Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

MODELOWANIE i IDENTYFIKACJA

Sprawozdanie z laboratorium 1

15 III 2012

„Eksperymentalna analiza modalna”

Para Paweł Piecuch Jakub Pielaszkiewicz Zbigniew Piróg Arkadiusz Olchawski Tomasz

AiM, gr. A2, zespół II

1. Cel ćwiczenia

Celem przeprowadzonego ćwiczenia było zapoznanie się z eksperymentalną analizą modalną poprzez wyznaczenie częstości drgań własnych oraz współczynników tłumienia badanej konstrukcji (łopatka śmigła) za pomocą modelu ARMA oraz porównanie otrzymanych wyników z parametrami wyznaczonymi dzięki szybkiej transformacie Fourier’a (FFT).

2. Przebieg ćwiczenia

Aby zrealizować zadany cel na zawieszonym swobodnie badanym obiekcie umieszczono trzy czujniki przyspieszenia podłączone do komputera pomiarowego oraz wzbudnik drgań wymuszający drgania (o charakterze szumu białego) konstrukcji w zakresie 0 – 500Hz. Wykonano trzy różne pomiary dla trzech różnych konfiguracji położenia akcelerometrów. Przed każdym z pomiarów sprawdzono poprawność zamocowania czujników. Dane zostały zarejestrowane za pomocą komputera pomiarowego. Poniższy rysunek przedstawia umiejscowienie czujników podczas ćwiczenia.

3. Opis stanowiska

Stanowisko pomiarowe składa się z zawieszonej swobodnie łopaty ogonowej śmigłowca do której przymocowano wzbudnik drgań połączony za pomocą wzmacniacza mocy ze sterującym nim komputerem. W celu rejestrowania odpowiedzi układu do badanego obiektu przyłączono trzy akcelerometry jednoosiowe PCB połączone ze środowiskiem TestLAB, pracującym na komputerze pomiarowym.

4. FFT przebiegów czasowych

Dla zarejestrowanych przebiegów wyznaczono szybką transformatę Fourier’a:

5

x 10

4

3

2

Gęstość widmowa mocy

czujnik 1 czujnik 2 czujnik 3

1

0

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

Częstotliwość [Hz]

4

x 10

5

4

3

2

1

0

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

Częstotliwość [Hz]

5

x 10

4

3

2

czujnik 1 czujnik 2 czujnik 3

1

0

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

Częstotliwość [Hz]

Z powyższych wykresów odczytano częstotliwości drgań własnych:

• f1≈40Hz

• f2≈120Hz

• f3≈220Hz

5. Tabele z częstotliwościami drgań własnych i współczynnikami tłumienia obiektu uzyskanymi za pomocą modelu ARMA.

Po analizie uzyskanych przebiegów FFT (trzy różne częstotliwości drgań własnych ωr) , przyjęto postać modelu ARMA o następujących wartościach opóźnień: p=6 oraz q=5. Pozwoliło to na uzyskanie trzech różnych par sprzężonych pierwiastków równania charakterystycznego, odpowiadających trzem różnym częstotliwościom drgań własnych układu (oraz trzem różnym współczynnikom tłumienia). Rezultaty otrzymane na podstawie wzorów zamieszczonych w instrukcji do laboratorium, zweryfikowano przy użyciu wbudowanej w środowisko MATLAB/SIMULINK funkcji damp (funkcja zwraca współczynniki tłumienia oraz częstości drgań własnych na podstawie transmitancji obiektu).

Poniżej zamieszczono tabelę otrzymanych wyników (w nawiasie podano wartości obliczone za pomocą funkcji damp):

Tabela częstotliwości drgań własnych ωr [Hz] (zaokrąglone do części setnych)
pomiar 1
pomiar 2
pomiar 3

Tabela współczynników tłumienia ξr [1/s]
pomiar 1
pomiar 2
pomiar 3

* brak wyniku liczbowego dla drugiego czujnika w trzecim pomiarze spowodowany jest dwoma pierwiastkami rzeczywistymi (jedna z trzech par), które użyte w algorytmie przystosowanym do pierwiastków zespolonych dały zespolone wartości parametrów.

Poniżej zamieszczono skrypt pliku wykorzystanego do uzyskania wyników przedstawionych w punktach 4 i 5:

clc

clear all

P11=load('pomiary\mii_lab_1_11.txt'); P12=load('pomiary\mii_lab_1_12.txt'); P13=load('pomiary\mii_lab_1_13.txt'); P21=load('pomiary\mii_lab_1_21.txt'); P22=load('pomiary\mii_lab_1_22.txt'); P23=load('pomiary\mii_lab_1_23.txt'); P31=load('pomiary\mii_lab_1_31.txt'); P32=load('pomiary\mii_lab_1_32.txt'); P33=load('pomiary\mii_lab_1_33.txt');

p11=[]; p12=[]; p13=[]; p21=[]; p22=[]; p23=[]; p31=[]; p32=[]; p33=[];

for i=1:length(P32(:,1)) p11=[p11;P11(i,:)']; p12=[p12;P12(i,:)']; p13=[p13;P13(i,:)']; p21=[p21;P21(i,:)']; p22=[p22;P22(i,:)']; p23=[p23;P23(i,:)']; p31=[p31;P31(i,:)']; p32=[p32;P32(i,:)']; p33=[p33;P33(i,:)'];

end dt=1/1024; p=[p11,p12,p13,p21,p22,p23,p31,p32,p33];

Px=[]; O=[]; Odamp=[]; K=[]; Kdamp=[];

for i=1:9

X=fft(p(:,i),(1/dt)); XX=X.*conj(X); Px=[Px,XX];

M=armax(p(:,i),[6,5]); pr=polydata(M); T=tf(M);

[W,D]=damp(T);

W=1000*W/(2*pi);

r=roots(pr);

r11=r(1,1); r12=r(2,1); wr1=(1/dt)*sqrt(log(r11)*log(r12)); fr1=wr1/(2*pi);

ksi1=-log(r11*r12)/(2*wr1*dt);

r21=r(3,1); r22=r(4,1); wr2=(1/dt)*sqrt(log(r21)*log(r22)); fr2=wr2/(2*pi);

ksi2=-log(r21*r22)/(2*wr2*dt);

r31=r(5,1); r32=r(6,1); wr3=(1/dt)*sqrt(log(r31)*log(r32)); fr3=wr3/(2*pi);

ksi3=-log(r31*r32)/(2*wr3*dt);

end

O=[O;fr1,fr2,fr3]; Odamp=[Odamp;W']; K=[K;ksi1,ksi2,ksi3]; Kdamp=[Kdamp;D'];

okno1=figure(1);

subplot(3,1,1); plot(Px((1:500),1),'red'); hold on

grid on

plot(Px((1:500),2),'green');

plot(Px((1:500),3),'blue');

title('Gęstość widmowa mocy','fontsize',16); legend('czujnik 1','czujnik 2','czujnik 3'); xlabel('Częstotliwość [Hz]');

ylabel('Pomiar 1');

subplot(3,1,2); plot(Px((1:500),4),'red'); hold on

grid on plot(Px((1:500),5),'green'); plot(Px((1:500),6),'blue');

legend('czujnik 1','czujnik 2','czujnik 3');

xlabel('Częstotliwość [Hz]');

ylabel('Pomiar 2');

subplot(3,1,3); plot(Px((1:500),7),'red'); hold on

grid on

plot(Px((1:500),8),'green');

plot(Px((1:500),9),'blue');

legend('czujnik 1','czujnik 2','czujnik 3');

xlabel('Częstotliwość [Hz]');

ylabel('Pomiar 3');

6. Wnioski

Eksperymentalna analiza modalna pozwala wyznaczyć parametry badanego obiektu na podstawie przebiegu zmiennej wyjściowej. W przeprowadzonym ćwiczeniu zastosowano model ARMA, dzięki któremu wyznaczono częstotliwości drgań własnych oraz współczynniki tłumienia badanego obiektu. Weryfikacja otrzymanych wyników dwoma innymi metodami potwierdza poprawność obliczeń.

Alternatywną metodą wyznaczenia częstotliwości drgań własnych jest szybka transformata Fourier’a, dzięki której wskazać można częstotliwości sygnału, które przenoszą największe moce. W zarejestrowanym przebiegu widoczne są trzy prążki odpowiadające trzem częstotliwościom drgań własnych (w tym jednej dominującej). Na podstawie ilości prążków ustalono rząd modelu ARMA.

Metoda oparta na szybkiej transformacie Fouriera pozwala na szybsze i łatwiejsze oszacowanie wartości częstotliwości drgań własnych. Minusem jest jednak to, że nie pozwala na wyznaczenie współczynnika tłumienia. W obu metodach należy wzbudzić badany obiekt w takim zakresie częstotliwości wymuszenia, w jakim poszukujemy wyżej wymienionych parametrów.

Aby otrzymać końcowy wynik uśredniono wartości wyznaczone przy użyciu modelu ARMA:

f1=41,55Hz ξ1=0,11981/s f2=115,51Hz ξ2=0,02631/s f3=229,56Hz ξ3=0,00981/s

Podane wyżej pary (częstotliwość drgań własnych – współczynnik tłumienia) spełniają zależność odwrotnej proporcjonalności.