ziemi i natężenia są różne. Wartości zmieniają się: od 9,90 $\frac{N}{\text{kg}}$ na biegunach do 9,83 $\frac{N}{\text{kg}}$ na równiku.

Pole grawitacyjne istnieje nie tylko na zewnątrz, ale i wewnątrz planety. W kanale wydrążonym wzdłuż osi łączącej oba bieguny Ziemi odbywałby się ruch, którego przyspieszenie malałoby w kierunku środka Ziemi, a w środku Ziemi osiągnęłoby zero. Zakładając, że gęstość Ziemi w każdym punkcie jest jednakowa, siła grawitacji wewnątrz naszej planety i natężenie pola grawitacyjnego zależałyby liniowo od odległości od środka Ziemi.

Jeżeli pole grawitacji powstaje z nałożenia się wielu pól grawitacyjnych, to natężenie pola w danym punkcie jest sumą geometrycznych natężeń poszczególnych pól.

$$\overrightarrow{\gamma} = \overrightarrow{\gamma_{1}} + \overrightarrow{\gamma_{2}} + \ldots + \overrightarrow{\gamma_{n}}$$

Wykres przedstawia zależność natężenia centralnego pola grawitacyjnego od odległości od źródła

22. Potencjał pola grawitacyjnego (wzór, wykres).

Potencjałem w danym punkcie pola nazywamy stosunek energii potencjalnej ciała o masie m umieszczonego w tym punkcie do masy tego ciała. $V = \frac{E_{p}}{n},\ \ \ \ \left\lbrack \frac{J}{\text{kg}} = \frac{m^{2}}{s^{2}} \right\rbrack$

Potencjał pola grawitacyjnego w danym punkcie pola informuje, jaką energię potencjalną miałoby umieszczone w tym punkcie ciało o masie 1 kg. $V = - \frac{\text{GM}}{R}$

Ze wzrostem odległości R danego punktu od źródła potencjał grawitacyjny wzrasta.

Potencjał pola jest liniową funkcją wysokości. $E_{p} = mgh,\ \ \ \ V = \frac{\text{mgh}}{m} = gh$

Wykres przedstawia zależność potencjału grawitacyjnego od odległości od źródła pola centralnego.

23. Ruch harmoniczny prosty (równanie, rozwiązanie).

Każdy ruch powtarzający się w regularnych odstępach czasu nazywany jest ruchem okresowym. Jeżeli ruch ten opisywany jest sinusoidalną funkcją czasu to jest to ruch harmoniczny. Ciało porusza się ruchem harmonicznym prostym, jeżeli znajduje się pod wpływem siły o wartości proporcjonalnej do wychylenia z położenia równowagi i skierowanej w stronę położenia równowagi.

$\overrightarrow{F} = - k\overrightarrow{x}$ Gdzie:

$\overrightarrow{F}$- siła,

k - współczynnik proporcjonalności,

$\overrightarrow{x}$- wychylenie z położenia równowagi.

Równanie ruchu (skalarne dla kierunku OX) dla takiego ciała można zapisać (z II zasady dynamiki Newtona) jako: $a = - \frac{k}{m}x$ albo w postaci różniczkowej: $\frac{d^{2}x}{\text{dt}^{2}} = - \frac{k}{m}x$

Jest to równanie różniczkowe zwyczajne drugiego rzędu (występuje druga pochodna funkcji położenia x(t).Rozwiązania tego równania można równoważnie opisać za pomocą dowolnej z poniższych

*funkcji: (1) x(t) = Asin(ω₀t) + Bcos(ω₀t) (2) x(t) = Csin(ω₀t+φ)  ∖ n(3)    x(t) = Dcos(ω₀t+φ^′)

gdzie: $\omega_{0} = \sqrt{\frac{k}{m}}$ - jest częstością kołową drgań,

A, B, C, φ, C, φ’- stałe zależne od warunków początkowych.

Są to tzw. harmoniki. Rozwiązania są równoznaczne, a korzystając z tożsamości trygonometrycznych można znaleźć zależności pomiędzy powyższymi stałymi i rozwiązanie przedstawiać w dowolnej z postaci 1,2,3.

Częstość kołową ω₀ wiąże z okresem drgań T związek: $T = \frac{2\pi}{\omega_{0}}$

częstotliwość drgań ν natomiast wynosi $v = \frac{\omega_{0}}{2\pi}$

Ważną własnością ruchu harmonicznego jest to, że inne wielkości (prędkość, przyspieszenie) też są opisane przez równanie harmoniczne.

24. Przemieszczenie, prędkość i przyspieszenie w ruchu harmonicznym prostym (wykresy,

interpretacja).

Prędkość ciała ulega zmianie, zmienia się jej wartość i zwrot. W położeniu x=0 szybkość jest maksymalna v_m = ωA, w położeniu x = A prędkość zmienia swój zwrot, a jej wartość v=0

Przyspieszenie ciała podczas ruchu ulega zmianom, zmienia się jego wartość i zwrot. Ciało oddala się od położenia równowagi ruchem opóźnionym, a zbliża się do położenia równowagi ruchem przyspieszonym z malejącym przyspieszeniem. W położeniu równowagi, x=0, wartość przyspieszenia a=0 i następuje zmiana jego zwrotu, a w położeniu x = A jego wartość jest maksymalna i wynosi a_m = ω²A. Zwrot przyspieszenia ciała poruszającego się ruchem harmonicznym jest skierowany stale ku położeniu równowagi.

W opisie ruchu harmonicznego wykorzystuje się następujące pojęcia:

**położenie równowagi – punkt 0

**A – amplituda, czyli maksymalne wychylenie z położenia równowagi

**x – wychylenie, 0 ≪ x ≪ A

**T – okres, czyli czas, w którym ciało wykonuje jedno pełne drganie, okres drgań oscylatora harmonicznego $\ T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

**f – częstotliwość drgań

**ω – częstość kołowa, - ω = 2πf – wielkość związana z masą ciała i własnościami sprężystymi

**α – faza drgań – to kąt, jaki tworzy promień okręgu z osią x, czyli α = ωt      (lub α = ωt + φ)

**φ – faza początkowa (gdy w momencie początkowym, dla t = 0, ciało nie znajduje się w położeniu równowagi, lecz ma wychylenie x)

Wykresy wychylenia (x), prędkości (v_h), przyspieszenia (a_h) i działającej siły (F_h) od czasu.

25. Całkowita energia mechaniczna (kinetyczna i potencjalna) w ruchu harmonicznym.

Gdy ruch odbywa się bez żadnych strat energii na pokonywanie oporów, to całkowita Ec równa sumie energii kinetycznej i potencjalnej jest równa energii udzielonej oscylatorowi przy jego uruchamianiu i wynosi $W = \frac{1}{2}kA^{2}$.

Dla dowolnej chwili:

Energia potencjalna $E_{p} = \frac{1}{2}kx^{2} = \frac{1}{2}kA^{2}\operatorname{}\text{ωt}$

Energia kinetyczna $E_{k} = \frac{1}{2}mv^{2} = \frac{1}{2}m\omega^{2}A^{2}\operatorname{}\text{ωt}$

Energia całkowita $E = \frac{1}{2}kA^{2}$ jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy.

Zależność obu rodzajów energii od wychylenia jest funkcją kwadratową.

26. Wahadło matematyczne i fizyczne.

Wahadło matematyczne- to wyidealizowane wahadło proste, czyli mała kulka (punkt materialny) o masie m zawieszona na nieważkiej i nierozciągliwej nici w jednorodnym polu grawitacyjnym. Siłą wprawiającą wahadło w ruch jest wypadkowa siły ciężkości $m\overrightarrow{g}$ i reakcji nici $\overrightarrow{F_{N}}$. Wartość wypadkowej siły:

$$F = mgsin\alpha,\ \ \ \ \ gdy\ \alpha < 7\ (w\ innych\ wersjach\ \alpha < 5\ lub\ 10),\ \ \ \ \ \ sin\alpha = \frac{x}{l}$$

$$F = \frac{\text{mg}}{l}x,\ \ \ \ \ ale\ \frac{\text{mg}}{l} = k,\ \ \ \ \ \ wiec\ \ \ F = kx$$

Dla małych wychyleń cechy siły wypadkowej są takie same jak siły sprężystości, a więc $\frac{\text{mg}}{l}x = m\omega^{2}$, toteż okres drgań wahadła matematycznego $T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

Raz wprawione w ruch wahadło (jeśli możemy zaniedbać opory ruchu) wykonuje drgania o niezmieniającym się okresie zwanym okresem drgań własnych (izochronizm).

Wahadło fizyczne- bryła sztywna, która może wykonywać obroty dookoła poziomej osi przechodzącej ponad środkiem ciężkości tej bryły.

Wzór na okres drgań wahadła fizycznego dla małych wychyleń: $T = 2\pi\sqrt{\frac{I}{\text{mgd}}}$

Przez analogię do wahadła matematycznego wzór ten zapisuje się jako: $T = 2\pi\sqrt{\frac{l_{0}}{g}}$

wprowadzając wielkość długość zredukowana wahadła l₀ $l_{0} = \frac{I}{\text{md}}$

gdzie:

d - odległość od punktu zawieszenia do środka ciężkości,

g - przyspieszenie ziemskie,

I - moment bezwładności ciała względem osi obrotu,

m - masa ciała.

27. Ruch harmoniczny tłumiony (równanie, rozwiązanie).

Drgania odbywające się w warunkach rzeczywistych, w dowolnym ośrodku materialnym, zawsze wiążą się z przekazywaniem energii otoczeniu w związku z pokonywaniem sił oporu. W wyniku wykonywanej pracy energia ciała drgającego maleje, zmienia się też amplituda drgań. Drgania niepodtrzymywane siłą zewnętrzną ulegają tłumieniu, stopniowo zmniejszają swoją amplitudę i zanikają. Podane równania są słuszne przy tłumieniu umiarkowanym. Do tłumienia drgań w pojazdach stosuje się amortyzatory, w fortepianie zaś tłumiki.

Wychylenie x zmienia się według funkcji x = A₀e^−βt, A₀- amplituda początkowa

Amplituda drgań maleje wykładniczo A = A₀e^−βt, β- współczynnik tłumienia

28. Ruch harmoniczny wymuszony (równanie, rozwiązanie).

Drgania ciała może wywołać zewnętrzna siła zmieniająca się okresowo, zwana siłą wymuszającą F = F₀sinΩt. Drgania wymuszone mają częstotliwość v taką samą, jak okresowo zmienna siła, ale na ogół różną od częstotliwości własnej ciała. Jeżeli częstotliwość siły wymuszającej i częstotliwość drgań własnych są sobie równe, amplituda osiąga wartość maksymalna. Takie zjawisko nazywamy rezonansem, a częstotliwość wymuszającą drgania rezonansowe, częstotliwością rezonansową.

Rezonans jest stosowany w celu wzmocnienia drgań nie tylko mechanicznych, ale także akustycznych i elektrycznych.

29. Kwantyzacja ładunku i zasada zachowania ładunku.

e = 1, 6 • 10⁻¹⁹[C],     Q = ne,      nϵN ∖ n

W procesach elektryzowania ciał przez dotyk, pocieranie i indukcję zachodzi przepływ ładunku, nie zaś jego wytwarzanie. Dotykając nienaelektryzowanej kulki, wykonanej z przewodnika, drugą kulką, mającą nadmiar elektronów, których sumaryczny ładunek wynosi Q, spowodujemy przejście części ładunku na kulkę obojętną elektrycznie. Po zetknięciu obie kulki będą naelektryzowane i spełniona zostanie równość Q = Q₁ + Q₂.

Dwie kulki przewodzące możemy naładować przez indukcję, wprowadzając je zetknięte ze sobą w zewnętrzne pole elektrostatyczne. Po rozdzieleniu obie kulki będą naładowane różnoimiennie, pod warunkiem, że rozdzielenia dokonamy w obecności zewnętrznego pola elektrostatycznego. Bezwzględne wartości ładunków obu kulek po rozdzieleniu są sobie równe | + Q₁|=|−Q₂|.

Wykrywać i oceniać ładunki możemy za pomocą elektroskopu. Jednym z podstawowych praw przyrody, należącym do tzw. Zasad zachowania, jest zasada zachowania ładunku, która mówi, że w układzie ciał izolowanych elektrycznie ładunek może się przemieszczać z jednego ciała do drugiego, ale jego całkowita wartość (suma algebraiczna) nie może ulec zmianie.

30. Prawo Coulomba.

Wartość siły wzajemnego oddziaływania dwóch ładunków punktowych lub równomiernie naładowanych kulek jest wprost proporcjonalna do iloczynu wartości ich ładunków i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości między ich środkami. $F = k\frac{q_{1}q_{2}}{R^{2}},\ \ \ \ \ \ \ \ k = \frac{1}{\varepsilon_{0}}$

Gdzie: q₁, q₂- wartość ładunków punktowych (lub naładowanych kulek)

R- odległość między ładunkami (środkami obu kulek) k- stała charakteryzująca ośrodek, dla próżni

$$k = 9 \bullet 10^{- 12}\frac{C^{2}}{Nm^{2}}$$

31. Elektryczny i magnetyczny moment dipolowy.

Ramka o bokach a, b umieszczona jest w jednorodnym polu magnetycznym. Gdy przez ramkę przepływa prąd, na boki a ramki działają siły elektrodynamiczne F₁ = F₂. Tworzą one parę sił, której moment jest równy iloczynowi wektorowemu $\frac{\overrightarrow{b}}{2}\text{\ \ \ i\ \ }\overrightarrow{F}$. $\overrightarrow{M_{1}} = \frac{\overrightarrow{b}}{2} \times \overrightarrow{F},\ \ \ \ \ \ \ \ \ $

$\text{czyli\ }M_{1} = \frac{b}{2}\text{Fsinα}$ Gdzie: $\alpha = \sphericalangle\left( \overrightarrow{S},\overrightarrow{B} \right)\ \ \ \ \ i\ F = BIl$

Moment siły równa się: $M_{1} = I\frac{b}{2}asin\alpha,$

Moment pary sił M  =  IB absinα, ab  =  S, zatem M  =  BIS sinα,  u = IS

Iloczyn IS został nazwany momentem magnetycznym obwodu (magnetycznym momentem dipolowym).

Umownie nadaje mu się charakter wektorowy $\mu = I\overrightarrow{S}$, gdzie:

µ- moment magnetyczny, $\overrightarrow{S}$- wektor powierzchni, prostopadły do tej powierzchni i zwrócony tak, by wyznaczony był przez obieg prądu regułą śruby prawoskrętnej.

Długość wektora liczbowo równa jest polu powierzchni: $\left| \overrightarrow{S} \right| = S$

Po wprowadzeniu wielkości momentu magnetycznego obwodu można zapisać moment siły jako:

$$\overrightarrow{M} = I\overrightarrow{S} \times \overrightarrow{B}\text{\ \ \ \ \ \ \ lub\ \ \ \ \ \ }\overrightarrow{M} = \overrightarrow{\mu} \times \overrightarrow{B}$$

Moment $\overrightarrow{M}$ sił działających na obwód jest równy iloczynowi wektorowemu momentu magnetycznego ramki i indukcji magnetycznej, w której ramka się znalazła.

Moment magnetyczny $\overrightarrow{\mu}$ jest wektorem prostopadłym do płaszczyzny obwodu z prądem i ma zwrot wskazany ruchem postępowym śruby prawoskrętnej obracanej w kierunku przepływu prądu. Moment pary sił ma zwrot od kartki. **Jeżeli $\alpha\left( \overrightarrow{S},\overrightarrow{B} \right) = 0$, to moment pary sił M = 0. Ramka jest wówczas w równowadze, obwód obejmuje największy strumień magnetyczny, a wektor momentu magnetycznego µ jest równoległy do linii pola zewnętrznego.

Elektryczny moment dipolowy jest to wektorowa wielkość fizyczna charakteryzująca dipol elektryczny. Dipol jest układem dwóch ładunków o tych samych wartościach bezwzględnych, ale przeciwnych znakach. Elektryczny moment dipolowy p dwóch punktowych ładunków o jednakowych wartościach q i przeciwnych znakach jest równy iloczynowi odległości między nimi i wartości ładunku dodatniego: P  =  qd gdzie wektor d ma kierunek prostej łączącej ładunki i zwrot od ładunku ujemnego do dodatniego.

32. Natężenie pola elektrycznego.

Można przyjąć, że między wielkością natężenia E a liczbą ∆N linii pola przeprowadzonych prostopadle do powierzchni ∆S istnieje zależność proporcjonalna. Na przykład można przyjąć warunek, że przez 1 m² powierzchni prostopadłej do linii pola przechodzi tyle linii pola, ile liczbowo wynosi natężenie pola E. Natężenie pola można zatem zdefiniować przez gęstość linii sił: $E = \frac{N}{S}$

33. Strumień pola elektrycznego i magnetycznego.

Strumień indukcji magnetycznej przez płaską powierzchnię jest zdefiniowany wzorem: $\Phi = \overrightarrow{B} \bullet \overrightarrow{S}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ lub\ \ \ \ \ \ \ }\Phi = BS\cos\alpha$

gdzie: $\alpha\left( \overrightarrow{B},\overrightarrow{S} \right)$ S- powierzchnia, przez która przechodzi strumień.

Wektory $\overrightarrow{B}\text{\ \ i\ \ }\overrightarrow{S}$ mnożymy przez siebie skalarnie, strumień jest wielkością skalarną.

Przy danych $\overrightarrow{B}\text{\ \ i\ \ }\overrightarrow{S}$ strumień jest największy, gdy wektor powierzchni $\overrightarrow{S}$ jest równoległy do wektora $\overrightarrow{B}$, czyli gdy powierzchnia jest ustawiona prostopadle do indukcji.

Strumień indukcji magnetycznej jest proporcjonalny do liczby linii indukcji przenikających przez daną powierzchnię. Jednostką strumienia magnetycznego Φ jest weber (Wb): 1Wb = 1T ∙ 1m²

Przez daną powierzchnię S = 1m² przenika strumień Φ = 1Wb, jeżeli w każdym punkcie tej powierzchni składowa prostopadła wektora indukcji wynosi B = 1T.

Strumień natężenia pola elektrostatycznego przez powierzchnię płaską S, nazywamy iloczyn skalarny dwóch wektorów natężenia pola $\overrightarrow{E}$ i powierzchni $\overrightarrow{S}$, przez którą ten strumień przechodzi. $\Phi = \overrightarrow{E} \bullet \overrightarrow{S}$. Wartość wektora $\overrightarrow{S}$ jest równa polu powierzchni S. Jeżeli kierunek wektora $\overrightarrow{S}$ nie jest prostopadły do powierzchni strumień natężenia $\Phi = ES\operatorname{cos\sphericalangle}\left( \overrightarrow{E},\overrightarrow{S} \right)$. Zwrot strumienia przyjmujemy na zasadzie umowy. Jeżeli powierzchnia S jest równoległa do linii pola, to strumień natężenia jest równy zeru, gdyż cos90 = 0. Żadna wówczas linia sił nie przechodzi przez tę powierzchnię

34. Prawo Gaussa dla elektryczności i magnetyzmu.

Prawo Gaussa dotyczy zależności strumienia natężenia pola elektrostatycznego przechodzącego przez dowolną powierzchnię zamkniętą od ładunku Q znajdującego się w obszarze objętym tą powierzchnią. Jeżeli dodatni ładunek Q otoczony jest powierzchnią kulistą o promieniu R, w której środku się znajduje, to linie sił wychodzą radialnie z tego ładunku, a kierunek i zwrot wektora $\overrightarrow{\mathbf{E}}$ pokrywa się z kierunkiem i zwrotem wektora $\overrightarrow{\mathbf{S}}$. Natężenie pola E w dowolnym punkcie tej powierzchni wynosi $E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \bullet \frac{Q}{R^{2}}$, zatem strumień elektryczny przechodzący przez powierzchnię kuli Φ = ES, $\Phi = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \bullet \frac{Q}{R^{2}}4\pi R^{2}$ w próżni jest równy $\Phi = \frac{Q}{\varepsilon_{0}}$, a w środowisku o przenikalności ε, $\Phi = \frac{Q}{\varepsilon}$. $\Phi = \oint_{}^{}{\overrightarrow{E}d\overrightarrow{S}}$

Całkowity strumień nie zależy od promienia kuli, przez którą przechodzi, zależy natomiast od ładunku znajdującego się wewnątrz i od przenikalności elektrycznej ośrodka. Otrzymana zależność nie zmienia swej postaci przy zastąpieniu kuli dowolną zamkniętą powierzchnią.

Strumień wektora natężenia pola elektrostatycznego E przechodzący przez dowolną zamkniętą powierzchnię S jest równy całkowitemu ładunkowi zawartemu wewnątrz tej powierzchni podzielonemu przez przenikalność elektryczną ośrodka. Jeżeli w zamkniętej powierzchni znajduje się n ładunków Q₁,  Q₂,  …Q_n (dodatnich i ujemnych), to całkowity strumień elektryczny przechodzący przez tę powierzchnię wynosi $\Phi = \frac{1}{\varepsilon}\left( Q_{1} + Q_{2} + \ldots + Q_{n} \right) = \frac{1}{\varepsilon}\sum_{i = 1}^{n}Q_{i}$. Jest to prawo Gaussa- jedno z podstawowych praw elektromagnetyzmu.

Może się zdarzyć, że badana powierzchnia nie obejmuje żadnych ładunków, lecz jest przecinana przez linie sił. Tym razem każda z linii jest brana pod uwagę dwukrotnie, raz jako wnosząca układ dodatni, drugi raz jako wnosząca układ ujemny. Zatem całkowity strumień w tym przypadku równa się zeru.

35. Energia (gęstość energii) pola elektrycznego i magnetycznego.

W polu elektrycznym zgromadzona jest energia. Jest ona równa pracy potrzebnej do ułożenia układu ładunków wytwarzających dane pole elektryczne, można więc stwierdzić, że energia potencjalna układu ładunków jest równoważna energii w wytworzonym przez nie polu elektrycznym.

Gęstość energii pola elektrycznego (energia zawarta w jednostce objętości) wyraża się przez:

$\eta = \frac{1}{2}\varepsilon_{0}\left| \overrightarrow{E} \right|^{2}$ gdzie:

ε₀- przenikalność elektryczna próżni,

$\overrightarrow{E}$- natężenia pola elektrycznego.

Pole magnetyczne zawiera energię. W jednostce objętości przestrzeni, w której jest pole magnetyczne zawarta jest energia: $E = \frac{1}{2}\frac{B^{2}}{2\mu\mu_{0}}$

gdzie:

E – gęstość energii pola magnetycznego w danym punkcie, B – indukcja magnetyczna,

μ – względna przenikalność magnetyczna ośrodka, μ0 – przenikalność magnetyczna próżni.

36. Cewka, kondensator.

Cewka (zwojnica, solenoid, rzadziej induktor) jest biernym elementem elektronicznym i elektrotechnicznym. Cewka składa się z pewnej liczby zwojów przewodnika nawiniętych np. na powierzchni walca (cewka cylindryczna), na powierzchni pierścienia (cewka toroidalna) lub na płaszczyźnie (cewka spiralna lub płaska). Wewnątrz lub na zewnątrz zwojów może znajdować się rdzeń z materiału magnetycznego, diamagnetycznego lub ferromagnetycznego.

Kondensator - jest to element elektryczny (elektroniczny), zbudowany z dwóch przewodników (okładek) rozdzielonych dielektrykiem.

37. Trzy wektory elektryczne.

1.wektor indukcji elektrycznej D = ε • ε₀ • E

2.wektor natężenia pola elektrycznego E, o którym była mowa wcześniej

3.wektor polaryzacji elektrycznej P - czyli stosunek indukowanego ładunku powierzchniowego do tej powierzchni.

**Związek między tymi trzema wektorami można zapisać następująco:

 D = ε₀E + P

38. Prawo Ohma i gęstość prądu elektrycznego.

Gęstość prądu J - Wartość gęstości prądu do pola powierzchni przekroju poprzecznego przewodnika:

$$J = \frac{I}{S},\ \ J = \frac{q}{\text{tS}}$$

Gęstość prądu jest wektorem, którego kierunek i zwrot są zgodne z kierunkiem ruchu ładunku dodatniego: $\overrightarrow{J} = n\overrightarrow{v_{u}}e$

Gdzie:

n - koncentracja elektronów swobodnych w przewodniku metalicznym (ilość elektronów w jednostce objętości)

v_u - prędkość unoszenia.

Jednostką gęstości prądu w układzie SI jest 1$\frac{A}{m^{2}}$.

Gęstość prądu stałego J w przewodnikach jednorodnych jest stała siła wszystkich punktów przekroju poprzecznego S. Ponieważ natężenie prądu we wszystkich przekrojach przewodu jest stałe, można zapisać I₁ = I₂,    J₁S₁ = J₂S₂. Zatem gęstości prądu w różnych przekrojach S₁,S₂ są odwrotnie proporcjonalne do pól przekrojów poprzecznych: $\frac{J_{1}}{J_{2}} = \frac{S_{2}}{S_{1}}$

Prawo Ohma dla odcinka prądu

Istota prawa Ohma jest konsekwencją struktury materii i podstawowych praw działania. Prawo Ohma jest specjalną własnością pewnych materiałów.

Natężenie prądu płynącego wewnątrz przewodnika jest wprost proporcjonalne do napięcia między końcami tego przewodnika i odwrotnie proporcjonalne do jego oporu: $\mathbf{I =}\frac{\mathbf{U}}{\mathbf{R}}$

Opór przewodnika R jest wielkością charakterystyczną dla danego przewodnika. Miarą oporu jest stosunek napięcia między końcami przewodnika do natężenia prądu przepływającego przez ten przewodnik: $R = \frac{U}{I}$

Podstawową jednostką oporu jest 1 om (Ω): $1\Omega = \frac{1V}{1A}$

Używa się jednostek większych, jak 1 kΩ=10³ Ω (kiloom), 1 MΩ=10⁶ Ω (megaom) oraz mniejszych

-1 mΩ= 10^-3Ω (miliom).

Odwrotność oporu elektrycznego przewodnika nosi nazwę przewodności elektrycznej (lub inaczej konduktancji). Jednostką przewodności elektrycznej jest simens (S): $1S = \frac{1A}{1V}$

**Prawo Ohma w postaci lokalnej $J = \frac{1}{\rho}E$

Porównując ze sobą wyrażenie na opór przewodnika, $R = \rho\frac{1}{S}$ oraz $R = \frac{U}{I}$, otrzymamy zależność E = ρJ, stąd $J = \frac{1}{\rho}E$. Gęstość prądu w danym punkcie jest proporcjonalna do natężenia pola elektrycznego w przewodniku.

**Prawo Ohma dla całego obwodu Prąd czerpany ze źródła w obwodzie zamkniętym płynie nie tylko przez opór zewnętrzny, ale również przez źródło, np. ogniwo. Ogniwo, a głównie znajdujący się w nim elektrolit, ma pewien pór, zwany oporem wewnętrznym (nowa bateria płaska ma opór wewnętrzny około 0, 1 Ω).

Gdy I ≠ 1, to napięcie na biegunach źródła jest zawsze mniejsze od jego siły elektromotorycznej i tym mniejsze, im większe jest natężenie płynącego prądu: $I = \frac{\varepsilon}{R + r}$

*Gdzie: r - opór wewnętrzny, ε- siła elektromotoryczna (SEM)

SEM jest ilością energii nieelektrycznej zamienionej w źródle na energię elektryczną przy przepływie przez źródło ładunku 1 C. Woltomierz dołączony do biegunów źródła SEM wskazuje napięcie na oporze zewnętrznym R i jednocześnie różnicę między siłą elektromotoryczną źródła a spadkiem potencjału na jego oporze wewnętrznym. Wykres przedstawia zmianę potencjału wzdłuż obwodu (kierunek obiegu zgodny ze wskazówkami zegara): wzrost potencjału na biegunach źródła równy jest jego sile elektromotorycznej, spadek potencjału na oporze wewnętrznym i dalszy spadek na oporze zewnętrznym. Gdy prąd nie płynie, nie ma spadku potencjału w obwodzie ani na oporze zewnętrznym, ani na wewnętrznym. Wówczas rozmiar potencjałów między biegunami ogniwa wynosi ε.

39. Siła elektromotoryczna, prawa Kirchoffa.

Siła elektromotoryczna- patrz pkt.44/Prawo Ohma dla całego obwodu

I prawo Kirchoffa

W dowolnym węźle suma algebraiczna natężeń prądów stałych dopływających i odpływających jest równa zeru.

W żadnym punkcie obwodu ładunki się nie gromadzą. Zgodnie z zasadą zachowania ładunku, ile ładunków dopływa do sieci, tyle w tym samym czasie z niego odpływa: $\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{n}}{\mathbf{I}_{\mathbf{i}}\mathbf{= 0}}$

Gdzie: n- liczba gałęzi dołączonych do danego węzła

II prawo Kirchoffa

Dotyczy zamkniętych obwodów tzw. oczek. Jest ona konsekwencją jednej z fundamentalnych zasad fizyki – zasady zachowania energii.

Z faktu, że w oczku suma wzrostów potencjału jest równa sumie spadków potencjału, wynika, że suma algebraiczna wszystkich sił elektromotorycznych i napięć elektrycznych panujących na poszczególnych elementach oczka równa się zeru: $\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{n}}{\mathbf{\varepsilon}_{\mathbf{i}}\mathbf{+}}\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{n}}{\mathbf{I}_{\mathbf{i}}\mathbf{R}_{\mathbf{i}}}\mathbf{= 0}$

Stosując II prawo Kirchoffa, należy pamiętać o regule znaków dotyczących iloczynów I_R i sił elektromotorycznych ε.

1.W środku oczka zaznaczamy dowolnie wybrany kierunek obiegu.

2.Dowolnie zaznaczamy kierunki prądu w poszczególnych gałęziach.

3Siłom elektromotorycznym przypisujemy znak plus, gdy kierunek od bieguna dodatniego do ujemnego jest zgodny z wybranym kierunkiem obiegu. Iloczyny I_R oraz I_r traktujemy jako dodatnie, gdy kierunek prądu jest zgodny z wybranym kierunkiem obiegu.

4.Zapisujemy odpowiednie równania (I prawo Kirchoffa) dla każdego m − 1 węzłów sieci.

5.Wydzielamy dowolne obwody zamknięte (oczka) w sieci i zapisujemy dla nich układy równań. W sieci złożonej z p gałęzi i m węzłów liczba niezależnych równań wynosi p − m + 1

40. Łączenie oporów, zasady dotyczące połączenia amperomierza i woltomierza w obwodzie.

-Przez wszystkie oporniki połączone szeregowo płynie prąd o takim samym natężeniu (zgodnie z zasadą zachowania ładunku)

-Napięcie między punktami A i B jest równe sumie napięć U₁,  U₂,  U₃ na poszczególnych oporach

-Dowolną liczbę połączonych ze sobą oporników możemy zastąpić jednym, tzw. Oporem zastępczym, spełniającym warunek: Po przyłożeniu takiego samego napięcia do zacisków oporu zastępczego i gałęzi szeregowej, przez oba te elementy obwodu popłynie prąd o takim samym natężeniu.

Ponieważ U₁ = IR₁,  U₂ = IR₂,  U₃ = IR₃, otrzymujemy wzór na opór zastępczy, który można zastosować do dowolnej liczby oporów: $R = \sum_{n = 1}^{n}R_{n}$

Równoległe łączenie oporów

-Napięcie na każdym z oporników jest takie samo.

-Prądy płynąc się sumują I = I₁ + I₂ + I₃

Ponieważ $I = \frac{U}{R},\ I_{1} = \frac{U}{R_{1}},\ I_{2} = \frac{U}{R_{2}},\ I_{3} = \frac{U}{R_{3}}$, ${{G = \sum_{i = 1}^{n}G_{i},\ = G}_{1\ } + G}_{2\ldots} + G_{n}\ ,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left\lbrack G \right\rbrack = \Omega^{- 1}$

G jest odwrotnością oporu, przewodnictwem, konduktancją (lub przewodnością).

W przypadku dwóch oporników otrzymujemy związek I₁R₁ = I₂R₂, który nosi nazwę II prawa Kirchoffa w uproszczonej postaci. Przy połączeniu równoległym opór zastępczy połączenia jest mniejszy od oporu każdego z oporników. Opór równolegle połączonych jednakowych oporników o oporze R każdy wynosi $\frac{R}{n}$.

Sposób włączania w obwód amperomierza i woltomierza

Amperomierz wskazuje natężenie prądu I większe od natężenia prądu płynącego przez opornik I_A = I_V + I_B.

Woltomierz mierzy napięcie U_A na oporze. Mierzony opór R jest mniejszy od oporu rzeczywistego: $R = \frac{U_{A}}{I_{R} + I_{V}}$

Opór własny woltomierza powinien być na tyle duży, aby natężenie prądu który przez niego przepływa było mniejsze, niż wynosi niepewność pomiarowa ∆I, z jaka amperomierz mierzy natężenie

41. Siła Lorentza i siła elektrodynamiczna.

Magnetyzm:

Siła Lorentza jest to siła, która działa na naładowaną cząstkę wpadającą z pewną prędkością do pola magnetycznego. Wielkość tej siły zależy od wartości indukcji magnetycznej pola magnetycznego B, ładunku elektrycznego cząstki q, i prędkości z jaką cząstka wpada do pola v, według wzoru

F_L  = qvB  ⋅  sinα, Siła Lorentza zakrzywia tor cząstki w polu magnetycznymi spełnia rolę siły dośrodkowej wymuszając ruch cząstki po okręgu. Jako siła dośrodkowa nie zmienia ona wartości wektora prędkości cząstki, lecz powoduje wyłącznie zmianę jego kierunku i zwrotu.

Pole grawitacyjne (natężenie) $g = \frac{F_{\text{graw}}}{m}$ pole elektryczne $E = \frac{F_{\text{elekt}}}{q}$

Siłę działającą na przewodnik z prądem umieszczony w polu magnetycznym nazywamy siłą elektrodynamiczną. F  =  B  ⋅  I  ⋅  l  ⋅  sinα, gdzie α jest kątem zawartym pomiędzy wektorem indukcji i kierunkiem przepływu prądu. Jeśli α  =  0, to sinα  =  0 i F  =  0.Dla α  =  90   sinα  =  1 i wtedy mamy: F  =  B  ⋅  I  ⋅  l Kierunek i zwrot siły elektrodynamicznej określa reguła lewej dłoni.

42. Prawo Ampera i Biota-Savarta.

Prawo Ampere’a: Całka krzywoliniowa wektora indukcji magnetycznej $\overrightarrow{\mathbf{B}}$, wytworzonego przez stały prąd elektryczny w przewodniku wzdłuż linii zamkniętej otaczającej prąd, jest równa sumie algebraicznej natężeń prądów I przepływających (strumieniowi gęstości prądu) przez dowolną powierzchnię objętą przez tę linię $\oint_{}^{}{\mathbf{d}\overrightarrow{\mathbf{l}}}$. Czyli:$\oint_{}^{}{\overrightarrow{\mathbf{B}} \bullet \mathbf{d}\overrightarrow{\mathbf{l}} = \mathbf{\mu}_{\mathbf{0}}\mathbf{I}}$

Prawo Ampere’a jest jednym z równań podstawowych teorii magnetyzmu. Prawo Ampere’a w typowej najprostszej postaci określa wartość pola wokół nieskończonego prostoliniowego przewodnika z prądem. Linie pole magnetycznego wokół takiego przewodnika przyjmują kształt okręgów leżących w płaszczyźnie prostopadłej do przewodnika. Sam przewodnik przebija płaszczyznę okręgu dokładnie w środku tego okręgu. Dla Prawa Ampere’a wynik NIE ZALEŻY OD KSZTAŁTU TORY ZAMKNIĘTEGO.

$$B \bullet 2\pi r = \mu_{o}\text{l\ }B = \frac{\mu_{o}l}{2\pi r}$$

A dla pary równoległych przewodników (we wzorze jedno z natężeń wpisujemy z minusem gdy prąd w obu przewodnikach płynie w przeciwnych kierunkach) $F_{b \rightarrow a} = I_{b}lB_{a} = \frac{\mu_{o}I_{a}I_{b}l}{2\pi d}$ – jest to wzór na siłę z jaką przewodnik b działa na przewodnik a (minus oznacza że się odpychają)

Prawo Biota-Savarta: Nieskończenie mały element $\mathbf{d}\overrightarrow{\mathbf{l}}$ przewodnika z prądem wytwarza w danym punkcie pola P odległym o $\overrightarrow{\mathbf{r}}$ od $\mathbf{d}\overrightarrow{\mathbf{l}}$ indukcję $\mathbf{d}\overrightarrow{\mathbf{B}}$ wg wzoru: $\mathbf{d}\overrightarrow{\mathbf{B}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\mu}\mathbf{\mu}_{\mathbf{0}}}{\mathbf{4}\mathbf{\pi}}\mathbf{I}\frac{\mathbf{d}\overrightarrow{\mathbf{l}}\mathbf{\times}\overrightarrow{\mathbf{r}}}{\mathbf{r}^{\mathbf{3}}}$, co można zapisać skalarnie jako: $\mathbf{d}\mathbf{B}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\mu}\mathbf{\mu}_{\mathbf{0}}}{\mathbf{4}\mathbf{\pi}}\frac{\mathbf{I}\sin\mathbf{\alpha}}{\mathbf{r}^{\mathbf{2}}}\mathbf{\text{dl}}$, gdzie α to kąt jaki tworzą w danej kolejności wektory $\mathbf{d}\overrightarrow{\mathbf{l}}$ i $\overrightarrow{\mathbf{r}}$.

Tak więc całkowita indukcja magnetyczna $\overrightarrow{B}$ w danym punkcie pola P jest równa: $\overrightarrow{B} = \int_{}^{}{d\overrightarrow{B} =}\frac{\mu\mu_{0}}{4\pi}I\int_{}^{}\frac{d\overrightarrow{l} \times \overrightarrow{r}}{r^{3}}$ lub skalarnie:$B = \frac{\mu\mu_{0}}{4\pi}I\int_{}^{}{\frac{\text{sinα}}{r^{2}}\text{dl}}$

Uwzględniając związek $r = \sqrt{l^{2} + R^{2}}$ otrzymujemy: $B = \frac{\mu_{0}}{2\pi}\frac{I}{R}$

43. Pole magnetyczne wokół przewodnika z prądem i w cewce.

Pole magnetyczne prezentujemy graficznie rysując tzw. linie pola magnetycznego

czyli linie wektora indukcji magnetycznej. Na rysunku pokazane są linie pola magnetycznego wokół

prostoliniowego przewodnika z prądem. Wektor B jest styczny do tych

linii pola w każdym punkcie.

Linie pola B wytwarzanego przez przewodnik są zamkniętymi współśrodkowymi

okręgami w płaszczyźnie prostopadłej do przewodnika. To, że linie pola B są zamknięte

stanowi fundamentalną różnicę między polem magnetycznym i elektrycznym, którego

linie zaczynają się i kończą na ładunkach.

Zwrot wektora indukcji B wokół przewodnika wyznaczamy stosując następującą zasadę: Jeśli kciuk

prawej ręki wskazuje kierunek prądu I, to zgięte palce wskazują kierunek B (linie pola B krążą wokół

prądu).

Jeżeli obejmiemy prawa dłonia cewke tak, ze cztery palce wskazują kierunek zwrotu pradu w uzwojeniu

cewki, to odchylony kciuk wskazuje zwrot linii pola magnetycznego.

44. Prawo Faradaya i reguła Lenza (przekory).

Prawo Faradaya: W zamkniętym obwodzie znajdującym się w zmiennym polu magnetycznym pojawia się siła elektromotoryczna indukcji równa szybkości zmian strumienia indukcji pola magnetycznego przechodzącego przez powierzchnię rozpiętą na tym obwodzie. Prawo to wyraża się wzorem: $\varepsilon = - \frac{d\Phi_{B}}{\text{dt}}$, gdzie Φ_B- strumień indukcji magnetycznej, $\frac{d\Phi_{B}}{\text{dt}}$ – szybkość zmiany strumienia indukcji magnetycznej.

Jeżeli w miejscu pętli umieści się zamknięty przewodnik o oporze R, wówczas w obwodzie tego przewodnika popłynie prąd o natężeniu I: $I = - \frac{1}{R} \bullet \frac{d\Phi_{B}}{\text{dt}}$.

W przypadku zwojnicy o N zwojach, wzór na siłę elektromotoryczną indukcji można zapisać w postaci: $\varepsilon = - N\frac{\Phi}{t}$. Wzór wynikający z prawa Faradaya można przedstawić w postaci całkowej: $\varepsilon = \int_{l}^{}{E \bullet dl = - \frac{d}{\text{dt}}\int_{S}^{}{B \bullet dS}}$, gdzie ε- siła elektromotoryczna powstająca w pętli, E - natężenie indukowanego pola elektrycznego, l - długość pętli, dl - nieskończenie krótki odcinek pętli, S - powierzchnia zamknięta pętlą l, B - indukcja magnetyczna. W postaci różniczkowej prawo wyraża wzór: $\nabla \times E = - \frac{\partial B}{\partial t}$ będący jednym z równań Maxwella.

Reguła Lenza: prąd indukcyjny (nazywany też prądem wtórnym) wzbudzony w przewodniku pod wpływem zmiennego pola magnetycznego, ma zawsze taki kierunek, że wytworzone wtórne pole magnetyczne przeciwdziała przyczynie (czyli zmianie pierwotnego pola magnetycznego), która go wywołała.

45. Drgania elektromagnetyczne.

Drgania elektromagnetyczne 
Rozważmy dwa obwody: RC i LC.

Obwód RC bez źródła prądu przemiennego.

Jeśli okładki naładowanego kondensatora połączymy z przewodnikiem, to w obwodzie popłynie prąd związany z rozładowywaniem się kondensatora. Z upływem czasu napięcie między okładkami kondensatora maleje, więc maleje też natężenie płynącego prądu. Gdy kondensator się rozładuje, prąd przestaje płynąć. 

Obwód LC bez źródła prądu przemiennego.

Podobnie jak w poprzednim obwodzie płynie tu malejący prąd związany z rozładowywaniem się kondensatora. Malejący prąd, który płynie przez zwojnicę powoduje powstanie w niej zjawiska samoindukcji. W zwojnicy wytwarza się siła elektromotoryczna, która powoduje, że pomimo rozładowywania się kondensatora, prąd dalej płynie i powoduje ponowne ładowanie kondensatora.

Proces przepływu prądu w obwodzie LC (ładowania i rozładowywania kondensatora) nazywamy drganiami elektromagnetycznymi, a taki obwód - elektrycznym obwodem drgającym (zamkniętym)

Okres drgań elektromagnetycznych wynosi:

Wzory na wielkości w drganiach elektromagnetycznych są bardzo podobne do wzorów w drganiach mechanicznych. Wystarczy tylko odpowiednio zamienić wielkości. 

Drgania mechaniczne		Drgania elektromagnetyczne
x (wychylenie)	odpowiada	Q (ładunek)
A (amplituda)	odpowiada
V (prędkość)	odpowiada	I (natężenie)
a (przyspieszenie)	odpowiada
m (masa)	odpowiada	L (indukcyjność)
k (współczynnik proporcjonalności)	odpowiada

A więc wzory odpowiednio zmieniają się:

jest to wzór na energię pola magnetycznego zwojnicy.

Wytwarzanie drgań niegasnących 
W rzeczywistości w obwodzie LC występuje również niewielki opór czynny R, który powoduje zamianę części energii elektrycznej na ciepło. Wskutek tego w takim obwodzie drgania elektromagnetyczne mają charakter drgań gasnących (zanikających). Oznacza to, że maksymalne natężenie prądu I płynącego w obwodzie maleje wraz z upływem czasu.

Aby pokryć straty energii oraz otrzymać drgania niezanikające w czasie, obwód należy dodatkowo zasilić. W najprostszym przypadku stosuje się do tego celu włączony równolegle w obwód induktor I_n, zasilany ogniwem lub akumulatorem. W technice, drgania elektromagnetyczne niegasnące wytwarzane są za pomocą urządzeń zwanych generatorami drgań.

Rezonans elektryczny 
Opisane wyżej oddziaływanie cewki obwodu drgań wielkiej częstotliwości, polegające na wzbudzeniu w umieszczonej obok niej cewce siły elektromotorycznej indukcji, zmieniającej się z częstotliwością drgań obwodu LC nazywamy sprzężeniem indukcyjnym. Rysunek przedstawia inny rodzaj takiego sprzężenia:

Obwód drgań o pojemności C₁ i indukcyjności L₁, zasilany przez generator drgań niegasnących wzbudza drgania elektromagnetyczne w drugim obwodzie L₂C₂, złożonym z cewki o indukcyjności L₂ i z kondensatora o zmiennej pojemności C₂ oraz lampki neonowej N spełniającej rolę wskaźnika napięcia. Zmieniający się z wielką częstotliwością strumień magnetyczny cewki L₁, obwodu L₁C₁, zwanego obwodem wymuszającym, wzbudza w cewce L₂ obwodu L₂C₂ prąd indukcyjny o takiej samej częstotliwości, czyli drgania elektryczne wymuszone, Amplituda tych drgań zależy od stosunku częstotliwości własnych obwodu L₂C₂ do częstotliwości drgań wymuszających obwodu L₁C₁ i osiąga maksymalną wartość wtedy, gdy częstotliwości te są sobie równie, czyli: 
 
Opisane wyżej zjawisko nosi nazwę rezonansu elektrycznego, a częstotliwość, przy której zachodzi, nazywamy częstotliwością rezonansową.

Fale elektromagnetyczne 
W 1865 roku Maxwell w swojej teorii elektromagnetyzmu przewidział dwa zjawiska, które nazywamy prawami Maxwella:

I prawo Maxwella - Zmienne pole magnetyczne powoduje powstanie wirowego (i też zmiennego) pola elektrycznego.

II prawo Maxwella - Zmienne pole elektryczne wytwarza wokół siebie wirowe (i też zmienne) pole magnetyczne.

Wystarczy w jakikolwiek sposób wytworzyć zmienne pole (np. magnetyczne) i to spowoduje rozchodzenie się pola elektrycznego i magnetycznego. Takie rozchodzące się pole elektromagnetyczne nazywamy falą elektromagnetyczną. Prędkość V rozchodzenia się fali elektromagnetycznej w próżni jest równa prędkości światła w próżni.  Równość ta nasunęła Maxwellowi wniosek, iż światło jest jednym z rodzajów fal elektromagnetycznych.

Powyższy wykres przedstawia przestrzenny obraz rozkładu natężenia pola elektrycznego i indukcji pola magnetycznego - fali elektromagnetycznej rozchodzącej się w kierunku x. Wynika z niego, iż fala elektromagnetyczna jest falą poprzeczną, przy czym jej długość jest określona wzorem:  λ=cT
T - okres drgań źródła fali Uwzględniając wzór na częstotliwość fali, otrzymujemy: 

46. Równania Maxwella (sens fizyczny, postać całkowa i różniczkowa).

(podkreślono „sens fizyczny” danego równania)

Prawo indukcji elektromagnetycznej Faradaya

Prawo to wiąże zmienne pole magnetyczne z indukowanym przez nie polem elektrycznym:

$$\oint_{L}^{}{\overrightarrow{E} \bullet d\overrightarrow{l} = - \frac{\text{dΦ}_{B}}{\text{dt}}} = - \frac{d}{\text{dt}}\oint_{L}^{}{\overrightarrow{B} \bullet d\overrightarrow{s}}\backslash n$$

$\overrightarrow{B}$ - indukcja pola magnetycznego, ∇× - operator rotacji (odpowiednik różniczki dla pola wektorowego), inny zapis $\nabla \times \overrightarrow{E} = rot(\overrightarrow{E})$

Zmienne w czasie pole magnetyczne wytwarza pole elektryczne.

Uogólnione prawo Ampere'a

$$\oint_{L}^{}{\overrightarrow{B} \bullet d\overrightarrow{l} = \mu I + \mu\varepsilon\frac{\text{dΦ}_{E}}{\text{dt}}} = \mu I + \mu\varepsilon\frac{d}{\text{dt}}\oint_{S}^{}{\overrightarrow{E} \bullet d\overrightarrow{s}}$$

(w postaci całkowej) $\nabla \times \overrightarrow{B} = \mu\overrightarrow{J} + \mu\varepsilon\frac{\partial\overrightarrow{E}}{\partial t}$ (w postaci różniczkowej), gdzie $\overrightarrow{J}$ – to gęstość prądu elektrycznego, Φ_E-strumień pola elektrycznego przez dowolną powierzchnię zamkniętą S,

Przepływający prąd oraz zmienne pole elektryczne wytwarzają pole magnetyczne

Prawo Gaussa dla elektryczności

$$\varepsilon\oint_{S}^{}{\overrightarrow{E} \bullet d\overrightarrow{s}} = q$$

(w postaci całkowej) $\varepsilon\nabla \bullet \overrightarrow{B} = \rho$ (w postaci różniczkowej), gdzie q – całkowity ładunek zawarty wewnątrz tej powierzchni, ∇• - operator dywergencji/rozbieżności (odpowiednik różniczki zupełnej dla pola wektorowego), inny zapis $\nabla \bullet \overrightarrow{B} = div(\overrightarrow{B})$

Ładunki są źródłem pola elektrycznego.

Prawo Gaussa dla magnetyzmu

$$\oint_{S}^{}{\overrightarrow{B} \bullet d\overrightarrow{s}} = 0$$

(w postaci całkowej) $\nabla \bullet \overrightarrow{B} = 0$ (w postaci różniczkowej)

Pole magnetyczne jest bezźródłowe.

47. Wektor Poyntinga.

Wektor Poyntinga wektor określający strumień energii przenoszonej przez pole elektromagnetyczne. Wektor jest określony jako iloczyn wektorowy wektorów natężeń pola elektrycznego i magnetycznego. Wektor Poyntinga wyraża się wzorem:

$\overrightarrow{S} = \overrightarrow{E} \times \overrightarrow{H}$, gdzie: $\overrightarrow{S}$ – rzeczywisty wektor Poyntinga, $\overrightarrow{E}$ – natężenie pola elektrycznego, $\overrightarrow{H}$ – natężenie pola magnetycznego

Wielkość ta opisuje powierzchniową gęstość mocy przenoszonej przez falę elektromagnetyczną. Jednostką wektora Poyntinga w układzie SI jest $\left( \frac{J}{m^{2}s} = \frac{W}{m^{2}} \right)$.

Wektor Poyntinga dla ośrodka magnetycznie liniowego można wyrazić wzorem:

$\overrightarrow{S} = \overrightarrow{E} \times \overrightarrow{H} = \frac{1}{\mu}\overrightarrow{E} \times \overrightarrow{B}$, gdzie: μ - przenikalność magnetyczna

Pole magnetyczne jest polem wektorowym.